数学---陕西省西安市西工大附中2016-2017学年高一(下)期末试卷(解析版)

陕西省西安市西工大附中2016-2017学年高一（下）期末
数学试卷
一.选择题：（本大题共12小题，每小题3分．共36分）
1．（3分）在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）
A．B．C．或D．或
2．（3分）已知数列{a n}为等差数列，若a2+a3+a4=π，则cos（a1+a5）的值为（）A．B．C．D．
3．（3分）不等式的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1]∪（0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，1] D．[﹣1，0）∪（0，1]
4．（3分）设实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最大值为（）
A．﹣B．﹣C．2 D．3
5．（3分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20πB．24πC．28πD．32π
6．（3分）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）若a2+b2﹣c2=ab，且2cos A sin B=sin C，那么△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
8．（3分）已知数列{a n}的前n项和（n≥2，n∈N*），a1=1，则a n=（）A． B．C． D．
9．（3分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a=，A=，则b+c 的最大值为（）
A．4 B．3C．2D．2
10．（3分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）
A．12πB．4πC．3πD．12π
11．（3分）已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．[2，] D．（﹣∞，2]∪[，+∞）12．（3分）在等差数列{a n}中，给出以下结论．
①恒有a2+a8=a10．
②数列{a n}的前n项和公式不可能是S n=n．
③若a1=12，S6=S14，则必有a9=0．
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）绘制一块菜地的平面图形使用斜二测得画法得到的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，DC⊥AD，DC⊥BC，AD=DC=2，BC=4，则这块菜地的面积为．
14．（3分）若数列{a n}满足：a1=19，a n+1=a n﹣3（n∈N*），则数列{a n}的前n项和最大时，n的值为．
15．（3分）已知等比数列{a n}的前n项和为，则r=．16．（3分）若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小
值，则a的取值范围是．
17．（3分）已知f（x）=3x2+2ax+b，若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式f（x）≤0恒成立，则的最大值为．
18．（3分）数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都满足，则数列{a n a n+1}的前10项和为．
三.解答题（本大题共5小题，共46分）
19．（8分）正四棱台的两底面边长分别为1cm和2cm，它的侧面积是，求该正四棱台的体积．
20．（8分）已知一三棱台ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示．
（1）画出该三棱台的直观图．
（2）求这三棱台的体积．
21．（10分）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．
22．（10分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小
张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
23．（10分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3=20，a2=8．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式
恒成立，求实数a的取值范围．
四.附加题
24．已知数列{a n}中，a2=6，当n∈N*时，，求数列{a n}的通项．
【参考答案】一.选择题（本大题共12小题，每小题3分．共36分）1．B
【解析】由正弦定理可知=
∴sin B=•b=×=
∵b＜a
∴B＜A
∴B=
故选B.
2．A
【解析】由等差数列的性质可知a2+a3+a4=3a3=π，
∴a3=，
∴cos（a1+a5）=cos2a3=cos=﹣，
故选A．
3．A
【解析】∵，
∴≤0，
解得：x≤﹣1或0＜x≤1，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣1]∪（0，1]，
故选A．
4．C
【解析】由约束条件，作出可行域如图，
化目标函数z=2x﹣3y为直线方程的斜截式y=x﹣．
由图可知，当直线y=x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，可得，即A（1，0），z=2×1﹣2×0=2．
故选C．
5．C
【解析】由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选C．
6．B
【解析】已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，
只要求（x+y）（）的最小值≥9
∵≥
∴≥9
∴≥2或≤﹣4（舍去），
所以正实数a的最小值为4，
故选项为B．
7．D
【解析】∵a2+b2﹣c2=ab，
∴由余弦定理可得：cos C===，
∵0＜∠C＜π，
∴可解得：∠C=．
又∵2cos A sin B=sin C，
∴由正弦定理可得：2cos Ab=c，根据余弦定理即有：cos A==，∴整理可得：b2=a2，即有：b=a，
∴结合∠C=，从而有a=b=c．
故选D．
8．B
【解析】（n≥2，n∈N*），a1=1，
∴n≥3时，a n=S n﹣S n﹣1=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，化为：=．
n=2时，1+a2=4a2，解得a2=，上式也成立．
∴a n=•…••a1=•…••1 =．
故选B．
9．C
【解析】由正弦定理可得：===2，
∴b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin
=2sin B+2cos B+=3sin B+cos B
=2sin≤2，当且仅当B=时取等号．
∴b+c的最大值为2．
故选C．
10．C
【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，
其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．
∴S球=4πr2=4π×=3π．
故选C.
11．B
【解析】z==2+，
设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（0，﹣2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由解得，即A（3，2），
则AD的斜率k=，
CD的斜率k=，
则k的取值范围是k≥或k≤﹣2，
则k+2≥或k+2≤0，
即z≥或z≤0，
故选B.
12．B
【解析】由等差数列{a n}和性质得：
在①中，恒有a2+a8=2a5≠a10，故①错误；
在②中，∵数列{a n}的前n项和公式是S n=n，
∴a1=S1=1，a n=S n﹣S n﹣1=n﹣（n﹣1）=1，
∴a n=1，成立，故②正确；
在③中，∵a1=12，S6=S14，
∴6+=14+，
解得d=﹣，
∴a9=1+8×（﹣）=．故③错误．
故选B．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．12
【解析】如图所示，
直观图四边形的边BC在x′轴上，在原坐标系下在x轴上，长度不变，∴B′C′=4；
点A在y′轴上，在原图形中的y轴上，且A′B′长度为AB长的2倍，由AB==2，
∴A′B′=4；
又AD∥x轴，∴A′D′=AD=2；
∴四边形A′B′C′D′为四边形ABCD的原图形，
在直角梯形A′B′C′D′中，由A′B′=4，A′D′=2，B′C′=4；
∴直角梯形A′B′C′D′的面积为
S=×（2+4）×4=12．
故答案为12．
14．6
【解析】∵数列{a n}满足：a1=19，a n+1=a n﹣3（n∈N*），
∴数列{a n}是首项为19，公差为﹣3的等差数列，
∴S n==﹣+=﹣（n﹣）2+，∴当n=6时，S n取最大值S6=51．
∴数列{a n}的前n项和最大时，n的值为6．
故答案为6．
15．﹣2
【解析】∵等比数列{a n}的前n项和为，
∴=10﹣15r，
a2=S2﹣S1=（1﹣2r）•33+3r+1﹣（10﹣15r）=18﹣36r，
a3=S3﹣S2=（1﹣2r）•34+3r+1﹣（18﹣36r）=64﹣123r，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴（18﹣36r）2=（10﹣15r）（64﹣123r），
解可得：r=﹣2；
故答案为﹣2．
16．（﹣4，2）
【解析】可行域为△ABC，如图，
当a=0时，显然成立．
当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，a＜2．
当a＜0时，k=﹣＜k AB=2
a＞﹣4．
综合得﹣4＜a＜2，
故答案为（﹣4，2）．
17．﹣．
【解析】∵f（x）=3x2+2ax+b，根据已知条件知：；该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，
∵f（﹣）=﹣a+b+，
设z=f（﹣）=﹣a+b+，
画出目标函数b=a﹣，平移目标函数，
当经过点A（，0）时，z=f（﹣）=﹣a+b+有最大值，
即为z=f（﹣）=﹣a+b+=﹣+0+=﹣，
故答案为﹣．
18．
【解析】对于任意的n∈N*都满足，
两边取倒数可得：=+3，即﹣=3，
∴数列为等差数列，公差为3，首项为1．
∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
∴a n=．
∴a n a n+1==．
则数列{a n a n+1}的前n项和=+…+
==．
∴则数列{a n a n+1}的前10项和=．
故答案为．
三.解答题（本大题共5小题，共46分）
19．解：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底的中心分别为O1，O．∵棱台的侧面积是，∴4××m=3，（m为斜高），
解得m=，∴AA1==，
如图，A1O1=，
∴OO1=，
∴正四棱台的体积V==．
20．解：（1）由已知三视图得到几何体如图：
（2）三棱台的体积为=7．
21．解：∵∠A=，AB=6，AC=3，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC=90．
∴BC=3，
∵在△ABC中，由正弦定理可得：，
∴sin B=，
∴cos B=，
∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cos B，
∴Rt△ADE中，AD===.
22．解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5
∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，
∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9
当且仅当x=5时，等号成立
∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
23．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a1+a3=20，a2=8．
则，
∴2q2﹣5q+2=0，
∵公比q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．
（Ⅱ）解：∴
S n=
∴，
∴S n==，
∴对任意正整数n恒成立，设，易知f（n）单调递增．n为奇数时，f（n）的最小值为，∴得，
n为偶数时，f（n）的最小值为，∴，
综上，，即实数a的取值范围是．
四.附加题
24．解：∵，∴a n+1+a n﹣1=n（a n+1﹣a n+1），
∵a2=6，∴6+a1﹣1=6﹣a1+1，解得a1=1．
由a n+1+a n﹣1=n（a n+1﹣a n+1），可得：（n﹣1）a n+1=（n+1）a n﹣（n+1），
∴na n+2=（n+2）a n+1﹣（n+2），
相减可得：na n+2=（2n+1）a n+1﹣（n+1）a n﹣1，
设a n+1﹣a n=b n，上式化为：﹣=，
b1=5．
∴=++…+++5=+4，
可得b n=4n+1=a n+1﹣a n，
∴a n=（4n﹣3）+（4n﹣7）+…+5+1
==2n2﹣n．。