大学概率论 第2章2.3-2.4

注意右连续
三、分布函数的性质 (1) 0≤F(x)≤1, －∞<x<+∞; (2) F( ) = lim F(x) = 0
x
F( ) = lim F(x) = 1 (3) F(x) 非降，即若 x1<x2，则F(x1) F(x2) ;
x
(4) F(x) 右连续，即 lim F ( x ) F ( x0 )
2.概率密度函数的性质
1 f ( x ) 0;
2

f ( x )dx 1;
x2 x1

3 对于任意实数x1 , x 2 ( x1 x2 ),
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )

f ( x ) dx ;
4 若f ( x )在点x处连续, 则有F ( x ) f ( x ).
F ( 3) F (1)
4 1 1 . 8 2
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答
不一定. 例如抛均匀硬币, 令 出正面; 1, 1, 出正面; X1 X2 出反面. 1, 出反面. 1,
X 1 与 X 2 在样本空间上的对应法则不同, 是两个不 同的随机变量, 但它们却有相同的分布函数 0, x 1; F ( x ) 1 2 , 1 x 1; 1, x 1.




o
1
2
3
x
F ( x ) P{ X x }
P { X 0} P { X 1} P { X 2} 1 3 3 7 ; 8 8 8 8 当 x 3时,
p
xi 2
i
F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} P { X 2} P { X 3} pi 1.
x
说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
(2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.
实例
抛掷均匀硬币, 令
1, X 0,
出正面, 出反面.
求随机变量 X 的分布函数. 1 解 p{ X 1} p{ X 0} , 2
x1
x2
x
注意
P{ X a } 1 F (a ).
重要公式
(1) P{a X b} F (b) F (a ), ( 2) P{ X a } 1 F (a ).
证明 因为 { X b} { X a } {a X b},
{ X a } {a X b} ,
x
lim F ( x ) lim P{ X x } 0
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x } 的值也不会减小,而 X ( , x ) , 当 x 时, X 必然落在 ( , )内.
o
所以
x
lim F ( x ) lim P{ X x } 1.


当 x 0 时,
0
1
x
F ( x ) P{ X x 0} 0 ;


当 0 x 1 时,
0
1
x
1 F ( x ) P { X x } P { X 0} ; 2 当 x 1时,
F ( x ) P{ X x }
P{ X 0} P{ X 1}
证明 (2)
(3)
1 F ( )


f ( x ) d x.
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f ( x ) d x f ( x ) d x
S

x2
x2
x1
x2
x1
f ( x ) d x.
f ( x)
= F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
F ( x ) P( X x), x
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
解 设 H 正面, T 反面, 则
S HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT ,
因此分布律为
X p
0 1 2 3 1 3 3 1 8 8 8 8
求分布函数



当 x 0时, 当 0 x 1时,
o
1
2
3
x
F ( x ) P{ X x } 0;
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
x pk x
k
四、小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x ) P{ X x }
x pk . x
i
2.分布律与分布函数的关系
作业 P45 2、4、5
在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有
F ( x)
率密度。
变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概
y
f (x)

x

f (t )dt
，则称X为连续型随机
o
x
由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数F(x)
是连续函数.
2. 对f(x)的连续点，有
F' ( x ) f ( x )
由此 F(x)与f(x)可以互推。
X是随机变量, x是参变量.
F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
F ( x ) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 }
x x
3 F ( x 0) F ( x ), 即F ( x )是右连续的.

0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p1 1, x x2 .
F ( x)
o


例1.
X
P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
，求 F(x).
解:
当
F(x) = P(X x)
1 x < 2 时， 1 1 1 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 3 6 2 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
当
故
x0 0, 1 , 0 x 1 3 F ( x) 1 , 1 x 2 2 1, x2
第三节
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
二、分布函数的性质
三、例题讲解 四、小结
一、分布函数的概念
1.概念的引入
对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ]内的概率 .
a


1 1 1. 2 2
0, x 0, 1 得 F ( x ) , 0 x 1, 2 1, x 1.
二、分布函数的性质
1 F ( x )是一个不减函数.
事实上, 由( 3.1)式对任意实数x1 , x2 ( x1 x2 ), 有
F ( x2 ) F ( x1 ) P{ x1 X x2 } 0.
所以 P{ X b} P{ X a } P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a ).
F ( x ) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
xi 3
x 0, 0, 1 8 , 0 x 1, 所以F ( x ) 4 8 , 1 x 2, 7 8 , 2 x 3, 1, x 3.
P{1 X 3} P{ X 3} P{ X 1} P{ X 3}
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?
F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
F ( x1 ) 分布 函数
2.分布函数的定义
设X是一个随机变量, x是任意实数 , 函数
F ( x ) P{ X x }, 称为X的分布函数 .
2 0 F ( x ) 1, 且
F ( ) lim F ( x ) 0,
x
F ( ) lim F ( x ) 1.
x
证明 F ( x ) P{ X x }, 当 x 越来越小时,
P{ X x } 的值也越来越小, 因而当 x 时, 有
解： 注意到函数 F(x)在 [ 2 , ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 或者
F ( ) lim F ( x ) 0
x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
例3 将一枚硬币连掷三次, X 表示“三次中正面
出现的次数 ”求 X 的分布律及分布函数 , 并求下 , 列概率值 P{1 X 3}, P{ X 5.5}, P{1 X 3}.
1 F ( x ) P{ X x } P { X 0} pi ; 8 xi 0 当1 x 2时, F ( x ) P{ X x } P { X 0} P { X 1} 1 3 1 pi ; 8 8 2 x i 1
当 2 x 3时,
第四讲
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
一. 连续型随机变量、概率密度定义 设F（x）是随机变量X的分布函数，若存
f ( x)d x 1
f ( x)d x
S1
1
o
x1
x1 x 2
S1
x
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a )
a
f ( x ) d x,
P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
f ( x) d x f ( x) d x
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
离散型随机变量分ຫໍສະໝຸດ Baidu函数的计算举例
例1.
X P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
，求 F(x).
解:
当 当
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P(X x) = P(X=0) = 3
x x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某 个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是 鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分 必要条件.
例2. 设有函数 F(x)
sin x 0 x F ( x) 0 其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
F ( 3) F (1) P { X 3}
4 1 3 1 . 8 8 8
P { X 5.5} 1 P { X 5.5}
1 P { X 5 .5 } P { X 5 .5 }
1 1 0 0.
P{1 X 3} P{ X 3} P{ X 1}