精品课件-计算机图形学-第4章 曲线和曲面
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计算机图形学 曲线和曲面 算法
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
第4章曲线和曲面优秀课件
C0连续的线性插值
C2连续的样条插值
• 光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多， 要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应 该是：
（1）具有二阶几何连续（G2）； （2）不存在多余拐点和奇异点； （3）曲率变化较小。
第二节Hermite多项式
已知函数f(t)在k+1个点{ti}处的函数值 和导数值{f (j)(ti)}，i=0,1,…,k，j=0,1,…,mi-1， 要求确定一个N = m0 + m1 + … + mk - 1次的 多项式P(t)，满足下面的插值条件：
Q1(0)
Q1(1) Q2(0)
Q2(1)
（3）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同， 大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G1连续性
Q1(0)
Q1(1) Q2(0)
Q2(1)
•曲线段间C1、C2和G1、G2连续性定义 （4）Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0和C1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)大 小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C2连续性
在空间曲线的参数表示中，曲 线上每一点的坐标均要表示成某个
参数t的一个函数式，则曲线上每
一点笛卡尔坐标参数式是：
，， xx(t) y y(t) z z(t)
把三个方程合写到一起，曲线 上一点坐标的矢量表示是：
P (t) [x (t) y (t) z(t)]
关于参数t的切矢量或导函数是： P '( t ) [ x '( t )y '( t )z '( t ) ]
g 2 (t)
(t t0 )(t t1 ) (t2 t0 )(t2 t1 )
计算机图形学04：自由曲线和曲面 共65页PPT资料
G
H
M
H
T |t1
GH
M
H
1
2
R1
3
三次Hermite曲线
合并
1 1 0 0
GHMH0 0
1 1
1 0
12P0
P1 R0
取为
R1GH
0 1 0 3
解
1 1 0 01 1 0 3 2
MH
0 0
条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如
Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
§1 参数样条曲线
曲线的三种坐标表示法 直角坐标表示
42
B样条曲线
定义：
给定m+n+1个空间向量 Bk ，(k=0,1,…,m+n)，称 n次参数曲线
第4讲：自由曲线和曲面
第四章：自由曲线和曲面
参数样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 自由曲面
概述
从计算机对形状处理的角度来看
（1）唯一性 （2）几何不变性：
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行 拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状 不变。
（3）易于定界 （4）统一性：
P[x(t),y(t),z(t)T ]
P ( t ) 的 k 阶导数
dk d P k (tt) dd kxk (tt),dd kyk (tt),dd kzk (tt) T,k0,1,
《曲线与曲面》PPT课件
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3
二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确 地表示曲线，一般应画出曲线上特Hale Waihona Puke 点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质：
1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
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4
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
直母线绕一条与它交叉的 直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
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42
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
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43
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
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44
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
曲导线曲导线cc是空间曲线是空间曲线称为切线面的称为切线面的脊线三切线面29工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面并且使切线面的所有切线与地面成同一角度这样设计成的切线面称为同坡曲30直母线直母线ll沿着两条交叉直导沿着两条交叉直导ababcdcd运动且始终平行于某一导运动且始终平行于某一导平面平面qq这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为双曲抛物双曲抛物面面工程上也称双曲抛物面的投影图中只双曲抛物面的投影图中只需画出两条直导线和若干素线的投影需画出两条直导线和若干素线的投影而不必画出导平面
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34
五、锥状面
直母线 l 沿着一条直导线 EF 和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2
(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线
n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：
26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学-自由曲线与曲面
t [0,1]
参数方程的矢量和矩阵表示
矢量表示：
p(t ) at bt ct d
3 2
t 0,1
矩阵表示：
p(t ) t
3
t
2
a b t 1 t 0,1 c d
参数表示的优点
1)点动成线（t可看为时间，曲线是点随时间而动 的轨迹）；有更大的自由度控制曲线曲面的形 状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而 不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换 3)可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对 变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面 扩展到高维空间中；
通常，用基函数和控制点信 息来决定一条曲线
参数三次样条曲线几何形式可以简化表示为：
p(t)=F1(t) p0+ F2(t) p1+ F3(t) p’0+ F4(t) p’1
表示该曲线：两点的坐标及其一阶导数+调和函数， t 的取值范围：[0，1]
7.3 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样 条曲线：
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第七章
我们需要曲线曲面?
Geri
Geri’s model
Geri’s game
3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾
Bezier曲线和B样条曲线
Bezier曲面和B样条曲面
计算机图形学完整课件
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是其初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d，来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法：
void MidpointLine(x1,y1,x2,y2,color) int x1,y1,x2,y2,color; { int a,b,d1,d2,dx,y; a=y1-y2; b=x2-x1; d=2*a+b; d1=2*a; d2=2*(a+b); x=x1; y=y1;
setpixel(x,y,color); while(x<x2) { If(d<0) {x++;y++d+=d2;} else {x++;d+=d1;} setpixel(x,y,color); }
2.1.3 Bresenham 画线算法
算法分析
算法推导
可视化效果图
2.1.4 图形环境的设置
1.2 计算机图形学的发展
1.2.1 计算机图形学的发展简史 ５０年代准备阶段 ６０年代发展阶段 ７０年代推广应用阶段 ８０年代系统实用化阶段 ９０年代标准化智能化阶段
1.2.2 计算机图形学的发展方向 造型技术的发展 真实图形生成技术的发展 人—机交互技术的发展 模拟艺术的仿真 计算机动画
另外，为了方便起见，我们只考虑中心在原点，半径为整数R的圆x2+y2=R2。对于中心不在原点的圆，可先通过平移变换，化为中心在原点的圆，再进行扫描转换，把所得的像素坐标加上一个位移量即得所求像素坐标。
1.3 计算机图形学的应用
1.用户接口 2.计算机辅助设计与制造（CAD/CAM） 3.地形地貌和自然资源图 4.计算机动画和艺术 5.件 计算机图形系统软件 计算机图形显示原理 光栅扫描式图形显示器
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
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图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
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x y =(a·x1+b·y1+c)+a+0.5·b
=F(x1,y1)+a+10.5·b 1
x y 但由于（x1,y1）在直线上，故F(x1,y1)=0。
因此d的初始值1 为d0=a+0.5·b 1
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是其初 始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d，来摆脱小数，写出仅包 含整数运算的算法：
当d<0时，M在直线下方（即在Q的下 方），故应取右上方的p2作为下一个象 素。
当d>0,则应取正右方的p1。
当d=0是，二者一样合适，可以随便取一 个。
我们约定取正右方的p1。 对 每一个象素计算判别式d，根据它 的符号确定下一象素。由于d是xp 和yp的线性函数，可采用增量计算 ，以便提高运算效率。
对于直线上的点F(x,y)=0; 对于直线上方的点F(x,y)>0; 对于直线下方的点F(x,y)<0。 因此，欲判前述Q在M的上方还是下方，只要把M代入F(x,y), 并判断它的符号。构造判别式
d=F(M)=F( , )=a( )+b( )+c
xp 1 yp 0.5
xp 1
yp 0.5
必须寻找只需做一些简单的 整数运算和判别运算的方 法即可确定圆上的象素点的算法。
考虑到圆的对称性可 以减少计算量。只要 能生成8分圆，那么圆 的其它部分可以通过 一系列的简单映射变 换得到。如图所示， 假设已知一个圆心在 原点的圆上一点(x，y)，
(x, y)
( y, x)
(x, y)
(y, x)
( y, x)
( x, y)
( y,x)
( x, y)
=F(x1,y1)+a+10.5·b 1
x y 但由于（x1,y1）在直线上，故F(x1,y1)=0。
因此d的初始值1 为d0=a+0.5·b 1
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是其初 始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d，来摆脱小数，写出仅包 含整数运算的算法：
当d<0时，M在直线下方（即在Q的下 方），故应取右上方的p2作为下一个象 素。
当d>0,则应取正右方的p1。
当d=0是，二者一样合适，可以随便取一 个。
我们约定取正右方的p1。 对 每一个象素计算判别式d，根据它 的符号确定下一象素。由于d是xp 和yp的线性函数，可采用增量计算 ，以便提高运算效率。
对于直线上的点F(x,y)=0; 对于直线上方的点F(x,y)>0; 对于直线下方的点F(x,y)<0。 因此，欲判前述Q在M的上方还是下方，只要把M代入F(x,y), 并判断它的符号。构造判别式
d=F(M)=F( , )=a( )+b( )+c
xp 1 yp 0.5
xp 1
yp 0.5
必须寻找只需做一些简单的 整数运算和判别运算的方 法即可确定圆上的象素点的算法。
考虑到圆的对称性可 以减少计算量。只要 能生成8分圆，那么圆 的其它部分可以通过 一系列的简单映射变 换得到。如图所示， 假设已知一个圆心在 原点的圆上一点(x，y)，
(x, y)
( y, x)
(x, y)
(y, x)
( y, x)
( x, y)
( y,x)
( x, y)
《曲线和曲面立体的》课件
工程建模
曲线和曲面被广泛应用于工程建模，如航空航 天、汽车设计和建筑设计。
数学研究
数学家和研究人员使用曲线和曲面来研究几何 学和拓扑学等数学领域。
计算机图形学
曲线和曲面是计算机图形学中重要的概念，用 于生成三维模型和动画。
艺术和设计
曲线和曲面的美学特点使其成为艺术和设计领 域中的灵感和表达工具。
曲线和曲面的例子和案例
2 曲线的特点
曲线可以是连续的或离散的，可以有不同的 形状和长度。
曲面的定义和特点
1 什么是曲面？
曲面是三维空间中的一系列点的集合，这些 点按照一定的规律连接在一起形成的表面。
2 曲面的特点
曲面可以是平滑的或有棱有角的，可以具有 不同的形状和曲率。
曲线和曲面的公式表示
曲线
曲线可以用参数方程、极坐标方程或隐函数方程来 表示。
曲面
曲面可以ห้องสมุดไป่ตู้参数方程或隐函数方程来表示。
曲线和曲面的分类
1
曲线分类
常见的曲线分类包括直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线。
2
曲面分类
常见的曲面分类包括平面、球面、圆柱面、圆锥面和双曲面。
3
高级曲线和曲面
高级曲线包括贝塞尔曲线、样条曲线和螺旋曲线。高级曲面包括球面贝塞尔曲面、 B样条曲面和旋转曲面。
曲线和曲面的应用领域
抛物线天线
抛物线天线是一种常见的天线设 计，用于聚焦电磁波信号。
双曲线造型建筑
双曲线造型建筑以双曲线形状为 设计灵感，具有独特的外观和结 构。
正弦波曲线
正弦波曲线在物理学、信号处理 和电子工程中具有重要应用。
总结和回顾
在本课程中，我们学习了曲线和曲面的定义、特点、公式表示、分类以及应用领域。我们还分享了一些曲线和 曲面的例子和案例。回顾这些知识将帮助你在实际问题中更好地理解和应用曲线和曲面。
相关主题
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第 4 章 曲线和曲面
2. 参数曲线的定义 如图4.1所示, 对于三维空间上连续的单值参 数曲线可定义为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
0t 1
它是三维空间上的一个有界点集, t=0和t=1分别 为
参数曲线的两个端点参数。
第 4 章 曲线和曲面
BT
t＝1P(t) N zFra bibliotekt＝0
0
x
y
图 4.1 参数曲线及其几何量
T d P /dt dP/dt
对于弧长参数s,
T d P d P /dt d t d s /dt
通常称矢量T为单位切矢量。
第 4 章 曲线和曲面
3) 曲率 设以弧长s为参数, 则参数曲线上任一点的曲 率定义为k=|dT/ds|。 因此
T
dP dt
P(s),k
d2 P ds2
P(s)
即
k
d2 x d s2
(4-4)
P(t)=F1P0+F2P1+F3P′0+F4P′1
第 4 章 曲线和曲面
由于F=［F1 F2 F3 F4］可以写成
2 2 1 1
F t3 t2 t 1 3 3 2 1 TM 0 0 1 0
1 0
0
0
0 0 0 1 M 1 1 1 1 1
0 0 1 0 3 2 1 0
其矢量表示式为
(4-1)
P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0 t∈ ［ 0, 1 ］
其中, a3、 a2、 a1、 a0是其代数系数矢量, 它 们惟一地确定了一条曲线的形状和位置。 因而, 只要a3、 a2、 a1、 a0确定, 该三次参数曲线也就惟一地确定了。
第 4 章 曲线和曲面
为了确定a3、 a2、 a1、a0, 我们可以选择端 点矢量、 切矢量、 法矢量、 曲率和挠率等几何量作为 条件。 假设已知两个端点矢量分别为P(0)和P(1), 端点 切矢量分别为P′(0)和P′(1),下面我们来确定a3、 a2、 a1、 a0。
第 4 章 曲线和曲面
第 4 章 曲线和曲面
4.1 曲线和曲面的基础知识 4.2 常用参数曲线 4.3 常用参数曲面 习题
第 4 章 曲线和曲面
4.1 曲线和曲面的基础知识
4.1.1 曲线及其参数表示 1. 参数曲线的分类 曲线分为规则曲线和拟合曲线(不规则曲线)
两大类。 所谓规则曲线就是具有确定描述函数的曲线, 如直线、 圆锥曲线等。
第 4 章 曲线和曲面
4. 参数曲线的代数形式和几何形式 在以下的讨论中, 以三次参数曲线为例。 三次参数曲线的代数形式是
x(t)=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0x y(t)=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0y z(t)=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0z
t∈［0,1］
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2
d2 y d s2
2
d2 z d s2
2
1
2
称ρ=1/k为曲率半径。
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4) 法矢量 上述讨论中T是单位切矢量, dT/ds是一个与T 垂直的矢量。 将与dT/ds平行的单位矢量记作N。 对于 空间的参数曲线, 所有垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。 因此, 曲线上某一点处就有一束法线, 它们在一个平面 上, 我们称此平面为曲线在该点处的法平面, 而把平行 于矢量N的法线叫作曲线在该点的主法线, N称为单位主 法线矢量。
由式(4-1)得
(4-2)
P′(t)=3a3t2+2a2t+a1
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将上述的已知条件代入(4-1)式和 (4-2)式得
P(0)=a0 P(1)=a3+a2+a1+a0 P′(0)=a1 P′(1)=3a3+2a2+a1
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由上述方程组可求得 a0=P(0) a1=P′(0) a2=-3P(0)+3P(1)-2P′(0)-P′(1) a3=2P(0)-2P(1)+P′(0)+P′(1)
则P=FB可表示为P=TMB， 并且A=MB, B=M-1A。
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5. 重新参数化 如图4.2所示, 设曲线的原参数为t, 其两个 端点参数分别为ti和tj, 几何系数矩阵为B1=［Pi Pj P′i P′j］T, 曲线的新参数为w, 其两个端点参数分别为wi 和wj, 几何系数矩阵为B2=［Ri Rj R′i R′j］T。 由于 端点位置矢量不变, 因而有Ri=Pi, Rj=Pj。 为了保证曲 线切矢量的方向不变, 且参数化的方程仍为三次, 则w和 t必存在线性关系, 令w=at+b,于是有
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令 P0=P(0), P1=P(1), P′0=P′(0), P′1=P′(1), 将a3、 a2、 a1、 a0代入式(4-1)得
P(t)=(2t3-3t2+1)P0+(-2t3+3t2)P1 +(t3-2t2+t)P′0+(t3-t2)P′1
t∈［0,1］
(4-3)
令 F1=2t3-3t2+1, F2=-2t3+3t2, F3=t3-2t2+t, F4=t3-t2, 则式(4-3)可写为
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3. 参数曲线的几何量 以下的几何量示意图参见图4.1。 1) 位置矢量 对于三维参数曲线, 曲线上任一点的位置矢量 (即其坐标), 可用矢量P(t)表示
P(t)=［x(t) y(t) z(t)］
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2) 切矢量 对于三维参数曲线, 曲线上任一点的切矢量 可用矢量P′(t)表示, P′ (t)=［x′(t) y′(t) z′(t)］。 其大小反映了曲线关于参数t在该点处的变 化速度, 其方向趋于该点的切线方向。 对于一般参数t, 若|dP/dt|≠0, 则有
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5) 挠率 仍设以弧长s为参数, 则参数曲线上任一点 的挠率定义为τ=|dB/ds|, 它反映了曲线在该点处扭出 其密切平面的速率。 对于平面曲线, 密切平面就是曲线 所在的平面, 其副法矢量是固定不变的, 有dB/ds=0, 因 此, 确定曲线为平面曲线的充要条件是, 曲线上任意点 处的挠率等于零。 对于非平面曲线, 矢量B不再是常数, 它说明了曲线在该点处的扭挠性质。
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矢量积B=T·N,是一个与T和N垂直的矢量。 把平行于 矢量B的法线叫做曲线的副法线, B称为单位副法线矢量。 T、 N和B是三个互相垂直的单位矢量, 构成了曲线在该 点处的直角坐标系, 它在曲线给定点上决定了三个基本 方向。 通过曲线上这个给定点, 把由矢量T和N张成的平 面称为密切平面, 把由矢量N和B张成的平面称为法平面, 把由矢量B和T张成的平面称为化直平面。