2.1《分解因式》

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八年级数学分解因式知识点

八年级数学分解因式知识点数学是一门让人们非常头疼的学科，而其中有一道题目经常让学生们感到头疼，那就是分解因式。

虽然这个知识点在数学中并不算难，但它的应用涉及面非常广。

下面我们就来一起了解一下八年级数学分解因式知识点吧。

一、什么是分解因式分解因式是一种把一个多项式写成若干个单项式的乘积的运算。

通俗来说，就是把式子中的每个因数都拆分成最基本的单元。

例如，对于式子 $2x+4$，我们可以把它分解因式为 $2(x+2)$。

二、分解因式的方法1. 提公因式法提公因式法是分解因式的一种基本方法。

我们在分解因式的时候，首先要判断该式的各项之间是否有公因数。

例如，对于式子 $4x^3+8x^2$，我们可以将其分解因式为$4x^2(x+2)$。

这是因为该式的两项 $4x^3$ 和 $8x^2$ 具有公因数$4x^2$。

2. 短除法短除法指的是将一个多项式除以一个一次式并得到一个商和余数的过程。

利用短除法运算，我们可以将多项式分解因式为若干个二次因式的乘积。

例如：将 $x^3+x^2-6x-8$ 除以 $x-2$，求商和余数。

首先将除数从被除数的第一项开始除，一步步得出商和余数：$x^3+x^2-6x-8\div (x-2)=x^2+3x+6\dfrac{-20}{x-2}$因此，原式可以分解因式为 $(x-2)(x^2+3x+6)$。

3. 公式法公式法是另一种分解因式的方法。

下面列举几种常见的公式和例子：(1). $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$例如，式子 $4x^2+9$ 可以分解因式为 $(2x+3)(2x-3)$。

(2). $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$例如，式子 $x^3+1$ 可以分解因式为 $(x+1)(x^2-x+1)$。

(3). $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$例如，式子 $8x^3-27$ 可以分解因式为 $(2x-3)(4x^2+6x+9)$。

八下 2.1分解因式教学设计(于海峰)

第二章分解因式§2.1 分解因式【有效学习】一、学习目标1、了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.2、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力.3、通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系.学习重点：1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。

【复习检测】复习整式乘法公式类：()()a b a b +-= 2()a b += 2()a b -=（1）单⨯单：=∙ab a 43 （2）单⨯多：(35)a a b -=（3）多⨯多：(3)(2)x y x y -+= （4）混合乘：(1)(1)a a a +-=【预习检测】把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式应用提高：公式类：22a b -= 222a ab b ++= 222a ab b -+=（1） 212a b = 3a ⨯ （2）235a ab -= （3）22253x xy y --= （4）3a a -= 总结因式分解的特点：议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是运算。

（2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形是运算。

想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=-（5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-【学以致用】1.下列从左到右的变形，是分解因式的为( )A.x 2－x =x (x －1)B.a (a －b )=a 2－abC.(a +3)(a －3)=a 2－9D.x 2－2x +1=x (x －2)+1 2.下列各式分解因式正确的是（）A. 223633(2)a x bx x x a b -+=-B. ()22xy x y xy x y +=+C. 2()a ab ac a a b c -+-=-+-D. 22963(32)abc a b abc ab -=-3.讨论553－55能被56整除吗？还能被几整除？你是怎样想的？与同伴交流.4.如图。

七年级数学分解因式知识点

七年级数学分解因式知识点分解因式是数学中非常重要的一部分，它在七年级数学中也是必须学习的知识点。

分解因式是利用求取一个代数式的因式，从而把这个式子分解成一个或多个常数与代数式的积，为后续数学学习打下重要的基础。

下面我们将会介绍七年级数学分解因式所需掌握的知识点以及具体的分解因式方法。

一、基础知识在学习分解因式前，需要掌握一些基础知识，比如变量、常数、代数式、乘法公式、加法公式等等。

变量就是代表数或量的字母，常数就是不含字母的数字，代数式则是含有变量的表达式。

乘法公式和加法公式是分解因式时的基础，需要熟练掌握。

比如(a+b)(a-b) = a²-b²、a²+b² = (a-b)²+2ab。

二、提取公因式提取公因式是分解因式的基本方法之一，它的目的是将一组代数式中的公因式提出来，使得其它因式可以合并为一个整体。

例如：12x-18xy，我们可以提出公因式6x，得到6x(2-3y)。

三、配方法配方法是指将一个代数式分解成几项之后，根据需要进行一些变形，进而将各项的和(积)化为一组两个或多个代数式的和(积)。

例如：a²+4a+3，我们可以将式子分解为(a+3)(a+1)。

四、公式法公式法是将某些代数式进行公式展开，通过一定的代数运算达到分解因式的目的。

例如：x²+2ax+a²=(x+a)²，a²-b²=(a-b)(a+b)。

五、差平方公式差平方公式是分解因式中常用的方法之一，其公式为a²-b²=(a-b)(a+b)。

例如：16x²-9y²，我们可以用差平方公式将其分解为(4x-3y)(4x+3y)。

六、完全平方公式完全平方公式是一个二元二次式能够表示成一个二元一次式的平方，其公式为(a+b)²=a²+2ab+b²。

例如：4x²+12x+9，我们可以将其分解为(2x+3)²。

§2.1 分解因式导学案

咸阳道北铁中(八)年级(数学)学科导学案
课题：§2.1分解因式主备：刘晓东备课组长审核:高宏伟教务处审核：李诚
一、展示目标：
学习重点：
1．理解因式分解的意义。
2．识别分解因式与整式乘法的关系。
学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
二、自主学习：
1、公式类： = =
=
（1）单单：3a×4ab=
3．掌握分解因式概念应注意：
（1）被分解对象是
（2）分解因式的结果必须是几个的形式.
（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止.
4．及时反馈：完成书p45随堂练习
三、合作探究：分解因式与整式乘法的关系
1．议一议
（1）由 = 的变形是运算.
（2）由 = 的变形与（1）有什么不同？
2．想一想
分解因式与整式乘法有什么关系？
（7）a2+2ab+b2=（）（）（8）8y2+8y=（）（）
五、总结升华：
1．分解因式的概念：
2．分解因式应注意：
3．分解因式与整式乘法的关系
（2）单多： =
（3）多多：
（4）混合乘：x（x-1）（x+1）=
2、独立探究问题：分解因式的概念
1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？
2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式
.因式分解与整式乘法是的变形.
例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？
（1）x+1=x（1+ ）（2）
（3）（4）
（5）（6）

分解因式知识点归纳总结

分解因式知识点归纳总结一、分解因式的基本概念1.什么是因式？在代数中，因式是指一个多项式中可以被整除的表达式。

例如，在多项式2x^2+3x-5中，2是2x^2的因式，3是3x的因式，-5是常数项的因式。

2.分解因式的定义分解因式是指将一个多项式拆分为更简单的因式的过程。

例如，将多项式2x^2+3x-5分解为(2x-1)(x+5)就是一个分解因式的例子。

3.分解因式的目的分解因式的目的是简化代数表达式，使得代数计算更加方便和高效。

另外，分解因式还可以帮助我们解决方程和不等式，以及解决实际问题。

二、分解因式的方法1.提取公因式提取公因式是分解因式中最基本的方法之一。

当一个多项式中的每一项都有一个公因式时，我们可以通过提取这个公因式来进行因式分解。

例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取公因式2x得到2x(x+2)。

2.分组法分组法是一种通过重新组合多项式中的项来进行因式分解的方法。

它通常适用于四项或更多项的多项式。

例如，对于多项式2x^2+3xy+4x+6y，我们可以通过分组并提取公因式来进行因式分解。

3.因式分解公式在代数学中，存在一些通用的因式分解公式，例如二次方程的因式分解公式、完全平方公式等。

这些公式可以帮助我们直接获得多项式的因式分解结果。

4.特殊因式有些多项式的因式分解并不适用于上述的方法，而需要使用一些特殊的因式分解规则。

例如，诸如a^2-b^2=(a+b)(a-b)、a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)等特殊因式分解公式。

5.复杂多项式的因式分解对于较为复杂的多项式，我们可能需要结合以上的方法，以及一些代数运算的技巧来进行因式分解。

这需要我们具备较为扎实的代数知识和解题技巧。

三、因式分解在代数学中的应用1.解方程和不等式因式分解可以帮助我们解决各种类型的方程和不等式。

例如，通过因式分解，我们可以求解一元二次方程的根、解决分式方程、解决含有绝对值的不等式等。

2.简化计算通过因式分解，我们可以将复杂的代数表达式简化为更简单的形式，从而使得代数计算更加容易和高效。

分解因式知识点总结

分解因式知识点总结一、基本概念1. 什么是因式代数表达式中，如果一个多项式能够被另一个多项式整除，那么这个被整除的多项式就是被称为因式。

比如，多项式x^2-4就可以被(x-2)(x+2)整除，所以(x-2)(x+2)就是x^2-4的因式。

2. 什么是分解因式分解因式就是将一个多项式拆解为更简单的因式的乘积的过程。

比如，将x^2-4分解为(x-2)(x+2)的过程就是分解因式。

二、分解因式的方法分解因式的方法有几种常见的基本方法，包括提公因式法、配方法、分组法和特殊因式公式等。

下面分别介绍这几种方法。

1. 提公因式法提公因式法是指通过提取多项式中的公因式，然后进行拆分。

比如，对于多项式x^2+4x+4，首先找出公因式x，然后进行拆分得到x(x+4)，再将x+4进一步分解为(x+2)(x+2)，最终得到完整的分解因式为x(x+2)(x+2)。

2. 配方法配方法是通过将多项式中的部分进行配对，然后进行拆分。

比如，对于多项式x^2+6x+9，可以通过配对得到(x+3)(x+3)，从而得到完整的分解因式为(x+3)(x+3)。

3. 分组法分组法是将多项式中的项进行分组，然后进行进一步拆分因式的方法。

通常用于四项以上的多项式分解。

比如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，可以先进行分组(x^3+3x^2)+(2x+6)，然后针对每组进行提公因式法或配方法进行进一步拆分，最终得到完整的分解因式。

4. 特殊因式公式在代数中还存在一些特殊的因式公式，比如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2等，这些公式是一些特殊情况下的因式拆分公式，可以用来快速分解某些特定的多项式。

三、分解因式的应用分解因式是代数中一个非常重要的概念，它在多项式求值、方程求解、多项式因式分解和多项式简化等方面都有着广泛的应用。

1. 多项式求值在代数中，对于给定的多项式，求出其在某一特定值下的取值是一个非常重要的问题。

2.1分解因式

（2）能被2000整除吗？
练习二应用概念
993-99能被100整除吗?
993-99 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
（2）能被2000整除吗？
【变式1】1999 3 1999 （1）能被1999整除吗？
举一反三
2－y2 分解因式 x 整式乘法
(x+y)(x－y)
分解因式与整式乘法是互逆过程.
练习一理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是分解因式? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；分解因式整式乘法 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ；分解因式整式乘法 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；分解因式分解因式 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
B、a2－a－2＝a (a－1)－2
C、－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D、x2－4x－5＝(x－2)2－9
完成课本p45随堂练习
举一反三
1 1 【变式3】 16.9 15.1 能被4整除吗？ 8 8
练习二应用概念
【变式2】 1999 2 1999 （1）能被1999整除吗？
练一练
重、难点归纳
重点：
1.熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的因式分解；
2.了解使用配方法、添项（拆项）法、待定系数法来分解因式； 3.会利用因式分解解决有关的综合题目

分解因式的概念与方法

发现数学规律：通过分解因式，可以发现数学中的规律和联系，为解题提供新的思路和方法
提高思维能力：分解因式的应用可以锻炼学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高数学素养
在日常生活中的应用
计算利息和复利
购物时计算折扣和优惠
解决实际问题，如分配任务、安排时间等
学习数学知识，提高逻辑思维能力
THANK YOU
• 定义：一种用于分解二次三项式的方法
• 步骤： a. 写出二次三项式 b. 找出两个因式，使得它们的积等于二次三项式的一次项，并且它们的和等于二次三项式的常数项 c. 将这两个因式相乘，得到分解后的结果
• a. 写出二次三项式 • b. 找出两个因式，使得它们的积等于二次三项式的一次项，并且它们的和等于二次三项式的常数项 • c. 将这两个因式相乘，得到分解后的结果
化简多项式
确定多项式的最高次项
将最高次项的系数和次数代入公式进行化简
添加标题
添加标题
找出最高次项的系数和次数
添加标题
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重复以上步骤，直到多项式无法再化简为止
04
分解因式的注意事项
保证等式成立
分解因式时，必须保证等式两边同时乘以或除以相同的数，以保证等式成立。
分解因式时，必须保证等式两边同时加上或减去相同的数，以保证等式成立。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
目的：简化多项式，便于计算和推理
例子：x^2-y^2=(x+y)(x-y)， x^3+2x^2y+xy^2=(x+y)(x^2+xy+ y^2)
分解因式的重要性
提高计算效率：通过分解因式，可以简化复杂的表达式，提高计算效率。

2.1 分解因式课件1(北师大版八年级下)

1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什打算？
③
(a b)(a b) a 2 b2
积和
a 2 b2 (a b)(a b)
和积
特征：
因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）
① 29 57 29 43 ② 56 2 56 44 44
2
乘法分配律
2
完全平方公式
③ 79 21
2
2
平方差公式
整式乘法
①
因式分解
ab ac a(b c)
a(b c) ab ac
②
(a b) 2 a 2 2ab b2
a 2 2ab b2 (a b) 2
1、等式左边是一个多项式（和） 2、等式右边是几个整式的积 3、因式分解是一个恒等变形 4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止
因式分解与整式乘法的关系
多项式
分解因式 = 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
993 99
1、将下列代数式因式分解
(1) (2) (3)
ax ay
18a 3bc 3a 2 b 6ac
（（（
不是）
）不是）不是
(3x 1) 2 9 x 2 6 x 1
2x 2 1 2x 12x 1
2
3x 2 7 x 4 3x 4x 1 （
是）是）不是）
x 5x 6 x 2x 3 （

高中分解因式的方法和技巧

高中分解因式的方法和技巧大家好，今天我们来聊聊高中数学中的一个重要话题——分解因式。

这个问题可能会让你觉得头疼，但别担心，我们会用轻松的方式来搞定它，让你在考试中轻松得分！1. 什么是分解因式？首先，咱们得搞清楚什么叫分解因式。

简单来说，就是把一个多项式（比如 (x^2 + 5x + 6)）拆分成若干个因式（比如 ((x + 2)(x + 3))）的过程。

这就像把一个大蛋糕切成几块，让每一块都更容易处理。

1.1 为什么要分解因式？分解因式可以帮我们解决很多数学问题，比如求解方程、简化表达式等等。

用一个简单的比喻，就是把复杂的问题拆成小块，逐一攻破，这样就容易多了。

1.2 常见的因式分解方法我们现在就来看看几种常见的分解因式的方法。

记住，方法多了之后，你会发现问题其实也没那么难。

2. 常见的分解因式技巧2.1 提取公因式这是最简单的技巧之一。

就像从一个篮子里拿出所有的苹果，把它们放到一个大袋子里。

比如，你有 (6x + 9)，可以看到 (6) 和 (9) 都能被 (3) 整除。

所以，我们可以把 (3) 提出来，变成 (3(2x + 3))。

小提示：如果你遇到的每一项都有一个公因子，不要犹豫，直接提出来就行了。

这样能让问题看起来清爽多了。

2.2 分解为两个二项式这个方法用得比较多。

拿一个简单的例子来说，如果你要分解 (x^2 + 5x + 6)，我们要找两个数，它们的乘积是 (6)（常数项），而和是 (5)（一次项系数）。

这两个数就是 (2) 和 (3)，所以我们可以把这个多项式写成 ((x + 2)(x + 3))。

小窍门：这个方法就是“找两个数”法，记住两个条件：乘积等于常数项，和等于一次项系数。

找到了这两个数，你就能完成分解了！2.3 完全平方公式如果你看到的多项式看起来像 ((a + b)^2) 或 ((a b)^2) 的形式，就可以用完全平方公式来分解。

比如，(x^2 + 6x + 9) 可以变成 ((x + 3)^2)。

2.1因式分解法解一元二次方程

复习回顾
一元二次方程的一般式是怎样的？
ax bx c 0
2
（a≠0）Байду номын сангаас
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式主要方法: (1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法
在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解
能说出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
例3 解方程x2=2√2x－2
1 2 x 2 x
2
2
8 0 3x
2
3 x 2
2 x 2
4 x x 12 36
方程两边同除以一个代数式,可能会造成漏解,所以在解类似(3)这样的方程时应特别小心.应先移项,再在左边用提公因式法进行因式分解.
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解
3x2－17x=0.
x(3x－17)=0,
解：（3x－4)2－(4x－3)2=0. ［(3x－4)+(4x－3)］［ (3x－4)－(4x－3)］=0,
∴ x=0 ,或3x－17=0 即 (7x－7) (-x－1)=0. ∴ x1=0, x2=17／3 ∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1
2
结果是多少?
已知 x y 2 x y 1 0, 则 x y 的值是多少 ?
2 2 2 2 2 2
有一天 , 一个醉汉拿着竹竿进屋 ,横拿竖拿都进不去 , 横着比门宽 4尺 ,竖着比门框高 2尺 ,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿 ,这个醉汉一试 ,不多不少刚好进去了 ,你知道竹竿有多长吗 ?列出方程并求解.

数学八年级下：21《分解因式》ppt课件(共18张PPT)共20页

数学八年级下：21《分解因式》ppt课件（共18张PPT）
16、自己选择的路、跪着也要把它走完。 17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·

分解因式

整式的因式分解分解因式: 把一个多项式化成几个最简整式积的形式,叫做分解因式（因式分解）原则：1．最后结果每一项都为最简因式（是否有公因式，是否可用公式）。

2．最后结果为乘积（只能有小括号，小括号之间只能由×连接）3．习惯上，最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x 2+x= -x(3x-1）而非-3x 2+x=x(-3x+1）。

方法一：提公因式法公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法例：)2(363y x m mymx -=-演示： )142(2282422232++--=--+-x y xy xy xyy x xy y x练习：nm n m n m n m 3322234315129++--)82(216242222332232b a a a b b ab b a b a a b ab -+-=-+-方法二：公式法平方差公式：))((22b a b a b a -+=-立方差公式： ))((2233ab b a b a b a ++-=-完全平方公式：222222)(2)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++例：)2)(2(24222-+=-=-x x x x演示：2222222)2()2(]4)4][(4)4[(16)4(-+=-+++=-+x x x x x x x x22222)2(])2(4[44y x a y xy x a ay axy ax -=+-=+-练习：2223)3(2)96(21812a 2-=+-=+-a a a a a aa 分解因式：yy x 42-)1)(1()1(23-+=-=-x x x x x x x3.配方法：ab b a ab ab b a ab ab b a b a ab b a ab ab b a ab ab b a b a 2)(2)2()22(2)(2)2()22(22222222222222+-=+-+=-++=+-+=-++=-++=+例：)52)(52()5()2(5)2(14)44(1)44(414222222-+++=-+=-+=--++=--++=-+x x x x x x x x x x4.十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)口诀：头尾分解，交叉相乘，求和凑中例：x ²-x-56X 7X -87x + (-8x) =-x解:原式=(x+7)(x -8)x ²-10x+16X -2X -8-2x+(-8x)=-10x解:原式=(x -2)(x -8)6y ²+19y+152y 33y 59y + 10y=19y解:原式=(2y+3)(3y+5)练习：x ²+5x+6x ²+3x-5414x ²+2x-1214x ²+3x-27223)12(3)3612(--÷+-a a a a a4．分组分解法：将多项式分组后再进行常规分解)1)(1()1()1(1+-=-+-=-+-a b b b a b a ab 例：)1)(1(1)(1)2(12222222--+-=--=-+-=+--b a b a b a b ab a b ab a练习： 2212y x xy -+-123-+-x x xy y x x ---2218a ²-32b ²-18a+24b中考真题：)2()2a b a b a -+-化简：（22244c bc b a -+-分解因式：yy x -2因式分解：32232:ab b a b a +-因式分解)4()]43(3)43[(2y y x x y x -÷+-+计算)52(3)1(2)1(--++-x x x x x x 计算：3b 1a ,)2()2(22=-=+-+，其中先化简，再求值：b a b a a21y -3x xy 2y x 4y x 2y 2x y 2x 223==÷---+，，其中）（））（先化简，再求值：（4)2(2242)2(24222222-=-=+--=---y x y xyx y x xy xy x xy y x21y 2x ),2)(2()(2)(2=-=-++--+，其中先化简再求值：y x y x y x x y x 419)23216(21)238(21)34(434222222222-=-+-⨯=--⨯=-=+-=-++-++y x y xyy y x xy x xy y x21x ,)1()2)(2(2=+--+其中先化简再求值：x x x。

实数的范围内分解因式

实数的范围内分解因式1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个可能让你在课堂上挠头的主题——分解因式，尤其是在实数范围内的分解因式。

听上去有点高深，但别担心，我会用通俗易懂的方式带你走进这个神秘的数学世界。

想象一下，分解因式就像是给一个复杂的拼图找到了它的小块，让它变得简单明了。

是不是有点意思？2. 分解因式的基本概念2.1 什么是分解因式？分解因式简单来说，就是把一个多项式拆分成几个“因式”，这些因式可以是一次多项式或常数。

例如，你有一个大块蛋糕，分解因式就像把它切成小块，方便大家分享。

比如说，x^2 4 这个式子，你可以把它分解成(x 2)(x + 2)。

看，这样是不是清晰多了？2.2 为什么要分解因式？分解因式的好处可不少！首先，它能让你更容易找到方程的根。

比如说，咱们想知道 x^2 4 = 0 的解，那就可以直接用 (x 2)(x + 2) = 0，结果显而易见，x = 2 或 x = 2。

这就像是打开了一扇窗，阳光一下子洒进来了，明亮又温暖。

3. 实数范围内的分解3.1 实数的特点在数学的大家庭里，实数就像是那种能给你带来温暖的老友，既可靠又实用。

它包括了所有的有理数和无理数，像是整数、分数、甚至那些奇奇怪怪的根号数。

在我们进行分解因式时，实数的这些特点能帮助我们找到更好的解决方案。

3.2 实数分解的常见技巧说到实数范围内的分解因式，咱们常用的几招有：提取公因式、分组分解和使用平方差公式。

比如，提取公因式就像是从一个大袋子里把共同的零食拿出来。

比如 3x^2 + 6x，你可以提取出 3x，变成 3x(x + 2)。

这样一来，不仅干净利落，还显得特别有条理。

4. 练习与应用4.1 多做练习要熟练掌握分解因式，光听不练可不行！不妨拿起笔，尝试一些例题。

像 x^2 + 5x + 6，你可以试着分解成 (x + 2)(x + 3)，看到这里是不是觉得豁然开朗？练习多了，自然就手到擒来了。

4.2 实际应用分解因式可不仅仅是数学课堂上的一项技能，它在生活中也能派上用场！无论是工程、物理，还是经济学，分解因式都能帮助我们简化问题，找到解决方案。

分解因式.docx

科目：班级：组名：学生姓名：第周星期设计者：课2.1 分解因式题习1.经历从分解因数到分解因式的类比过程。

目标 2. 了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系。

重理解分解因式在解决相关问题中的作用。

难点（老师相信你一定能够完成。

）请同学们预习作业教材P43~P44的内容，在学习过程中请弄清以下几个问题：一1.分解因式的概念 : 把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式预2.分解因式与整式乘法有什么关系？习分解因式是把一个多项式化成积的关系。

整式的乘法是把整式化成和的关系，分解因式是整式乘法的逆变形。

1、计算：（ 1） 2 (5+3 )= ________ (2) (- ) 2 =________ (3)（x +2） (x-2) =________ab a b a b（小组合作一下，大胆去展示。

）1、讨论 993－ 99 能被 100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.2、你能尝试把a3－a 化成 n 个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.二展示3、由a（a +1）（a－ 1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a 得到 a（ a+1）（ a－1）的变形与这种运算有什么交流不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？4、下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1） 4a（a+2b）=4a2+8ab;（2） 6ax－ 3ax2=3ax（ 2－x） ;（3）a2－4=（a+2）（a－ 2） ;（4）x2－3x+2=x（x－ 3） +2.（努力去完成，老师相信你。

）1、下列各式中从左到右的变形，那些是因式分解因式？为什么？ (1)( a +3)( a -3)= a 2-9(2) x 2+x -5=( x -2)( x +3)+122b )(4) 2x + 1 )(3) a b +ab =ab (a+x +1=x (x（ 5） -2+ - = - ( + -)(6)9xyz -62y2=3 (3-2xy )a ab aca ab cxxyz(7)3 a 2x -6 bx +3x =3x ( a2-2 b )(8)1 xy2 + 1x 2y = 1xy ( x +y )2 2 21、计算：(1) － 3xy ( － y +xz ) (2)(-42 2 （ 3） ab 3x 3x ab（ 4） m n m n（5）m +5n )(4 m +5n )( 3ab1 c) 23三拓2x -5), 求 m ， n2、若 x +mx - n =( x -2)( 展延伸3、利用分解因式进行说明 : 9634 能被 72 整除4、阅读下列计算过程： 99 × 99+199 = 99 2 +2×99+1 = （99+1） 2 = 100 2 = 10 4 计算：999× 999+1999=____________=_____________=____________=_____________ ； 9999×9999+19999=__________=_____________=____________=____________（成功的法则是这样的，无论你的收获是如何微小，只要勤于弯腰，聚沙即可成塔。

分解因式小结

分解因式小结分解因式是指将一个多项式表达式写成若干个因式的乘积的形式。

分解因式的方法有以下几种：一、公因式提取法：如果一个多项式的每一项都有一个共有的因子，那么可以先提取出这个公因式，再将剩下的部分进行因式分解。

例如，对于多项式6x+12y，可以提取出公因式6，得到6(x+2y)。

二、差平方公式：差平方公式适用于两个平方项之差的情况，公式为a²-b²=(a+b)(a-b)。

例如，对于多项式x²-y²，可以使用差平方公式得到(x+y)(x-y)。

三、三个乘法公式：三个乘法公式是指二次多项式的乘法公式，由平方项之和展开可得。

1. 二次多项式的平方展开：(a+b)²=a²+2ab+b²；2. 平方差展开：(a-b)²=a²-2ab+b²；3. 二次多项式的乘法公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。

四、二次三项式的特殊因式：对于形如ax²+bx+c的二次三项式，可以使用以下方法分解因式：1. 完全平方三项式：先判断是否满足a、b、c之间的关系，如果满足，则可以将其分解为一个完全平方和一个常数的乘积。

例如，对于二次三项式x²+4x+4，可以分解为(x+2)²。

2. 含有公因式的二次三项式：如果二次三项式可以提取公因式，则可以先提取公因式，再进行因式分解。

例如，对于二次三项式4x²-8xy+4y²，可以提取公因式4，得到4(x²-2xy+y²)，再使用完全平方三项式公式分解为(2x-y)²。

综上所述，分解因式是一种将多项式表达式写成若干个因式乘积的形式的方法。

常用的分解因式方法包括公因式提取法、差平方公式、三个乘法公式以及二次三项式的特殊因式。

通过灵活应用这些方法，可以有效地分解因式。