北师大版必修五课件：正弦定理、余弦定理的综合应用
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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
正弦定理、余弦定理的综合应用
解：(方法二：利用角的关系进行判断) 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， 所以 sin Acos B－cos Asin B＝0，所以 sin(A－B)＝0， 因为－π<A－B<π，所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形．
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝100 m， 所以 AC＝100 2 m． 在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°. 由正弦定理得，sinAC45°＝sinAM60°，所以 AM＝100 3 m. 在 Rt△MNA 中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°，由MAMN＝sin 60° 得 MN＝100 3× 23＝150 m. 答案：150
米，则 A、C 两点的距离为( )
200 A. 3
3米
200 B. 3
6米
C.1003 3米 D.1003 6米
解：如图，∠C＝60°，由正弦定理知si2n0600°＝sinAC45°，
所以 AC＝2030× 22＝2003
6 .
2
答案：B
3．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为 30°、60°，则塔高为( )
又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin60045°＝sinBC30°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6 m.
考点二·解三角形的综合应用
【例 2】(2016·福州市毕业班质量检查)在△ABC 中,角 A,B,C 的 对边分别为 a,b,c,满足(2b－c)cos A＝acos C.
正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
课前探究学习
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续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
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三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
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【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
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解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
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方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
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余弦定理课件
北师大版数学教材 必修5
D C2 N
解法1:参见教材第46页---第47页.
250 km A 300 km
40 km/h
C1 45° B
D C2 N H 40 km/h
250 km A 300 km
C1 45° B
七、拓展整合
北师大版数学教材 必修5
D C2 N 40 km/h
250 km A 300 km
九、及时巩固
1.书面作业
北师大版数学教材 必修5
(1)教材第52页习题2-1的A组第5题；
(2)教材第64页复习题二的A组第3题； (3)补充习题：
在△ABC中,已知AC＝5, BC＝8,
5 D A
∠ACB＝60 °, 且D是AB的中点,
求CD的长.
C
60° 8 B
2.课外阅读:《余弦定理的证明十法》. 欢迎登陆,免费注册后即可下载相关资料！
C1 45° B
问题6 对于解答本题的这三种解法，你有什么看法？
八、课堂小结
1.知识要点
（1）余弦定理及其推论.
北师大版数学教材 必修5
（2）余弦定理的作用.
（3）解三角形的各种类型. ① 已知两角及一边 ②已知两边及一边的对角
③ 已知两边及夹角
④已知三边
2.思想方法: 分类讨论思想；化归与转化的思想；方程的思想.
北师大版数学教材 必修5
在△ABC中,已知AC＝b, BC＝a, 以及角C, 求边AB的长c.
(2)关注各解法在求解问题3和问题4时的异同！
A
b
C
a
B
由问题4可得：c a b 2ab cos C .
2 2 2
四、余弦定理
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
余弦定理 优秀课件 北师大版
c
b
C
1 因此c 5 4 2 5 4( ) 61 2
2 2
a
图 1
B
例2
在ABC中，已知a 3, b 2, c 19，求此三角形各个角的大小及其面积，
解：由余弦定理得：
（精确到0.1）
cosC
a b c 2ab
2 2
2
3 2 19 2 3 2
（ ）当ABC为直角三角形时； 1
A
C 90 c a b
2 2 2 2 2
又 cosC 0 c a b - 2abcosC
2
C
B
( 2)当ABC为锐角三角形时； c 2 AD 2 BD 2
2 2 bsinC） BD DC） （ （
2 2
2
A
因此C 120
再由正弦定理得
a sin C sin A c 3 3 2 3 3 0.5960 19 2 19
B
图2
C
D
因此，A 36.5或A 143 .4（不合题意，舍去）
因此，B 180 A C 23.4
设BC边上的高为AD，则
既然选择了远方， 就只有风雨兼程 。
人教版必修5
1.1.2余弦定理
温故知新
1、正弦定理的主要内容 是什么？
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的
a b c 正弦的比相等 sin A sin B sin C
2、正弦定理能解决哪些解三角形问题？
(1)已知两边及一边对角，求另一边的对角。 (2)已知两角和任一边，求其它两边及一角
在一个三角形中，如果知道两边及其夹角的值， 由余弦定理就可以求出第三边
正弦定理、余弦定理的综合应用
解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向： 一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进 行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。 两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式
a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ， （ 化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2
正余弦定理的综合运用
求△ABC的面积
题型五、范围问题
例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。
练习：
三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围
a，b，A) 余弦定理 正弦定理或余弦定理求 c. 可有
两解，一解或无解
题型一:判断三角形形状
例1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 △A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） （A）△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 （B）△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 （C）△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 （D）△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
2 2
2 2
22
cos A
cos B
c os C
2
2
2
sin A＝sin B ＝sin C 又 A，B ，C 是锐角， A＝ B＝C
2
2
2
222
222
题型二：三角形中的化简求值题
例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解:（化角为边）由余弦定理得：
bcosC＋ccosB＝
a2
射影定理：
2R sin( A) a sin A a 2
sin A
a= bcosC＋ccosB, b=ccosA+acosC, c=acosB+bcosA
例3：且ABcCos中B，A、bB,、求CB所的对大的小边。分别为 a、b、c,
cosC 2a c
新教材北师大版第2章6.1第3课时余弦定理与正弦定理的应用课件(49张)
[解] 由例3解答可知CD＝3 2 ，CB＝BD＝ 6 ，∠CBD＝ 120°，所以∠BCD＝∠BDC＝30°，故∠ACB＝15°，
则∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos 45°＝4＋18－2×2×3 2
× 22＝10， 故AD＝ 10，
在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADABD＝sin∠ABADB，
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
D．252 2m
A [由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，又∵B＝30°，
∴AB＝ACssinin∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．]
2
2．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝ 3 BD，
BC＝2BD，则sin C的值为( )
由题意知△CBD是直角三角形，且CD＝10 3 t，BD＝15t，
所以sin∠BCD＝CBDD＝1015t3t＝ 23， 故∠BCD＝60°，10 3tcos 60°＝ 6， 所以t＝ 52(小时)． 所以缉私船应沿北偏东30°的方向行驶，才能最快截获走私船， 需要 52小时．
1．理解题意，作出正确的示意图是解决本题的关键． 2．测量两个点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求 三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可 解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．
C＝12sin∠BDC＝12×
6 3
＝
6 6 .]
3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ________m，________m.
20 3
则∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos 45°＝4＋18－2×2×3 2
× 22＝10， 故AD＝ 10，
在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADABD＝sin∠ABADB，
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
D．252 2m
A [由正弦定理得sin∠ABACB＝sAinCB，又∵B＝30°，
∴AB＝ACssinin∠BACB＝50×1
2 2 ＝50
2(m)．]
2
2．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝ 3 BD，
BC＝2BD，则sin C的值为( )
由题意知△CBD是直角三角形，且CD＝10 3 t，BD＝15t，
所以sin∠BCD＝CBDD＝1015t3t＝ 23， 故∠BCD＝60°，10 3tcos 60°＝ 6， 所以t＝ 52(小时)． 所以缉私船应沿北偏东30°的方向行驶，才能最快截获走私船， 需要 52小时．
1．理解题意，作出正确的示意图是解决本题的关键． 2．测量两个点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求 三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可 解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．
C＝12sin∠BDC＝12×
6 3
＝
6 6 .]
3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ________m，________m.
20 3
《正弦定理余弦定理》课件
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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
余弦定理课件ppt(北师大版必修五)
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当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得 2 6－ 2 · 6－ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ， a 4 2 2 ∴ C＝ 15° ，∴B＝180° － 15° － 45° ＝ 120° . 综上可知 c＝ 6＋ 2， B＝60° ， C＝ 75° 或 c＝ 6－ 2， B＝120° ，C＝ 15° . 法二 由正弦定理得
解
法一
2
由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A 得
2 8＝ 12＋ c － 2× 2 3× c× ，整理得 c2－ 2 6c＋ 4＝ 0， 2 ∴ c＝ 6＋ 2或 c＝ 6－ 2.当 c＝ 6＋ 2时， 由正弦定理，得 2 6＋ 2 · 6＋ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ，∴ C＝ 75° ， a 4 2 2 由三角形内角和定理，得 B＝ 180° － 75° － 45° ＝ 60° .
－2a×3 3×cos 30° ，∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.当 a＝3 时，A＝30° ，C＝120° .
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1 6× asin B 2 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ ＝ ＝1. b 3 ∴ A＝ 90° ，C＝ 60° . 法二 1 3 3 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝ 3 3× ＝ 知本题有两 2 2
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名师点睛
余弦定理的理解 1． (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中 一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与 角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角 关系的互化．
当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得 2 6－ 2 · 6－ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ， a 4 2 2 ∴ C＝ 15° ，∴B＝180° － 15° － 45° ＝ 120° . 综上可知 c＝ 6＋ 2， B＝60° ， C＝ 75° 或 c＝ 6－ 2， B＝120° ，C＝ 15° . 法二 由正弦定理得
解
法一
2
由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A 得
2 8＝ 12＋ c － 2× 2 3× c× ，整理得 c2－ 2 6c＋ 4＝ 0， 2 ∴ c＝ 6＋ 2或 c＝ 6－ 2.当 c＝ 6＋ 2时， 由正弦定理，得 2 6＋ 2 · 6＋ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ，∴ C＝ 75° ， a 4 2 2 由三角形内角和定理，得 B＝ 180° － 75° － 45° ＝ 60° .
－2a×3 3×cos 30° ，∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.当 a＝3 时，A＝30° ，C＝120° .
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1 6× asin B 2 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ ＝ ＝1. b 3 ∴ A＝ 90° ，C＝ 60° . 法二 1 3 3 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝ 3 3× ＝ 知本题有两 2 2
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名师点睛
余弦定理的理解 1． (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中 一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与 角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角 关系的互化．
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∴本题有一解.
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
正弦定理是三角形中一个基本的数学定理，用于描述三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
THANKS
感谢观看
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6+ 2 4
2 2 2
=8-4 3, ∴c= 6- 2. 而在求 A 时,可以应用正弦定理或余弦定理.
.. 导. 学 固思
(法一)由正弦定理,得 sin A=
asinC c 2sin15 ° 2× 6- 2
6- 2 4
=
=
6- 2
= .
2
1
∵b>a,∴B>A.又∵0°<A<180°, ∴A 必为锐角,∴A=30°. (法二)由余弦定理,得 cos A=
b 2 +c 2 -a 2 (2 2) +( 6- 2 ) -22 2bc
2 2
=
2×2 2× ( 6 - 2)
= .
2
3
∴A=30°.
正、余弦定理的综合应用
在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已 知 cos
1 2C=- ,且 4
a +b <c .
2
2
2
(1)求 sin C 的值;(2)当 a=2,2sin A=sin C 时, 求 b 及 c 的长.
2 1
2
a=5 或 a=-1(舍去),所以 a=5.
.. 导. 学 固思
利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长
设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 5 13 14 c= . 5 4
5 56 65
3
5
【解析】由已知条件可得 sin A= ,sin B= ,
第3课时 正弦定理、余弦定理 的综合应用
.. 导. 学 固思
1.掌握正弦定理、余弦定理的内容.
2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.
3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余 弦定理的作用.
.. 导. 学 固思
2013年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美 军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A 、 b2=c2+a2-2cacos B 、
������2 + ������ 2 -������2 余弦定理的推论用公式表示为:cos A= ； 2������������ c 2 + a2 -b2 a2 + b2 -c 2 cos B= ;cos C= . 2ac 2ab
问题4
(3)已知 两边及其中一边的对角 ,求第三边.
.. 导. 学 固思
1
在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sin Asin C,则角 B 的大小为( A ). A.150° B.30°
2
C.120°
2 2
D.60°
【解析】由正弦定理可得 b -c -a = 3ac,由余 弦定理可得 cos B=
.. 导. 学 固思
【解析】(1)因为 cos 2C=1-2sin C=- ,且
4
2
1
0<C<π,所以 sin C=
a
10 4
.
2
(2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理
sinA sinC
=
c
,得 c=4.由 cos 2C=2cos C-1=- 及 0<C<π,
4 6 4
1
得 cos C=± . 由余弦定理 c =a +b -2abcos C,得 b ± 6b12=0,解得 b= 6或 2 6,
2
a 2 +c 2 -b 2 2ac
=- ,故角 B 为 150°.
2
3
若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C, 则cos B等于( D ).
A.
15 4
B.
3 4
C.
3 15 16
D.
11 16
.. 导. 学 固思
【解析】∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c. 不妨令 a=1,则 b= ,c=2,由余弦定理可知 cos
13
12
而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 根据正弦定理
b sinB sinC c 14 5
=
得 c= .
.. 导. 学 固思
利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度
在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求 A 的大小.
【解析】由余弦定理,得 c =a + -2abcos C 2 2 =2 +(2 2) -2³2³2 2cos 15° =4+8-8 2³
4
在锐角三角形中,b=4,c= 21,且 BC 边上的高 h=2 3. (1)求角 C; (2)求边长 a.
【解析】(1)如图,作 AD⊥BC 交 BC 于点 D, 则 sin C=
2
AD AC
= ,则 C=60°.
2
2 2 2
3
(2)由余弦定理可知 c =a +b -2abcos C, 则 21=a +16-2³a³4³ ,即 a -4a-5=0,解得
2 2 2 2
所以 b = 6,或 b = 2 6, c=4 c = 4.
.. 导. 学 固思
[问题]根据题目中的条件,cos C的值有两个吗?
[结论]上述求解中没有使用条件 a2+b2<c2,故导致 cos C 的 值出现增解,从而在计算 b 的值时出错. (1)因为 cos 2C=1-2sin C=- ,且 0<C<π,所以 sin C=
观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军
测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大 小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距 离吗?
.. 导. 学 固思
若要用解三角形的知识求AB的长度,则在求 解中要用 正弦 定理和 余弦 定理.
问题1
问题2
理
正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定 a b c = = ; sinA sinB sinC .
c2=a2+b2-2abcos C
.. 导. 学 固思
问题3
在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知 两角及任一边 ,求其他边或角; (2)已知 两边及一边的对角 ,求其他边或角.
情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题: (1)已知 三角形的三边 ,求其他三个角. (2)已知 两边和夹角 ,求第三边和其他两个角.
2 3
B=
3
12 +22 -( ) 2×1×2
3 2 2
= .
16
11
在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b=
3
.
【解析】根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,∴72=b2+522²b²5cos 120°,∴b2+5b-24=0,∴b=3或b=-8(舍去).
.. 导. 学 固思
2 2 2
=8-4 3, ∴c= 6- 2. 而在求 A 时,可以应用正弦定理或余弦定理.
.. 导. 学 固思
(法一)由正弦定理,得 sin A=
asinC c 2sin15 ° 2× 6- 2
6- 2 4
=
=
6- 2
= .
2
1
∵b>a,∴B>A.又∵0°<A<180°, ∴A 必为锐角,∴A=30°. (法二)由余弦定理,得 cos A=
b 2 +c 2 -a 2 (2 2) +( 6- 2 ) -22 2bc
2 2
=
2×2 2× ( 6 - 2)
= .
2
3
∴A=30°.
正、余弦定理的综合应用
在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已 知 cos
1 2C=- ,且 4
a +b <c .
2
2
2
(1)求 sin C 的值;(2)当 a=2,2sin A=sin C 时, 求 b 及 c 的长.
2 1
2
a=5 或 a=-1(舍去),所以 a=5.
.. 导. 学 固思
利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长
设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 5 13 14 c= . 5 4
5 56 65
3
5
【解析】由已知条件可得 sin A= ,sin B= ,
第3课时 正弦定理、余弦定理 的综合应用
.. 导. 学 固思
1.掌握正弦定理、余弦定理的内容.
2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.
3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余 弦定理的作用.
.. 导. 学 固思
2013年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美 军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A 、 b2=c2+a2-2cacos B 、
������2 + ������ 2 -������2 余弦定理的推论用公式表示为:cos A= ； 2������������ c 2 + a2 -b2 a2 + b2 -c 2 cos B= ;cos C= . 2ac 2ab
问题4
(3)已知 两边及其中一边的对角 ,求第三边.
.. 导. 学 固思
1
在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sin Asin C,则角 B 的大小为( A ). A.150° B.30°
2
C.120°
2 2
D.60°
【解析】由正弦定理可得 b -c -a = 3ac,由余 弦定理可得 cos B=
.. 导. 学 固思
【解析】(1)因为 cos 2C=1-2sin C=- ,且
4
2
1
0<C<π,所以 sin C=
a
10 4
.
2
(2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理
sinA sinC
=
c
,得 c=4.由 cos 2C=2cos C-1=- 及 0<C<π,
4 6 4
1
得 cos C=± . 由余弦定理 c =a +b -2abcos C,得 b ± 6b12=0,解得 b= 6或 2 6,
2
a 2 +c 2 -b 2 2ac
=- ,故角 B 为 150°.
2
3
若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C, 则cos B等于( D ).
A.
15 4
B.
3 4
C.
3 15 16
D.
11 16
.. 导. 学 固思
【解析】∵6sin A=4sin B=3sin C,∴6a=4b=3c. 不妨令 a=1,则 b= ,c=2,由余弦定理可知 cos
13
12
而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 根据正弦定理
b sinB sinC c 14 5
=
得 c= .
.. 导. 学 固思
利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度
在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求 A 的大小.
【解析】由余弦定理,得 c =a + -2abcos C 2 2 =2 +(2 2) -2³2³2 2cos 15° =4+8-8 2³
4
在锐角三角形中,b=4,c= 21,且 BC 边上的高 h=2 3. (1)求角 C; (2)求边长 a.
【解析】(1)如图,作 AD⊥BC 交 BC 于点 D, 则 sin C=
2
AD AC
= ,则 C=60°.
2
2 2 2
3
(2)由余弦定理可知 c =a +b -2abcos C, 则 21=a +16-2³a³4³ ,即 a -4a-5=0,解得
2 2 2 2
所以 b = 6,或 b = 2 6, c=4 c = 4.
.. 导. 学 固思
[问题]根据题目中的条件,cos C的值有两个吗?
[结论]上述求解中没有使用条件 a2+b2<c2,故导致 cos C 的 值出现增解,从而在计算 b 的值时出错. (1)因为 cos 2C=1-2sin C=- ,且 0<C<π,所以 sin C=
观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军
测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大 小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距 离吗?
.. 导. 学 固思
若要用解三角形的知识求AB的长度,则在求 解中要用 正弦 定理和 余弦 定理.
问题1
问题2
理
正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定 a b c = = ; sinA sinB sinC .
c2=a2+b2-2abcos C
.. 导. 学 固思
问题3
在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知 两角及任一边 ,求其他边或角; (2)已知 两边及一边的对角 ,求其他边或角.
情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题: (1)已知 三角形的三边 ,求其他三个角. (2)已知 两边和夹角 ,求第三边和其他两个角.
2 3
B=
3
12 +22 -( ) 2×1×2
3 2 2
= .
16
11
在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b=
3
.
【解析】根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,∴72=b2+522²b²5cos 120°,∴b2+5b-24=0,∴b=3或b=-8(舍去).
.. 导. 学 固思