生产函数的估计
生产函数
四川省广安华蓥市强林造纸厂生产函数估计（专业：产业经济学姓名：范传奇学号：S2*******）一、企业简介四川省广安市华蓥强林造纸厂位于广安市华蓥永兴镇清溪口，该企业由几人组成的手工作坊发展而来。
如今已经走过了10个年头，虽然现在的规模仍然很小，但是与成立之初的作坊相比，已经不可同日而语了。
该厂主要生产卷纸和纸面巾（抽纸），目前年销售额180万左右，属于典型的中小企业。
二、数据来源此次调查的数据来源于四川广安市华蓥强林造纸厂，在数据处理选择时采用了该厂的半年度数据，主要包括生产总值、资金投入（主要是固定资本）、劳动力数量。
由于该企业临时工和长期雇佣工并存，为了研究的方便，假设劳动力数量数据是连续的，即劳动力是可以细分的，劳动力数据由半年来的工资总额除以长期雇佣工人平均工资计算得来。
本文的数据分析是在EViews5.0中进行的，部分图表是在SPSS17.0中完成的，数据如下表所示：表一强林造纸厂投入-产出数据表下图显示的是四川省广安市华蓥强林造纸厂生产函数的三维图，图中可以看出该企业的规模在逐渐的扩大，在空间上图形顶部界面表现出极强的长S 截面。
三、模型的设定柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（C.W.Cobb ）和经济学家道格拉斯（P.H.Douglas ）共同探讨投入生产关系时创立的生产函数，是在生产函数的一般形式上作出了改进，引入了技术资源这一因素。
他们根据历史资料，研究了1899-1922年美国资本和劳动对生产的影响，认为在技术不变的情况下产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：Y AK L αβ=其中Y 表示产量，A 表示技术水平，K 表示投入的资本量，L 表示投入的劳动量，α、β分别表示K 和L 的产出弹性。
经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的形式为：(,)Q K L aK L αβ=其中Q 、K 、L 分别表示产值、资金、劳动力，α、β、a 要由经济统计数据确定，0<α、β<1。
estprod 1.2 生产函数估计方法说明书
Package‘estprod’October13,2022Title Estimation of Production FunctionsVersion1.2Date2020-07-18Description Estimation of production functions by the Olley-Pakes,Levinsohn-Petrin and Wooldridge methodologies.The package aims to reproduce the results obtained with the Stata's user written opreg<http: ///article.html?article=st0145>and levpet<http:///article.html?article=st0060>commands.Thefirst was originally proposed by Olley,G.S.and Pakes,A.(1996)<doi:10.2307/2171831>.The second by Levinsohn,J.and Petrin,A.(2003)<doi:10.1111/1467-937X.00246>.And the third by Wooldridge(2009)<doi:10.1016/j.econlet.2009.04.026>.Depends R(>=3.0)License GPL-3Encoding UTF-8LazyData trueRoxygenNote7.1.1Imports lazyeval,boot,minpack.lm,Formula,gmmNeedsCompilation noAuthor Rodrigo R Remédio[aut,cre]Maintainer Rodrigo R Remédio<********************>Repository CRANDate/Publication2020-07-2009:10:11UTCR topics documented:combination_with_repetition (2)estprod_data (2)levinsohn_petrin (3)olley_pakes (4)panel_lag (5)poly_elements (6)wooldridge (6)12estprod_data Index8combination_with_repetitionCombination with repetition.DescriptionFrom combinatorial math,this function aims calculates combinations with repetitions.Usagecombination_with_repetition(n,r)Argumentsn The number of elements(variables).r The size of the groups(degreess of the polynomial interaction).estprod_data10000randomly generated variables in panel data format.Description10000randomly generated variables in panel data format.Usageestprod_dataFormatA data frame with10000rows and10variables:id Identifies the1000randomly generated individuals.year The year associated to each individual observation.g1Put individuals in25groups.g2Put individuals in50groups.var1Randomly generated variable.var2Randomly generated variable.var3Randomly generated variable.var4Randomly generated variable.var5Randomly generated variable.exit The last year an id appears.levinsohn_petrin3 levinsohn_petrin Levinsohn-Petrin Estimation of Production FunctionsDescriptionThis function aims the estimation of production functions using Levinsohn-Petrin(2000).Usagelevinsohn_petrin(data,formula=y~free|capital|proxy|controls,exit=NULL,gross=FALSE,id="id",time="year",bootstrap=TRUE,reps=2,degree=c(3,3),verify=TRUE,maxiter=100,...)Argumentsdata A data.frame or tibble containing the variables of the model.formula An object of the class formula.exit An optional formula with the name of the variabe indicator offirm’s last period.~exit,for example.gross If TRUE dependent variable is gross output.id A character with the name of the indicator variable.time A character with the name of the time variable.bootstrap An optional logical.If TRUE calculate bootstrap standard errors.reps The number of bootstrap replications.degree A vector with the number of polynomial interactions in each stage of the routine.verify Verify if inputs are sorted.maxiter Parameter of nls.lm at second stage....Additional arguments.DetailsMultipart formula must be specified in the following order:y~free|capital|proxy|controls.Additional controls are optional.It is possible to use more than one variable,although the use of more than one capital may not be theoretically identified.The function returns an object of the estprod or boot classes(if bootstrap is TRUE).4olley_pakesExamplesdata(estprod_data)levinsohn_petrin(data=estprod_data,var1~var2|var3|var4,exit=~exit,id="id",time="year",bootstrap=TRUE)olley_pakes Olley-Pakes Estimation of Production FunctionsDescriptionThis function aims the estimation of production functions using Olley-Pakes(1996).Usageolley_pakes(data,formula=y~free|capital|proxy|controls,exit=NULL,id="id",time="year",bootstrap=TRUE,reps=2,degree=c(3,2),verify=TRUE,maxiter=100,...)Argumentsdata A data.frame or tibble containing the variables of the model.formula An object of the class formula.exit An optional formula with the name of the variabe indicator offirm’s last period.~exit,for example.id A character with the name of the indicator variable.time A character with the name of the time variable.bootstrap An optional logical.If TRUE calculate bootstrap standard errors.reps The number of bootstrap replications.degree A vector with the number of the polynomial interactions in each stage of the routine.verify Verify if inputs are sorted.maxiter Parameter of nls.lm at second stage....Additional arguments.panel_lag5 DetailsMultipart formula must be specified in the following order:y~free|capital|proxy|controls.Additional controls are optional.It is possible to use more than one variable,although the use of more than one capital may not be theoretically identified.The function returns an object of the estprod or boot classes(if bootstrap is TRUE).Examplesdata(estprod_data)olley_pakes(data=estprod_data,var1~var2|var3|var4,exit=~exit,id="id",time="year",bootstrap=TRUE)panel_lag Panel data lag functionDescriptionThis function aims create the lags of a specified variable from panel data.Usagepanel_lag(x,id,time,lag=1,verify=TRUE)Argumentsx A vector,data.frame,tibble or matrix.id A character with the name of the indicator variable.time A character with the name of the time variable.lag Number of lags.verify Check if panel is sorted by id and time variables.NoteBased on Paul Schrimpf’s lag function.poly_elements Number of poly elements.DescriptionThis function aims calculate the number of terms of a polynomial interactions.Usagepoly_elements(n,d)Argumentsn The number of variables.d Degreess of polynomial interaction.wooldridge Wooldridge Estimation of Production Functions(Cobb-Douglas)DescriptionThis function aims the estimation of Cobb-Douglas production functions using Wooldridge(2009) method.Usagewooldridge(data,formula=y~free|capital|proxy|controls,gross=FALSE,id="id",time="year",bootstrap=FALSE,reps=2,degree=c(3,2),verify=TRUE,...)Argumentsdata A data.frame or tibble containing the variables of the model.formula An object of the class formula.gross If TRUE dependent variable is gross output.id A character with the name of the indicator variable.time A character with the name of the time variable.bootstrap An optional logical.If TRUE calculate bootstrap standard errors.reps The number of bootstrap replications.degree A vector with the number of the polynomial interactions in each stage of the routine.verify Verify if inputs are sorted....Additional arguments.DetailsMultipart formula must be specified in the following order:y~free|capital|proxy|controls.Additional controls are optional.It is possible to use more than one variable,although the use of more than one capital may not be theoretically identified.The function returns an object of the estprod or boot classes(if bootstrap is TRUE).Examplesdata(estprod_data)wooldridge(data=estprod_data,var1~var2|var3|var4,id="id",time="year",bootstrap=TRUE)Index∗datasetsestprod_data,2combination_with_repetition,2estprod_data,2formula,3,4,7levinsohn_petrin,3olley_pakes,4panel_lag,5poly_elements,6wooldridge,68。
经济学中的生产函数
经济学中的生产函数经济学中的生产函数是用来描述生产过程中投入和产出之间的关系的数学模型。
它是宏观经济理论中一个重要的概念，通过衡量投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解和分析经济增长、资源配置以及生产效率等问题。
本文将介绍生产函数的基本概念、不同形式的生产函数以及其在经济学中的应用。
生产函数的基本概念生产函数是通过将输入要素与产出数量相联系来描述生产过程的函数关系。
它通常表示为Q = f(K, L, ...)，其中Q表示产出数量，K表示资本投入，L表示劳动投入，...表示其他可能的生产要素。
生产函数假设其他影响因素保持不变的情况下，投入要素与产出之间存在一定的关系。
不同形式的生产函数常见的生产函数形式包括线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数和双曲线生产函数等。
线性生产函数的形式为Q = aK + bL，其中a和b为常数。
线性生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈线性关系，即资本和劳动的增加对产出的影响是恒定的。
柯布-道格拉斯生产函数的形式为Q = K^αL^β，其中α和β为正数。
柯布-道格拉斯生产函数假设资本和劳动投入对产出存在递增的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递增的。
双曲线生产函数的形式为Q = AK / (B + CK)，其中A、B和C为正数。
双曲线生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈递减的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递减的。
生产函数在经济学中的应用生产函数在经济学中有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 增长理论：生产函数是经济增长理论中的重要工具，通过描述投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解经济增长的来源与驱动力。
基于生产函数的分析，我们可以探讨如何提高生产要素的质量和效率，促进经济增长。
2. 资源配置：生产函数可以帮助我们优化资源配置，实现资源的高效利用。
通过权衡不同要素的投入和产出，我们可以确定最优的生产要素组合，以实现最大的产出效益。
管理经济学第五章生产理论(2024版)
第一节 企业生产
一．生产函数的含义
生产函数是指在一定技术条件下生产要素的投入 量与产品最大产出量之间的物质数量关系。
一般形式： Q = f（X1，X2，X3，……Xn）。在 应用中必须通过假设加以简化，如单一可变要素， 二元生产函数。
生产函数的估计与需求函数估计一样，也要用计 量经济学方法。
之，如果MPl /Pl＜MPk/ Pk，则要增加在资本方面花费。 这个结论可以推广到多个要素的最佳组合决策。
要素最佳组合与利润最大化
要素最佳组合条件也可由利润函数对L和K分别求 偏导数并等于零求解来证明。
利润函数π=TR-TC=PQ-TC最大的必要条件为： （1） π/ L=P Q/ L- TC/ L=0， 即 P=Pl/MPl （2） π/ K=P Q/ K- TC/ K=0， 即 P=Pk/MPk 可见， P= Pl / MPl = Pk / MPk。说明要素最佳组
三．生产函数与技术进步
生产函数反映的是技术不变条件 下投入产出之间的数量关系，技
术图示进：步生引产起函生数产曲函线数移本动身。的改变。Q
内涵扩大再生产与外延扩大再生 产；经济增长方式的转变。
技术进步往往与固定生产要素、 生产规模、培训和教育、新产品 开发等活动有关，需要一定的的
载体。
Q=f（L） Q=f（L）
3．等产量曲线图：
对应于一个生产函数 及其推导得出的等产 K 量曲线方程式，每给 定一个产量水平Qi， 就可以画出一条等产 量曲线，全部等产量 曲线共同组成等产量 曲线图。（Qi称为转 移参数）
K = φ（L）
Q4 Q3 Q1 Q2 L
4．等产量曲线图的特点：
（1）任何两条等产量曲线都不能相交； （2）离原点越远的等产量曲线代表产量越高； （3）向右向下倾斜，斜率为负，表明两种要素
宏观经济学中的生产函数
宏观经济学中的生产函数在宏观经济学中，生产函数是一个重要的概念，用于描述经济系统中生产活动的关系。
生产函数是一种数学模型，它将输入要素（如劳动力、资本等）与产出之间的关系进行量化。
通过分析生产函数，我们可以深入了解经济增长、资源配置以及生产效率等问题。
生产函数通常以以下形式表示：Y = F(K, L)，其中Y表示产出（output），K 表示资本（capital），L表示劳动力（labor）。
这个简单的生产函数假设只有两个要素对产出产生影响，忽略了其他可能的要素，如技术进步。
尽管如此，这个简化模型仍然可以提供有关经济增长的重要见解。
生产函数中的要素弹性是一个重要的概念。
要素弹性衡量了产出对于要素的变动的敏感程度。
例如，劳动力弹性（Elasticity of labor）衡量了产出对于劳动力变动的敏感程度。
如果劳动力弹性高，那么增加劳动力将会显著提高产出；相反，如果劳动力弹性低，增加劳动力可能只会带来较小的增长。
生产函数的形态也是一个重要的研究方向。
在经济学中，常见的生产函数形态包括线性、凸型和S形等。
线性生产函数假设产出与要素之间存在着一一对应的关系，即每增加一单位的要素投入，产出也会相应增加一单位。
凸型生产函数则认为要素的边际产出递减，即要素的增加对产出的增长影响逐渐减弱。
S形生产函数则包含了凸型和其他形态的特点，它认为要素的增加在一定阶段会对产出的增长产生积极影响，但在达到一定阈值后，增加要素对产出的增长作用将减弱甚至消失。
生产函数的研究不仅仅停留在理论层面，还延伸到实证分析。
经济学家通过对实际数据的分析，寻求生产函数的具体形态和参数估计。
这些实证研究不仅可以帮助我们了解不同国家或地区的生产效率差异，还可以为政策制定者提供有关资源配置和经济增长的指导。
此外，生产函数还与其他经济学理论相互关联。
例如，生产函数与边际效用理论密切相关。
边际效用理论认为，随着要素投入的增加，其边际产出将递减。
这与生产函数中的要素弹性和边际产出递减的假设是一致的。
实验八道格拉斯生产函数的估计与Wald检验
实验八 道格拉斯生产函数的估计与Wald 检验一、实验目的练习模型选择及非线性回归模型的估计方法。
用NLS 法估计成本函数、C-D 生产函数，利用C-D 函数测定宏观经济技术进步率，用NLS 法估计CES 生产函数，并掌握参数约束的Wald 检验。
二、实验要求运用给定的数据，依据相应的经济学理论，完成模型估计、选优、检验和应用等，掌握相应的EViews 操作方法。
三、实验内容1．选择成本函数的数学形式结合经济学中成本理论的有关知识，调用虚拟资料2.1CF 。
考虑三个备选模型：（1）双曲线：X b b Y 10+= ；（2）对数曲线：X b b Y ln 10+=；（3）幂函数曲线：10b X b Y =具体做法：（1）调入数据2.1CF（2）打出散点图，观察数据是否适宜采用线性形式？（3）分别用上述三个模型对数据进行拟合估计，有两种做法：A.线性化后运用回归命令进行OLS 法估计（运用genr 命令生成新变量）；B.直接对模型进行非线性模型估计（NLS 法，直接输入模型表达式）。
请比较分别用两种方式估计后的输出结果有无异同？（4）比较三种模型估计输出结果：可决系数R 2的变化；t 、F 检验的结论；AIC 、SC 准则的表现等，决定哪一个模型为最优？2．C-D 生产函数的估计和应用——测定宏观经济技术进步率及要素贡献率基本原理：反映技术进步的生产函数的一般形式为：)),(),((t t K t K f Y =。
这种生产函数分为三类：Hicks 中性技术进步、Harrod 中性技术进步和Solow 中性技术进步。
当技术进步类型为Hicks 中性时，理论形式写为： βαL K e A Y m t 0= （1）对（1）式两边取对数得：mt L K A Y +++=ln ln ln ln 0βα （2）对（2）式两边微分得：m dtdL L dt dK K dt dY Y dt Y d ++==111)(ln βα （3） 将（3）式对应表示为： m l k y++= βα （4） （4）式中α、β分别是劳动弹性和资本弹性，m 为技术进步率，l k y m - βα-=，即著名的索罗增长速度方程。
生产函数计算公式L和K
生产函数计算公式L和K生产函数是经济学上用来描述生产过程中产出与生产要素（如劳动和资本）之间的关系的数学模型。
一般来说，生产函数的一般形式可以表示为：Y=F(L,K,T)其中，Y表示产出（即总产品），L表示劳动力，K表示资本，T表示技术。
根据生产函数的定义，我们可以看到劳动力和资本是影响产出的关键要素。
劳动力指的是参与生产过程中的人力资源，而资本则是指生产中所使用的设备、机器和建筑物等生产要素。
在实际的经济研究中，为了简化计算和分析，人们通常假设技术水平（T）保持恒定。
这样，我们可以将生产函数简化为：Y=F(L,K)在这个简化的生产函数中，我们只考虑劳动力和资本两个要素对产出的影响。
为了计算劳动力（L）和资本（K）对产出的影响，我们可以使用不同的生产函数形式，如线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数等。
下面分别介绍这两种常见的生产函数形式。
1.线性生产函数线性生产函数的一般形式为：Y=aL+bK其中，a和b为常数，代表单位劳动力和单位资本对产出的贡献程度。
如果a和b都大于零，表明劳动力和资本对产出呈正相关关系；如果a和b都小于零，表明劳动力和资本对产出呈负相关关系。
在线性生产函数中，可以通过计算a和b的数值来确定劳动力和资本对产出的弹性（即单位要素对产出的变化率）。
比如，当a=2，b=3时，意味着每增加一个单位的劳动力，产出将增加2个单位；而每增加一个单位的资本，产出将增加3个单位。
2.柯布-道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数的一般形式为：Y=AL^αK^β其中，A表示全要素生产率，α和β表示劳动力和资本对产出的弹性。
柯布-道格拉斯生产函数的特点是呈现递增边际产出递减的特征，即单位要素对产出的增加越多，边际产出的增加就越少。
当α和β的和大于1时，劳动力和资本对产出的边际贡献递增；当α和β的和小于1时，劳动力和资本对产出的边际贡献递减。
通过计算α和β的数值，我们可以确定劳动力和资本对产出的弹性。
CD生产函数估计-2
C —D 生产函数估计方法生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
经济学中，C —D 生产函数是针产出表示为技术、资本和劳动投入量的函数，是经济学中普遍使用的生产函数，函数形式为：210βββL K Y =，其中，Y 、K 、L 分别表示产出、资本投入量和劳动投入量，0β表示技术系数，1β、2β分别表示资本和劳动的产出弹性。
将C —D 生产函数转化经对数变换，转换为如下形式：)log()log()log()log(210L K Y βββ++=以上方程将C —D 生产函数转化为线性形式，利用相关数据可以在Eviews 软件中运用OLS 估计实现对生产函数中各系数的估计。
一、 数据准备将收集到的产出、资本、劳动的时间序列数据保存为Excel 文件二、 创建工作文件并录入数据创建工作文件：打开Eviews 软件，依次点击“File —New —Workfile ”，在Frequency 对话框中选择相应的时间序列类型，Start 对话框中输入起始时间，End 对话框中输入终止时间，Name 对话框中输入工作文件名称，完成上术操作后，点击OK ，这样便创建好了一个工作文件。
建立序列：点击“Object —New Object ”，在Type of object 选项中选择对象类型为Series ，在Name for object 对话框中输入变量名称“y ”，点击OK ，这样就创建了产出序列。
用同样方法创建资本和劳动序列K 、L 。
（命令操作方法：data y k l ）。
录入数据：在Workfile 容器中双击y ，打开y 序列，点击菜单栏“Edit+/-”切换为可编辑状态，按后在表格中按时间序列依次输入数据。
用同样方法分别录入k 、l 序列的数据。
三、变量对数化点击软件主窗口“Quick —Gernerate Series …”，在“Enter equation ”对话框中输入表达式“ly=log(y)”，点击OK ，这样便将y 序列转换为对数序列，并保存为新序列ly 。
生产函数概述
生产函数概述什么是生产函数生产函数是用来描述输入要素（如劳动力、资本等）与产出之间关系的经济学工具。
它是经济学中的一个基本概念，被广泛应用于生产力和效率的研究。
在经济学中，生产函数通常表示为以下形式：Y = F(K, L)其中，Y是产出（即总产量），K是资本输入，L是劳动力输入。
F表示生产函数关系，即产出如何由输入要素决定。
按照生产函数的形式，可以分为不同的类型，如线性生产函数、Cobb-Douglas生产函数等。
生产函数的特征生产函数具有以下几个重要特征：边际产出递减特征边际产出指的是增加一单位输入要素所带来的附加产出。
在生产函数中，边际产出递减特征表明随着输入要素的增加，额外增加的产出逐渐减少。
这是因为在各种生产要素之间存在着互补和替代关系。
规模报酬递增特征规模报酬指的是输入要素增加一定比例时，产出增加的比例。
如果生产函数中的规模报酬递增，意味着增加输入要素会导致产出的增长比例更大。
这是由于生产要素之间的协同作用和经济的特性。
生产效率的评估生产函数可以用于评估生产效率。
通过观察输入要素与产出之间的关系，可以判断出生产过程的效率。
例如，当输入要素达到最优组合时，产出会达到最大化。
生产函数的应用生产函数在经济学中有着广泛的应用。
以下是一些主要的应用领域：企业经营管理决策生产函数可以帮助企业经营者评估和优化生产过程，包括确定最优的输入要素组合、制定生产计划和控制成本。
通过分析生产函数，企业可以提高生产效率，降低生产成本，实现更高水平的经营绩效。
经济增长与发展生产函数是研究经济增长和发展的重要工具。
通过分析生产函数，可以了解输入要素对产出增长的贡献，进而评估经济发展的潜力和限制。
生产函数的研究有助于制定经济政策，促进经济增长和发展。
资源配置与效率评估生产函数可以帮助评估资源的有效利用程度，并提出提高资源配置效率的建议。
通过对不同组织、产业或地区的生产函数进行比较，可以发现效率差异，找出导致这些差异的原因，进而实现资源优化配置。
(生产管理知识)生产函数估计与预测方法介绍
生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
提升全要素生产率的路径及影响因素增长核算与前沿面分解视角的梳理分析
结论：
本次演示基于中国国有企业数据，探讨了全要素生产率增长及分解因素对国有 企业效率的影响。结果表明，全要素生产率增长对国有企业效率有显著正向影 响，其主要驱动因素是技术进步和纯技术效率提升。然而，不同行业之间的效 率存在较大差距，尤其是传统制造业与服务业之间。
未来的研究可以进一步探讨如何通过政策干预和企业创新来缩小这些差距，以 提高整体国有企业效率。
在增长核算视角下，全要素生产率的变化受到技术、劳动、资本、管理等众多 因素的影响。其中，技术进步是提升全要素生产率的核心驱动力。通过对先进 技术的不断研发和应用，可以提高生产效率和产出质量，推动经济增长。此外， 劳动力素质、资本投入、管理水平等因素也会对全要素生产率产生重要影响。 例如，通过教育和培训提高劳动力素质，可以提升劳动生产率，从而带动全要 素生产率的提高。
以美国为例，在过去的几十年里，美国一直注重科技创新和人才培养，大力推 进高新技术产业的发展。这使得美国的全要素生产率持续处于世界领先地位， 经济增长也得到了强有力的支撑。然而，其他国家在追赶过程中，通过引进消 化吸收再创新等手段，全要素生产率也有了显著提升。例如，亚洲四小龙等新 兴经济体，通过模仿创新和产业升级，逐步提高了全要素生产率，实现了经济 的腾飞。
四、影响因素分析
1、政府政策：政府政策可以对技术创新、人力资本投资、制度创新等产生影 响。例如，政府可以制定科技政策和人才政策，鼓励企业和个人进行技术创新 和人力资本投资；同时，政府还可以通过财政政策和货币政策等手段，调节经 济增长。
2、市场结构：市场结构可以对全要素生产率产生影响。垄断市场结构会降低 企业的竞争压力和技术创新动力，从而影响全要素生产率的提升；而竞争市场 结构则可以促进企业之间的竞争和技术创新，从而提高全要素生产率。
生产函数
生产函数生产函数是经济学中的一个重要概念，旨在描述生产与投入之间的关系。
它是一种数学模型，用来分析生产过程中资本和劳动投入对产出的影响。
本文将从生产函数的定义、特点、应用以及相关概念的介绍等方面展开阐述。
首先，我们来了解一下生产函数的定义。
生产函数是指在特定时间段内，使用特定技术条件下，输入产出关系的数学表达式。
通常情况下，将生产函数表示为Y = F(K, L)，其中Y表示产出，K表示资本投入，L表示劳动投入。
生产函数提供了一种方式来衡量资本和劳动对产出的贡献。
生产函数具有以下几个特点。
首先，它展示了生产过程中的某种生产关系，描述了资本和劳动对产出的影响。
其次，生产函数是一种数学模型，可以通过对数据的统计分析来确定。
此外，生产函数是一个多变量函数，即它以多个自变量（如资本和劳动）为输入变量。
生产函数在经济学中具有广泛的应用。
首先，它可以用来分析并评估生产效率。
通过研究生产函数，我们可以了解资本和劳动对于产出的贡献程度，从而判断生产过程的效率水平。
其次，生产函数还可用于制定政策。
例如，政府可以根据生产函数的结果制定相应的产业政策，以促进经济发展。
此外，生产函数还被广泛用于经济增长理论的研究，帮助我们了解经济增长的原因和机制。
除了生产函数，还有一些与之相关的概念。
首先，边际产出是指增加一单位投入所带来的额外产出。
边际产出递减是指随着投入增加，边际产出会逐渐减少的现象。
其次，规模报酬是指在投入比例不变的情况下，产出的增长情况。
分为递增、递减和恒等三种情况。
此外，还有一些衍生概念如平均产出、边际成本等。
总之，生产函数是经济学中重要的概念，用于描述生产过程中资本和劳动投入对产出的影响。
它是一个数学模型，通过分析生产函数可以揭示生产效率、指导政策制定以及研究经济增长。
通过了解相关概念如边际产出、规模报酬等，我们可以更深入地理解和应用生产函数的原理。
微观经济学第四章生产函数
切线的斜率等于要素价格的比率 ；
切点代表的成本最低或产量最大 。
04
规模报酬
规模报酬的概念与类型
规模报酬的概念
规模报酬是指在生产过程中，按照相同的比例变动投入的所有要 素，产出变动的程度。
微观经济学第四章生产函数
目
CONTENCT
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• 生产函数概述 • 短期生产函数 • 长期生产函数 • 规模报酬 • 生产函数的发展趋势与前沿问题
01
生产函数概述
生产函数的定义
生产函数：表示在一定时期内，一定技术条件下，生产中所使用 的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
生产函数反映了生产过程中投入品与产出的关系，是制定生产计 划和控制生产过程的重要依据。
投资决策
根据生产函数和预期的产量需 求，企业可以制定合理的投资 计划，以扩大生产规模或改进 技术水平。
02
短期生产函数
总产量、平均产量和边际产量的定义与关系
总产量
指在一定时期内，某种可变生产要素投入数量与固定生产要素的数量 之积所产出的产品数量。
平均产量
指单位可变生产要素所产出的总产量。
边际产量
等成本线
等成本线定义
在成本和要素价格不变的条件下，生产一定 产量的所有可能的组合的成本边界。
离原点越远，成本越高
等成本线离原点越远，代表总成本越高。
斜率
等成本线的斜率等于要素价格的比率。
无数条
对于任意一个成本，都可以找到无数条等成 本线。
生产者均衡：投入要素的最佳组合
等产量线与等成本线相切；
生产函数概论
生产函数概论简介生产函数是经济学中的一个重要概念，用于描述输入（生产要素）与输出（产出）之间的关系。
它是经济学中研究生产过程的基础工具之一。
生产函数的核心思想是，通过输入生产要素（如劳动力、资本等），可以实现产出。
这种输入与输出之间的关系可以用数学函数来表示，并且可以借助生产函数进行分析和预测。
生产函数的表达形式生产函数的一般形式可以表示为:Y = f(K, L)其中，Y表示产出（输出），K表示资本的投入量，L表示劳动的投入量，f表示生产函数。
生产函数描述了在给定资本和劳动投入的情况下，产出的数量。
生产函数的特性递增边际产出生产函数的一个重要特性是递增边际产出。
边际产出指的是在一定范围内，每增加一个单位的生产要素投入，产出的增加量。
递增边际产出意味着初始阶段，每增加一个单位的投入，产出的增加量会逐渐增加。
然而，递增边际产出并不会无限持续下去。
在一定点之后，随着生产要素投入的增加，递增边际产出会逐渐减少，直到最终达到边际产出递减的状态。
规模报酬生产函数还有一个重要的特性是规模报酬。
规模报酬指的是当生产要素的投入量呈现一定比例的增加时，产出的增加量的变化。
根据规模报酬的不同，生产函数可以分为三类：1.递增规模报酬：当生产要素的投入量增加时，产出的增加量呈现递增的状态。
2.恒定规模报酬：当生产要素的投入量增加时，产出的增加量保持不变。
3.递减规模报酬：当生产要素的投入量增加时，产出的增加量呈现递减的状态。
规模报酬是经济学中一个重要的概念，对于企业的生产和经营决策具有重要的影响。
生产函数的应用生产函数在经济学研究中有着广泛的应用。
它可以用于分析企业的生产效率、预测经济增长、评估政府政策等。
在企业管理中，生产函数可以帮助企业评估生产要素的使用效率，并制定优化生产计划。
通过分析生产函数，企业可以找到最佳的生产要素组合，以达到最大的产出。
在经济增长领域，生产函数可以用于分析国家经济的增长率、产出水平等。
通过研究生产函数，经济学家可以评估不同政策对经济增长的影响，并提出相关政策建议。
管理经济学第四章
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三、边际生产力递减规律
1、规律的表述
2、理解要点 3、产量变化的三个阶段
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边际收益递减规律
在一定的技术条件下，在生产过程 中不断增加一种投入要素的使用量, 其 它投入要素的数量保持不变, 最终会超 过某一定点, 过某一定点 造成总产量的边际增加量 变动投入要素的边际产量）递减。 （变动投入要素的边际产量）递减。
» 从任一组合生产要素得到的最大产量 » Q = f ( X1, X2, X3, X4,
... )
短期内固定
短期内变动
Q=
f ( K, L) [两种投入要素, K为固定 两种投入要素 固定] 两种投入要素 固定
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第4章 生产分析与估计
第2节 一种变动投入要 素的生产过程
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两个时期 短期:一种（或多种）投入要素是固 定的时期相对应。 长期:所对应的时期内，所有的投入 要素都是变动的。 两种投入产出关系： 两种投入产出关系 短期——研究的是某种变动投入要素 的收益率。 长期——研究的是厂商生产规模的收 益率。
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两种投入要素： 两种投入要素：
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产
——
量 山
两 种 投 入 要 素 的 不 同 组 合
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2、等产量曲线的特征
• 等产量线 --生产相同 产量所使用的不同投入 要素组合的轨迹 • 越远离原点的等产量线 表示的产量越高;两条 等产量线不会相交;等 产量线具有负斜率，且 凸原点 • 等产量线的斜率就是两 种投入要素的边际产量 之比
第4章 生产分析与估计
第1节 生产与生产函数
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一、生产函数的定义
CD生产函数估计-2
C —D 生产函数估计方法生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
经济学中，C —D 生产函数是针产出表示为技术、资本和劳动投入量的函数，是经济学中普遍使用的生产函数，函数形式为：210βββL K Y =，其中，Y 、K 、L 分别表示产出、资本投入量和劳动投入量，0β表示技术系数，1β、2β分别表示资本和劳动的产出弹性。
将C —D 生产函数转化经对数变换，转换为如下形式：)log()log()log()log(210L K Y βββ++=以上方程将C —D 生产函数转化为线性形式，利用相关数据可以在Eviews 软件中运用OLS 估计实现对生产函数中各系数的估计。
一、 数据准备将收集到的产出、资本、劳动的时间序列数据保存为Excel 文件二、 创建工作文件并录入数据创建工作文件：打开Eviews 软件，依次点击“File —New —Workfile ”，在Frequency 对话框中选择相应的时间序列类型，Start 对话框中输入起始时间，End 对话框中输入终止时间，Name 对话框中输入工作文件名称，完成上术操作后，点击OK ，这样便创建好了一个工作文件。
建立序列：点击“Object —New Object ”，在Type of object 选项中选择对象类型为Series ，在Name for object 对话框中输入变量名称“y ”，点击OK ，这样就创建了产出序列。
用同样方法创建资本和劳动序列K 、L 。
（命令操作方法：data y k l ）。
录入数据：在Workfile 容器中双击y ，打开y 序列，点击菜单栏“Edit+/-”切换为可编辑状态，按后在表格中按时间序列依次输入数据。
用同样方法分别录入k 、l 序列的数据。
三、变量对数化点击软件主窗口“Quick —Gernerate Series …”，在“Enter equation ”对话框中输入表达式“ly=log(y)”，点击OK ，这样便将y 序列转换为对数序列，并保存为新序列ly 。
第10章 生产和成本估计
B 2A
劳
AP = Q/L= AL2＋BL
动 的
MP = Q/ L=3AL2＋2BL
平
均
产 量
对于总产量、边
和 边
际产量和平均产
际 产 量
AP MP
量三个生产函数， A和B是两个仅有
O LБайду номын сангаас La
L 需要估计的参数。
第二节 短期生产函数的估计
当我们定义估计的生产函数是三次生产函数时，
即为：Q＝AL3＋BL2
AVC最小的产出水平为：
aQ＋bQ2＋cQ3＝ a＋2bQ＋3cQ2 即为：Qm＝－b/2c
二、短期成本函数例题：Rockford公司的成本估计
2003年10月，Rockford公司的管理者收集了2001年第三 季度以来的资本（单位：美元）数据。
季度 2001（3） 2001（4） 2002（1） 2002（2） 2002（3）
其中， A aK 3 B bK 2
AP = Q/L= AL2＋BL MP = Q/ L=3AL2＋2BL
由于AP和MP都是先增 加后递减，因此， A必 须为负， B必须为正。
也就是要求， a必须为负， b必须为正。
二、三次生产函数
MP的递减开始于：
Lm
B 3A
AP的最大值为：
La
这样，就得到了调整后的数据：
二、短期成本函数例题：Rockford公司的成本估计
季度
2001（3） 2001（4） 2002（1） 2002（2） 2002（3）
产出
300 100 150 250 400
紧缩后的AVC
36.26 37.33 27.10 26.89 45.10
第八章生产和成本函数的估计
MC = - 50 + 20 Q
括号中为t-值
注意: TC既可估计为二次，也可以估计为三次。
TC = C1 Q + C2 Q2 + C3 Q3
如果TC为三次，那么AC将为二次: AC = C1 + C2 Q + C3 Q2
第20页，共23页。
二、长期成本函数的估计
(.65) (.12)
(.14)
R 2 = 0.966
• 此函数是否为规模收益不变?
• 如果劳动增加10%, 电力产量将如何?
第11页，共23页。
• 应该是规模收益递增, 因为参数之和大于1 。
– 0.53 + 0.65 = 1.18
• 如果%L = 10%, 那么%Q = E L L =
.65(10%) = 6.5%
第12页，共23页。
第二节 成本函数估计
第13页，共23页。
一、短期成本函数的估计
1、搜集变动成本与产量数据； 2、选择合适的函数形式； 3、估计函数的参数。
第14页，共23页。
线性成本函数
• 在短期成本函数估计中， TC 常常假定总成本函数为线 性方程式，它意味着边际 成本保持不变。图形如右
U状曲线
第18页，共23页。
估计短期成本函数
• 例子: 总成本的时间序列 数据
回归结果:
• 二次总成本函数
TC = C0 + C1 Q + C2 Q2 Predictor Coeff StdErr T-value
TC
Q
Q2
Constant 1000 300 3.3
900
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生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1．含义我们在《经济学》课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。
那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。
2．方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比较完全和精确。
为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式；然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后，我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。
（1）影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。
在进行回归分析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解，否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。
在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量，但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。
对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。
（2）生产函数形式的确定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必须确定生产函数的具体形式。
生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数2211b b X AX Y =（3）数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本数据。
数据类型包括时序数据和截面数据。
回归分析中也会碰到数据不足的情况，这时我们就不得不做一些理论上简化，（4）建立回归方程及参数估计1）一元线性回归模型①总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差公式中a,b 是总体回归模型的参数，ε是X 变量以外其它所有影响因素对Y 值的总合影响，故称随机干扰项。
如果在一定时期内一些因素的单独影响都比较零散、微弱，就可以不把它们单独列为自变量，而合并为一个随机因素。
在一个模式中是否存在随机误差，体现了确定型依存关系和统计型依存关系的区别。
随机误差体现了在X 取既定值时Y 的变异。
②假定前提a. ε是随机变量对应于某个X 既定值，ε的符号和绝对值的大小是随机的，它既独立于X 的取值，也独立于前一项ε值。
b.ε服从正态分布影响Y 的其它因素的作用趋于互相抵消，E （ε）=0，Y 的期望值落在总体回归线上，在给定X 值后，Y 值围绕Y 的期望值呈正态分布。
c.对于任何X 值，ε有恒定的方差2,x y σ（同方差性）。
无论X 取什么值，Y 值围绕总体回归线的变异程度相同。
③总体回归直线方程与样本回归直线方程如果从总体回归函数，εβα++=x Y 中排除ε，就得到表示Y 值随X 取值而定的正态分布期望值与X 值关系的方程—总体回归直线方程bx a x y +=,μ上式表明，在X 的值给定的条件下，Y 的期望值是X 的严密的线性函数。
x y ,μ称为Y 的条件平均数，对于一个双变量协变总体，当自变量X 取特定值时，因变量取值服从如下 正态分布),(~2,,x y x y N Y σμ根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。
tt x b a y ˆˆˆ+=，t=1,2，…… 式中Y 是样本回归线上与X 相对应的Y 值，可视为x y ,μ的估计，称为Y 的估计值或拟合值，aˆ为截距，b ˆ为斜率，表示当X 变化1个单位时Y 的变化量，它们是总体回归系数a,b 的估计值。
实际观测到的变量Y 值，并不完全等于yˆ，如果用e 表示两者之差，它与总体误差项ε相对应t t t yY e ˆ-= e 称为残差 由上述可知，样本回归直线是对总体回归直线的近似反映。
回归分析的主要任务就是采用适当的方法，充分利用样本所提供的信息，使得样本回归直线尽可能地接近真实的总体回归直线。
④回归模型参数的估计a.回归系统的估计根据样本资料确定样本回归方程时，一般总希望Y 的估计值从整体来看尽可能接近实际观测值。
即残差t e 的总量越小越好，为了避免t e 简单的代数和会相互抵消，也便于数学上的处理，通常采用残差平方和2t e ∑作为衡量偏差的尺度。
最小二乘法就是根据这一思路，通过使残差平和和为最小来估计回归系数的一种方法。
222)ˆˆ()ˆ(tt t t t x b a Y y Y e Q --∑=-∑=∑= 很明显，残差平方和Q 的大小将依赖于aˆ和b ˆ的取值。
根据微积分求极小值的原理，Q 对aˆ和b ˆ的偏导必须为零。
⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+t t t t t t Y X X b X aY X b a n 2ˆˆˆˆ 2)())((x x x x x x b i i i -∑--∑=⇒ 或 22)(ˆt t t t t t x x n Y X Y X n b ∑-∑∑∑-∑= X b Y a -= nX b Y a t t ∑-∑=ˆ aˆ,b ˆ的具体数值即回归系数的估计值随选取的样本不同而不同，所以它是随机变量。
b.总体方差的估计除了a ，b 之外 ，一元线性回归模型还包括了另一个未知参数，总体方差2,x y σ，它可以反映理论模型误差的大小。
在数学上，2,x y σ的无偏估计是2,x y S 。
2)(222,--∑=-∑=∧n y Y n e S x y n 为样本容量，x y S ,称为估计标准误差。
它可用于描述用样本数据拟合回归直线时，在X 取特定值时Y 观察值对于相应的拟合值的离散程序。
c.最小二乘估计量的性质最小二乘法是估计方法中的一种，最小二乘估计量是总体回归系数的无偏估计量，数学上还可进一步证明，在所有的无偏估计量中回归系数的最小二乘估计量的方差最小；同时随着样本容量的增大，其方差会不断缩小，所以它又是最优和一致估计量。
2）多元线性回归模型现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响，右这种场合，仅仅考虑单个变量是不够的，这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下，两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，它是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较繁琐。
①总体回归函数与总体回归直线t kt k t t t x x x εβββα+++++=Y 2211kt k t x y x x ββαμ+++= 11.α表示截距，j β表示在其它自变量保持不变的情况下，自变量j x 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，成为偏回归系数。
②前提假定与一元线性前提假定相同，另外再加上，回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系。
③样本回归方程kt k t t x x Y ∧++=ββα 11ˆˆˆ (t=1,2,……n) ④模型的估计以三元线性回归方程为例，即t t t x x Y 2211ββα++=a.回归系数的估计（最小二乘法）2221122)ˆˆ()ˆ(tt t t t t x x Y Y Y e MinQ ββ--∑=-∑=∑= ⎪⎩⎪⎨⎧∑+∑+∑=∑∑+∑+∑=∑∑+∑+=∑22211222122111122112ˆˆˆˆˆˆˆˆˆx x x x Y X x x x x Y X x x n Y ββαββαββα b.总方差的估计kn e S t y -∑=2212.n ：样本容量，k :方程中回归系数的个数22,n y S 称为回归估计的标准误差，越小表明样本回归方程的代表性越强3ˆˆˆ22112,-∑-∑-∑-∑=n Y x Y x Y Y S x y ββα 3）非线性回归模型如果因变量和自变量之间是非线性关系，我们就必须采用非线性回归模型，但对非线性回归模型的估计必须首先将其转化为线性函数，然后再利用先行回归方法估计各参数。
非线性回归模型主要有以下几种：①幂函数2211b b x ax Y = 两边取对数，得：2211ln ln ln ln x b x b a Y ++=令：Y Y ln =' a A ln = 11ln x x =', 22ln x x =' 221x b x b A Y '+'+=' 这种形式就是前面的三元线性回归方程。
利用前文所述方法估计模型参数。
特点：方程中的参数可以直接反映因变量Y 对于某一个自变量的弹性。
Y x ax b Y X x ax b YX X Y Z b b b b x y /)(/)(2121112111211111=⋅⋅=⋅∂∂=-=1b 即，b 1是在其它因素不变的条件下，x 1变动1%所引起Y 变动的百分比。
②指数型：2121x x b ab Y = 两边取对数，得：2211ln ln ln ln b x b x a Y ++=令Y Y ln =' a A ln = 11ln b B = 22ln b B =，则2211x B x B A Y ++='③多项式函数32dx cx bx a Y +++=令：x x =1 22x x = 33x x =321dx cx bx a Y +++=非线性回归方程转化为线性回归方程后，可利用前文所述方法，估计各参数，最后利用反函数转化为最初形式。
（5）回归模型的检验1）经济学检验经济学检验主要是检验参数估计值的符号和取值区间所显示的自变是与应变量的变化关系是否与理论和人们的实践经验相一致。
2）统计学检验利用统计学中的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性。
a.拟合程度的评价所谓拟合程度，是指样本观测值聚在样本回归线周围的紧密程度，判断回归模型拟合程序优劣最常用的数量指标是可决系数，该指标是建立在对总离差平方和进行分解的基础上。
tt t t t t e Y Y Y Y Y Y Y Y +-=-+-=-)ˆ()ˆ()ˆ()( 总离差=可解释离差+未解释离差两边取平方，得)ˆ)(ˆ(2)ˆ()(22tt t t t Y Y Y Y e Y Y Y Y --∑+∑+-∑=-∑ 22)ˆ()ˆ(tt Y Y Y Y -∑+-∑= SSE SSR SST +=离差平方和=回归平方和+残差平方和显而易见，如果各个样本观察点与样本回归直线靠得越紧，SSR 在SST 中所占比重超越大，因此可定义这一比例为可决系数。
222)()ˆ(11Y Y Y Y SST SSE SST SSR r t t t -∑-∑-=-== 102≤≤r 可决系数越大，方程拟合度越高，在多元线形回归方程中，为了更准确地衡量回归方程的拟合程度，常使用经调整的多元可决系数。