行列式经典例题及计算方法
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.
解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，
1,1,
n a n =-，故
01
110212
n n n D n n --=
-
-1,1,,2
i i r r i n n --=-=
0111111
1
1
n ----
1,,1
j n c c j n +=-=
121
10
2
1
(1)2(1)
2000
1
n n n n n n ------=----
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
方法2 01110212
n n n D n n --=
--11,2,,1
11111112
i i r r i n n n +-=----=
--
1
2,,1
001
2
0123
1
j c c j n
n n n +=---=
---=1
2(1)
2(1)
n n n ----
例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
12
1
100010n
n n x x a a a x
a
----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n 1
11
1
1n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于
D 1= x + a 1，2
21
1x D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题
例1计算元素为a
ij
= | i－j|的n阶行列式.
解方法1 由题设知，
11
a=0，
12
1
a=，
1
,1,
n
a n
=-，故
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
,1,,2
i i
r r
i n n
-
-
=-
=
011
111
111
n-
--
-
1,,1
j n
c c
j n
+
=-
=12
11
021
(1)2(1)
02
0001
n n
n n n
n
--
--
--
=--
-
-
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．方法2
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
1,2,,1
111
111
120
i i
r r
i n
n n
+
-
=-
-
--
=
--
1
2,,
100
120
1231
j
c c
j n
n n n
+
=
-
--
=
---
=12
(1)2(1)
n n n
--
--
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D
n =
12
1
100010n
n n x x a a a x a ----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n 1
11
1
1n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于D 1= x + a 1，22
1
1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
D 2-n +
a 1-n x + a n =
行列式经典例题
行列式经典例题(共8页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-
大学-----行列式经典例题
例1计算元素为a
ij
= | i －j |的n 阶行列式.
解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，
1,1,
n a n =-，故
01
11
212
n n n D n n --=
--1,1,,2
i i r r i n n --=-=
0111111
1
1
n ----
1,,1
j n c c j n +=-=
121
10
2
1
(1)2(1)
2000
1
n n n n n n ------=----
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
方法2 0111
212
n n n D n n --=
--11,2,,1
11111112
i i r r i n n n +-=----=
--
1
2,,1
001
2
0123
1
j c c j n
n n n +=---=
---=12(1)2(1)
n n n ----
例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2
前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
12
1
100010n
n n x x a a a x
a
----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）1+n a n
1
1
11
1
n x
x
x
-----= x D 1-n + a n
由于D 1= x + a 1，221
1
x
D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n == x 1-n D 1+ a 2x 2-n + + a 1-n x +
行列式定义法怎么计算例题
行列式定义法怎么计算例题
行列式是线性代数中非常重要的一个概念，在求解线性方程组、计算矩阵的逆等问题中都有广泛的应用。行列式的定义有很多种，其中最常用的是按照行列式定义法来计算的方法。下面将介绍行列式定义法的具体计算步骤，并通过一个例题来说明如何使用这种方法来计算行列式。
行列式定义法的计算步骤如下：
1. 将矩阵的第一行展开成一组数的乘积，每个数分别与其所在行列式的代数余子式相乘。
2. 将所得的所有乘积相加，得到行列式的值。
以下是一个示例：
已知矩阵 $A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{pmatrix}$，求其行列式的值。
按照行列式定义法的计算步骤，我们可以将矩阵 $A$ 的第一行展开成一组数的乘积：
$|A| = 1 begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix} - 2 begin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} + 3 begin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix}$
其中，$begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix}$、$begin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix}$、$begin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix}$ 分别是 $A$ 的代数余子式。
接下来，我们只需要计算这三个代数余子式的值即可。以
$begin{vmatrix} 5 & 6 8 & 9 end{vmatrix}$ 为例，其计算步骤如下：
范德蒙德行列式例题
范德蒙德行列式例题
范德蒙德行列式 (Vandermonde determinant) 是一种特殊的行列式，它可以用来求解超过三个未知数的线性方程组的解。其求解方法被称为“范德蒙德消元法”(Vandermonde reduction method)。以下是一些范德蒙德行列式的例题:
1. 求解线性方程组 Ax=b 的解，其中 A 为 n 阶方阵，x 为 n 维列向量，b 为 n 维列向量。
解：令 d1, d2, ..., dn 为 A 的列向量，则 x = (d1, d2, ..., dn)T。
首先计算 d1, d2, ..., dn 的范德蒙德行列式，记为 D:
D = (-1)^(n-1) * adj(A)
其中 adj(A) 表示 A 的伴随矩阵，即 A 的转置矩阵减去 I 的n-1 次方。
然后，利用 D 的符号，可以确定 x 的解向量:
if D > 0, then x = (d1, d2, ..., dn)T is a solution
if D < 0, then x = (-d1, -d2, ..., -dn)T is a solution if D = 0, then x is any n-vector
2. 求解线性方程组 Ax=b 的最小解，其中 A 为 n 阶方阵，x 为n 维列向量，b 为 n 维列向量。
解：令 D 为上述例题中计算得到的范德蒙德行列式，则 x 的最小解向量为:
x^T = (D + b^T * I)^(-1) * b
其中 I 表示 n 阶单位矩阵。
行列式典型例题
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研 究几何图形的变换性质。
定向
行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序， 对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行 六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。
方程组的解法
行列式可以用于求解线性方程组，通过克拉默法则进行求解。
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有关，当且仅当行列式不为零时，矩阵存在逆 矩阵。
行列式在矩阵运算中的应用
01
矩阵的乘法
02
矩阵的逆和转置
03
行列式的性质
行列式可以用于计算矩阵的乘积， 特别是当其中一个矩阵是方阵时。
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。
03
行列式的展开
二阶行列式的展开
总结词
二阶行列式是2x2矩阵的代数和，通过主对角线元素相乘减去 副对角线元素相乘得到。
详细描述
对于二阶行列式，我们可以将其表示为：(|begin{matrix} a & b c & d end{matrix}|)，根据行列式的展开法则，其值为(ad bc)。
行列式经典例题
线性代数
大学-----行列式经典例题
例1 计算元素为 a
ij = | i－j|的n 阶行列式.
解方法1 由题设知，a=0，a12 1，,a1n n 1, ，故
11
0 1 n 1 0 1 n 1
D
n
1 0 n
2 r r i i
1
i n,n 1, ,2
1 1 1 n 1 n
2 0 1 1 1 n 1 n n 1
c c
j n
j 1, ,n 1
0 2 1
n 1 n 2
( 1) 2 (n 1)
0 2
0 0 0 1
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
0 1 n 1 1 1 1
方法 2 D
n
1 0 n
2 r r
i i
1
i 1,2, ,n 1
1 1 1 n 1 n
2 0 n 1 n 2 0
1 0 0
c c
j 1
j 2, ,n
1 2 0
= n n n
1 2
( 1) 2 ( 1) n 1 2n 3 n 1
例2. 设a, b, c 是互异的实数, 证明:
的充要条件是 a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
内部资料个人复习资料
线性代数
=
行列式 即为 y
2
前的系数 . 于是
=
所以 的充要条件是 a + b + c = 0.
x 1 0 0 例 3 计算 D n =
0 x
1
a
a
a
x a
n
n 1
n 2
1
解： 方法 1 递推法 按第 1 列展开，有
1 x
1
n 1
D n = x D n 1+（－1）
= x D n 1+ a n
a n
x 1
x
1
n 1
由于 D 1= x + a 1 ，D 2
x
1 a
x a
2
1
，于是 D n = x D n 1 + a n =x （x D n 2 +a n 1）+ a n =x 2 D
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.
解方法1 由题设知，
11
a=0，
12
1
a=，
1
,1,
n
a n
=-，故
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
,1,,2
i i
r r
i n n
-
-
=-
=
011
111
111
n-
--
-
1,,1
j n
c c
j n
+
=-
=12
11
021
(1)2(1)
02
0001
n n
n n n
n
--
--
--
=--
-
-
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．方法2
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
1,2,,1
111
111
120
i i
r r
i n
n n
+
-
=-
-
--
=
--
1
2,,
100
120
1231
j
c c
j n
n n n
+
=
-
--
=
---
=12
(1)2(1)
n n n
--
--
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2
前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
12
1
100010n
n
n
x x
a a a x a ----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n
1
1
1
1
1n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于D 1= x + a 1，22
1
1x
D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
D 2-n + a 1-n x + a n =
线性代数_ 行列式_17 行列式计算的经典例子_
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
5/18
继续观察：n 阶行列式
Dn =
x a ··· a
a ...
x ··· . ..
a . ...
a a ··· x
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
6/18
解法三. 升阶法.
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
行列式计算的一个经典例子
Linear Algebra
黄正华 武汉大学 数学与统计学院
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
1/18
经典例题 计算 n 阶行列式 Dn =
x a ··· a
a ...
x ...
··· ...
a
....
a a ··· x
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
7/18
若 x = a, 则 Dn = 0.
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
8/18
若 x = a, 则 Dn = 0. 若 x ̸= a, 则将 x−1acj 加到 c1, j = 2,3,··· ,n + 1:
线性代数 (第一章 行列式)
行列式计算的一个经典例子
8/18
行列式经典例题求解技巧
行列式经典例题求解技巧
行列式是线性代数中的一个重要概念，具有很多应用于计算机科学、物理学、统计学等领域。在求解行列式的问题中，有一些经典的例题，下面我们将介绍一些行列式的求解技巧。
1. 二阶行列式求解
二阶行列式是最简单的一种，其形式为：
| a b |
| c d |
行列式的求解公式为：Det = ad - bc。
2. 三阶行列式求解
三阶行列式形式如下：
| a b c |
| d e f |
| g h i |
行列式的求解公式为：Det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3. 利用行列式的性质求解
行列式有一些性质可以简化求解的过程。其中，如果行列式的某一行（或某一列）中有一个元素全为零，那么该行列式的值就为零。
4. 利用行列式的性质进行行变换
对行列式进行行交换、行倍乘、行加减操作，可以不改变行列式的值。利用这些性质，可以将行列式化为简化形式进行求解。
5. 利用三角行列式求解
三角行列式又称上三角行列式，其定义是指下三角位置的所有元素都为零。对于一个上三角行列式，它的行列式值等于对角元素的乘积。
6. 利用行列式的行列式求解
行列式的行列式指的是：将一个行列式中的元素全部改为另一个行列式，通过求解该行列式得到原行列式的值。这种方法常用于将一个行列式化为另一个较简单的行列式进行求解。
7. 利用行列式的性质进行行化简求解
若某行上除对角线外都为 0，则行列式等于该行对应元素与该元素所在的列（行）上元素的代数余子式之和。
8. 利用行列式的伴随矩阵求解
伴随矩阵也叫伴随行列式，是方阵的转置矩阵。行列式的伴随矩阵是行列式中每个元素的代数余子式所构成的矩阵。行列式的值等于其伴随矩阵的行列式值。
线性代数专题：行列式计算
（4）
0
0
E n = 2aE n −1 − a 2 E n− 2 Fn = 2aFn −1 − a 2 Fn − 2
注意
（5） （6）
E1 = F1 = 2a
E2 = 2a a 2 = 3a 2 1 2a 2a a = 3a 2 a 2a
F2 =
两个序列
E1 , E 2 , E3 = 2aE 2 − a 2 E1 ,
1 a 2 − a1 a 2 ( a 2 − a1 )
n−3 ( a 2 − a1 ) a2 n−2 ( a 2 − a1 ) a2
1 a n − a1 a n ( a n − a1 )
n−3 ( a n − a1 ) an n−2 ( a n − a1 ) an
0 0 0
1 = ( a 2 − a1 )( a3 − a1 ) a2 2 ( a n − a1 ) a 2
当β ≠ α 当β = α
注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注 1 仿照例 1 的讨论，三对角线型的 n 阶行列式
2a a 2 1 En = 0 0
和三对角线型行列式
0
0 0 0 2a 0 0 0 2a
（3）
2a a 2 1 2a 0 0
2a a 0 a 2a a Fn = 0 a 2a 0
xy x+ y 1 0 0
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.
解方法1 由题设知，
11
a=0，
12
1
a=，
1
,1,
n
a n
=-，故
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
,1,,2
i i
r r
i n n
-
-
=-
=
011
111
111
n-
--
-
1,,1
j n
c c
j n
+
=-
=12
11
021
(1)2(1)
02
0001
n n
n n n
n
--
--
--
=--
-
-
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．方法2
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
1,2,,1
111
111
120
i i
r r
i n
n n
+
-
=-
-
--
=
--
1
2,,
100
120
1231
j
c c
j n
n n n
+
=
-
--
=
---
=12
(1)2(1)
n n n
--
--
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2
前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
12
1
100010n
n n x x a
a
a x
a ----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n
1
11
1
1
n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于D 1= x + a 1，22
1
1x
D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
D 2-n + a 1-n x + a n =
行列式计算典型例题
典型例题-------行列式的计算
计算方法：化上（下）三角形法，降阶法。
例1：计算：
解：
法1：（化上三角形法）
法2：（降阶法）
可直接用对角线法则计算三阶行列式，或：
例2：计算：
解：
计算简单些：
例3：计算：
解：（化上三角形法）
例4：证明：
证：
法2：（按列拆开）
例5：计算：
解：
例6：计算：
解：
例7：计算：
解：
例8：计算：
解：按第一行展开，有：
递推公式：
例9：
解：法1
法2：
例10：证明范德蒙(Vandermonde)行列式：
证明：用数学归纳法
（1）n=2 易证结论成立
（2）假设对n-1阶范氏行列式结论成立.证明对n阶亦成立。
例11已知三次曲线：在四个点
处的值为试求其系数。解：
例12：求四个平面相交于一点的充分必要条件。
解：平面方程可写成：，其中：t=1（看成以x,y,z,t 为未知量，为系数的其次线性方程组）。
有唯一的一组非零解
根据齐次线性方程组有非零解的必要充分条件是系数行列式等于零，即得四平面相交于一点的充分必要条件为：
例13：问取何值时,齐次线性方程组
有非零解？
解：有非零解的必要条件：D=0
由：D=0，得：。
行列式经典例题
线性代数
大学-----行列式经典例题
例1 计算元素为 a
ij = | i－j|的n 阶行列式.
解方法1 由题设知，a=0，a12 1，,a1n n 1, ，故
11
0 1 n 1 0 1 n 1
D
n
1 0 n
2 r r i i
1
i n,n 1, ,2
1 1 1 n 1 n
2 0 1 1 1 n 1 n n 1
c c
j n
j 1, ,n 1
0 2 1
n 1 n 2
( 1) 2 (n 1)
0 2
0 0 0 1
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
0 1 n 1 1 1 1
方法 2 D
n
1 0 n
2 r r
i i
1
i 1,2, ,n 1
1 1 1 n 1 n
2 0 n 1 n 2 0
1 0 0
c c
j 1
j 2, ,n
1 2 0
= n n n
1 2
( 1) 2 ( 1) n 1 2n 3 n 1
例2. 设a, b, c 是互异的实数, 证明:
的充要条件是 a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
内部资料个人复习资料
线性代数
=
行列式 即为 y
2
前的系数 . 于是
=
所以 的充要条件是 a + b + c = 0.
x 1 0 0 例 3 计算 D n =
0 x
1
a
a
a
x a
n
n 1
n 2
1
解： 方法 1 递推法 按第 1 列展开，有
1 x
1
n 1
D n = x D n 1+（－1）
= x D n 1+ a n
a n
x 1
x
1
n 1
由于 D 1= x + a 1 ，D 2
x
1 a
x a
2
1
，于是 D n = x D n 1 + a n =x （x D n 2 +a n 1）+ a n =x 2 D
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练
第一部分
例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．
n D =
1
1
a
a
解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
n D 11c n
c a
-⋅=
101
a a
a
a
-
=11()n a a a
--
=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．
n D n 1
r r -=
11
1
a a
a --1n
c c +=1
1
1
a a
a +-=n
a -2
n a
-
方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．
n D 1c 展开
=1
n a
a
a -+1
1
001
(1)
0n n a a +--
而 1
1
001
(1)
0n n a a
+--最后列展开
=
21
(1)n +-2
n a
a -=2
n a
--
n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -
方法4 利用公式
A O O
B
=A B ．
将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2)
(1)n --11a a
a
=
11a a
2
n a
a -=n
a -2
n a
-
方法5 利用公式
A O O
B
=A B ．
例2.2 计算n 阶行列式：
11
2122
1
2
n n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+ (12
0n b b b ≠)
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
常见行列式计算
一、行列式按行（列）展开定理
定理：行列式的值等于其任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即
|
123
0−40
−2−7−6
|=0∙(−1)2+1∙|23
−7−6
|+(−4)∙(−1)2+2∙|13
−2−6
|+
0∙(−1)2+3∙|12
−2−7
|=0+(−4)∙[(−6)−(−6)]+0=0
1）余子式M ij：在n阶行列式中，把元素a ij所在的第i行第j列划去后，由剩余的元素按原位置顺序所构成的n−1阶行列式，称为元素a ij的余子式，记作M ij。
2）代数余子式：(−1)i+j M ij称为元素a ij的代数余子式，记为A ij，即A ij=(−1)i+j M ij.二、行列式的性质（转置、交换、倍乘、拆分、倍加）
性质1 行列式的行与列（按原顺序）互换，行列式的值不变，即
D=|a11a12a13
a21a22a23 a31a32a33|=|
a11a21a31
a12a22a32
a13a23a33
|
注：互换后的行列式称为行列式的转置.
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式的值反号
D=|a11a12a13
a21a22a23 a31a32a33|=−|
a21a22a23
a11a12a13
a31a32a33
|D=|
111
111
245
|=0
推论如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.
性质3 行列式的某行（列）每个元素都乘常数k，则等于用k乘此行列式的值.
D=|a11a12a13
ka21ka22ka23 a31a32a33|=k|
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33