过圆上一点的切线方程

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过点做圆的切线求切线方程

过点做圆的切线求切线方程分两类

一、求过圆上一点的切线方程

步骤:①先求过该点的半径所在直线的斜率;②利用切线与半径垂直求切线的斜率

③由点斜式得切线方程

二、求过圆外一点的圆的切线方程(有两条)

步骤:①设切线斜率为k，由点斜式表示切线方程并化一般式

②利用圆心到切线的距离等于半径列方程求出k的值(一般有2个解)，如果k只一个解，那么有一条切线斜率不存在

③将k值代入切线方程化简得答案

圆的切线方程

y 0
O
x
经过点M的切线方程是
yy0xy00(xx0),
因为点M在圆上,所以 x2y2r2, 00
所求的切线方程是
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程
xxy yr2. 00
同样适用.
小结：
过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
x0x+y0y=r2
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程. 2x+ 6 y=10
例 1:求与圆 x2y213切于 P(3,2) 点的切线方程。
解：P(3,2)在圆上是切点可直接写出切线 3x方 2程 y： 3x2y130
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点
(-2,4)的圆的切线方程. 分析 ∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3
∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条解:设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即
kx-y+2k+4=0 ①
由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得
k-0+2k+4 K2+1
=3 解得: k=-7 24
代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0

过圆的两个切点方程

这个题目涉及到圆的基础知识和解析几何中的直线方程。假设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。现在要求过圆的两个切点的直线方程。那么我们可以先通过求导来求出圆上某一点处的切线斜率，即-(x-a)/(y-b)。因为切线过圆心，所以可以用圆心坐标(a,b)代入得到切线方程为y-b=-(x-a)/(y-b)(x-a)。又因为切线与圆垂直，所以可以得到另一个切点处的切线斜率为

(y-b)/(x-a)。同样代入切点坐标(x1,y1)，得到切线方程为

y-y1=(x-a)/(y-b)(x-x1)。这样就得到了过圆的两个切点的直线方程。

- 1 -

高中数学：求圆的切线方程的几种解法

求经过点且与圆相切的切线方程并作图。

解1：利用过圆上一点的切线方程如图1，设过点的直线与圆相切于，根据过圆上一点求切线方程的公式，得圆的切线方程为

（1）

因为切线过点

所以（2）

又因为点在圆上

所以（3）

联立（2）（3）得

代入（1）即得所求圆的切线方程为和。解2：利用勾股定理

设所求切线与已知圆相切于点，因为圆的方程为，所以圆心O的坐标为，连接，则

，所以由勾股定理，得，即

，所以

又因为点在圆上，所以

（2），联立（1）（2）得

代入切线方程中，即得所求圆的切线方程为和。

解3：利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系。

设所求直线与圆相切于，则。因为

，所以，

所以切线的方程为。

因为过点，所以代入上式得

（1）

而（2）

以下同解2。

解4：利用圆锥曲线切线的定义

设是圆上任意一点，作割线交圆于另一点，则

，又因为两点都在圆上。

所以

（2）得代入（1），得，当Q 与重合时，即当，时，割线的斜率就变成过圆上一点的切线的斜率，

所以。以下仿解3。

解5：利用点到直线的距离公式

设过点且与圆相切的切线的斜率为k，则所求切线方程为，即。因为圆心O 的坐标为，半径，所以由点到直线的距离公式，得

，解得。

所以切线方程，即，再结合图形知另一条切线方程为。

解6：利用斜率为k的圆的切线方程

因为圆的方程为，所以，故根据圆的切线方程

，

得。（1）

因为点在切线上，

所以。

解得，将k值代入（1）即得所求切线的方程为，再结合图形知另一条切线方程为。

解7：利用切线与圆只有一个公共点的性质

设所求圆的切线方程为

代入中，整理得

过圆上一点的切线方程公式推导

结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 P（x_{0}，y_{0}）切线方程为

\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1

推导：

法一：利用判别式△=0

设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})

联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k

将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂

法二：对椭圆求导

用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-

\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将P点代入后可列出直线方程：

y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：

a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}

上式两边同时除以a²b²即可得

\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1

法三：仿射变化

令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 P点坐标写为

（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）

由圆切线方程易得P点处切线方程为

\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1

由仿射不变性代回得椭圆上P点处切线方程

浅谈过圆上一点求圆的切线的方法

近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。

设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。

下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即K直径=y0/ x0，

圆的切线方程

课题：圆的切线方程

一、知识点拨：

圆的切线方程的几种基本类型:

1.过圆上一点的切线方程

2.过圆外一点的切线方程

3.已知斜率的切线方程

二、典型分析

（一）、过圆上一点的切线方程：

例1：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。

2204P (1x y +=练习、已知C:，求过点的切线方程。

结论一：

过圆222x y r +=上一点00(,)M x y 切线方程是 200x x y y r += 结论二：

22200200()()(,) ()()()().

x a y b r x y x a x a y b y b r -+-=--+--=过圆上一点的切线方程为：结论三：

22000(,)x y Dx Ey F x y ++++=过圆上一点的切线方程为： 00000.22

x x y y xx yy D

E F ++++++= 注：此性质可以推广到抛物线、椭圆、双曲线。如：2y+2=2x y x =4在点（，4）处的切线方程：即4x-y-4=02。

222.:(2)4,C x y A l +-=例已知）的切线的方程

（二）、过圆外一点的切线方程：

设切线方程为 y －0y = k (x －0x )

(1) 利用圆心到切线的距离等于圆半径，待定 k ;

(2) 利用联立方程组消去一元后判别式等于零，待定 k ;

注：此时切线一般有两条，故 k 有二解，若只求出一解，需考虑k 不存在。

22:(2,4)4A x y +=例3求过点向圆所引的切线方程。

（三）、已知斜率的切线方程:

过一点求圆的切线的方程

(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
(5)本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法:
(ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结Βιβλιοθήκη Baidu的思想 [如习题示例(2)] 11. [作业]
P826 , 7 , 8
[练习]
1.下列方程各表示什么图形?
(1) x2 y2 0 原点(0,0)
x y (2)
2
2
2x 4y 6 0
圆心(1,-2),半径
11
(3) x2 y2 2ax b2 0,(ab 0)
圆心 ( a,0), 半径 a 2 b2
2.求下列各圆的半径和圆心坐标.
不妨设：D＝－2a、E＝－2b、F＝a2+b2-r2
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）
可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（1）配方得（x D )2 ( y E )2 D2 E 2 4F (2)

圆上一点的切线方程

下面我就从基础理解、提高理解、迁移理解三个方面来讲切

线方程在不同曲线中的形式。

1. 基础理解

求过圆x2+y2=r2 上一点p( x0，y0 )的切线方程。

解：Q op丄Ip

xx0a2+yy0b2=1

kpgkop=-1 由直?方程点斜式得切线Ip ：

y-y0=-x0y0 (x-x0 )yy0+xx0=x02+y02yy0+xx0=r2 这就是圆

上一点的切线方程，这个形式很重要，其最主要的特点就是用点p (x0, y0)中的横纵坐标将圆上x2+y2=r2中x、y个换掉一个。

2. 提高理解

求过圆(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2上一点p (x0, y0)的切线方程。

分析：只要我们将( x-a )2+ (y-b)2=r2 变换为"基础理解"中形式，就有"基础理解"的切线方程。

解：令x-a=X、y-b=Y

X2+Y2=r2

p(x0，y0)经过上述的平移得p'(XO, YO)即过p f (X0,

YO)的切线方程XX0+YY0=r2所以过p(xO, yO)的切线方程(x+a)

( xO-a ) +( y-b )( yO-b ) =r2 。

3. 迁移理解

求过椭圆x2a2+y2b2=1上一点p (x0, y0)的切线方程。

分析：先将椭圆方程转化为圆方程在应用"提高理解"写出椭圆上一点的切线方程。

解：令xa=s、yb=t 则椭圆方程转化为s2+t2=1

p (x0, y0)转化为p'( s0, tO ) (xOa=sO、yOb=tO )

过p'( sO, tO )的切线方程：ssO+ttO=1，所以过p (xO, yO)的切线方程：xagx0a+ybgy0b=1 即xx0a2+yy0b2=1。

圆上一点的切线方程结论及推导

圆是我们数学中的重要概念，圆上的任意一点都具有特殊的性质。当我们研究圆上的一点时，切线是非常重要的工具。本文将讲解圆上一点的切线方程，包括其定义、性质及推导过程。

一、圆的定义

圆是由平面上所有距离某一点固定距离的点组成的集合。该点叫做圆心，距离叫做半径。圆的符号为“O”。

二、圆上一点的切线定义

圆上一点的切线是过该点且与圆相切的直线。切点是切线与圆的交点。

三、切线的性质

1.切线与半径垂直。

2.切线与切点的切线平行。

3.圆的切线只有一个。

4.切点在半径的延长线上。

5.切线与相切点处的圆弧相切。

6.切线的长度等于切点到圆心的距离。

四、圆上一点的切线方程的推导

我们现在来推导圆上一点的切线方程。假设圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，切点为$(x_1,y_1)$，切线方程为$y-

y_1=k(x-x_1)$。

我们可以求出切点处的切线斜率$k$。由于切线与半径垂直，所以半径的斜率为$-\frac{x_1-a}{y_1-b}$。切线与半径垂直，所以切线的斜率为$\frac{y_1-b}{x_1-a}$，即$-\frac{1}{\frac{x_1-a}{y_1-b}}$。因此，切点处的切线斜率$k$为$-\frac{1}{\frac{x_1-a}{y_1-b}}$。

接下来，我们可以得到切线方程的一般形式$y-y_1=k(x-x_1)$。将$k$代入切线方程中，我们得到$y-y_1=-\frac{x_1-a}{y_1-b}(x-x_1)$。化简后，得到$y=\frac{y_1-b}{x_1-a}(x-x_1)+y_1$。这就是圆上一点的切线方程。

圆的切点弦方程及其应用

圆的切点弦方程是指过圆的切点的直线方程。设圆的方程为

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，过圆

的切点的直线方程为y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。

应用方面，圆的切点弦方程可以用于求解圆与直线的交点坐标，判断直线与圆的位置关系等。下面以求解圆与直线的交点坐标为例展开解释。

设直线方程为y=mx+c，代入圆的方程得到：

(x-a)^2 + (mx+c-b)^2 = r^2

展开化简后得到关于x的二次方程：

(x^2 + (m^2+1)x + 2mc-2mb+ b^2 - r^2) = 0

对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为：

x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)

对于圆与直线的交点，代入上述公式即可求解出交点的x坐标，再代入直线方程求得对应的y坐标。注意，若判别式b^2-4ac

为负数，则说明直线与圆无交点。

通过求解圆与直线的交点坐标，我们可以得到直线与圆相交的位置关系，如直线与圆相切或相离，交点的个数等。

过圆上一点的切线方程

过圆上一点的切线方程是(x₁-a)(x-a)+(y₁-b)(y-b)=r ²。众所周知,圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,它有着很优美的结构,本文将对它进行变式和引申,以探求其他更多优美的结论。

圆的切线方程

相切 d=r
Δ= 0
相离 d>r
Δ< 0
圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程 3.已知斜率的切线方程
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过
圆上一点M(x0,y0)的切y线方程.
解:设切线的斜率为
k，则
k
1 .
k
OM
M (x0, y0)
k y0,
k x0.
OM x 0
y 0
O
x
经过点M的切线方程是
yy0 xy00(xx0),
因为点M在圆上,所以 x2y2r2, 00
所求的切线方程是
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程
xxy yr2. 00
同样适用.
一、过圆上一点的切线方程：
结论一：
过圆 x2 y2 r 2上一点 M (x0 , y0 ) 切线
方程是 x0 x y0 y r 2 y
M (x0 , y0 )
O
x
结论二：
过圆(x a)2 ( y b)2 r2上一点(x0, y0)的切线方程为：(x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
y
M (x0 , y0 )
(a,b)
O
x
结论三：
过圆x2 y2 Dx Ey F 0上一点(x0, y0)的切线

2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程(含解析)

2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程

在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识

1、在标准方程

222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：

200))(())r b y b y a x a x =--+--（（

在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：

000=++++++F y y E x x D

yy xx 2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ）的公共弦所在的直线方程为：

0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点

),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：

F Ey Dx y x PA ++++=112121||

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点

),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）

圆上一点的切线方程

下面我就从基础理解、提高理解、迁移理解三个方面来讲切

线方程在不同曲线中的形式。

1. 基础理解

求过圆x2+y2=r2 上一点p( x0，y0 )的切线方程。

解：Q op丄Ip

xx0a2+yy0b2=1

kpgkop=-1 由直?方程点斜式得切线Ip ：

y-y0=-x0y0 (x-x0 )yy0+xx0=x02+y02yy0+xx0=r2 这就是圆

上一点的切线方程，这个形式很重要，其最主要的特点就是用点p (x0, y0)中的横纵坐标将圆上x2+y2=r2中x、y个换掉一个。

2. 提高理解

求过圆(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2上一点p (x0, y0)的切线方程。

分析：只要我们将( x-a )2+ (y-b)2=r2 变换为"基础理解"中形式，就有"基础理解"的切线方程。

解：令x-a=X、y-b=Y

X2+Y2=r2

p(x0，y0)经过上述的平移得p'(XO, YO)即过p f (X0,

YO)的切线方程XX0+YY0=r2所以过p(xO, yO)的切线方程(x+a)

( xO-a ) +( y-b )( yO-b ) =r2 。

3. 迁移理解

求过椭圆x2a2+y2b2=1上一点p (x0, y0)的切线方程。

分析：先将椭圆方程转化为圆方程在应用"提高理解"写出椭圆上一点的切线方程。

解：令xa=s、yb=t 则椭圆方程转化为s2+t2=1

p (x0, y0)转化为p'( s0, tO ) (xOa=sO、yOb=tO )

过p'( sO, tO )的切线方程：ssO+ttO=1，所以过p (xO, yO)的切线方程：xagx0a+ybgy0b=1 即xx0a2+yy0b2=1。

圆的切线方程的小公式

圆的切线⽅程的⼩公式

圆的切线问题有两种，⼀种为过圆上⼀点的切线，⼀种为过圆外⼀点的切线.

先说“过圆上⼀点”的类型.

处理直线和圆的相切问题，通常利⽤圆⼼到直线的距离等于圆的半径、或切线垂直于过切点的半径建⽴⽅程求解，⽐较少利⽤联⽴⽅程法，后者运算量略⼤⼀些.

如下图所⽰，我们来推导切线的⽅程.

为保证斜率存在，我们先讨论切点不在坐标轴上的情况.

当点M在坐标轴上时，可以验证上述⽅程同样适⽤.

这样的⼩结论有利于我们提⾼解题速度.

⽐如下⾯这道⼩题，你能秒解吗？

⽤我们刚才的⼩结论，可迅速得到结果为：

有同学会问：如果圆的圆⼼不在原点的话，切线也有类似的⼩结论吗？

好吧，我们把问题进⼀步拓展，研究过圆⼼不在原点的圆上⼀点的切线⽅程.

求解⽅法和上⾯⼀样，只不过解题过程更复杂⼀些.

当CM或切线斜率不存在时，经验证上述⽅程也适⽤.

观察这个⽅程的形式，我们发现⾮常容易记忆，相当于把圆⽅程中的平⽅式保留⼀半，另⼀半⽤切线的横纵坐标分别代替x和y.

我们来⼩试⽜⼑.

根据上述结论，平⽅式保留⼀半，替换⼀半即可.

有好奇的童鞋接着问：如果所给⽅程为⼀般式呢？有没有类似的⼩结论呢？

研究⽅法和前⾯两道完全⼀样，我们直接给出结论.（有兴趣的童鞋可⾃⾏推导过程）

⼤家会发现，这个结论也好记忆：把圆⽅程改写为x和y成双成对出现的形式，然后保留其中⼀个，把另外⼀个换成切点的横坐标和纵坐标即可.

我们来秒杀下⾯这道题.

⽤上⾯的结论解题，⾸先改⽅程，然后代⼊切点坐标即可.

当然，⽤传统的⽅法解题也不⿇烦.

⽤⼩公式解题的优势除了速度略快之外，更重要的是在于减少了中间计算的过程，使我们犯错的机会降低了，尤其适合解⼩题.

过圆上一点的切线方程

过点做圆的切线 求切线方程

圆的切线方程

过圆的两个切点 方程

高中数学：求圆的切线方程的几种解法

过圆上一点的切线方程公式推导

浅谈过圆上一点求圆的切线的方法

圆的切线方程

过一点求圆的切线的方程

圆上一点的切线方程

圆上一点的切线方程结论及推导

圆的切点弦方程及其应用

过圆上一点的切线方程

圆的切线方程

2023届高考数学九种方法求圆的切点弦方程(含解析)

圆上一点的切线方程

圆的切线方程的小公式

过点做圆的切线求切线方程

过圆的两个切点方程