绝对值的三角不等式

绝对值不等式证明

主备人：迟克勤 张滢好 李红涛 审核： 朱玉国

学习目标： 1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;

2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用

高考要求：（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a -c|+|c-b|(a,b∈R).

难点： 利用绝对值的三角不等式证明

一、绝对值三角不等式

复习： 绝对值的几何意义：

10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A

20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，

那么||a b -的几何意义是

思考：比较大小： 2(3-+23-+； 23+23-+；)2(3-+-23-+

1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤ ，当且仅当 时，等号成立．

2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤ ，当且仅当 时，等号成立．

探究 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系.

①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：

||||||a b a b ++.

②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.

③0a b ⋅=时,显然有：||

||||a b a b ++.综上,得 定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当 时, 等号成立.

在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由

向量加法三角形法则:向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有

||||||

a b a b ++ 它的几何意义就是:

定理1的证明:

定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||

||||a c a b b c --+-. 当且仅当 时, 等号成立.

例1 6,4,0εεε<-<

->b y a x 设，求证：ε<--+b a y x 3232

例2：设2,20,εεε<-<

->b y a x M ，M y M a ≤≤,，求证：εM ab xy <-

推论：（1）,a b R ∈证明b a b a -≥+ ， （2） b a b a -≤-

例3 已知实数,,,c b a 满足不等式c b a >-，证明不等式c b x a x >-+-的解集为R

思考：利用三角不等式讨论15)(-++=x x x f 的最小值

巩固练习：

1、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证： .)()(c b a y x <+-+。

2、 （1）、已知.2

,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 （2）、已知.6

,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。

3、⑴2a b a b a ++-≥;⑵2a b a b b +--≤

4、（2012江苏高考题）已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.

作业：教材19页习题1-4：3 5 7 8。