导函数图象的应用

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3-1导数的概念及运算

高考总复习·数学理科（RJ）
第三章导数及其应用
【解析】 (1)f′(x)＝2 017＋ln x＋1x·x＝2 018＋ln x.
由 f′(x0)＝2 018，得 ln x0＝0，则 x0＝1.
(2)f′(x)＝aln

x＋x·1x＝a(1＋ln
x)．
由于 f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.
(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0)．
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章导数及其应用
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝＋x10＝ln（x01，＋ln x0）x0，解得 x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1，0)， ∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.故选 B. 【答案】 (1)2x＋y＋1＝0 (2)B
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章导数及其应用
角度二求切点坐标【例 3】 (2018·西安调研)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章导数及其应用
【解析】由 y′＝ex，知曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线斜率 k1＝e0＝1.
第三章导数及其应用
(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
y1＝f（x1），

求解即可．
y0－y1＝f′（x1）（x0－x1）
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章导数及其应用
跟踪训练2 (1)(2018·开封模拟)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P

(七)导数概念及应用

(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题．考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧　x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。

函数的求导及函数图像的综合应用(含答案)

1.已知函数x x a x f ln )21()(2+-=.（R a ∈）（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，xx xx x f 11)(2+=+='；………………2分对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，…………3分∴21)()(2max ee f x f +==，21)1()(min ==f x f .……………………………4分（Ⅱ）令x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，则)(x g 的定义域为（0，+∞）.……………………………………………5分在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间（1，+∞）上恒成立.∵xx a x xax x a xa x a x g ]1)12)[(1(12)12(12)12()(2---=+--=+--='① 若21>a ，令0)(='x g ，得极值点11=x ，1212-=a x ，………………6分当112=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有)(x g ∈()(2x g ，+∞)，不合题意；………………………………………7分当112=<x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间(1，+∞)上，有)(x g ∈()1(g ，+∞)，也不合题意；………………………………………9分② 若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间(1，+∞)上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………11分要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ，由此求得a 的范围是[21-，21].综合①②可知，当a ∈[21-，21]时，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.……12分2．已知函数()∈--=b a bx ax x x f ,(ln 2R ，且)0≠a .（1）当2=b 时，若函数()x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围；（2）当0>a 且12=+b a 时，讨论函数()x f 的零点个数.解：（1）当2=b 时，函数()x f x ax x 2ln 2--=，其定义域是()∞+,0，∴()xx axax xx f1222212'-+-=--=.函数()x f 存在单调递减区间，∴()xx axx f1222'-+-=0≤在()∞+∈,0x 上有无穷多个解.∴关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解. ① 当0>a 时，函数1222-+=x ax y 的图象为开口向上的抛物线，关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上总有无穷多个解. ② 当0<a 时，函数1222-+=x ax y 的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为01>-=a x .要使关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解. 必须480a ∆=+>，解得12a >-，此时102a -<<.综上所述，a 的取值范围为()1(,0)0,2-+∞ .另解：分离系数：不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解，则关于x 的不等式221212(1)1x a xx-≥=--在()∞+∈,0x 上有无穷多个解，∴21a >-，即12a >-，而0a ≠.∴a 的取值范围为()1(,0)0,2-+∞ .（2）当12b a =-时，函数()x f ()2ln 12x ax a x =---，其定义域是()∞+,0，∴()()2'12(12)1212ax a x fx ax a xx+--=---=-.令()0'=x f，得22(12)10ax a x x+--=，即22(12)10ax a x +--=，(1)(21)0x ax -+=， 0x > ，0a >，则210ax +>，∴1x = 当<<x 01时，()0'>x f；当>x 1时，()0'<x f.∴函数()x f 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴当1x =时，函数()x f 取得最大值，其值为()1ln 1121f a b a a a =--=--+=-. ① 当1a =时，()10f =，若1≠x , 则()()1f x f <, 即()0<x f .此时，函数()x f 与x 轴只有一个交点，故函数()x f 只有一个零点； ② 当1a >时，()10f >，又()011112111ln 122<-⎪⎭⎫⎝⎛--=⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a e e a e a e a e e f ，()()()02121ln 2<---=---=e e ae e a aee ef ，函数()x f 与x 轴有两个交点，故函数()x f 有两个零点；③ 当01a <<时，()10f <，函数()x f 与x 轴没有交点，故函数()x f 没有零点. 3．已知函数.)(,ln )(x x g x x f ==（Ⅰ）若1>x ，求证：)11(2)(+->x x g x f ；（Ⅱ）是否存在实数k ，使方程k x f x g =+-)1()(2122有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.解：（I ）令,1)1(2ln )11(2)()(+--=+--=x x x x x g x f x F则222)1()1()1()1(2)1(21)(+-=+--+-='x x x x x x xx F ， ------4分因.0)(,1>'∴>x F x 故函数),1()(+∞在x F 上是增函数.又1)(=x x F 在处连续，所以，函数),1[)(+∞在x F 上是增函数.1>∴x 时，).11(2)(.0)1()(+->=>x x g x f F x F 即 ------7分（Ⅱ）令=+-=+-='=+-=+-=2322222112)(,).1ln(21)1()(21)(xx x xx x x h k y x x x f x g x h 由.1,1,0,0)(,1)1)(1(2-=='+-+x x h xx x x 则令 ------9分当x 变化时，)(x h '、)(x h 的变化关系如下表：据此可画出)(x h 的简图如下， ------12分故存在)0,2ln 21(-∈k ，使原方程有4个不同实根. ------14分4．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.01,03123x e x mx x x f x（1）当0≤x 时，函数()x f 在()()1,1--f 处的切线方程为013=+-y x ，求m 的值；（2）当0>x 时，设()1+x f 的反函数为()x g 1-（()x g 1-的定义域即是()1+x f 的值域）.证明:函数()()x gx x h 131--=在区间()3,e 内无零点，在区间()2,3e 内有且只有一个零点；（3）求函数()x f 的极值.（本小题主要考察分段函数、函数与方程、函数导数、函数的极值、函数图象的切线等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识）解:（1）当0≤x 时，()2331mx x x f +=，()311-=-m f ， ……1分()mx x x f 22+='，()m f 211-=-'，……2分函数()x f 在()()1,1--f 处的切线方程为:()()12131+-=⎪⎭⎫⎝⎛--x m m y ， ……3分整理得:()032363=-+--m y x m ，所以有⎩⎨⎧=-=-132163m m ，解得.31=m ……4分(2) 当0>x 时，()x e x f =+1，所以()()1ln 1>=-x x x g ，……5分()()x g x x h 131--==()1ln 31>-x x x ，()xx xx h 33131-=-='，令0)(>'x h 得3>x ；令0)(<'x h 得31<<x ，令0)(='x h 得3=x ，故知函数)(x h 在区间)3,1(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在3=x 处取得极小值, 进而可知()x h 在()3,e 上为减函数，在()2,3e 上为增函数，在3=x 处取得极小值.……6分又 ()023)(,03ln 13,013)(22>-=<-=<-=ee h h e e h .……7分所以，函数()()x gx x h 131--=在区间()3,e 内无零点，在区间()2,3e 有且只有一个零点.……8分(3)当0>x 时，()1-=x e x f 在()+∞,0上单调递增，且()1-=x e x f >0. ……9分当0≤x 时，()()m x x mx x x f 222+=+='. ①若(),0,02≥='=x x f m 则()331x x f =在(]0,∞-上单调递增,且()0313<=x x f .又()00=f ，()x f ∴在R 上是增函数，无极值. ……10分 ②若0<m ，()()0222>+=+='m x x mx x x f ，则()2331mx x x f +=在(]0,∞-上单调递增.同理,()x f 在R 上是增函数，无极值. ……11分③若0>m ，()(),222m x x mx x x f +=+='令()0='x f ，得0,221=-=x m x .当m x 2-<时， ()0>'x f 当02<<-x m 时， ()0<'x f 所以,()2331mx x x f +=在(]m 2,-∞-上单调递增,在(]0,2m -上单调递减.又()x f 在()+∞,0上单调递增,故()[](),00==f x f 极小()[]()3342m m f x f =-=极大.……13分综上, 当0>m 时,()[](),00==f x f 极小()[]234m x f =极大.当0≤m 时, ()x f 无极值. ……14分5. 如图是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象,则下面判断正确的是A.在区间(－2,1)内f (x )是增函数B.在(1,3)内f (x )是减函数C.在(4,5)内f (x )是增函数D.在x =2时,f (x )取到极小值分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导函数的关系.解:在(－2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x =2的左侧,函数在(－23,2)上是增函数,在x =2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x =2时,f (x )取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数.答案:C6．函数a ax x y +-=23在)1,0(内有极小值，则实数a 的取值范围为（） A.(0,3) B. )3,(-∞ C. ),0(+∞ D. )23,0(解析： 32,023)('2a x a x x f ±==-=，由题意知只要230,1320<<<<a a 即选D7.（1992全国卷）等差数列{}n a 中，312a =，12130,0S S ><。

导数的综合应用

导数的综合应用类型一：导数的几何意义及应用例1.已知曲线3431)(3+=x x f 。

（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）处的切线方程；（3）求一满足斜率为1的切线方程。

变式1.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.2．设函数f(x)＝ax －b x，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．2. (2010湖北)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.y ＝f(x)在P(0，f(0))处切线方程为y ＝1.(1)确定b 、c 的值；(2)设y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x 1≠x 2时， 12()()f x f x ''≠；(3)若过点(0,2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同切线，求a 的取值范围．类型二：利用导数求解函数的单调性问题例2. 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．变式1.已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y +=，求b a ,的值；（2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围。

2．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．类型三：求函数的极值问题例3.已知函数f(x)＝kx ＋1x 2＋c(c ＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．变式1. 函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝（）A ．9B ．－9C ．1D ．－12.已知函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，且x 1，x 2是f(x)的两个极值点， 0＜x 1＜1＜x 2＜3，则a 的取值范围_________.3．设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值.类型四：求解函数的最值问题例4.已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a)。

导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一求函数的单调区间【例1】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0，解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三函数单调性的简单应用角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x，当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

§3.3-导数的应用(二)

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●利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.
A.－2
B.0
C.2
D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2. 答案：C
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3.已知函数f(x)= 1 x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数 2
m的取值范围是()
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创新预测3某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知 AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点､AD为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积. 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD 所在直线为y轴建立直角坐标系,如图,则 A(0,0),F(2,4),
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规律方法:不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(大)值问题,f(x)≥m恒成立,即m≤f(x)min,f(x)≤m恒成立即f(x)max≤m.
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创新预测2设函数f(x)= 1 x2+ex-xex. 2
(1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈【 -2，2】时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m. 解析:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,由f′(x)<0得x>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).

导数在高考中是怎么应用的？

导数在⾼考中是怎么应⽤的？考纲原⽂1．导数在研究函数中的应⽤（1）了解函数单调性和导数的关系；能利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数⼀般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会⽤导数求函数的极⼤值、极⼩值（其中多项式函数⼀般不超过三次）；会求闭区间上函数的最⼤值、最⼩值（其中多项式函数⼀般不超过三次）.2．⽣活中的优化问题会利⽤导数解决某些实际问题.知识点详解⼀、导数与函数的单调性⼀般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果 f'(x)>0,函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果f'(x)<0,函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果f'(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利⽤导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；注意：（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成⽴，且在(a,b)的任意⼦区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数f (x)在区间内的单调性.⼆、利⽤导数研究函数的极值和最值1．函数的极值⼀般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则称x=a为f (x)的极⼩值点，叫做函数f (x)的极⼩值.（2）若在点x=b处有f'(b)=0，且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0 ，则称x=b为f (x)的极⼤值点，叫做函数f (x)的极⼤值．（3）极⼩值点与极⼤值点通称极值点，极⼩值与极⼤值通称极值.2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最⾼点的纵坐标是最⼤值，图象上最低点的纵坐标是最⼩值，对于最值，我们有如下结论：⼀般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是⼀条连续不断的曲线，那么它必有最⼤值与最⼩值.设函数f(x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最⼤值与最⼩值的步骤为：（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)⽐较，其中最⼤的⼀个是最⼤值，最⼩的⼀个是最⼩值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某⼀点附近(即局部)⽽⾔，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体⽽⾔；（2）在函数的定义区间[a,b]内，极⼤（⼩）值可能有多个（或者没有），但最⼤（⼩）值只有⼀个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，⽽最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最⼤(⼩)值必在极⼤(⼩)值点或区间端点处取得.三、⽣活中的优化问题⽣活中经常遇到求利润最⼤、⽤料最省、效率最⾼等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有⼒⼯具.解决优化问题的基本思路是：考向分析考向⼀利⽤导数研究函数的单调性1．利⽤导数判断或证明⼀个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0（f'(x) <0)在给定区间上恒成⽴．⼀般步骤为：（1）求f ′(x)；（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，f'(x)>0 时为增函数，f'(x)<0时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进⾏分类讨论．注意：2．在利⽤导数求函数的单调区间时，⾸先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的⽅法（1）可导函数在某⼀区间上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意⼦区间内都不恒等于0)恒成⽴，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从⽽获得参数的取值范围；（2）可导函数在某⼀区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知f(x) 在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的⼦集，从⽽可求出参数的取值范围.4．利⽤导数解决函数的零点问题时，⼀般先由零点的存在性定理说明在所求区间内⾄少有⼀个零点，再利⽤导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.考向⼆利⽤导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数f(x)极值的⽅法：①确定函数f(x)的定义域．②求导函数f'(x)．③求⽅程f'(x)=0的根．④检查 f'(x)在⽅程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极⼤值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极⼩值；如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变，则fx() 在这个根处没有极值．（3）利⽤极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f'(x),求⽅程f'(x)=0 的根的情况，得关于参数的⽅程(或不等式)，进⽽确定参数的取值或范围.2．求函数f (x)在[a,b]上最值的⽅法（1）若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)⼀个为最⼤值，⼀个为最⼩值．（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)⽐较，其中最⼤的⼀个是最⼤值，最⼩的⼀个是最⼩值．（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯⼀⼀个极值点时，这个极值点就是最⼤(或最⼩)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应⽤.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不⼀定是最值，函数的最值也不⼀定是极值.要注意利⽤函数的单调性及函数图象直观研究确定.3．利⽤导数解决不等式恒成⽴问题的“两种”常⽤⽅法：（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利⽤导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果⼀个函数在某⼀范围内导数的绝对值较⼤，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就⽐较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”⼀些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.考向四⽣活中的优化问题1．实际⽣活中利润最⼤，容积、⾯积最⼤，流量、速度最⼤等问题都需要利⽤导数来求解相应函数的最⼤值.若在定义域内只有⼀个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯⼀的极⼤值就是最⼤值. 2．实际⽣活中⽤料最省、费⽤最低、损耗最⼩、最节省时间等问题都需要利⽤导数求解相应函数的最⼩值.⽤料最省、费⽤最低问题出现的形式多与⼏何体有关，解题时根据题意明确哪⼀项指标最省(往往要从⼏何体的⾯积、体积⼊⼿)，将这⼀指标表⽰为⾃变量x的函数，利⽤导数或其他⽅法求出最值，但⼀定要注意⾃变量的取值范围．。

导数的基本概念及性质应用

导数的基本概念及性质应用Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。

能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ yΔ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。

３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。

４、求导数的方法（１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln =' ax xa ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。

专题四导数及其应用

一、考试地位：导数知识及其应用，每年必考，属于考点中的重难点.二、考查题型、题量：一般是1—2道小题和1道解答题.分值在18—23分左右.三、考查内容：导数作为研究函数的工具，在函数习题中考查.1.导数的运算：（1）求导，其中复合函数求导为理科.（2）切线斜率相关的问题.2.利用导数判断函数的单调区间，求函数极值、最值，处理函数零点问题等.3.导数与不等式相结合考查.4.理科还考察定积分的基本运算或利用定积分求面积.四、难度：中等或偏难.1.小题考查中等题或压轴题.2.解答题：在历年新课标卷中，导数解答题都作为最后一题，习题的后几问属于难题，有一定的区分度.在个别地区的自主命题中，导数解答题有时作为压轴解答题，有时也放在前几个解答题中，难度基础或中等.以下为近三年高考真题中部分导数相关的习题.导数基础或中等习题的类型：1.小题题号靠前的习题，解答题的第一问.2.考查导数的几何意义：与切线方程、切线斜率相关的求解.3.求简单的含参函数的单调区间.4.求函数的极值点、极值.5.定积分的基本运算或利用定积分求面积（理科）.1.【2016新课标Ⅰ理，7】函数22x y x e =-在[–2,2]的图象大致为（）A. B.C. D.2.【2014山东理，6】直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 43.【2014江西理，8】若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13 D.14.【2014新课标Ⅱ理，8】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A.0B.1C.2D.35.【2015天津理，11】曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .6.【2015湖南理，11】20(1)x dx ⎰-= .7.【2014广东理，10】曲线y ＝e - 5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为 .8.【2014江西理，13】若曲线y ＝e -x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 .9.【2016北京理，18】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.10.【2016山东理，20】已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.11.【2014江西理，18】已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R ).(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围.1-8题答案供参考：1.D2.D3.B4.D5.166.07.y ＝－5x ＋38.(－ln 2，2)。

第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算、定积分

第三章导数及其应用
索引
考试要求
1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的形式)的导数；5.了解定积分的概念及简单应用．
索引
感悟提升
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0. 2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
索引
考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一导数的运算
1.下列求导运算不正确的是( A )
A.(sin a)′＝cos a(a 为常数)
C.(
x)′＝2
1 x
B.(sin 2x)′＝2cos 2x D.(ex－ln x＋2x2)′＝ex－1x＋4x
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误. 由导数公式及运算法则知B、C、D正确.
索引
角度2 求曲线的切点坐标
例2 (2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 __(_e，__1_)__，此时切线方程为____x_－__e_y_＝__0___.

函数导数及其应用PPT课件

记法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
[思考探究1] 映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.
2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系 . (2)相等函数
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解，利用判别式可以求k的范围.
[课堂笔记] 由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2 －2x＋k＝0无实数根. ∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1. ∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案] A
分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.
[考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2 009)的值为 ( ) A.－
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的任意
应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的

原函数与导函数图像之间的关系

导函数图像表示原函数的变化率。

在函数图像上，导函数图像显示了原函数的斜率。

当原函数在某一点处具有极值时，导函数在该点处的值为0。

如果原函数在某一点处是上凸的，则导函数在该点处为正值；如果原函数在某一点处是下凹的，则导函数在该点处为负值。

此外，导函数在原函数的单调性上也有重要作用。

如果导函数在某一区间内始终为正值，则原函数在该区间内单调递增；如果导函数在某一区间内始终为负值，则原函数在该区间内单调递减。

导函数还可以帮助我们找到原函数的局部极值和极值点。

总之，导函数与原函数有着密切的联系，导函数图像反映了原函数的变化率和单调性，并且可以用来找到原函数的极值点。

另外，导函数图像的波峰波谷与原函数图像的拐点有关，即导函数在原函数的拐点处取到零值。

当导函数图像从正值变为负值或从负值变为正值时，说明原函数图像在此处拐点。

此外，导函数还有很多其它应用，比如在最优化理论中，可以用导函数来寻找函数的最值点；在微积分学中，导函数可用于求函数的积分。

总之，导函数是一个非常重要的概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

第三章导数及其应用3-1导数的概念及运算

重点难点
重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用
难点：①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式
知识归纳一、导数及有关概念
(2)瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 ΔΔst＝ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
3．导数设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔyx＝ fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x) 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可导．
分析：本例所给的函数是100个因式的积，对于这种结构形式的函数，直接求导比较困难，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简化. 但必须注意取对数时真数应为正实数.
解析：两边取对数得 lny＝ln(x－1)＋ln(x－2)＋…＋ln(x－100)．两边对 x 求导：y′y ＝x－1 1＋x－1 2＋…＋x－1100. ∴y′＝x－1 1＋x－1 2＋…＋x－1100·(x－1)(x－2)·…·(x －100)．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f ′(x)．

导数与函数图像的关系分析

导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。

导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。

一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。

这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。

计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。

对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。

例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。

对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。

通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。

当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。

通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。

当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。

而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。

三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。

通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。

当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。

通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。

导数的简单应用

2022年高考数学总复习：导数的简单应用1．基本初等函数的八个导数公式(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)[g(x)](g(x)≠0)．(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u.3．切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).4．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．5．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．6．函数的最值将函数y＝f(x)在[a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．Y易错警示i cuo jing shi1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．a－1x2＋ax.若f()x为奇函数，则曲线y＝f()x在1．(2018·全国卷Ⅰ，5)设函数f()x＝x3＋()0，0处的切线方程为( D )点()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y＝x.2．(2017·全国卷Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值是( A )A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1·(x2＋x－2)．由e x－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－2<x<1时，f′(x)<0；x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A．3．(2017·浙江卷，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )[解析] 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C ．如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 确，故选D ．4．(文)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2. [解析] y ′＝2x ，k ＝21＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)即y ＝2x －2.(理)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . [解析] y ′＝2x ＋1，k ＝20＋1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .5．(2018·天津卷，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为e. [解析] 因为f (x )＝e x ln x ，所以f ′(x )＝(e x ln x )′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ·ln x ＋e x ·1x ，f ′(1)＝e 1·ln 1＋e 1·11＝e.6．(2018·江苏卷，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.[解析] 令f (x )＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2，令g (x )＝2x ＋1x 2，g ′(x )＝2－2x 3>0⇒x >1⇒g (x )在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，所以a ＝g (1)＝2＋1＝3⇒f (x )＝2x 3－3x 2＋1，求导可知在[－1,1]上，f (x )min ＝f (－1)＝－4，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )min ＋f (x )max ＝－3.7．(文)(2018·北京卷，19)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(2)＝(2a －1)e 2，由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)方法一：由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．方法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x . ①当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1. f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )在②当a >0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1.(ⅰ)当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以f (x )无极值，不合题意．(ⅱ)当x 1>x 2，即0<a <1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：(ⅲ)当x 1<x 2，即a >1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：③当a <0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．(理)(2018·北京卷，18)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0，所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)．8．(文)(2018·天津卷，20(1)(2))设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值．[解析] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)( x －t 2) (x －t 2－3) ＝( x －t 2)3－9 ( x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x － t 32＋9t 2. 故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝ t 2－3，或x ＝ t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：＝(3)3－9×3＝－6 3.(理)(2018·天津卷，20(1)(2))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2ln (ln a )ln a.[解析] (1)由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如表：所以函数h (2)由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为ax 1ln a . 由g ′(x )＝1x ln a ，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1x 2ln a .因为这两条切线平行，故有ax 1ln a ＝1x 2ln a ，即x 2ax 1(ln a )2＝1.2ln (ln a)两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－ln a.。

函数的导数中应注意的几点及应用

函数的导数中应注意的几点及应用一、导数中应注意的几个问题1、运用复合函数的求导法则x u x u y y '⋅'=',应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如x x 2sin )2(cos -='实际上应是x 2sin 2-。

(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如4)31(1x y -=选成uy 1=，x w w v v u 3,1,4=-==计算起来就复杂了。

（4）复杂函数可先化简再求导[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .[例2]求函数x x x x y 8cos 4cos 2cos cos =的导数。

2、注意分断函数在分断点处的可导与不可导 [例3]已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？3、注意利用取对数的方法求多个因式积函数的导数[例4]求函数()()()10021---=x x x y （100>x ）的导数。

4、注意极限与导数的关系作用[例5]求：①xe x x 1lim 0-→、 ②a x a x a x --→sin sin lim罗彼塔(L'Hospital)法则当x →a(或x →∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a 的某个去心邻域内(或当│x │＞N)时，与都存在，≠0，且存在则：()()()()x g ＇x f ＇x g x f a x a x →→=lim lim 、()()()()x g ＇x f ＇x g x f x x ∞→∞→=lim lim 例题：求5、注意导数与原函数的图像关系及图形作用[例6]①设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）②设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下图左图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( )[例7]求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.二、导数的应用1、利用导数的几何意义求曲线的切线方程注意：过曲线上一点的切线与曲线在某点处的切线区别！[例5]求322+=x y 在点()5,1P 处和过点)9,2(Q 的切线方程。