河南省八市重点高中2018届高三上学期11月质检数学试卷文科 含解析

2018-2018学年河南省八市重点高中高三（上）11月质检数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣2，2a﹣1}，B={a2+a﹣4，a2﹣2，2}，且A∩B={﹣2}，则实数a的值是（）
A．0 B．1 C．0或1 D．﹣2或1或0 2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），2x＞﹣x+3；命题q：∃x∈（0，1），lgx+x＞0，则下列为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
3．已知函数f（x）=是奇函数，则g（f（﹣2））的值为（）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
4．在公差不为零的等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若S17=S10，a2+a k=0（k∈N*），则k的值为（）
A．9 B．17 C．26 D．2018
5．设平面α与平面β交于直线m，直线a⊂α，直线b⊂β，且b⊥m，则下列可以作为推出a⊥b的条件的有
①a⊥m；②α⊥β；③a∥m；④α∥β（）
A．①③④B．②③④C．②③D．③④
6．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最小值为（）
A．9 B．C．4 D．
7．设曲线f（x）=alnx+b和曲线g（x）=sin+cx在它们的公共点M（1，2）处有相同的切线，则a+b+c的值为（）
A．0 B．πC．﹣2 D．4
8．设函数f（x）=﹣a2x2+2a2x+2（a∈R），若f（x）＞0在x∈（﹣2，2）上恒成立，则a 的取值范围是（）
A．﹣B．或 C．﹣4＜a≤2 D．
9．函数的部分图象如图所示，则f（x）的周期为（）
A．3 B．C．D．
10．函数f（x）=（x≠kπ，k∈Z）的部分图象可能是（）
A．B．
C．
D．
11．三棱锥P﹣ABC中，PA=2，BC=3，PA⊥BC，如图所示，作与PA、BC都平行的截面，分别交棱PB、BC、AC、AB于点E、F、G、H，则截面EFGH的最大面积为（）
A．3 B．6 C．D．
12．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+a+（a＞0），g（x）=bx3﹣2bx2+bx﹣（b＞1），则y=g[f （x）]的零点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．已知，则sin2x的值为．
=1+lga n（n∈N*），且a1+a3+a5+…+a2018=10，14．已知数列{a n}的各项均为正数，满足lga n
+1
则a2+a4+a6+…+a2018=．
15．如图是一个几何体的侧视图和俯视图，已知俯视图中的两个而矩形是全等的，且该几何体的正视图是一个正方形，则该几何体的表面积为．
16．已知△ABC的外心为O，重心为G，且2|AB|+|AC|=6，则的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=2﹣x（4x﹣m）是奇函数，g（x）=lg（10x+1）+nx是偶函数
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）+x，试求h（x）在x∈[﹣1，2]时的最值．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2（a n﹣1）（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=lna n（n∈N*），试求数列{}的前n项和T n．
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量=（2b﹣c，a），=
（sin2C，sinC），且满足∥，
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=3，试求b+c的取值范围．
20．设函数f（x）是定义在R上的函数，对定义域内的任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f （y），且f（﹣1）=2．当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在x∈[﹣3，5]时的最大值和最小值；
（3）若f（m）+f（9）＞f（m2）+f（3），求实数m的取值范围．
21．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD，AD=BC=1，若PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若点D到平面PBC的距离为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
22．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）
（1）若a＞0，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）谈论函数F（x）=f（x）﹣xlnx内的零点的个数．
2018-2018学年河南省八市重点高中高三（上）11月质检数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣2，2a﹣1}，B={a2+a﹣4，a2﹣2，2}，且A∩B={﹣2}，则实数a的值是（）
A．0 B．1 C．0或1 D．﹣2或1或0
【考点】交集及其运算．
【分析】根据A∩B={﹣2}，得到2∈B，则有a2+a﹣4=﹣2，或a2﹣2=﹣2，即可求出a的值．注意检验集合中元素的互异性．
【解答】解：由题意：集合A={﹣2，2a﹣1}，B={a2+a﹣4，a2﹣2，2}，
∵A∩B={﹣2}，
则有a2+a﹣4=﹣2或a2﹣2=﹣2
当a2+a﹣4=﹣2时，
解得：a=﹣2或a=1，
由于a=﹣2时，B集合出现元素重复，违背互异性，故a=﹣2不符合题意．
当a2﹣2=﹣2时，
解得：a=0，
综上所述a=1或a=0
经检验a=1或a=0满足题意．
故选C．
【点评】本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．属于基础题．
2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），2x＞﹣x+3；命题q：∃x∈（0，1），lgx+x＞0，则下列为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】作出函数y=2x和y=﹣x+3的图象，函数y=lgx和y=﹣x的图象，数形结合，判断命题p，q的真假，再由复合命题真假判断的真值表，可得答案．
【解答】解：作出函数y=2x和y=﹣x+3的图象，
由图可得：命题p：∀x∈（1，+∞），2x＞﹣x+3为真命题；
作出函数y=lgx和y=﹣x的图象，
由图可得：命题q：∃x∈（0，1），lgx+x＞0为真命题；
故p∧q为真命题，
￢p∧q，p∧￢q，￢p∧￢q均为假命题，
故选：A
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．
3．已知函数f（x）=是奇函数，则g（f（﹣2））的值为（）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】利用分段函数以及函数的奇偶性，化简求解即可．
【解答】解：函数f（x）=是奇函数，所以，f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（4﹣2）
=﹣2．
g（f（﹣2））=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，解题的技巧是没有求解函数的解析式，是好题．
4．在公差不为零的等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若S17=S10，a2+a k=0（k∈N*），则k的值为（）
A．9 B．17 C．26 D．2018
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由S17=S10，可得a11+a12+…+a17=7a14=0，又a2+a26=2a14=0，a2+a k=0（k∈N*），即可得出．
【解答】解：∵S17=S10，∴a11+a12+…+a17=7a14=0，∴a14=0，
又a2+a26=2a14=0，又a2+a k=0（k∈N*），则k=26．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．设平面α与平面β交于直线m，直线a⊂α，直线b⊂β，且b⊥m，则下列可以作为推出a⊥b的条件的有
①a⊥m；②α⊥β；③a∥m；④α∥β（）
A．①③④B．②③④C．②③D．③④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】若α⊥β，因为α∩β=m，b⊂β，b⊥m，由平面与平面垂直的性质定理，可得b⊥α，所以b⊥a；
若a∥m，因为b⊥m，所以b⊥a；
若α∥β，因为平面α与平面β交于直线m，直线a⊂α，所以a∥m，因为b⊥m，所以b⊥a．
【解答】解：若α⊥β，因为α∩β=m，b⊂β，b⊥m，由平面与平面垂直的性质定理，可得b ⊥α，所以b⊥a，故②可以；
若a∥m，因为b⊥m，所以b⊥a，故③可以；
若α∥β，因为平面α与平面β交于直线m，直线a⊂α，所以a∥m，因为b⊥m，所以b⊥a，故④可以，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面位置关系的判断，其中熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义，判定定理、性质定理，建立良好的空间想像能力是解答问题的关键．
6．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最小值为（）
A．9 B．C．4 D．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．
【解答】解：不等式组表示的可行域如图：
由
得到P（﹣1，﹣1），
由z=﹣3x﹣y得y=﹣3x﹣z．
当直线过P时，z 最小为3+1=4；
故选C．
【点评】本题考查了简单线性规划问题；画出可行域利用目标函数的几何意义求最小值．
7．设曲线f（x）=alnx+b和曲线g（x）=sin+cx在它们的公共点M（1，2）处有相同的切线，则a+b+c的值为（）
A．0 B．πC．﹣2 D．4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用两曲线有公共点，求出c，b，再利用切线相等，求出a，即可得出结论．【解答】解：由已知，f（1）=b=2，g（1）=1+c=2，∴c=1．
由f′（x）=得f′（1）=a，
由g′（x）=cos+1，得g′（1）=1，∴a=1，
∴a+b+c=1+2+1=4，
故选D．
【点评】本题考查函数的导数，导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力．
8．设函数f（x）=﹣a2x2+2a2x+2（a∈R），若f（x）＞0在x∈（﹣2，2）上恒成立，则a 的取值范围是（）
A．﹣B．或 C．﹣4＜a≤2 D．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】对a=0和a≠0进行讨论，当a≠0时，根据一元二次方程根的分布进行求解即可．
【解答】解：①当a=0时，函数f（x）=﹣a2x2+2a2x+2=2恒大于0，在x∈（﹣2，2）上恒成立．
②当a≠0时，函数f（x）开口向下，对称轴x=1，图象恒过（0，2），f（2）＞0，要使f
（x）＞0在x∈（﹣2，2）上恒成立，只需要f（﹣2）≥0即可，解得：或．
综上所得：a的取值范围是{a|}；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的恒成立问题．属于中档题．
9．函数的部分图象如图所示，则f（x）的周期为（）
A．3 B．C．D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由（0，1）在函数图象上可求φ，由（2，﹣2）
在函数图象上，可求ω=kπ﹣，k∈Z，结合选项即可得解．
【解答】解：∵由函数图象可得A=2，
∴f（x）=2sin（ωx+φ），
∵f（0）=2sinφ=1，∴sinφ=，
∵﹣＜φ＜，∴φ=，
∴f（x）=2sin（ωx+），
∵2sin（2ω+）=﹣2，可得：sin（2ω+）=﹣1，
∴2ω+=﹣+2kπ，k∈Z，即：ω=kπ﹣，k∈Z，
∴当k=l时，f（x）=2sin（x+），其周期T==3．
故选：A．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
10．函数f（x）=（x≠kπ，k∈Z）的部分图象可能是（）
A．B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的对称性，函数值的符号，零点进行判断．
【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B；
当0＜x＜1时，ln|x|=lnx＜0，sinx＞0，
∴f（x）＜0，排除C，
且f（x）在（0，π）上为连续函数，f（1）=0，排除D，
故选A．
【点评】本题考查了函数图象的判断，主要从奇偶性，单调性，特殊点灯方面进行判断，属于中档题．
11．三棱锥P﹣ABC中，PA=2，BC=3，PA⊥BC，如图所示，作与PA、BC都平行的截面，分别交棱PB、BC、AC、AB于点E、F、G、H，则截面EFGH的最大面积为（）
A．3 B．6 C．D．
【考点】直线与平面平行的性质．
【分析】由已知利用线面平行的性质可求四边形EFGH是平行四边形，又PA⊥BC，可求
EFGH为矩形，设=x，利用平行线分线段成比例定理可求EF=3x，EH=2（1﹣x），利用基本不等式及求得截面EFGH的最大面积．
【解答】解：∵BC∥平面EFGH，
∴BC∥EF，BC∥GH，
∴EF∥GH，
同理，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵PA⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH为矩形，
设=x，则，
∴EF=3x，
又，即，
∴EH=2（1﹣x），
∴截面EFGH的面积为S=EF×EH=6x（1﹣x）≤6×=（当且仅当x=1﹣x，即x=时取等号）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线面平行的性质，平行线分线段成比例定理，基本不等式的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
12．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+a+（a＞0），g（x）=bx3﹣2bx2+bx﹣（b＞1），则y=g[f （x）]的零点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】求导，确定g（x）在（0，），（，1），（1，+∞）上分别有零点，f（x）=ax2
﹣2ax+a+=a（x﹣1）2+≥，可得f（x）在（0，）上无根，在（，1），（1，+∞）上分别有两个根，即可得出y=g[f（x）]的零点个数．
【解答】解：∵g（x）=bx3﹣2bx2+bx﹣，∴g′（x）=b（3x﹣1）（x﹣1）
∴g（x）的单调增区间是（0，），（1，+∞），单调减区间是（，1），
∵g（0）g（）＜0，g（）g（1）＜0，
∴g（x）在（0，），（，1），（1，+∞）上分别有零点，
∵f（x）=ax2﹣2ax+a+=a（x﹣1）2+≥，
∴f（x）在（0，）上无根，在（，1），（1，+∞）上分别有两个根，
∴y=g[f（x）]的零点个数为4，
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．已知，则sin2x的值为．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：∵，则sin2x=﹣cos（2x+）=﹣[2﹣1]=﹣
（2×﹣1）=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．
=1+lga n（n∈N*），且a1+a3+a5+…+a2018=10，14．已知数列{a n}的各项均为正数，满足lga n
+1
则a2+a4+a6+…+a2018=100．
【考点】数列的求和．
【分析】由对数函数的运算法则化简lgan+1=1+lgan，得到此数列为等比数列且得到公比q 的值，然后把所求的式子提取q后，把a1+a3+a5+…+a2018=10和求出的q代入即可求出值．
=1+lga n（n∈N*），知=10，
【解答】解：由lga n
+1
所以数列{a n}为等比数列，公比是10，
所以a2+a4+a6+…+a2018=10（a1+a3+a5+…+a2018）=10×10=100，
故答案是：100．
【点评】此题考查学生灵活运用对数的运算法则化简求值，灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道综合题．
15．如图是一个几何体的侧视图和俯视图，已知俯视图中的两个而矩形是全等的，且该几何
体的正视图是一个正方形，则该几何体的表面积为4．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据该几何体的三视图所示，该几何体是一个平放的直三棱柱，其底面为等腰三角
形，面积可求；有两个侧面是长方形，面积相等，长宽为2，1，有一个面长方形长宽是2
和1．即可求该几何体的表面积．
【解答】解：该几何体的三视图所示，该几何体是一个平放的直三棱柱，（如图所示），其
底面为等腰三角形．
×2=2，有两个侧面是面积相等的长方形，长宽为2和1，其面积为2
×1×2=4；有一个大的侧面也是长方形，长宽是2和1，其面积为=2．
∴该几何体的表面积为：．
故答案为．
【点评】本题考查了对三视图的认识和理解，能求三视图的体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
16．已知△ABC的外心为O，重心为G，且2|AB|+|AC|=6，则的取值范围是
[）．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意画出图形，求出，
，再由重心的性质把用表示，展开，结合2|AB|+|AC|=6
化为关于||的二次函数，则答案可求．
【解答】解：如图，过点O分别作OF⊥AB于F，OH⊥AC于H，则F、H分别是AB、AC 的中点，
可得Rt△AFO中，cos∠OAF==，
∴，
同理可得，
∵G为△ABC的重心，∴，
∴==，
∵2|AB|+|AC|=6，∴0＜，且||=6﹣2||，
则==．
∵0＜，
∴当||=时，；当||→0时，→6．
∴的取值范围是[）．
故答案为：[）．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外心、重心等知识，考查数学转化思想方法，训练了二次函数最值的求法，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=2﹣x（4x﹣m）是奇函数，g（x）=lg（10x+1）+nx是偶函数
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）+x，试求h（x）在x∈[﹣1，2]时的最值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）函数f（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得f（0）=0，解得m，g（x）是偶函数利用g（﹣x）=g（x）解得n，从而得m+n的值．
（2）由（1）可得h（x）=f（x）+g（x）+x=2x﹣2﹣x+lg（10x+1），且h（x）在[﹣1，2]为增函数，故可求出最值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=2﹣x（4x﹣m）是奇函数且定义域为R，
∴f（0）=1﹣m=0，解得m=1
∵g（x）=lg（10x+1）+nx是偶函数．
∴g（﹣x）=lg（10﹣x+1）﹣nx=lg﹣nx=lg（10x+1）﹣x﹣nx=lg（10x+1）﹣（n+1）
x
=g（x）=lg（10x+1）+nx，
∴n=﹣（n+1），∴n=﹣，
∴m+n=，
（2）由（1）可得（x）+1=2﹣x（4x﹣1）=2x﹣2﹣x，
g（x）=lg（10x+1）﹣x，
∴h（x）=f（x）+g（x）+x=2x﹣2﹣x+lg（10x+1），
∵h（x）在[﹣1，2]为增函数，
∴h （x ）max =h （2）=
+lg101，
h （x ）min =h （﹣1）=lg11﹣
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和运用，考查学生分析解决问题的能力．是中档题．
18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2（a n ﹣1）（n ∈N *）．
（1）求数列{a n }的 通项公式；
（2）设b n =lna n （n ∈N *），试求数列{}的前n 项和T n ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）通过在S n =2（a n ﹣1）中令n=1可知a 1=2，利用a n +1=S n +1﹣S n 化简可知a n +1=2a n ，进而可知数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b n =nln2（n ∈N *），裂项可知=
（﹣），并项
相加即得结论．
【解答】解：（1）∵S n =2（a n ﹣1）， ∴S 1=2（a 1﹣1），即a 1=2， 又∵S n +1=2（a n +1﹣1），
∴a n +1=2（a n +1﹣1）﹣2（a n ﹣1），
整理得：a n +1=2a n ，
∴数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列， ∴数列{a n }的通项公式a n =2×2n ﹣1=2n ；
（2）由（1）可知b n =lna n =ln2n =nln2（n ∈N *），
∴=
=
（﹣），
∴T n =（1﹣+﹣+…+﹣
）=（1+﹣
﹣）=
[﹣
]．
【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，对表达式的灵活变形、裂项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量=（2b﹣c，a），=
（sin2C，sinC），且满足∥，
（I）求角A；
（Ⅱ）若a=3，试求b+c的取值范围．
【考点】解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理．
【分析】（I）由向量平行可得（2b﹣c）sinC=asin2C，解结合正弦定理和三角函数知识可得
cosA=，可得A=；
（Ⅱ）可得C=﹣B，由正弦定理可得b+c=2sinB+2sinC，可化简为6sin（B+），
由0＜B＜和三角函数的值域可得．
【解答】解：（I）∵=（2b﹣c，a），=（sin2C，sinC），且满足∥，
∴（2b﹣c）sinC=asin2C，∴（2b﹣c）sinC=2asinCcosC，
∴2b﹣c=2acosC，∴2sinB﹣sinC=2sinAcosC，
∴2sin（A+C）﹣sinC=2sinAcosC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC=2sinAcosC，
∴2cosAsinC=sinC，即cosA=，
∴角A=；
（Ⅱ）∵a=3，A=，∴C=﹣B，
由正弦定理可得==，
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（﹣B）
=2sinB+2（cosB+sinB）
=2（cosB+sinB）
=6（cosB+sinB）
=6sin（B+），
∵0＜B＜，∴＜B+＜，
∴＜sin （B +）≤1，
∴3＜6sin （B +
）≤6，
∴b +c 的取值范围为（3，6]
【点评】本题考查解三角形，涉及向量平行和正弦定理以及三角函数的值域，属中档题．
20．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，对定义域内的任意x ，y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且f （﹣1）=2．当x ＞0时，f （x ）＜0．
（1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）求f （x ）在x ∈[﹣3，5]时的最大值和最小值；
（3）若f （m ）+f （9）＞f （m 2）+f （3），求实数m 的取值范围．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）利用赋值法求f （0）的值，即可判断f （x ）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数单调性，根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论；
（3）利用f （m ）+f （9）＞f （m 2）+f （3），可得f （2m +9）＞f （m 2+6），根据f （x ）在R 上是减函数，即可得出结论．
【解答】解：（1）令x=y=0，可得f （0）=0，
令y=﹣x ，可得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （x ）是奇函数； （2）设x 1＞x 2，f （x ）+f （y ）=f （x +y ），令x=x 2，x +y=x 1，
则y=x 1﹣x 2＞0，
∴f （x 2）+f （x 1﹣x 2）=f （x 1）， ∴f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）＜0， ∴f （x ）在R 上是减函数；
∵f （﹣3）=3f （﹣1）=6，f （5）=5f （1）=﹣10， ∴最大值为f （﹣3）=6，最小值为f （5）=﹣10；
（3）∵f （m ）+f （9）＞f （m 2）+f （3）， ∴2f （m ）+f （9）＞f （m 2）+2f （3），
∴f （2m +9）＞f （m 2+6）， ∵f （x ）在R 上是减函数，
∴2m +9＜m 2+6，
∴m ＜﹣1或m ＞3．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据定义法和赋值法是解决抽象函数问题的基本方法．
21．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥DC ，AB=2AD ，AD=BC=1，若PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60° （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）若点D 到平面PBC 的距离为
，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知可得BC ⊥AC ，再由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥BC ．由线面垂直的判定得BC ⊥平面PAC ，进一步得到平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）连接BD ，设PA=a ，利用等积法求得a ，然后代入棱锥体积公式得答案．
【解答】（1）证明：在△ABC 中，∵AB=2BC ，∠ABC=60°，∴∠ACB=90°，即BC ⊥AC ，
∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ．
又PA ∩AC=A ，∴BC ⊥平面PAC ，
又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ； （2）解：连接BD ，设PA=a ，又AB=2BC=2，
∴PC 2=a 2+3，
由V P ﹣BCD =V D ﹣PBC ，得，
∴，解答a=1．
∴．
【点评】本题考查面面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
22．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）
（1）若a＞0，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）谈论函数F（x）=f（x）﹣xlnx内的零点的个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求出函数的导数，根据当a＞0时的情况从而得出结论，
（2）f（x）﹣xlnx定义域为（0，+∞），由F（x）=0⇒a=﹣lnx，x＞0，令h（x）
=﹣lnx，x＞0，求出函数的导数，x＞0，从而h（x）≥h（1）=e﹣1，由e x﹣1＞x ⇔＞1，进而得出结论．
【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣1﹣ax，
∴f′（x）=e x﹣a，
当a＞0时，f′（x）＞0⇒x＞ln，f′（x）＜0⇒x＜lna，
∴函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（﹣∞，lna）；
（2）函数F（x）=f（x）﹣xlnx定义域为（0，+∞），
又F（x）=0⇒a=﹣lnx，x＞0，
令h（x）=﹣lnx，x＞0，
则h′（x）=，x＞0，
∴h′（x）＞0⇒x＞1，h′（x）＜0⇒0＜x＜1，
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）≥h（1）=e﹣1，
有由（1）知当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，
即e x﹣1＞x⇔＞1，
∴当x＞0且x趋向0时，h（x）趋向+∞，
随着x＞0的增长，y=e x﹣1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x2的增长速度，
而y=lnx的增长速度则会越来越慢．
故当x＞0且x趋+∞时，h（x趋向+∞．
得到函数h（x）的草图如图所示：
故①当a＞e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；
③当a=e﹣1时，函数F（x）有且仅有一个零点；
③当a＜e﹣1时，函数F（x）无零点．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点的判判定，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．。