shannon entropy characteristics of two-phase flow systems

合集下载

利用香农熵的双极化合成孔径雷达船只检测

利用香农熵的双极化合成孔径雷达船只检测龙梦启;杨学志;孟俊敏;刘根旺;张晰;董张玉【摘要】The traditional constant false alarm rate (CFAR)ship detection methods have poor automaticity,and it is difficult to set false alarm rate.According to the principle that shannon entropy shows different features for ship and sea,we present a new ship detection algorithm based on shannon entropy.To test the detection performance of the new method,eight scenes of C band Radarsat-2 dual-polarimetric SAR test data were used.The algorithm of K-CFAR,G0-CFAR and XC ship detection algorithm based on reflection symmetry were contrastively analyzed with the new method for ship detection.The experimental results demonstrate that the new method has preferable detection performance.%针对传统恒虚警率（CFAR）船只目标检测方法存在虚警率设置困难、算法自动性差的问题，该文结合香农熵特征对于船只目标和海面表现出不同特性的原理，即船只目标的香农熵为正值，海面的香农熵为负值，提出了一种基于香农熵的船只目标检测方法。

香农的信息论的局限性及其推广研究

香农的信息论的局限性及其推广研究（一）立项根据与研究内容1.项目的立项根据【研究意义】关于香农信息论的局限性一直都有研究，但是信息的可靠性的研究一直在很大程度上受到忽视，比如香农（Shannon，又译申农、仙农）的信息论只是涉及到信息传输过程中的可靠性，香农对信息的定义与度量都从随机不确定性的角度来进行考虑。

目前信息的定义超过80种之多，但是信息的定义都缺乏对信息可靠性的考虑，一些信息的定义把信息当作对事物的一种真实的反映，然而信息的不可靠性是广泛存在的，从严格的角度来讲，信息很难是绝对可靠的，包含一些科学规律（一种特别的信息），也只能被证伪，而不能被证明是正确的，用于获取信息的人的感官与各类仪器设备也存在一定的不可靠性。

信息的不完备性，也是广泛存在的，往往由于条件的限制而不能得到完全的信息，如何将许多片面的信息进行融合，让信息更加完备，也是一个很重要的问题（特别说明：这里的可靠性是信息本身的可靠性，而不是信息传递、存储等方面的可靠性）。

信息的价值之因此存在，还是由于信息具有一定的可靠性，我们处于信息社会，各类各样的信息在急遽增长，如何很好利用信息，识别信息，提高信息的可靠性，将各类不完备，不可靠的信息进行利用、融合与提取，显然是非常重要的。

信息的可靠性不能完全靠人工来鉴别，人工作业有其不精确性，主观性，应当尽量使用信息技术来自动解决，减少人为推断。

互联网的出现使得信息不断急遽增长，人工处理这些浩如烟海的信息将是很困难，不现实的，需要建立有关的信息理论来通过计算机融合信息。

然而香农的信息论并不能解决这些问题，他的信息论仅仅习惯于通信等很局限的领域。

一些学者提出了广义信息论、全信息理论，统一信息理论扩展了他的理论，但是这些理论都没有考虑信息的可靠性方面。

此外，它与其他的一些信息有关的学科在一定程度上是隔离的。

在申请人提出了信息的可靠性问题后，一些学者认为可靠性是信息的重要方面，建议笔者建立可靠信息论。

Ch2 Shannon 理论 PPT课件

再看一下彩票的例子.
例3 设电脑彩票由8个10进制数组成，在开奖之前， 108个可能号码成为特等奖的概率相同,都是10-8.一旦开奖,我们就知道了特等奖的8个具体号码,因而就获得了8个十进制数的信息。
我们获得的信息量与开奖前每个可能号码成为特等奖的概率10-8有何关系?
Байду номын сангаас
明文元素定义了一个随机变量，用x表示；
密钥也定义了一个随机变量，用k表示； P和K的概率分布导出了C的概率分布，
故可将密文元素看成随机变量。
Pr(y y) Pr(k k) Pr(x dk (y)) { k:yC( k )}
其中， C(k)= {ek(x):x P},
Pr( y)
定理 2.3
假设移位密码的26个密钥都是以相同的概率1/26使用的，则对于任意的明文概率分布，移位密码具有完善保密性。
Shannon完善保密定理
假设密码体制 (P, C, K, E, D)满足|K|=|C|=|P|.这个密码体制是完善保密的，当且仅当每个密钥被使用的概率都是1/|K|, 并且对于任意的x ∈P, y ∈C, 存在唯一的密钥k, 使得e k( x)=y
•你只知道这个事情的每个结果的发生概率! •所以,我提供的信息量由你事先知道的每个可能结果的发生概率(即随机事件的概率分布)决定.
随机事件和随机变量
定义1：设一个实验有 A1, A2 , , An 共n个可能
的结果，则每个可能结果都称为一个事件。这个实验也称为一个随机事件。
性质1：设X是一个离散随机变量，它有n个可
Shannon的保密系统信息理论
1949年， Shannon发表了一篇题为《保密系统的信息理论》的论文。

shannon定理

shannon定理
Shannon定理，也叫信息熵理论，是电信领域中一项非常重要的理论。

由于它在信息编码、通信信道等方面具有很广泛的应用，因此在通信领域受到了广泛的关注。

Shannon定理是由克劳德·Shannon在1948年提出，它说的是一个信息源在传送信息时对于信息容量的限制。

在这个理论中，信息熵是对信息不确定度的度量，它描述了一个随机变量的平均信息量。

Shannon定理的核心思想是从信息的角度出发考虑通信系统的设计和分析，理论探讨的是如何在保证信息可靠性的前提下，最大限度地提高信息载荷的传输速度。

具体来说，Shannon定理提出传输的最大速率与信息的带宽、信噪比、调制识别技术等因素有关。

该定理阐述：在有限带宽上调制的信息信号能够在理论上传送的最大速率为香农定理所确定的信息速率。

换言之，如果通信中的信息码速度超过香农定理的极限，则信息在传输过程中必定会出现误码率的增加，导致传输的数据出现了丢失或者错误，使通讯效果降低。

C=Wlog2(1+S/N)
其中，C表示传输速率的最大值，W表示信道带宽，S表示信道的平均信号功率，N表示信道的平均噪声功率。

总之，Shannon定理是通信领域中一项重要的理论，它为通信技术的设计和分析提供了基础。

这个理论的应用使通信技术能够更好地适应网络、通信等领域的需求，提高了通信系统的效率和可靠性，促进了现代通信技术的发展。

2008_生物医学工程研究_正常心音的第一_第二心音频率检测_陈洁

2. The 452th H osptial of the PLA , Chengdu 610072)
Abstract: In order to observe the change of heart sound and the emergence of heart murmur, and distinguish the normal and abnormal heart sounds, we analyzed the frequency characteristics of the first heart sound and the second heart sound. In this paper , the frequency characteristics of six cases of normal first and second heart sounds and one case of abnormal heart sound were analyzed by using wavelet transform and Choi- Williams distribution. The experimental results of this two methods show that the frequency components of normal first and second heart sounds mainly concentrate in a range from 20 to 100 Hz, which is similar to the experimental data of cited literatures, it proves that the two methods are correct and feasible in analyzing the frequency characteristics of heart sound signals.

多尺度熵方法在机械故障诊断中的应用研究进展

文章编号：1671-7872(2024)01-0046-12郑近德，博士，教授，博士生导师，曾入选安徽省领军人才特聘教授、安徽省学术与技术带头人后备人选、安徽省青年皖江学者，目前担任中国振动工程学会故障诊断分会与动态测试分会与理事、安徽省振动工程学会理事、《振动与冲击》编委。

主要研究领域为动态信号处理、设备健康监测、故障诊断与智能运维等，近5年主持国家自然科学基金项目2项，安徽省教育厅杰青等课题7项；以第一作者或通信作者发表论文88篇，授权发明专利5项，出版学术专著1部。

2020—2023连续4年入选美国斯坦福大学发布的全球前2%顶尖科学家榜单。

荣获安徽省自然科学奖二等奖(R1)、安徽省科技进步二等奖(R6)和中国振动工程学会科技进步奖各1项(R1)。

潘海洋，博士，副教授，硕士生导师，研究领域包括模式识别、设备状态监测与故障诊断等，主持安徽省自然科学基金、安徽高校自然科学研究重点项目等8项，以第一作者或通信作者在国内外期刊发表SCI、EI论文52篇，参编机器学习与故障诊断方向学术专著2部，入选美国斯坦福大学发布的2022年度全球前2%顶尖科学家榜单。

刘庆运，博士，教授，博士生导师，现任安徽工业大学机械工程学院院长，曾任华东地区机械原理教学指导委员会理事、安徽省机械原理与机械设计研究会副理事长等。

主要研究领域为机器人设计与控制、设备智能运维等，主持国家重点研发计划子课题、国家技术创新工程试点安徽省专项资金项目子课题、安徽省科技重大专项计划等10余项，获安徽省科学技术一等奖和二等奖各1次、江苏省教育厅二等奖1次、安徽省科技成果1项、安徽省教育厅一等奖和二等奖各1次。

多尺度熵方法在机械故障诊断中的应用研究进展郑近德，姚殷柔，潘海洋，童靳于，刘庆运(安徽工业大学机械工程学院, 安徽马鞍山 243032)摘要：机械设备状态监测与故障诊断的关键是故障特征的表征与提取，采用基于熵及相关方法建立的非线性动力学指标能够提取蕴藏在振动信号中的非线性故障特征信息。

第九个知识点：香农（Shannon）定义的熵和信息是什么？

第九个知识点：⾹农（Shannon）定义的熵和信息是什么？第九个知识点：⾹农(Shannon)定义的熵和信息是什么这是计算机理论的最后⼀篇.我们讨论信息理论的基础概念,什么是⾹农定义的熵和信息.信息论在1948年被Claude E.Shannon建⽴.信息论最开始被应⽤于信号处理,但是经过⼏⼗年的发展,它现在已经被应⽤到各个学科了.这篇⽂章尝试简洁的介绍两个基础的概念,熵(entropy)和信息(information).如果你对这个感兴趣,我个⼈推荐你在这⾥学习更多.[1]熵熵是衡量⼀个或者多个变量不确定性的度量.现在让我们评价⼀下他们的答案:显然,密码学家的答案是相当确定的(低不确定性),⽽如果答案来⾃乘客,则很难猜到(⾼不确定性).换句话说,我们说密码学家组的答案熵低,⽽乘客组的答案熵⾼.因此⾹农的⼀个最著名的贡献就是⾹农熵的定义:H=−∑i p i log b p i其中p i是⼀个之前答案出现的可能性.在计算机科学中,我们通常使⽤b=2(bits).如果我们计算熵值,我们就有H cryptographer=−∑4i1log21=0H passenger=−∑41log2(1/4)=2所以乘客的答案的熵确实⽐密码学家的⾼!信息形式上,Shannon信息的定义在[2]中给出:信息是衡量⼀个⼈在选择信息时的选择⾃由.为了解释这个问题,让我们对前⾯的事例做⼀个⼩的修改.让我们从Bristol⽕车站再抓四个乘客,假设他们的答案也是随机门户,就像长途汽车站的乘客⼀样.问题是:给定⼀个答案y,你能说答案来⾃哪⼀组?因此它们跟熵有什么关系?扩展熵的定义,我们将条件熵定义为:H(Y|X)=sum x∈X p(x)H(Y|X=x)这个公式描述了当X=x条件Y的熵.更明确的说,因为熵是⼀个变量的不确定性.因此,先前条件熵的定义实际上是当给定条件为"线索"(条件)X的不确定的Y.观察:考虑两个变量X和Y.如果X包括Y的最⼩信息,然后给出⼀个额外的X的精确值对我们推断Y的值应该没有多⼤帮助,也就是说,它并没有明显的降低Y的不确定性.另⼀⽅⾯,如果X包含了Y的基本信息.那么当X给定时,Y的熵应该是低了很多.因此,条件熵可以看作是看作是对X对Y的信息是⼀种合理的度量!另⼀个重要的指标就是互信息(Mutual Information).它是两个变量测量的度量.⼀种定义它的⽅法就是熵的减少值.I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)密码学实例信息论的概念⼴泛应⽤于密码学.⼀个典型的例⼦就是把密码学看作⼀个信道,明⽂是输⼊,密⽂是输出.侧信道的研究也得益于信息论.[1] Thomas M. Cover and Joy A. Thomas. Elements of Information Theory2nd Edition. Wiley-Interscience, 2 edition, July 2006.[2] S. Vajda, Claude E. Shannon, and Warren Weaver. The mathematicaltheory of communication. The Mathematical Gazette, 34(310):312+,December 1950.Processing math: 100%。

新型有效的秘密共享方案

新型有效的秘密共享方案石润华;黄刘生;杨威;仲红【摘要】提出了一种新的秘密共享方案.该方案分两层实现:上层,基于Stern-Brocot树把一个大的秘密拆分为t个小整数(子秘密)；底层,借鉴一维元胞自动机模型中的进化方法,把上层的t个子秘密作为初始状态,动态生成各参与者的共享.特别地,该方案能够动态扩展参与者,动态调整门限值,动态更新秘密和共享.另外,还具有计算简单,各参与者共享份额短的优点.分析结果表明,该方案安全、有效.%A novel secret sharing scheme was proposed. This scheme consisted of two layer protocols: in the first layer, a larger secret was split into / smaller integers (sub-secrets) based on the Stern-Brocot tree; in the lower layer, (sub-secrets obtained from the first layer were regarded as t initial states in one-dimensional cellular automaton model, and then from the t initial states it could dynamic create all participants' shares according to the simple fixed rule. This scheme could dynamic add new member, adjust the threshold value and renew the secret and the shares. Besides, there were still other advantages that the costs of the computation were very low and the size of the shares was very small. The results of analysis show that it was secure and very efficient.【期刊名称】《通信学报》【年(卷),期】2012(033)001【总页数】7页(P10-16)【关键词】秘密共享;门限;动态;Stern-Brocot树【作者】石润华;黄刘生;杨威;仲红【作者单位】安徽大学计算机科学与技术学院,安徽合肥230039;中国科学技术大学计算机科学与技术系国家高性能计算中心,安徽合肥230026;中国科学技术大学苏州研究院,江苏苏州215123;中国科学技术大学计算机科学与技术系国家高性能计算中心,安徽合肥230026;中国科学技术大学苏州研究院,江苏苏州215123;中国科学技术大学计算机科学与技术系国家高性能计算中心,安徽合肥230026;安徽大学计算机科学与技术学院,安徽合肥230039【正文语种】中文【中图分类】TP3091 引言秘密共享在现实生活中有着非常重要的应用。

Shannon关于“熵”的研究

Shannon关于“熵”的研究Shannon关于“熵”的研究冯志伟1948年，美国科学家C. E. Shannon（⾹农，1916-2001，图2-8）在《贝尔系统技术杂志》（Bell System Technical Journal，27: pp 379-423, 1948）上发表了《通信的数学理论》（A mathematical theory of communication）的长篇论⽂，奠定了信息论（Information Theory）的理论基础，Shannon被尊为“信息论之⽗”。

Shannon于1916年4⽉30⽇出⽣于美国密歇根州的Petoskey，1936年毕业于密歇根⼤学并获得数学和电⼦⼯程学⼠学位，1940年获得⿇省理⼯学院（MIT）数学博⼠学位和电⼦⼯程硕⼠学位。

1941年他加⼊贝尔实验室数学部，⼯作到1972年。

1956年他成为⿇省理⼯学院（MIT）客座教授，并于1958年成为终⽣教授，1978年成为名誉教授。

Shannon于2001年2⽉26⽇去世，享年84岁。

信息论是研究信息传输和信息处理系统中的⼀般规律的科学。

在信息论产⽣之前，⼈们对于信息系统的理解是⽐较肤浅的，⼀般把携带信息的消息看成是瞬态性的周期性的信号。

后来，⼈们把近代统计⼒学中的重要概念，把Markov随机过程理论以及⼴义谐波分析等数学⽅法应⽤于信息系统的研究中，才看出通信系统内的信息实质上是⼀种具有概率性的随机过程，从⽽得出了⼀些概括性很⾼的结论，建⽴了信息论这个学科。

信息论的研究对象是⼴义的信息传输和信息处理系统，从最普通的电报、电话、传真、雷达、声纳，⼀直到各种⽣物的感知系统，都可以⽤同样的信息论观点加以描述，都可以概括成这样的或那样的随机过程加以深⼊的研究。

从信息论的⾓度看来，⽤⾃然语⾔来交际的过程，也就是从语⾔的发送者通过通信媒介传输到语⾔的接收者的过程。

图⽰如下（图2-9）语⾔的发送者（即信源）随着时间的顺序顺次地发出⼀个⼀个的语⾔符号，语⾔的接收这也随着时间的顺序顺次地接收到⼀个⼀个的语⾔符号。

基于Shannon_熵与声发射信号的CBN_砂轮性能监测方法研究

Journal of Mechanical Strength2023,45(2):321-330DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.010∗20210710收到初稿,20210814收到修改稿㊂上海市科学技术委员会项目(N17DZ2283300)资助㊂∗∗谭永敏,女,1997年生,广西贵港人,壮族,上海理工大学光电信息与计算机工程学院在读硕士研究生,主要研究方向为信号与信息处理㊂∗∗∗施㊀展,女,1963年生,浙江余姚人,汉族,上海理工大学光电信息与计算机工程学院副教授,主要研究方向为精密仪器及工程㊂∗∗∗∗迟玉伦,男,1983年生,黑龙江牡丹江人,汉族,上海理工大学机械工程学院高级实验师,博士,主要研究方向为现代制造技术㊂基于Shannon 熵与声发射信号的CBN 砂轮性能监测方法研究∗RESEARCH ON CBN GRINDING WHEEL PERFORMANCE MONITORINGMETHOD BASED ON SHANNON ENTROPY ANDACOUSTIC EMISSION SIGNAL谭永敏∗∗㊀施㊀展∗∗∗㊀迟玉伦∗∗∗∗㊀顾佳健(上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093)TAN YongMin ㊀SHI Zhan ㊀CHI YuLun ㊀GU JiaJian(School of Optical-Electrical and Computer Engineering ,University of Shanghai for S&T ,Shanghai 200093,China )摘要㊀为了在磨削加工过程中能够有效判别CBN(Cubic Boron Nitride)砂轮的磨削性能,提出了一种基于Shannon 熵理论与声发射信号的CBN 砂轮性能监测方法㊂首先,利用声发射传感器采集CBN 砂轮磨削加工过程中的声发射信号,基于最大信息熵对CBN 砂轮磨削加工过程中的声发射信号进行概率密度估计,获得磨削加工过程中声发射信号的最大熵概率密度分布㊂然后,通过分析研究CBN 砂轮在修整过后循环磨削以及不同直径剩余磨削时的声发射信号特征,根据交叉熵原理分析CBN 砂轮不同磨削性能时声发射信号最大熵概率密度分布,并通过设定交叉熵阈值来辨别磨削加工过程中CBN 砂轮的磨削性能㊂最后,为验证该方法的实用性,在某工厂CBN 砂轮磨削产品生产线上进行大量实验研究,结果表明,该方法对CBN 砂轮磨损状态及CBN 砂轮剩余寿命进行有效监测,验证了该方法监测CBN 砂轮在磨削加工过程中磨削性能的有效性㊂关键词㊀CBN 砂轮磨削性能㊀声发射信号㊀Shannon 熵㊀最大信息熵㊀交叉熵中图分类号㊀TH161Abstract ㊀In order to effectively evaluate the grinding performance of CBN(Cubic Boron Nitride)grinding wheel in thegrinding process,a monitoring method of CBN grinding wheel performance was proposed based on Shannon entropy theory and acoustic emission signal.Firstly,the acoustic emission signal of CBN grinding wheel was collected by an acoustic emission sensor.Then,the probability density and distribution of acoustic emission signal of CBN grinding wheel was estimated by using the maximum information entropy.In addition,the characteristics of acoustic emission signals of CBN grinding wheel during cyclic grinding after dressing and residual grinding with different diameters were analyzed and discussed.Subsequently,the relationship between the maximum entropy probability density distribution of acoustic emission signals and the different grinding performance of CBN grinding wheel was established according to the cross entropy principle.Finally,a large number of experiments verifiedthe availability above mentioned estimation method.The CBN grinding wheel wear status and the remaining life of CBN grinding wheel can be monitored.Key words ㊀Grinding performance of CBN wheel ;Acoustic emission signal ;Shannon entropy ;Maximuminformation entropy ;Cross entropyCorresponding author :CHI YuLun ,E-mail :chiyulun @ ,Tel :+86-21-55274412,Fax :+86-21-55274412The project supported by the Science and Technology Commission of Shanghai Municipality (No.N17DZ2283300).Manuscript received 20210710,in revised form 20210814.0㊀引言㊀㊀由于CBN(Cubic Boron Nitride)砂轮的磨削性能较好,已经逐渐替代了普通砂轮,在磨削加工过程中发挥着重要作用,它的使用极大地提升了磨削生产效率,㊀322㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀因此被广泛应用于高速㊁超高速㊁高精度磨削中[1-2]㊂在磨削加工过程中,随着磨削时间不断增加,砂轮表面磨粒会逐渐钝化和脱落,影响砂轮表面质量的稳定性㊂由于磨削加工过程中产生的微小磨屑不易排出,砂轮表面容易堵塞,造成进一步的磨损,影响其磨削性能,进而影响了工件表面质量[3-4]㊂CBN砂轮作为磨削性能较好的砂轮,由于其价格昂贵,为了使其在磨削加工过程中发生磨损时能得到及时修整以及砂轮直径剩余到一定量产生严重磨损时得到及时更换,保证其良好的磨削性能,延长其使用寿命,保证加工产品表面质量[5]㊂因此需要建立一套完整的监测系统来监测磨削加工过程砂轮的磨削性能㊂由于声发射信号能采集磨削加工过程中磨削材料㊁砂轮磨粒及结合剂等动态变化而释放的弹性波信号,是一种很理想的磨削加工过程监测信号[6-8]㊂因此,许多国内外研究者基于声发射信号对砂轮磨削性能监测方法做了一定的研究㊂王强等[9]通过信号归原处理法与小波包能量系数法有效地监测砂轮磨损状态,在一定程度上提高了砂轮磨损识别准确率,但存在砂轮磨损状态判别时间长的弊端,对加工效率有着一定的影响㊂YANG Z S等[10]介绍了一种从原始声发射信号中识别磨削周期信号的预处理方法,使用离散小波分解将每个分解级别的均方根和方差指定为特征向量,采用支持向量机分析了不同磨削深度时砂轮磨损状态判别准确率都高达99%以上㊂SUTOWSKI P等[11]使用图像分析可视化方法分析声发射信号特征,该方法可以监测磨削加工过程中砂轮活动表面的磨损迹象㊂毕果等[12]利用声发射㊁砂轮振动㊁磨削力等多种类型加工过程信号,提取和选择能够全面㊁灵敏反应砂轮磨损状态的特征,基于Dempster-Shafer证据理论,进行多源信息融合,实现精密磨削砂轮磨损状态在线识别㊂丁宁等[13]建立了一种基于声发射信号的砂轮磨损监测模型,采用小波分解系数均方值特征提取与BP 神经网络相结合的方法实现了对砂轮磨损的监测㊂SUPRIYO M等[14]将采集到的振动信号和功率信号结合自适应时频分析技术Hilbert-Huang变换和支持向量机的外圆磨削砂轮磨损实时识别方法,通过多次磨削实验验证了该方法的有效性,并且低切削深度和高切削深度下砂轮磨损的判别精度能够达到100%㊂虽然许多监测技术已经被用来采集砂轮磨削加工时的信号,且基于振动信号㊁功率信号㊁磨削温度以及声发射信号研究砂轮磨损的方法颇多,但是仍未有一套更加简洁有效的监测系统来监测砂轮磨损性能㊂磨削加工过程中砂轮磨削性能的变化,往往对磨削加工效率和工件质量产生负面影响,所以对磨削加工过程中砂轮磨削性能进行监测至关重要㊂基于声发射传感器采集到的声发射信号,本文提出了一种基于Shannon熵理论的CBN砂轮磨削性能监测方法,利用最大熵模型分析磨削加工过程中砂轮修整过后不断循环磨削以及不同剩余直径磨削时声发射信号的最大熵概率密度分布,利用交叉熵对最大熵概率密度分布进一步分析,最后根据工件表面粗糙度是否达标来设定交叉熵阈值以监测CBN砂轮磨损状态及CBN砂轮的剩余寿命㊂1㊀CBN砂轮磨损分析㊀㊀砂轮在磨削加工过程中,由于机械㊁物理㊁化学等作用造成磨粒的破损脱落㊁结合剂破损脱落以及被磨材料黏附堵塞的损坏,最终造成砂轮的磨损[15],如图1所示㊂图1㊀砂轮磨损的典型形式Fig.1㊀Typical forms of grinding wheel wear图1中,A-A面为结合剂破损脱落,B-B面为磨粒的破碎,C-C面为磨粒的磨耗磨损㊂而CBN砂轮的磨损机理㊁磨损形式和磨损主要表现形式与普通砂轮的不尽相同,CBN砂轮的磨损形式主要表现为磨削初期磨粒的脱落和破碎㊁磨削过程中磨粒的黏附和微破碎以及修整后进入稳定磨损过程中磨粒黏附和微破碎自锐[16]㊂由于CBN砂轮有着较高的耐磨性,比普通磨料难磨损,但是经过长时间的高速磨削,CBN砂轮在磨削过程中也会产生磨损[17]㊂与普通磨料砂轮一样,CBN 砂轮的磨损程度会随着被磨除材料体积的增加而愈加严重㊂CBN砂轮的磨损过程如图2所示,在开始磨削时,结合剂的破碎和磨粒裂纹的扩展造成CBN磨粒的脱落和微破碎,而CBN磨粒顶部的磨损使单颗磨粒的磨削力增加,加剧了CBN磨粒的脱落和破碎㊂因而,在磨削初期,CBN砂轮的磨损量较大㊂随着磨削过程的进行,CBN磨粒的脱落和破碎减缓,进入正常切削,砂轮的磨损量明显减小㊂当黏附物增大到一定程度时,增大的磨粒和黏附物的脱落引起部分磨粒的微破碎,未黏附的磨粒则产生缓慢的磨耗磨损,砂轮进入相对稳定的自锐和磨耗磨损过程㊂由于CBN砂轮有着特制的结合剂,在磨削过程中极少会产生磨粒脱落㊂当CBN砂轮到达急剧磨损阶段一段时间后,工件表面㊀第45卷第2期谭永敏等:基于Shannon 熵与声发射信号的CBN 砂轮性能监测方法研究323㊀㊀粗糙度值增大,工件表面质量变差,此时的砂轮已经严重受损[18-20]㊂因此,为了使CBN 砂轮能够得到有效地及时修整以及更换,本文将采用声发射传感器采集CBN 砂轮磨削过程中的声发射信号,以便通过分析声发射信号来确定砂轮修整和更换周期㊂图2㊀CBN 砂轮不同磨损阶段Fig.2㊀Different wear stages of CBN grinding wheel工件表面质量在很大程度上受到砂轮磨削性能的影响,而在磨削加工过程中,通过操作人员经验来判断砂轮的修整以及更换周期是很难做到合理的,因此本文将通过建立基于Shannon 熵理论的最大熵和交叉熵模型分析砂轮磨削加工过程中的声发射信号来确定砂轮的修整及更换周期,从而保证加工表面质量㊂2㊀Shannon 熵理论模型2.1㊀最大熵原理㊀㊀最大熵原理是由统计物理学家JAYNES ET [21]620-630基于Shannon 熵所提出的一种用于对不确定随机信号的特殊信息进行预测和判断的方法,是信息论中的一个重要理论㊂JAYNES E T [21]620-630指出:对一个未知的分布形态进行概率估计时,在满足未知概率分布的约束条件下,使得信息熵达到最大值时所对应的概率分布是最佳且最符合实际的分布,该准则称为最大信息熵原理[22]㊂假设在离散随机系统中变量X 的概率p (x i )未知,由信息论中信息熵的定义可得H (X )=-ðNi =1p (x i )ln p (x i )(1)且随机变量X 的概率之和为1,即ðNi =1p (x i )=1,p (x i )ȡ0㊀i =1,2, ,N(2)㊀㊀根据最大熵原理可知,要得到最优的概率分布的估计值p (x i ),需要选择合适的约束条件使得信息熵H (X )获得最大的概率分布㊂为了准确估计概率分布,定义约束条件为ðNi =1p (x i )f m (x i )=c m (3)f m (x i )=x -i ()m ㊀㊀m=1,2, ,c (4)其中,p (x i )为随机变量x i 的概率值;x i 为随机变量X的取值;f m (x i )为随机变量X 在不同区域i (i =1,2, ,N )的m 阶原点矩;c m 为随机变量X 的m 次方的均值㊂式(1)在式(2)~式(4)的m 阶原点矩约束条件下,使得信息熵达到最大值的概率密度分布为在已知条件下求得的最佳概率分布,此时求概率分布的问题就变成求约束条件下的最大值问题㊂一般求目标函数式(1)在约束条件式(2)~式(4)下达到最大值时的最佳概率密度值p (x i )时,需要构造Lagrange 函数,为L (p i ,λ,μm )=H (X )-λðN i =1p (x i )-1()-ðc m =1μm ðNi =1p (x i )f m (x i )-c m ()(5)式中,λ㊁μm 均为对应于m +1个约束条件的拉格朗日乘子,对式(5)分别求关于p (x i )㊁λ㊁μm 的偏微分,即∂L ∂p i =0,∂L ∂λ=0,∂L ∂μm=0(6)㊀㊀最后通过迭代法求解式(6)可得到目标函数达到最大值时的最佳概率密度值p (x i )㊂由于不同的声发射信号具有不同的概率密度分布,从声发射信号的概率密度分布可以知晓其大体情况㊂因此,本文采用最大熵原理对CBN 砂轮磨削加工过程中的声发射信号进行概率密度估计,从而获得砂轮磨削过程中声发射概率密度的最佳估计㊂2.2㊀交叉熵原理㊀㊀交叉熵概念由KULLBACK 于1959年提出,随后得到SHORE J E 和JOHNSON R W 的推广,使得交叉熵原理在信号处理等领域得到了广泛应用,成为现代信息论中一个重要的理论㊂交叉熵也称为鉴别信息㊁相对熵㊁KL 散度,用于衡量两个分布之间的差异大小㊂为了进一步分析不同声发射信号间最大熵概率密度分布的变化趋势,本文采用交叉熵原理计算CBN 砂轮磨削加工过程中声发射信号概率密度分布变化的交叉熵值,进而根据交叉熵值的变化对CBN 砂轮磨削性能进行监测㊂下面将介绍在离散随机系统中变量X 的交叉熵[23]㊂假设离散随机变量X 的可能取值为{x 1,x 2, ,x N },且随机变量X 的概率分布与假设的H 1和H 2有关㊂这两种不同条件下的概率分布分别为㊀324㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀㊀㊀H 1:X p 1(x )éëêêùûúú=x 1x 2x Np 1(x 1)p 1(x 2)p 1(x N )éëêêùûúúðNi =1p 1(x i )=1ìîíïïïï(7)㊀㊀H 2:X p 2(x )éëêêùûúú=x 1x 2x Np 2(x 1)p 2(x 2)p 2(x N )éëêêùûúúðNi =1p 2(x i )=1ìîíïïïï(8)㊀㊀另假设H 1和H 2成立时其概率分别为p (H 1)和p (H 2),由条件概率公式和全概率公式得p H 1x N ()=p (H 1)p 1(x N )p (H 1)p 1(x N )+p (H 2)p 2(x N )(9)p H 2x N ()=p (H 2)p 2(x N )p (H 1)p 1(x N )+p (H 2)p 2(x N )(10)其中p 1(x N )=p x N H 1()(11)p 2(x N )=p x N H 2()(12)可得lgp 1(x N )p 2(x N )=lgp 1H 1x N ()p 2H 2x N ()-lgp (H 1)p (H 2)(13)㊀㊀则在假设H 1下,概率分布p 1(x )和p 2(x )之间的交叉熵为式(13)的数学期望,表示为D (p 1,p 2)=ðNi =1p 1(x i )lgp 1(x i )p 2(x i )(14)3㊀实验研究3.1㊀实验设置㊀㊀以上提出了基于最大熵与交叉熵的CBN 砂轮性能监测方法,为了验证该监测方法的可靠有效性,在工厂内孔CBN 砂轮磨削产品生产线上进行了一系列的验证实验㊂如图3a 所示,此次实验采用3MZ203全自动磨床,采用电磁无心夹具,CNB 砂轮规格尺寸为10.5mm ˑ14mm ˑ10.3mm,工件材料为轴承钢GCr15,工件直径为12.8mm,以切入磨的磨削加工方式精磨工件内孔,加工生产工件如图3c 所示,加工生产后的工件进行相关质量检测如图3d 所示㊂CBN 砂轮采用金刚滚轮修整,每生产加工60个零件进行一次砂轮修整,如图3b 所示㊂本次实验采用声发射传感器的型号为AE-2000,其自身具有超强的磁性吸座,将其吸附在工件支撑架上,用于监测CBN 砂轮磨削加工过程中产生的声发射信号㊂本次实验采用的数据硬件为NI 公司的高速采集卡,数据采集软件(Labview 编写程序),设置采样频率为1m /s 以采集砂轮磨削加工过程中产生的AE图3㊀砂轮磨削加工监测过程Fig.3㊀Monitoring process of grinding wheel信号㊂本次实验将磨削加工过程分为单次修整磨削循环过程和多次修整磨削循环过程进行砂轮性能研究,在单次修整磨削循环过程中,单次修整后CBN 砂轮在连续磨削加工过程中会产生不同程度的磨损,严重时会影响产品加工表面粗糙度质量,所以本次实验采用声发射传感器对CBN 砂轮磨削磨损的情况进行监测以保证砂轮能够及时修整以保证磨削加工产品的质量㊂在多次修整磨削循环过程中,砂轮在磨削加工过程中随着修整次数的增加,其直径也一直减少,当砂轮直径减少到一定程度时其加工性能也会发生变化,容易造成加工工件表面质量问题,所以需要利用声发射信号对砂轮使用过程中多次修整不同直径下砂轮性能进行监测以及时更换新的砂轮㊂因此,本实验基于上述所提出的监测方法和表1磨削加工参数,分别对单次修整磨削循环过程中CBN 砂轮连续磨削磨损状态和多次修整后CBN 砂轮不同直径时加工性能进行磨削加工监测,实现砂轮及时修整和及时更换新砂轮,从而保证磨削产品的加工表面质量㊂㊀㊀在磨削加工过程中,当对砂轮进行单次修整后循环磨削加工时,砂轮会产生不同程度的磨损,此时声发射传感器监测到砂轮磨削加工时产生的声发射信号会发生变化,如图4所示,通过声发射信号的变化可以反映单次修整砂轮后砂轮循环磨削加工的状态㊂当对磨削加工过程中的砂轮进行多次修整后,砂轮直径会不断减少,砂轮的加工性能也会减弱,因此修整不同直径剩余量的砂轮后磨削工件时的声发射信号会发生变化,如图5所示㊂因此本文可以通过上述提出的监测㊀第45卷第2期谭永敏等:基于Shannon 熵与声发射信号的CBN 砂轮性能监测方法研究325㊀㊀方法对单次修整磨削循环过程和多次修整磨削循环过程的声发射信号进行分析㊂表1㊀磨削加工参数表Tab.1㊀Table of grinding parameters 参数名称Parameter name 参数值Value滚轮规格Roller specification /mm 47ˑ29砂轮规格Grinding wheel specifications /mm10.5ˑ14ˑ10.3工件直径Workpiece diameter /mm12.8砂轮主轴转速Spindle speed of grinding wheel /(r㊃min -1)58000工件线速度Workpiece linear velocity /(m㊃s -1)工件轴转速Workpiece shaft speed /(r㊃min -1)计数修整间隔Count dressing interval长修次数Long repair times自动修整次数Number of automatic dressing进给轴步进量Feed shaft step /μm0.603900603310图4㊀单次修整砂轮RMS(Root Mean Square)和原始信号图Fig.4㊀RMS(Root Mean Square)and original signal diagram of single dressing wheel3.2㊀实验结果及其分析㊀㊀为了进一步分析CBN 砂轮在磨削加工过程中进行单次修整和多次修整后声发射信号的变化,下面将介绍如何用最大熵原理对声发射信号的最大熵概率密度分布进行估计,并利用交叉熵原理进一步分析最大熵概率密度值的变化㊂3.2.1㊀声发射信号的最大熵概率密度分布估计㊀㊀为了说明声发射信号最大熵概率密度值估计的过程,即式(1)~式(6)概率密度估计过程,下面以单次修整后砂轮磨削加工第一个工件声发射信号为对象,介绍如何对声发射信号的最大熵概率密度分布进行估计㊂将采集到的声发射信号按幅值从小到大划分为10等分区间,每个区间记为[a j ,a j +1)(j =0,1, ,9),即式(1)中N =10,并对声发射信号在10个区间的分布频率和均值进行统计,以便对最大熵概率密度分布进行估计㊂将处于区间[a j ,a j +1)(j =0,1, ,9)声发射信号的个数记为m j ,处于[a 0,a 10)间数据的个数记为n ,即样本数记为n ,通过m j /n 的计算可以获得信号在10个区间上的分布频率值,同时还可以得到信号在10个区间上的均值,如表2所示㊂将区间频率分布值代入式(1)~式(4),采用5阶原点矩约束,即m =5,通过式(5)可以获得声发射信号的最大熵概率密度分布,并将最大熵概率密度分布值采用三次样条插值获得其拟合曲线,如图6所示㊂通过对声发射信号的最大熵概率密度值的估计,可以分析CBN 砂轮磨削加工过程中声发射信号的变化㊂表2㊀声发射信号的区间分布概率与均值Tab.2㊀Interval distribution probability and mean value of acoustic emission signal区间Interval h 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10概率Probability 0.00010.00270.02780.13640.30780.32370.16170.03620.00350.0001均值Mean-1.160-0.899-0.644-0.392-0.1430.10770.35750.60780.8619 1.1162㊀326㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图5㊀多次修整砂轮RMS和原始信号图Fig.5㊀RMS and original signal diagram of multiple dressing wheel3.2.2㊀砂轮单次修整磨削声发射最大熵概率密度的变化㊀㊀由于CBN砂轮在磨削加工过程中进行单次修整后磨削加工时,会产生不同程度的磨损,以至于磨削加工的声发射信号会发生变化,因此可以研究砂轮进行单次修整后的声发射信号的变化㊂根据3.2.1关于最大熵概率密度估计值的计算过程,可以获得在砂轮磨削加工过程中进行单次修整后磨削加工声发射信号的㊀第45卷第2期谭永敏等:基于Shannon 熵与声发射信号的CBN 砂轮性能监测方法研究327㊀㊀图6㊀最大熵概率密度分布图Fig.6㊀Maximum entropy probability density distribution最大熵概率密度分布值㊂因此将砂轮进行单次修整后不同磨损阶段的声发射信号求其最大熵概率密度分布值,记砂轮修整后开始磨削加工的声发射信号最大熵概率密度值为P 1,砂轮磨削10个工件后㊁砂轮磨削20个工件后㊁砂轮磨削40个工件后和砂轮磨削60个工件后的最大熵概率密度值分别记为P 2㊁P 3㊁P 4㊁P 5,其值如表3所示㊂根据表3中的最大熵概率密度值,采用三次样条插值获得砂轮磨削加工过程中进行单次修整后磨削加工的不同磨损阶段的最大熵概率密度分布拟合曲线,如图7所示㊂表3㊀砂轮单次修整后不同磨损阶段的最大熵概率密度分布值Tab.3㊀Maximum entropy probability density distribution of grinding wheel at different wear stages after single dressing区间Intervalh 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10P 10.00060.00710.03910.12110.25260.31280.19760.06050.00770.0009P 20.00070.00690.03850.12210.25450.31010.19720.06080.00830.0008P 30.00070.00670.03610.10880.23030.29750.21900.08350.01570.0017P 40.00040.00510.03160.10130.21900.30020.23590.09000.01550.0010P 50.00040.00410.02580.08840.20650.29700.24990.10590.02040.0014图7㊀砂轮单次修整后不同磨损阶段的最大熵概率密度Fig.7㊀Maximum entropy probability density of different wearstages after single dressing of grinding wheel㊀㊀从图7可以看出,在磨削加工过程中砂轮进行单次修整后连续磨削加工时,声发射信号的最大熵概率密度曲线发生了变化,为了更好地反映最大熵概率密度的变化,采用2.2提出的交叉熵方法对其进行计算,以砂轮修整后开始磨削加工的声发射信号最大熵概率密度值为基准,即以P 1为基准,计算P 1㊁P 2㊁P 3㊁P 4㊁P 5相对于P 1的交叉熵,计算结果如表4所示㊂表4㊀砂轮单次修整后不同磨损阶段的最大熵概率密度的交叉熵Tab.4㊀Cross entropy of maximum entropy probability density at different wear stages after single dressing of grinding wheelD (P 1,P 1)D (P 1,P 2)D (P 1,P 3)D (P 1,P 4)D (P 1,P 5)07.2679ˑ10-50.00420.00740.0163从图8可以看出,磨削加工过程中砂轮进行单次修整后连续磨削加工的声发射信号最大熵概率密度分布的交叉熵逐渐增加,因此可以通过分析CBN 砂轮磨削加工不同工件数量的交叉熵值对磨削过程中CBN 砂轮进行单次修整后磨削加工时的磨损状态进行监测㊂图8㊀砂轮单次修整后不同磨损阶段的交叉熵Fig.8㊀Cross entropy of grinding wheel at differentwear stages after single dressing3.2.3㊀砂轮多次修整磨削声发射最大熵概率密度的变化㊀㊀由于CBN 砂轮在磨削加工过程中进行多次修整后,砂轮直径会不断减少,因此可以研究砂轮不同直径剩余时磨削加工的声发射信号的变化㊂根据3.2.1的计算过程,可以获得在砂轮磨削加工过程中进行多次修整后磨削加工声发射信号的最大熵概率密度分布值㊂将磨削加工过程中砂轮进行多次修整后不同直径磨削加工的声发射信号求其最大熵概率密度分布值,记砂轮直径剩余90%时的声发射信号最大熵概率密度值为P 1,砂轮直径剩余70%㊁砂轮直径剩余50%㊁砂轮直径剩余30%和砂轮直径剩余5%的最大熵概率密度值分别记为P 2㊁P 3㊁P 4㊁P 5,其值如表5所示㊂㊀328㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀表5㊀砂轮多次修整后不同直径剩余的最大熵概率密度分布值Tab.5㊀Residual maximum entropy probability density distribution of grinding wheel with different diameters after repeated dressing 区间Intervalh 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10P 10.00060.00710.03910.12110.25260.31280.19760.06050.00770.0009P 20.00060.00700.03820.11410.22720.28640.21720.08850.01880.0021P 30.00040.00510.03160.10130.21900.30020.23590.09000.01550.0010P 40.00050.00380.02500.08730.20780.29980.25050.10460.01960.0013P 50.00050.00410.02380.08430.18940.27870.25430.13000.03180.0032㊀㊀根据表5中的最大熵概率密度值,可以获得砂轮多次修整后不同直径剩余的最大熵概率密度分布拟合曲线,如图9所示㊂采用上述提出的交叉熵方法对其进行计算,以砂轮直径剩余90%为基准,即以P 1为基准,计算P 1㊁P 2㊁P 3㊁P 4㊁P 5相对于P 1的交叉熵,计算结果如表6所示㊂图9㊀砂轮多次修整后不同直径剩余的最大熵概率密度Fig.9㊀Residual maximum entropy probability density of differentdiameters after multiple dressing of grinding wheel表6㊀砂轮多次修整后不同直径剩余的最大熵概率密度的交叉熵Tab.6㊀Cross entropy of the maximum entropy probability density ofdifferent diameters after grinding wheel dressing for many times D (P 1,P 1)D (P 1,P 2)D (P 1,P 3)D (P 1,P 4)D (P 1,P 5)00.00570.00740.01600.0295从图10可以看出,磨削加工过程中砂轮进行多次修整后磨削加工的声发射信号最大熵概率密度分布的交叉熵逐渐增加,因此可以通过分析CBN 砂轮不同直径剩余量的交叉熵结果对CBN 砂轮在磨削加工过程中进行多次修整后磨削加工的性能进行监测㊂3.2.4㊀CBN 砂轮性能评估㊀㊀由于CBN 砂轮在磨削加工过程中会产生不同程度的磨损,为了保证加工工件表面质量,往往会通过检测加工工件表面粗糙度来判断CBN 砂轮是否需要进行修整或者更换,以确保工件表面质量,如图11所示㊂而本文将通过分析CBN 砂轮在磨削加工过程中进行单次修整和多次修整磨削循环过程声发射信号的交叉熵值对CBN 砂轮性能进行监测㊂在单次修整磨削循环过程中,单次修整后CBN 砂轮在连续磨削加工过程中会产生不同程度的磨损,会图10㊀砂轮多次修整后不同直径剩余交叉熵Fig.10㊀Residual cross entropy of grinding wheel with differentdiameters after repeateddressing图11㊀工件表面粗糙度测量图Fig.11㊀Measurement chart of workpiece surface roughness影响工件表面粗糙度㊂由于随着砂轮进行单次修整后不断进行磨削加工时,其工件表面粗糙度呈上升趋势,且通过分析,CBN 砂轮单次修整后磨削加工不同工件数量时的交叉熵值是不断增大的,如图12所示㊂因此可以根据信号分析的交叉熵结果,当交叉熵结果大于0.02时,则需要对砂轮进行下一轮的修整,以确保工件表面粗糙度始终保持在允许的最大0.25μm 范围内,从而保证产品加工质量㊂在多次修整磨削循环过程中,砂轮在磨削加工过程中随着修整次数的增加其直径一直减少,当砂轮直径减少到一定程度时,其加工性能会发生变化,容易造成工件表面质量问题㊂由于随着砂轮直径不断减小,工件表面粗糙度呈上升趋势㊂当砂轮直径剩余5%时,其加工工件表面粗糙度即将超过允许的最大0.32μm 范围㊂同时通过分析,CBN 砂轮进行多次修整后在不同直径剩余时的交叉熵值也是不断增大的,如图13所示㊂因此可以根据上述信号分析的交叉熵结果,当交叉熵结果大于0.03时,则需要更换新的砂。

shannon-wiener_index公式__解释说明

shannon-wiener index公式解释说明1. 引言1.1 概述Shannon-Wiener指数是一种常用于评估生态系统物种多样性的指标。

在生态学中，了解和量化物种的群落组成对于揭示生态系统功能和稳定性具有重要意义。

Shannon-Wiener指数通过考虑物种丰富度和均匀度来量化一个群落中物种的多样性水平，因此被广泛应用于生态学研究中。

1.2 文章结构本文将从以下几个方面对Shannon-Wiener指数进行详细解释说明。

首先，在第2部分中，我们将介绍Shannon-Wiener指数的定义，包括其背后的理论基础。

然后，在第3部分中，我们将探讨Shannon-Wiener指数与物种多样性之间的关系，并以实例分析方式展示如何应用该指数评估不同生态系统的物种多样性。

接着，在第4部分中，我们将对Shannon-Wiener指数与其他相关指标和方法进行比较分析，其中包括Simpson指数和Fisher's Alpha等。

最后，在第5部分中进行总结并展望未来研究方向。

1.3 目的本文旨在深入解释和说明Shannon-Wiener指数这一重要的生态学指标。

通过详细介绍其定义、计算方法以及在物种多样性评估中的应用，我们希望读者能够全面了解Shannon-Wiener指数的意义和作用。

同时，通过与其他相关指标和方法的比较分析，我们将进一步探讨Shannon-Wiener指数在不同场景下的适用性和优劣势。

最后，我们将总结这一指数在生态学研究中的重要性，并提出展望和建议，为未来相关研究提供参考和启示。

2. Shannon-Wiener指数公式解释说明Shannon-Wiener指数是一种用于衡量生物多样性的常用指标，它可以通过对一个生态系统中各个物种的丰富度和均匀度进行测量来评估该系统的物种多样性水平。

具体地说，Shannon-Wiener指数以物种出现频率或相对数量为基础，通过计算信息论中的熵（entropy）来反映物种组成的复杂程度。

Shannon Entropy Axiomatic Characterization and Application

a r X i v :q u a n t -p h /0511171v 1 17 N o v 2005Shannon Entropy:Axiomatic Characterizationand ApplicationC.G.Chakrabarti,Indranil ChakrabartyWe have presented a new axiomatic derivation of Shannon Entropy for a discrete probability distribution on the basis of the postulates of additivity and concavity of the entropy function.We have then modiﬁed shannon entropy to take account of observational uncertainty.The modiﬁed en-tropy reduces,in the limiting case,to the form of Shannon diﬀerential entropy.As an application we have derived the expression for classical entropy of statistical mechanics from the quantized form of the entropy.2000Mathematics Subject Classiﬁcation:primary 94A17,82B031.IntroductionShannon entropy is the key concept of information theory[1].It has found wide applications in diﬀerentﬁelds of science and technology[2-5].It is a characteristic of probability distribution providing a measure of uncertainty associated with the probability distribution.There are diﬀerent approaches to the derivation of Shannon entropy based on diﬀerent postulates or axioms[6,7].The object of present paper is to stress the importance of the properties of additivity and concavity in the determination of functional form of Shannon entropy and it’s generalization.The main content of the paper is divided into three sections.In section2we have provided an axiomatic derivation of Shannon entropy on the basis of the properties of additivity and concavity of entropy-function.In section3we have generalized Shannon entropy and introduced the notion of total entropy to take account of observational uncertainty.The entropy of continuous distribution,called the diﬀerential entropy has been obtained as a limiting value.In section4the diﬀerential entropy along with the quantum uncertainty relation has been used to derive the expression of classical entropy in statistical mechanics.2.Shannon Entropy:Axiomatic CharacterizationLet∆n be the set of allﬁnite discrete probability distributionP={(p1,p2,....,p n),p i≥0,ni=1p i=1}In other words,P may be considered as a random experiment having n possible outcomes with probabilities(p1,p2,....,p n).There is uncertainty associated with the probability distribution P and there are diﬀerent measures of uncertainty depending on diﬀerent postulates or conditions.In general,the uncertainty associated with the random experiment P is a mapping[8]H(P):∆n→R(2.1) where R is the set of real numbers.It can be shown that(2.1)is a reasonable measure of uncertainty if and only if it is a Shur concave on∆n[8].A general class of uncertainty measures is given byH(p)=ni=1φ(p i)(2.2)whereφ:[0,1]→R is a concave function.By taking diﬀerent concave function deﬁned on[0,1], we get diﬀerent measures of uncertainty or entropy.For example,if we takeφ(p i)=−p i log p i,weH(P)=H(p1,p2,....,p n)=−kni=1p i log p i(2.3)where0log0=0by convention and k is a constant depending on the unit of measurement of entropy.There are diﬀerent axiomatic characterizations of Shannon entropy based on diﬀerent set of axioms[6,7].In the following we shall present a diﬀerent approach depending on the concavity character of entropy-function.We set the following axiom to be satisﬁed by the entropy function H(P)=H(p1,p2,....,p n).Axiom(1):We assume that the entropy H(P)is non-negative,that is,for all P=(p1,p2,....,p n), H(P)≥0.This is essential for a measure.Axiom(2):We assume that generalized form of entropy-function(2.2):H(P)=ni=1φ(p i)(2.4)Axiom(3):We assume that the functionφis a continuous concave function of its arguments.Axiom(4):We assume the additivity of entropy,that is,for any two statistically independent experiment P=(p1,p2,....p n)and Q=(q1,q2,....,q m)H(P Q)= j αφ(p j qα)= jφ(p j)+ αφ(qα)(2.5) Then we have the following theorem.THEOREM(2.1):If the entropy-function H(P)satisﬁes the above axioms(1)to(4),then H(P)is given byH(P)=−kni=1p i log p i(2.6)where k is a positive constant depending on the unit of measurement of entropy.PROOF:For two statistically independent experiments the joint probability distribution p jαp jα=p j.qα(2.7) Then according to the axiom of additivity of entropy(2.5),we havej αφ(p j.qα)= jφ(p j)+ αφ(qα)(2.8) Let us now make small changes of the probabilities p k and p j of the probability distribution P= (p1,p2,....,p j,..p k,...,p n)leaving others undisturbed and keeping the normalization conditionﬁxed. By the axiom of continuity ofφthe relation(2.8)can be reduced to the formαqα[φ′(p j.qα)−φ′(p k.qα]={φ′(p j)−φ′(p k)}(2.9) The r.h.s of(2.9)is independent of qαand the relation(2.9)is satisﬁed independently of p’s ifφ′(qα.p j)−φ′(qαp k)=φ′(p j)−φ′(p k)(2.10) The above leads to the Cauchy’s functional equationφ′(qα.p j)=φ′(qα)+φ′(p j)(2.11) The solution of the functional equation(2.11)is given byφ′(p j)=A log p j+B(2.12) orφ(p j)=Ap j log p j+(B−A)p j+C(2.13)where A,BandC are all constants.The condition of concavity(axiom(3))requires A<0and let us take A=−k where k(>0)is positive constant by axiom(1).The generalized entropy(2.4)thenH(P)=−k j p j log p j+(B−A)+C(2.14) orH(P)=−k j p j log p j(2.15) where constants(B-A)and C have been omitted without changing the character of the entropy-function.This proves the theorem.3.Total Shannon Entropy and Entropy of Continuous DistributionThe deﬁnition(2.3)of entropy can be generalized straightforwardly to deﬁne the entropy of a discrete random variable.DEFINITION:Let X∈R denotes a discrete random variable which takes on the values x1,x2,....,x n with probabilities p1,p2,....,p n respectively,the entropy H(X)of X is then deﬁned by the expression[3]H(X)=−kni=1p i log p i(3.1)Let us now generalize the above deﬁnition to take account for an additional uncertainty due to the observer himself,irrespective of the deﬁnition of random experiment.Let X denotes a discrete random variable which takes the values x1,x2,....,x n with probabilities p1,p2,....,p n.We decompose the practical observation of X into two stages.First,we assume that X∈L(x i)with probability p i,where L(x i)denotes the i th interval of the set{L(x1),L(x2),....,L(x n)}of intervals indexed by x i.The Shannon entropy of this experiment is H(X).Second,given that X is known to be in the i th interval,we determine its exact position in L(x i)and we assume that the entropy of this experiment is U(x i).Then The global entropy associated with the random variable X is given byH T(X)=H(X)+ni=1p i U(x i)(3.2)Let h i denotes the length of the i th interval L(x i),(i=1,2,...,n),and deﬁneU(x i)=k log h i(3.3) We have thenH T(X)=H(X)+kni=1p i log h i=−k n i=1p i log p iwhere we have taken A=−k<0for the same unit of measurement of entropy and the negative sign to take account the axiom(1).The constants appearing in(3.8)have been neglected without any loss of characteristic properties.The expression(3.8)is the required expression of total entropy obtained earlier.Let us now see how to obtain the entropy of a continuous probability distribution as a limiting value of the total entropy H T(X)deﬁned above.For this let usﬁrst deﬁne the diﬀerential entropy H(X) of a continuous random variable X.DEFINITION:The diﬀerential entropy H C(X)of a continuous random variable with prob-ability density f(x)is deﬁned by[9]H C(X)=−k R f(x)log f(x)dx(3.9) where R is the support set of the random variable X.We divide the range of X into bins of length (or width)h.Let us assume that the density f(x)is continuous within the bins.Then by mean value theorem,there exists a value x i within each bin such thathf(x i)= (i+1)h ih f(x)dx(3.10) We deﬁne the quantized or discrete probability distribution(p1,p2,.....,p n)byp i= (i+1)h ih f(x)dx(3.11) so that we have thenp i=hf(x i)(3.12) The total entropy H T(X)deﬁned for h i=h(i=1,2,....,n)H T(X)=−kni=1p i log p iH T(X)=−kni=1hf(x i)log f(x i)(3.14)Let h→0,then by deﬁnition of Riemann integral we have H T(X)→H(X)as h→0,that is,limh→0H T(X)=H C(X)=−k R f(x)log f(x)dx(3.15) Thus we have the following theorem:THEOREM(3.2):The total entropy H T(X)deﬁned by(3.13)approaches to the diﬀerential entropy H C(X)in the limiting case when the length of each bin tends to zero.4.Application:Diﬀerential Entropy and Entropy in Classical StatisticsThe above analysis leads to an important relation connecting quantized entropy and diﬀerential entropy.From(3.13)and(3.15)we see that−kni=1p i ln p i→−k R f(x)ln{hf(x)}dx(4.1)showing that when h→0that is,when the length of the bins h is very small the quantized entropy given by the l.h.s of(4.1)approaches not to the diﬀerential entropy H C(X)deﬁned in(3.9)but to the form given by the r.h.s of(4.1)which we call modiﬁed diﬀerential entropy.This relation has important physical signiﬁcance in statistical mechanics.As an application of this relation we now ﬁnd the expression of classical entropy as a limiting case of quantized entropy.Let us consider an isolated system with conﬁguration space volume V and aﬁxed number of particles N,which is constrained to the energy-shell R=(E,E+∆E).We consider the energy shell rather than just the energy surface because the Heisenburg uncertainty principle tells us that we can never determine the energy E exactly.we can make∆E as small as we like.Let f(X N)be the prob-ability density of microstates deﬁned on the phase spaceΓ={X N=(q1,q2,....,q2N;p1,p2,....,p2N) .The normalized condition isR f(X N)X N=1(4.2)R={X N:E<H(X N)<E+∆E}(4.3) Following(4.1)we deﬁne the entropy of the system asS=−k f(X N)ln{C N f(X N)}dX N(4.4) The constant C N appearing in(4.4)is to be determined later on.The probability density for statistical equilibrium determined by maximizing the entropy(4.4)subject to the condition(4.2) leads to1f(X N)=C N (4.6) The constant C N,has the same unit asΩ(E,V,N)and cannot be determined classically.However it can be determined from quantum mechanics.Then we have C N=(h)3N for distinguishable particles and C N=N!(h)3N for indistinguishable particles.From Heisenberg uncertainty principle, we know that if h is the volume of a single state in phase space thenΩ(E,V,N)/(h)3N is the total number of microstates in the energy shell(E,E+∆E).The expression(4.6)then becomes identical to the Boltzmann entropy.With this interpretation of the constant C N,the correct expression of classical entropy is given by[10,11]S=−k R f(X N)ln{(h)3N f(X N)}dX N(4.7) The classical entropy that follows a limiting case of Von Neumann entropy is given by[12]f(X N)This is,however diﬀerent from the one given by(4.7)and it does not lead to the form of Boltzmann entropy(4.6).6.ConclusionThe literature on the axiomatic derivation of Shannon entropy is vast[6,7].The present approach is,however,diﬀerent.This is based mainly on the postulates of additivity and concavity of entropy function.There are,infact,variant forms of additivity and non decreasing characters of entropy in thermodynamics.The concept of additivity is dormant in many axiomatic derivations of Shannon entropy.It plays a vital role in the foundation of Shannon information theory[13]. Non-additive entropies like Renyi’s entropy and Tsallis entropy need a diﬀerent formulation and leads to diﬀerent physical phenomena[14,15].In the present paper we have also provided a new axiomatic derivation of Shannon total entropy which in the limiting case reduces to the expression of modiﬁed diﬀerential entropy(4.1).The modiﬁed diﬀerential entropy together with quantum uncertainty relation provides a mathematically strong approach to the derivation of the expression of classical entropy.References1.C.F.Shannon and W.Weaver:Mathematical Theory of Communication.University ofIllinois Press,Urbana(1949).2.E.T.Jaynes:Information Theory and Statistical Mechanics.Phys.Rev.106(1957),620-630.3.G.Jumarie:Relative information and Applications.Springer-Verlag,Berlin(1990).4.J.N.Kapur:Measures of Information and Their Applications.Wiley Eastern,New Delhi(1994).5.V.Majernik:Elementary Theory of Organization.Palacky University Press,Olomoue(2001).6.J.Axzel and Z.Doroc’zy:On Measures of Information and Their Characterizations.Aca-demic Press,New York(1975).7.A.Mathai and R.N.Rathie:Information Theory and Statistics.Wiley Eastern,New Delhi(1974).8.D.Morales,L.pardo and I.Vajda:Uncertainty of Discrete Stochastic System:GeneralTheory and Statistical Interference.IEEE Trans.System,Man and Cybernetics A26(1996),9.T.M.Cover and J.A.Thomas:Elements of Information Theory.Wiley and Sons,New York(1991).10.L.E.Reichl:A Modern Course in Statistical Physics.Edwand Arnold(Publ.)Ltd.(1980).ndau and E.N.Lifshitz:Statistical Physics.Pargamon Press,Oxford(1969).12.A.Wehrl:On the relation between classical entropy and quantum mechanical entropy Report.Math.Phys.16(1979),353-358.13.T.Yamano:A Possible Extension of Shannon’s Information Theory.Entropy3(2001),280-292.14.A.Renyi:Probability Theory.North-Holland,Amsterdam(1970)15.C.Tsallis:Possible Generalization of Boltzmann-Gibbs Statistics.J.Stat.Phys52(1988),479-487.C.G.Chakraborti:Department of Applied Mathematics.University of Calcutta.Kolkata−700009,INDIAe−mail:cgcappmath@caluniv.ac.inI.Chakrabarty:Department of Mathematics.Heritage Institute of T echnology Chowbaga Road, Anandapur Kolkata−700107,INDIAe−mail:indranilc@。

Shannon熵在统计分析中的应用——蛋白质空间结构的统计分析

摘要：文以世界上广泛使用的生物分子三维结构数据库Ｐ本ＤＢ为基础，用沈世镒教授提利
出的对多氨酸残基侧链碳原子间距离的统计分析方法，通过正交试验设计和信息论中的熵函数等相关知识，出了不同位置、同氨基酸残基种类对侧链结构的影响。给不
数据库是１９９７年在纽约建立的Ｂｏｋａａｒｏｈｖｎ国家ｌ验室国际蛋白质结构数据库，至今已有２，０多试０００个蛋白质结构及核酸数据ＰＢ数据库给出了蛋白质各原子空问坐标位置的结构数据。Ｄ首先．暂不考虑三联子的首、、的氨基酸类型以及二级结构的差异，中尾计算所有三联子中任意两个氨基酸残基的侧链ＣＢ原子问的距离．分析其分布得到结果如下：
维普资讯
北京教育学院学报（自然科学版）
ＣＢ３
Ｎ１
ＣＢ２
图１蛋白质主链与侧链原子结构示意图
本文讨论的就是在蛋白质序列中．相邻与次相邻氨基酸ＣＢ原子问的距离与蛋白质一级结构、二级结构之问的关系需要指出的是，由于氨基酸ＧＹ结构特殊，Ｌ其侧链上仅有一个Ｈ原子，没有Ｃ原子．因此不作考虑我们重点使用２００４年版的ＰＢ数据库，Ｄ（ｒｔｎＤｔＢｎ蛋白质空问结构ＤＰＢＰｏｅａａａｋ）ｉ
关键词：交试验设计；函数；白质侧链的空间结构；正熵蛋三联子

第5讲---第三章Shannon理论-2

ϕ : Ek ( Ek ( x)) = Ek (( x + k ) mod 26)
ϕ2 = ϕ
因此:加法密码体制为幂等密码体制。因此:加法密码体制为幂等密码体制。
2011-5-24
BESTI-IS
15
3.3 伪密钥和唯一解距离
定理4:(M,C,K,E,D)是一个密码体制，定理4:(M,C,K,E,D)是一个密码体制，则是一个密码体制
H ( K | C ) = H ( K ) + H ( M ) − H (C )
证明： H ( K , M , C ) = H (C | K , M ) + H ( K , M ) = H (M | K , C ) + H ( K , C ) = H (K , M ) = H (K , C)
称密码体制具有完善的保密性。称密码体制具有完善的保密性。
2011-5-24
BESTI-IS
10
定理3.6 (M,C,K,E,D)是一个密码体定理3.6 设(M,C,K,E,D)是一个密码体并且|M|=|C=|K|, |M|=|C=|K|,则密码体制具有制，并且|M|=|C=|K|,则密码体制具有完善保密性, 完善保密性,当且仅当密钥的选取满足均匀分布, 均匀分布,并且
2011-5-24 BESTI-IS 9
3.4 密码体制的完善保密性
定义3.7:(M,C,K,E,D)是一个密码体制，定义3.7:(M,C,K,E,D)是一个密码体制，若 3.7:(M,C,K,E,D)是一个密码体制
p ( x | y ) = p ( x), ∀ ( x, y ), x ∈ M , y ∈ C
(ϕ × ϕ )( x)=ϕ (ϕ ( x))

基于Shannon熵的数据挖掘技术

基于Shannon熵的数据挖掘技术近年来，随着大数据时代的到来，数据挖掘技术也得到越来越广泛的应用。

而其中，基于Shannon熵的数据挖掘技术则成为了其中一种常用的方法。

那么，这种技术究竟是什么呢？它又是如何应用于数据挖掘之中的呢？Shannon熵的概念最早是由Claude Shannon提出的。

在信息论中，熵可以被理解为描述一个事件不可预测性的一种度量。

而Shannon熵则是指在某个信源发出的信息通信系统中，平均每个符号所包含的不确定性。

以某城市的天气预报为例，如果天气只有“晴”、“阴”、“雨”这三种状态，那么预报的不确定性就越小。

而如果补充了“大风”、“台风”等多种状态，那么预报的不确定性就会快速增加。

这就是Shannon熵的应用。

在数据挖掘中，Shannon熵同样有其应用。

例如在分类问题中，我们可以计算每个特征值的熵，用它来衡量特征的分类能力。

当特征的熵越大，我们就可以认为它越有可能成为分类标准，从而提高分类的精确度。

此外，在聚类问题中，Shannon熵也有其应用。

当我们需要将一组数据集合分成多个不同的类别时，我们可以基于Shannon熵来衡量每个类别的熵值，并通过调整类别数量的方法来提高聚类的精确度。

虽然Shannon熵的应用范围非常广泛，但是在实际的数据挖掘任务中，我们也需要注意其局限性。

例如，Shannon熵在数据集中存在一定噪声时，可能会出现误判的情况。

此外，在数据集较大时，Shannon熵可能会面临运算能力方面的问题。

因此，我们需要认识到，在数据挖掘任务中选择合适的度量方法是非常重要的。

而Shannon熵的应用范围虽然有限，但是在一些特定的任务中，其确实是一种非常有效的度量方法。

在实际应用中，我们可以通过将其与其他的度量方法相结合，来更加准确地解决繁琐的数据挖掘问题。

总之，基于Shannon熵的数据挖掘技术是一种非常重要的方法。

它可以用来度量数据的不确定性，从而帮助我们更加准确地解决各种数据挖掘任务。

f.cross_entropy公式

f.cross_entropy公式交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。

语言模型的性能通常用交叉熵和复杂度（perplexity）来衡量。

交叉熵的意义是用该模型对文本识别的难度，或者从压缩的角度来看，每个词平均要用几个位来编码。

复杂度的意义是用该模型表示这一文本平均的分支数，其倒数可视为每个词的平均概率。

平滑是指对没观察到的N 元组合赋予一个概率值，以保证词序列总能通过语言模型得到一个概率值。

通常使用的平滑技术有图灵估计、删除插值平滑、Katz平滑和Kneser-Ney平滑。

交叉熵介绍将交叉熵引入计算语言学消岐领域，采用语句的真实语义作为交叉熵的训练集的先验信息，将机器翻译的语义作为测试集后验信息。

计算两者的交叉熵，并以交叉熵指导对歧义的辨识和消除。

实例表明，该方法简洁有效．易于计算机自适应实现。

交叉熵不失为计算语言学消岐的一种较为有效的工具。

在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布p,q，其中p表示真实分布，q 表示非真实分布，在相同的一组事件中，其中，用非真实分布q来表示某个事件发生所需要的平均比特数。

从这个定义中，我们很难理解交叉熵的定义。

下面举个例子来描述一下：假设现在有一个样本集中两个概率分布p,q，其中p为真实分布，q为非真实分布。

假如，按照真实分布p来衡量识别一个样本所需要的编码长度的期望为：H(p)= 但是，如果采用错误的分布q来表示来自真实分布p的平均编码长度，则应该是：H(p,q)= 此时就将H(p,q)称之为交叉熵。

交叉熵的计算方式如下：对于离散变量采用以下的方式计算：H(p,q)= 对于连续变量采用以下的方式计算：交叉熵应用交叉熵可在神经网络(机器学习)中作为损失函数，p表示真实标记的分布，q则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量p与q的相似性。

交叉熵作为损失函数还有一个好处是使用sigmoid函数在梯度下降时能避免均方误差损失函数学习速率降低的问题，因为学习速率可以被输出的误差所控制。

Shannon如何测定英语字母熵值

Shannon如何测定英语字母的熵值冯志伟早在1928年，L. Hartley（哈特利）就提出了如何测量信息量大小的问题。

他以为，若是某个装置有D个可能的位置或物理状态，那么，两个如此的装置组合起来工作就会有D2个状态，三个如此的装置组合起来工作就会有D3个状态，随着装置数量的增加，整个系统的可能的状态树木也相应地增加。

为了测定其信息能力，要使2D个装置的能力恰恰为D 个装置的能力的2倍。

因此，Hartley把一个装置的信息能力概念为logD，其中，D是整个系统能够进入的不同的状态数量。

在信息论中，Shannon采纳了Hartley的这种方法来测定熵值。

Shannon提出，若是咱们做某一有n个可能的等概率结局的随机实验（例如，掷骰子，n=6），那么，那个随机实验的熵就用log2n来气宇。

这种气宇熵的方式是合理的。

理由如下：第一，随机实验的可能结局n越大，那个随机实验的不定度也就越大，因此它的熵也就越大。

第二，若是咱们同时做包括两个随机实验的复合实验，每一个随机实验有n个可能的结局（例如，同时掷两颗骰子），那么，那个复合实验有n2个结局，其熵等于，即等于只掷一颗骰子时的二倍，这与Hartley的观点完全一致。

第三，若是咱们同时做包括两个随机实验的复合实验，一个随机实验有m个可能结局，另一个随机实验有n个可能结局（例如，投硬币时，m=2；掷骰子时，n=6），那么，那个复合实验有m·n个可能的等概率结局，也确实是说，那个复合实验的熵应该等于log2mn，另一方面，咱们又能够以为，那个复合实验结局的熵应该等于组成那个复合实验的两个随机实验结局的熵之和，即等于log2m + log2n。

可是，咱们明白，可见，复合实验结局的熵，不论是把它看成一个统一的实验，仍是看成两个随即实验的总和，都是相等的。

这些事实都说明了咱们用log2n来气宇熵的合理性。

咱们把有n个可能的等概率结局的随机实验的熵记为H0，这时的熵，叫做1比特。

Shannon理论

i i i i i0 i 1
n
n
n
3.2 熵及其性质

定理3.2
H ( X , Y ) H ( X ) H (Y )

等号成立当且仅当X与Y相互独立。定理3.3
H ( X , Y ) H (Y ) H ( X Y ) H ( X ) H (Y X )

推论3.1
H (X Y ) H (X )
Pr( k 2 4 ) 0
Pr( k 3 4 ) 1
3.2 熵及其性质
于是，可计算出
H ( K C ) Pr( 1 ) H ( K 1 ) Pr( 2 ) H ( K 2 ) Pr( 3 ) H ( K 3 ) Pr( 4 ) H ( K 4 )
=0.46
3.3 伪密钥和惟一解距离
n i i0

则 a f ( x ) f ( a x )，其中 x i I ,1 i n 上式中的等号成立当且仅当 x1 x 2 x n 0 H ( X ) log 2 n 定理3.1 H ( X ) 0 当且仅当存在一个 1 i n，有 Pr( x i ) 1 ，而对其他 j i ，有 Pr( x i ) 0 。 H ( X ) log 2 n 当且仅当对任意1 i n ，都 1 有 Pr( x i ) 。
3.4 密码体制的完善保密性

定义3.7 设 ( M , C , K , , D )是一个密码体制。如果对任意x M和任意 y C ，都有 Pr( x y ) Pr( x ) 则称具有完善的保密性。
于是
H (C )
1 8
log
1
2

四大名著文本中的无标度规律

四大名著文本中的无标度规律孙龙龙;顾长贵;冯靖;吴果林【摘要】从中国古代四大名著中分别提取每段句子数时间序列、每段字数时间序列和每句字数时间序列。

采用去趋势波动分析法从以上各个层次分析每一名著，发现在每个层次上每一名著均显示出无标度规律且标度指数都在0.60左右，说明在各个层次上文本都表现出长程相关。

进一步，将每段字数时间序列划分成大约10个长度为1 000的时序片段，使用去趋势波动分析发现《红楼梦》和《水浒传》这两本小说前后部分的标度指数都存在显著差异，即这两本著作前部分的标度指数大约为0.55，而后部分大约为0.65。

这一显著变化，佐证了《红楼梦》的作者为曹雪芹和高鹗的说法，支持了《水浒传》可能是施耐庵和罗贯中合作完成的论点。

%In the present study, three kinds of time series from Four Great Classical Novels were extracted, including the number of sentences in a paragraph (NSAP), the number of characters in a paragraph (NCAP) and the number of characters in a sentence (NCAS). The above time series were analyzed by the method of detrended flutuation analysis (DFA). It is found that the scale-free characteristics exist at the paragraph level and the sentence level, and the scaling exponents are close to 0.60. Our finding indicates that long-correlations exist at different levels. Moreover, the time series of NCAP can be divided into ten over-capping segments with the length of 1 000. Based on the detrended flutuation analysis, it is found that the scaling exponents for the time series of NCAP are significantly different between the first part and the second part of A Dream of Red Mansions as well as All Men are Brothers. To be specific, the scaling exponents of thefirst and second parts are about 0.55 and 0.65, respectively. This significant change in scaling exponents confirms that A Dream of Red Mansions was finished by Cao Xueqin and Gao E . In addition, there is much chance that All Men are Brothers was written by Shi Naian and Luo Guanzhong together. Thus, our finding provides some suggestions for the controversy with respect to authors in both A Dream of Red Mansions and All Men are Brothers.【期刊名称】《上海理工大学学报》【年(卷),期】2019(041)001【总页数】7页(P77-83)【关键词】四大名著; 去趋势波动分析法; 无标度规律;【作者】孙龙龙;顾长贵;冯靖;吴果林【作者单位】上海理工大学管理学院，上海 200093;上海理工大学管理学院，上海 200093;上海工程技术大学高等职业技术学院，上海 200437;桂林航天工业学院理学院，桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】N 941近年来，国内外许多学者都对文本语言内的无标度规律进行了详细的研究，并且取得了很多重要的成果。