过圆上一点的切线方程
圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)
直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。
圆的切线方程
例 : 求 点 (2,4)向 x + y = 4所 2 过 A 圆 引
2 2
的 线 程 切 方 。
解：设所求圆的切线方程为 : y − 4 = k ( x − 2)
y A( 2,4 )
∵圆 (0,0), r = 2, kx − y + 4 − 2k = 0 心 ∴ k ×0 − 0 + 4 − 2k 1+ k
为何值时， 与圆(x-1)2+(y-2)2=1 例 3 当k为何值时，直线 为何值时 直线y=kx与圆 与圆 相交，相切，相离？ 相交，相切，相离？ 法一：代数法：方程组有无实数解。 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。 法二：圆心为（ ， ），到直线y=kx即 ），到直线 法二：圆心为（1，2），到直线 即 kx-y=0的距离为 的距离为
M ( x0 , y0 )
O
x
结论二： 结论二：
过圆( x − a) + ( y − b) = r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2
(x 线方程为： 0 − a)( x − a) + ( y0 − b)( y − b) = r .
2
y
M ( x0 , y0 )
(a,b)
O
x
结论三： 结论三：
•
答案： 答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0 或 ， • B(-3，-3)
已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点 例 2. 已知圆的方程是 求过点 (-2,4)的圆的切线方程 的圆的切线方程. 的圆的切线方程 解:∵圆心 圆心(1,0)到点 到点(-2,4)的距离为 大于半径 的距离为5大于半径 到点 的距离为 大于半径3 在已知圆外,过该点的圆的切线有 ∴点(-2,4)在已知圆外 过该点的圆的切线有两条 在已知圆外 过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为 的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 设过点 的圆的切线方程为 kx-y+2k+4=0 ① 由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径 得 到该切线的距离等于半径,得 由圆心 到该切线的距离等于半径 k-0+2k+4 =3 解得 k=- 7 解得: 2+1 K 24 代入① 代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0标轴上时， 在坐标轴上时 可以验证， 可以验证，上面方程 同样适用. 同样适用
过圆上一点求圆切线方法
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。
本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。
设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成 x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（ y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。
此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。
此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即k直径=y0/ x0，k切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得：（y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。
圆上一点的切线方程结论及推导
圆上一点的切线方程结论及推导圆是我们数学中的重要概念，圆上的任意一点都具有特殊的性质。
当我们研究圆上的一点时，切线是非常重要的工具。
本文将讲解圆上一点的切线方程，包括其定义、性质及推导过程。
一、圆的定义圆是由平面上所有距离某一点固定距离的点组成的集合。
该点叫做圆心，距离叫做半径。
圆的符号为“O”。
二、圆上一点的切线定义圆上一点的切线是过该点且与圆相切的直线。
切点是切线与圆的交点。
三、切线的性质1.切线与半径垂直。
2.切线与切点的切线平行。
3.圆的切线只有一个。
4.切点在半径的延长线上。
5.切线与相切点处的圆弧相切。
6.切线的长度等于切点到圆心的距离。
四、圆上一点的切线方程的推导我们现在来推导圆上一点的切线方程。
假设圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，切点为$(x_1,y_1)$，切线方程为$y-y_1=k(x-x_1)$。
我们可以求出切点处的切线斜率$k$。
由于切线与半径垂直，所以半径的斜率为$-\frac{x_1-a}{y_1-b}$。
切线与半径垂直，所以切线的斜率为$\frac{y_1-b}{x_1-a}$，即$-\frac{1}{\frac{x_1-a}{y_1-b}}$。
因此，切点处的切线斜率$k$为$-\frac{1}{\frac{x_1-a}{y_1-b}}$。
接下来，我们可以得到切线方程的一般形式$y-y_1=k(x-x_1)$。
将$k$代入切线方程中，我们得到$y-y_1=-\frac{x_1-a}{y_1-b}(x-x_1)$。
化简后，得到$y=\frac{y_1-b}{x_1-a}(x-x_1)+y_1$。
这就是圆上一点的切线方程。
五、圆上一点的切线方程的应用圆上一点的切线方程在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用：1.计算切线与切点处的曲率。
2.计算切线与圆心连线之间的夹角。
3.计算切线与圆的交点。
4.计算切点处的切线方程，从而确定切线的位置和方向。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法四川省冕宁中学 谢玉在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解同样适用。
在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M ...)(,.11200220202020000000000r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=⋅ 解法二：利用向量求解()...)(0PM OM ),(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-⨯+-⨯∴=•∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）解法三：利用几何特征求解用。
重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PMOM y x P y x M ...)()(),(),(220022020202000222020202022200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥图1图2解法四：用待定系数法求解1、 利用点到直线的距离求解程同样适用。
当斜率不存在时上面方所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得 代入⑴式解得：所以⑵式可化为：因为 ⑵化简整理得： 到切线的距离等于半径原点 ⑴即：则直线方程为：为设所求直线方程的斜率...202)(1)0,0(O 0),(,20022020202000002000220220202020022022000000r y y x x r y x M y x y y x x y x k x k y x k y r y x y r k y x k x r r k kx y kx y y kx x x k y y k =+=++=+-==++=+=-++-=+-=-+--=-2、 利用直线与圆的位置关系求解：程同样适用。
高二春季数学：圆的弦、切线、与最值问题【讲师版】
高二春季 数学“圆的弦、切线、与最值问题”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的弦、切线、与最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助。
1、在标准方程222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ；在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。
2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x（0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式）。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
过圆上一点切线方程
过圆上一点切线方程稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊过圆上一点切线方程这个有趣的话题。
想象一下，有个圆圆的家伙在那，然后在它上面有个特定的点。
这时候，我们要来找出通过这个点的切线方程。
你可能会想，这有啥难的？但其实这里面可有不少小秘密哦！比如说，我们得先知道圆的方程，就像要了解这个圆的“性格”一样。
然后呢，通过一些神奇的数学魔法，我们就能算出切线的斜率。
这就像是给切线找到了方向。
一旦有了斜率，再加上这个点的坐标，嘿，切线方程就出来啦！是不是感觉有点像解开了一个小谜题？其实数学就是这样，看起来有点复杂，但当我们一步步探索，就会发现其中的乐趣。
就像过圆上一点切线方程，一旦搞懂了，那成就感满满的！好啦，今天就先聊到这，下次咱们继续在数学的世界里玩耍！稿子二哈喽呀！今天咱们要一起探索过圆上一点切线方程这个奇妙的东西。
先来说说圆吧，它就像一个超级可爱的大胖子，乖乖地待在那里。
然后在它身上有个特别的点，这就是咱们关注的重点啦。
要找到过这个点的切线方程，得从圆的方程入手哦。
圆的方程就像是它的身份证，告诉我们它的各种信息。
找到那个点在圆上的位置，这感觉就像在茫茫人海中找到了我们的好朋友。
算出斜率之后，结合那个点的坐标，就像给切线穿上了合适的衣服，方程就完美呈现啦！有时候想想，数学就像一场冒险，过圆上一点切线方程就是其中一个小小的关卡。
咱们只要勇敢地去挑战，就能轻松过关。
而且哦，当我们真正理解了这个知识，就会发现它在生活中也能派上用场呢。
比如设计一些漂亮的图形，或者解决一些实际的问题。
怎么样，是不是觉得过圆上一点切线方程也没那么可怕啦？下次再一起研究更多有趣的数学知识哟！。
过圆上一点的切线方程推导过程
过圆上一点的切线方程推导过程好嘞，今天咱们聊聊过圆上一点的切线方程。
这听起来有点儿高大上，但其实说白了就是一个简单又有趣的几何小故事。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，正悠闲地在公园的草坪上躺着，四周都是花花草草的，心情美美的。
这时候，突然有人在你旁边打了个球，正好砸到了一个圆球上，那圆球就哒的一声弹起来，形成了一条切线。
这个切线可不是随便来的，它有自己的“小脾气”。
得搞清楚什么是圆。
圆就是那种外面一圈，里面有个“心”的东西。
比如，一个大大的披萨，四周都是香喷喷的边，中心部分是美味的奶酪和配料。
圆的方程，咱们通常用这样的方式来表示：(x^2 + y^2 = r^2)。
这r就代表半径，越大越好，像你那颗越来越大的心。
咱们说说过圆上一点。
这点就是在披萨上的某个位置，咱们给它取个名字，比如说叫A点，坐标是(x₀, y₀)。
这个点可重要了，它可是切线的“出发地”。
想象一下A点在披萨上的某个甜点区域，那个位置就让人忍不住想去碰一碰。
然后，咱们还需要找出这条切线的斜率。
别担心，这听起来复杂，其实就像是滑冰，滑得好就行。
切线的斜率，咱们可以用圆的半径来算。
半径就是从圆心到A点的连线，斜率很简单，记住啦，圆心的坐标是(0, 0)，所以斜率就可以用这样的方法求出：(frac{y₀0{x₀ 0 = frac{y₀{x₀)。
这就是那条半径的斜率。
切线的斜率和半径的斜率是相反的，喔，真有意思吧！所以，切线的斜率就是(frac{x₀{y₀)，就像把冰淇淋反着吃一样，味道不一样，但就是那么美妙。
咱们得写出切线的方程。
用一个非常好记的公式，(y y₀ = m(x x₀))，这里的m 就是切线的斜率。
换句话说，你可以想象成在跟小朋友玩抛球，他们总是期待你把球抛向他们的方向。
把刚才得到的斜率代进去，咱们就有了：(y y₀= frac{x₀{y₀(x x₀))。
看，这个方程就是你从A点出发，哐当哐当地延伸出去的切线。
你还可以把这个方程整理一下，变得更简洁明了，比如说乘上y₀，再整理一下，最后得到的切线方程看起来就是：(y₀x + x₀y = r^2)。
点在圆上的切线方程公式推导
点在圆上的切线方程公式推导
【实用版】
目录
1.引言
2.切线的定义和性质
3.圆的方程和切线的关系
4.切线方程的推导过程
5.结论
正文
1.引言
在几何学中，切线是一个基本的概念。
给定一个圆和一点在圆上，我们可以通过连接这一点和圆心得到一条切线。
本文将介绍如何推导点在圆上的切线方程公式。
2.切线的定义和性质
切线是指与圆相切且与圆只有一个公共点的直线。
根据切线的定义，我们可以得到以下性质：
- 切线与过切点的半径垂直。
- 切线上的任意一点到圆心的距离等于圆的半径。
3.圆的方程和切线的关系
设圆的方程为 (x - a) + (y - b) = r，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
现在考虑一点 P(x0, y0) 在圆上，我们要求过点 P 的切线方程。
4.切线方程的推导过程
为了推导切线方程，我们需要先找到切线的斜率。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以得到切线的斜率为：
k = - (x0 - a) / (y0 - b)
然后，我们可以利用点斜式方程得到切线方程：
y - y0 = k(x - x0)
将 k 的表达式代入，得到：
y - y0 = - (x0 - a) / (y0 - b) * (x - x0)
整理得：
(x0 - a) * (y - y0) + (y0 - b) * (x - x0) = r
这就是点在圆上的切线方程公式。
5.结论
通过以上推导，我们得到了点在圆上的切线方程公式。
这个公式可以帮助我们在给定一个圆和一点在圆上的情况下，求出过该点的切线方程。
圆的标准方程及切线问题【精选】
D AC
切 线
证明只需要用到勾股定理即可。
P
长
显然，若P点在圆上，则 f (x0, y0 ) 0
D 当f (x0, y0 ) 0时,一方面由f (x0, y0)的符号即可知P点在圆
内或圆外,另一方面它有上述定理的几何意义
B
例5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆 x2 y2 k 2 的两条切线，切点 为A、B，求直线AB的方程。
圆的标准方程及切线问题圆的切线方程椭圆切线方程椭圆的切线方程圆切线方程过圆上一点的切线方程圆的切线方程公式圆外一点的切线方程圆锥曲线切线方程椭圆上一点的切线方程
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任 意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
M (x0 , y0 ) 的切线的方程。
解法三（利用平面向量知识）：
P(x , y )
M (x0 , y0 )
OM MP
OM MP= 0
O
x
x0x +y0 y = r2 x2 + y2 = r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。
建系、设点 条件立式 代换 化简方程 查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
M
过圆上一点作圆的切线的做法
要在圆上某点作圆的切线，可以按照以下步骤进行：
给定一个圆和一个点P，将点P与圆心连接，得到半径OP。
根据圆的性质，半径OP与切线的斜率垂直，因此可以求出OP的斜率。
使用点斜式或一般式等方法，根据点P的坐标和OP的斜率，得到切线的方程。
确定切点，即切线与圆的交点。
切点是切线上距离点P最近的圆上的点。
检查结果，确保切线与圆的切点处相切。
需要注意的是，如果点P在圆内部或圆外，将会有不同的情况和处理方式。
在处理过程中，要注意使用合适的数学方法和公式，以确保正确地作出圆的切线。
圆切线方程公式
圆切线方程公式圆切线方程是几何学中的重要概念，用来描述一个直线与给定圆相切的情况。
圆切线方程公式可以通过圆的半径和切点的坐标来确定。
我们来介绍一下圆的基本概念。
圆是由一组距离中心相等的点构成的，中心点到圆上任意一点的距离称为半径。
给定一个圆，我们可以通过圆心坐标和半径来确定一个圆的方程。
在平面几何中，我们常常遇到直线与圆相交或者相切的情况。
当直线与圆相切时，我们可以通过圆的半径和切点的坐标来确定切线方程。
设圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
设切点的坐标为(x0, y0)。
根据切线的定义，切线与圆相切于切点，切线与半径垂直。
所以，切线的斜率为圆心到切点的连线的斜率的负倒数。
圆心到切点的连线的斜率可以通过圆心坐标和切点坐标来计算：斜率 k = (y0-b)/(x0-a)切线的斜率为 -1/k，切线过切点 (x0, y0)，所以切线方程为：y - y0 = -1/k (x - x0)将斜率 k 代入，可以得到切线方程的一般形式：y - y0 = - (x - x0) (x0 - a)/(y0 - b)化简后得到：y = (x0 - a)/(y0 - b) (x - x0) + y0这就是圆切线方程的一般形式。
通过圆切线方程公式，我们可以求解给定圆与直线相切的情况。
首先，确定圆的方程和切点的坐标，然后代入公式即可得到切线方程。
需要注意的是，当切线与x轴平行时，其斜率不存在。
此时，切线方程可以简化为：y = y0当切线与y轴平行时，其斜率为无穷大。
此时，切线方程可以简化为：x = x0圆切线方程公式在几何学中有广泛的应用。
它不仅可以用来求解圆与直线相切的问题，还可以应用于求解圆与其他曲线相切的情况。
总结一下，圆切线方程公式是用来描述一个直线与给定圆相切的情况。
通过圆的半径和切点的坐标，我们可以确定切线方程。
圆切线方程公式在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们求解各种与圆相切的问题。
圆在某点的直线的切线方程
圆在某点的直线的切线方程圆是数学中的一个基本几何图形，它由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成。
在圆的几何性质中，切线是一个重要的概念。
本文将围绕着圆在某点的直线的切线方程展开论述。
我们来回顾一下切线的定义。
在数学中，切线是一条与曲线仅有一个公共点，并且在该点处与曲线的切点重合的直线。
对于圆来说，切线是与圆仅有一个公共点，并且在该点处与圆的切点重合的直线。
接下来，我们来研究圆在某点的直线的切线方程。
设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
假设直线的方程为y=kx+d，其中k为斜率，d为截距。
要求直线为圆的切线，即直线与圆在某点处相切。
那么，我们需要找到一个点(x0,y0)，使得直线过该点且该点满足圆的方程。
为了找到这个点，我们可以将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
由于直线与圆相切，所以该二次方程有且仅有一个实根。
这个实根即为切点的横坐标x0。
将x0代入直线方程，可得到切点的纵坐标y0。
因此，我们可以得到切点的坐标为(x0,y0)。
接下来，我们来推导切线方程。
切线方程可以用点斜式或一般式表示。
首先，我们来推导点斜式的切线方程。
点斜式的切线方程为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为切线斜率。
由于直线方程为y=kx+d，且直线过切点(x0,y0)，所以可以得到切点的纵坐标满足y0=kx0+d。
将该式代入点斜式的切线方程，即可得到切线方程。
将切点坐标代入切线方程中，可以验证切线方程与圆在该点处相切。
除了点斜式，我们还可以用一般式表示切线方程。
一般式的切线方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
同样地，我们可以通过将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x和y的二次方程。
由于直线与圆相切，所以该二次方程有且仅有一个实根。
将该实根代入直线方程，可以得到一般式的切线方程。
在实际问题中，我们经常需要用切线方程来解决与圆相关的几何问题。
过点作圆的切线 求切线方程
过点作圆的切线1. 引言在几何学中，切线是一条与曲线相切的直线。
本文将讨论如何求解过给定点作圆的切线方程。
这个问题在数学和物理学中都有广泛的应用，尤其是在曲线的研究和问题求解中。
2. 基本概念在讨论过点作圆的切线之前，我们先来了解一些基本概念。
2.1 圆圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点所组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而所有到圆心距离相等的距离被称为半径。
2.2 切线切线是一条与曲线相切且只与曲线有一个公共交点的直线。
在几何学中，我们经常使用切线来研究曲线的性质和求解相关问题。
3. 求解过点作圆的切线方程3.1 圆心和半径已知情况下假设我们已知一个圆心坐标为(a,b)，半径为r，以及一个外部点P(x0,y0)。
我们需要求解过点P作圆的切线方程。
首先，我们需要确定点P与圆的位置关系。
根据勾股定理，点P到圆心的距离为：d=√(x0−a)2+(y0−b)2如果d<r，则点P在圆内；如果d=r，则点P在圆上；如果d>r，则点P在圆外。
对于切线方程的求解，我们只需要考虑d<r的情况。
在这种情况下，我们可以得到两条切线。
设切线与x轴的夹角为θ1和θ2由图可知，tan(θ1)=tan(θ2)=y0−bx0−a因此，θ1=arctan(y0−bx0−a)θ2=arctan(y0−bx0−a)+π其中arctan()是反正切函数。
根据直线与x轴夹角和斜率之间的关系，我们可以得到切线的斜率：k1=tan(θ1)k2=tan(θ2)因此，切线方程可以表示为：y−y0=k1(x−x0)y−y0=k2(x−x0)将切线方程整理为一般形式：y=k1x+(y0−k1x0)y=k2x+(y0−k2x0)这样，我们就得到了过点P作圆的两条切线方程。
3.2 圆上一点已知情况下现在假设我们已知一个圆心坐标为(a,b)，半径为r，以及一个圆上的点Q(x q,y q)。
我们需要求解过点Q作圆的切线方程。
与前面类似，首先我们需要确定点Q与圆的位置关系。
高考数学专题《过曲线上一点的切线、切点弦》填选压轴题及答案
专题37 过曲线上一点的切线、切点弦【方法点拨】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 说明：（1）上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入，将原方程作如下方法替换求出，20x x x →，20y y y →，02x xx +→，02y yy +→). （2）椭圆、抛物线也有类似结论，如过椭圆2222:1x y C a b +=上一点P (x 0，y 0)且与椭圆相切的直线方程是：00221x x y ya b+=，等等，不再赘述.【典型题示例】例1 已知抛物线C ：y 2＝2x ，过直线上y ＝x+2上一点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点 ． 【答案】(2,1)【解析】设P 点坐标为（x 0，x 0+2） 显然点P 不在抛物线C 上根据切点弦的公式，“抄一代一”得直线AB 的方程为：(x 0+2) y ＝x 0+x 即(x －2 y )＋x 0(1－y ) ＝0 所以直线AB 恒过定点(2,1).例2 过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝ ．【答案】316【解析一】设11(,)P x y ，22(,)Q x y则l 1，l 2的方程分别是111()2y y x x =+，221()2y y x x =+由11221()21()2y y x x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得，121242y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即1212(,)42y y y y M + 又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以12121212211222413323244y y x x y y y y y x y x ⎧++⎪=⎪⎪+⎪⎪++⎨=⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩，解之得121233y y y y =-⎧⎨+=⎩，故33(,)42M - 将33(,)42M -代入x 2＝2py 得316p =.【解析二】设200(,)2x M x p则PQ 的方程为2002()2x y x x p=+ 由20022()24x y x x p y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消x 得220040py x y px -+= 所以2012x y y p +=，1204y y x =（11(,)P x y ，22(,)Q x y ）()422012120211844x x x y y x p ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以400022200184133232x x x p x x p p ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解之得031634p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.例3 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.（二）将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析一】易知p =2，y 2＝4x 由阿基米德三角形得AB 为切点弦所以AB 方程是－y ＝2（x －1），即y ＝－2 x ＋2 代入y 2＝4x 消y 得：x 2－3x ＋1=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=3 ∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 【解析二】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C.例4 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），圆C 的弦 MN 过点T (3，4)，分别过 M 、N 作圆C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为 ．【答案】285 5【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.【解析】设点P坐标为(a，b )则切点弦MN的方程为：(a - 2)(x - 2)+ (b - 2)(y - 2)＝20又因为弦MN 过点T(3，4)，故(a - 2)(3 - 2)+ (b - 2)(4- 2)＝20，即a +2b - 26＝0即点P的轨迹方程是x +2y - 26＝0点A（－2,0）到该直线的距离为285 5，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A（－2,0）到该直线的距离2855即为AP 的最小值.例 5 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l与椭圆22:14xC y+=、圆222(12)x y r r+=<<都相切，切点分别是点A、B，则当线段AB长度最大时，圆的半径r的值为．【答案】2【分析】先设出点B坐标，写出直线l的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于r ，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出AB 关于r 的目标函数，求出最值及取得最值时r 的值．【解析】设点B 坐标为(2cos ,sin )B αα（R α∈）则过点B 的椭圆的切线，即直线l 的方程为：2cos sin 14xy αα+=， 即cos 2sin 20x y αα+-=又因为直线l 与圆222x y r +=r =，且OA AB⊥在Rt OAB 中，222222244cos sin cos 4sin AB OB OA αααα=-=+-+2245[(13sin )]13sin αα=-+++而224(13sin )413sin αα++≥=+，当且仅当sin α=时，“=”成立，此时r ==AB 的最大值为1 所以当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的．【巩固训练】1.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．2. 已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．4.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _ __.5. 已知P 为椭圆22:143x y C +=上的一个动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原(3,1)22(1)1x y -+=A B AB 230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=点，O 到椭圆C 在P 点处的切线为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ．6. 已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（ ） ABC ．2D7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(2)4x y -+=，点A 是直线20x y -+=的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点圆P 向圆C ：224x y +=引两条切线PC 、PD ，切点分别是C 、D ，设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 ．【答案或提示】1.【答案】A【解析】将(3,1)直接“一抄一代”得(31)(1)1x y --+=，即230x y +-=，选A. 2.【答案】A【解析】设P ()00,2x x --则直线AB 的方程是()0021x x x y -+=，即()()0210x x y y --+=令0210x y y -=⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ . 3.【答案】[3【提示】设A ()0,0x则直线PQ 的方程是()0332x x y --=，即0370x x y -+= 所以直线PQ 过定点70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.则PQ 长的最小值是过70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭且平行于x 轴的弦，易得此时PQ ，直径是其上界.4.【答案】x 25＋y 24＝1【提示】AB 的方程是2x ＋y －2＝0，令x =0，y ＝2；令y =0，x ＝1.故c ＝2，b ＝1.5.【提示】P 1x y +=. 6.【答案】D【解析】设(,4)P a a -，则直线AB 的方程是(4)40ax a y +--=，即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立， 所以直线AB 过定点N (1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，||MN =所以点M (3，2)到直线AB 故选:D7.【答案】)⎡⎣【解析】设点的坐标为00(,2)A x x + 则PQ 的方程为00(2)(2)(2)4x x x y --++=， 分参得0(2)(22)0x y x x y +-+-+=所以20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解之得11x y =⎧⎨=⎩，直线PQ 恒过点（1,1）易求得过点（1,1）最短的弦长为4（取不得）故线段PQ 长的取值范围为)⎡⎣. 说明：引圆外一点A 到圆心O 的距离为参数，建立PQ 与AO 的目标函数，再利用基本不等式解决也可以.8.【答案】【解析】设点的坐标为00(,4)P x x + 则CD 的方程为00(4)4x x x y ++=， 分参得0()(44)0x y x y ++-=所以0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解之得11x y =-⎧⎨=⎩，直线CD 恒过点N （－1,1）又因为OM⊥CD，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是22111222 x y⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2 AM==。