定积分的概念
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。
定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。
定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。
在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。
很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。
定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。
另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。
在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。
总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。
- 1 -。
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质定积分作为数学中的一个重要概念，是初中数学学习中必须掌握的内容之一。
本文将从定积分的基本概念和性质两个方面进行归纳，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。
1. 定积分的基本概念定积分是对函数在一定区间上的积分，可以理解为曲线与x轴所夹的面积。
具体而言，定积分可以表示为∫ab f(x)dx，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数。
定积分的计算方法有多种，常见的有几何法和定积分的运算法则。
几何法是通过图形的面积进行计算，而定积分的运算法则则利用不定积分求解。
2. 定积分的性质定积分具有以下几个性质：（1）可加性：对于函数f(x)和g(x)，定积分具有可加性，即∫ab[f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx。
（2）线性性：对于任意实数k，定积分具有线性性质，即∫ab kf(x) dx = k∫ab f(x) dx。
（3）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以将该区间分割成若干小区间，然后进行分别计算再求和，即∫ab f(x) dx =∑(i=1 to n) ∫xi-1 xi f(x) dx，其中[xi-1, xi]表示分割后的小区间。
（4）定积分的性质与原函数相关：如果函数F(x)在区间[a, b]上是函数f(x)的原函数，则∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)。
（5）无关紧要的加法常数：定积分无关紧要的加法常数，即∫abf(x) dx = ∫ab [f(x) + C] dx，其中C为任意常数。
3. 定积分的应用定积分不仅仅在数学理论中有重要应用，还广泛应用于物理、经济学等实际问题中。
以下是一些常见的应用场景：（1）面积计算：定积分可以用来计算曲线与x轴所夹的面积，从而解决几何学中的面积问题。
（2）求解平均值：对于某些变量随时间变化的过程，可以通过定积分计算平均值，如平均速度、平均密度等。
定积分的概念
设某质点作直线运动，速度 v v (t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，物体在这段时 间内所经过的路程.
S v(t )dt
T2 T1
例1 利用定义计算定积分 x 2dx.
0
1
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
（3） 设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
6） (积分中值定理)若函数f ( x)在区间[a, b]上连续 . 则在[a, b]上至少存在一点 , 使得下式成立 :
o a
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{x1 , x2 ,xn }
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
y
a
o
A2
A1
A3
b
x
它 是 介 于x 轴 、 函 数 f ( x ) 的 图 形 及 两 条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的数 和 ． 代 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号在 x 轴 下 方 的 面 ； 积取负号．
定积分的概念
b
b
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx.
b c
性质3：
性质4：
b
a b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a b a
c
1dx
a
dx b a.
性质5： 如果在[a, b]上，f ( x) 0, 则 f ( x)dx 0 a b). （
x a、x b之间的各部分面积的代数和。
a
4.例子 应用定义计算 x dx 及
2 0
解：
e dx (1) f ( x) x 在[0,1]上连续，故 x dx存在。
x
2
1
1
0 1
2
0
1 i 将[0，n等分，则xi , 取 i (i 1,2, , n), 有 1] n n n n 1 2 1 2 0 x dx lim0 f ( i )xi lim0 i n i 1 i 1
x
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) [ F ( x)]
x a
b
a f (t )dt也是f ( x)的一个原函数，从而
(微积分基本公式）
F ( x) ( x) C.令x a有F (a) C.即F ( x) ( x) F (a) 或 ( x) f (t )dt F ( x) F (a).令x b, 则
a
b
n
b
a
f ( x)dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的概念
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx -x + 3x dx
3 2 0
四、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
a f(x)dx - b f (x)dx
a
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b
a f (x)dx a
O a
b
b
c
f (x)dx
b
c
f (x)dx。
b
lim f (i ) xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt f(u)du。
a
b
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
再 见
例 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习：利用定积分计算： x3 dx
0
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。
在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。
二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。
三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。
也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫<sub>c</sub><sup>b</sup>f(x)dx+∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f (x)dx=∫<sub>c</sub><sup>a</sup>f(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。
四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。
其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。
另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。
平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分的含义和计算
定积分的含义和计算定积分是微积分中的一种运算方式，通过计算函数在一个区间上的面积来求解。
它是反应函数变化的量的一种数值特征，同时也是分析函数性质和解决实际问题中的重要工具之一。
在本文中，我们将详细介绍定积分的含义、计算方法及其应用。
首先，我们来探讨定积分的含义。
定积分可以理解为函数曲线与坐标轴之间的有向面积。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以将其限定在一个区间$[a,b]$上，然后使用一根尺直角下压在曲线上，该尺的长度与曲线上相应点的纵坐标相关。
当我们将尺从$a$点移动到$b$点时，这根尺覆盖的面积就是定积分。
同时，定积分还可以表示曲线上方的面积减去曲线下方的面积，即上减下。
为了更形象地理解定积分的含义，我们可以以一个例子进行说明。
假设有一个自由落体运动，其运动方程为$s(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$，其中$v_0$是初始速度，$g$是重力加速度，$t$是时间。
现在我们想知道在给定的时间区间$[t_1,t_2]$内自由落体运动所覆盖的空间距离。
这时，我们可以使用定积分来解决这个问题。
根据定义，自由落体运动的空间距离可以表示为$s(t)$在区间$[t_1,t_2]$上的定积分：$$\int_{t_1}^{t_2}(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$$其中$\int$表示求和的符号，$(v_0t - \frac{1}{2}gt^2)dt$表示被积函数，$dt$表示积分变量。
这个定积分的结果就是自由落体运动在区间$[t_1,t_2]$内所覆盖的空间距离。
接下来，我们将介绍定积分的计算方法。
在实际计算中，定积分可以通过多种方式求解，例如几何法、牛顿-莱布尼茨公式和数值积分等。
几何法是一种直观易懂的计算方式，它利用几何图形的性质来求取定积分的值。
具体而言，对于一个函数$f(x)$，我们可以通过绘制函数曲线与坐标轴之间的图形，然后根据几何图形的性质来计算面积。
定积分的概念与性质
(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最 小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上 连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
定积分的定义
0
1
0
1
2.已知
2
0 f
x dx
8,则 ［2 f 0
x －2x］dx
________ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
吗？
提示:能.推广公式为
b f（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
6.已知 1x3dx 1，2 x3dx 15，2 x2dx 7，4 x2dx 56 .
0
41
41
32
3
求：（1） 2 3x3dx. 0
2
0 f
x dx
2
2
0
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
定积分的概念
04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面 积，如矩形、圆形、三角形等。通过 选取适当的积分变量和积分区间，可 以将面积表示为定积分的形式，进而 求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的 图形，也可以利用定积分计算其面积。 通过消去参数，将参数方程转化为直 角坐标方程或极坐标方程，再利用定 积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函 数拆分成两个或多个函数的乘积，利用 乘积法则进行分部积分，从而简化计算 过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被 积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然 后利用乘积法则进行分部积分。这种方法 需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式 ，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分 问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小 的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化 计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需 要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非 常有用，特别是当我们需要找到一个 特定的点，使得函数在该点的值等于 整个区间的定积分时。
定积分的概念存在条件与性质
• 定积分的概念 • 定积分的存在条件 • 定积分的性质 • 定积分的应用
01
定积分的概念
定义与背景
定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上各点的定积分值相加的总 和。
背景
定积分是为了解决实际问题而产 生的数学工具，如计算曲线下面 积、变速直线运动的路程等。
定积分的几何意义
计算体积
通过微元法，可以将体积转化为定 积分，从而求出给定立体的体积。
微元法在物理学中的应用
计算做功
利用微元法，可以将力在物体上 做的功转化为定积分，从而求出 做功的值。
计算压力
在流体动力学中，利用微元法可 以将压力转化为定积分，从而求 出压力的值。
计算质心
在质点系中，利用微元法可以将 质心位置转化为定积分，从而求 出质心的位置。
详细描述
如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，那么对于任意实数k和l，函数k*f(x) + l*g(x)在区间[a, b]上也可积， 且
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指对于任意分 割的两个子区间，其对应的定积分之 和等于原函数在整体区间上的定积分。
详细描述
如果[a, b]被分成两个子区间[a, c]和[c, b]，那么∫(b, a)f(x) dx = ∫(b, c)f(x) dx + ∫(c, a)f(x) dx。
绝对收敛
如果定积分存在且其值小于等于某个正数，则该定积分是绝 对收敛的。
定积分存在的必要条件
区间不可分
如果闭区间不能被分成有限个开子区间，则该函数在该闭区间上不可积。
无界
如果函数在闭区间的任意子区间上都无界，则该函数在该闭区间上不可积。
定积分的概念定积分应用
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总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
4(1)定积分的概念与性质
(1) 当a b时,
b
f ( x)dx 0
a
(2) 当a b时,
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
说明 在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．
18
定积分的概念与性质
性质1 设f (x)和g(x)在a,b上可积,则f (x) g(x)也在a,b上可积.
12
定积分的概念与性质
3、定积分的几何意义和物理意义
(1). 几何意义
f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
f ( x) 0, b f ( x)dx A 曲边梯形的面积
a
y
的负值
f (x)
A1
a
A2 O
A3
bx
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
13
定积分的概念与性质
即小区间的最大长度 max{x1,x2,xn}
趋近于零 ( 0) 时，取极限, 极限值就是曲边梯
形的面积:
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
7
定积分的概念与性质
思想 以不变代变
(2).求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t)
是时间间隔 [T1,T2 ]上t 的一个连续函数,且v(t) 0, 求物体在这段时间内所经过的路程. 思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上 速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便 得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值．
第四章 一元函数积分
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
定积分的概念
如果当
max{x
1 i n
i
}
0
时
总有 f ( i ) x i I , 那么称极限 I 为函数 f (x)
i 1
b
在[a, b]上的定积分，记为 f ( x)dx，即 a
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i 1
f ( i )xi
19
定积分的定义
积分上限
b a
f ( x)dx
8
引例：求面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
伯 鹃 讹 辣 霖 囤 肯 府 撬 腹 咳 未 剁 胰 然 尖
引例：求面积
步骤
Step1 大化小(分割)
在 a, b 之间任意插入 n -1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
b
a
f
(
x
)
d
x
在几何上表示相应曲边梯形面
积的相反数，即
b
a
f
(x)dx
=
A
．
y f ( x)
a
b
定积分的几何意义
当 f (x) 在区间[a, b] 上有正有负时，
b
a
f
(x)dx
在几何上表示 的
x
轴上方图形
面积减去 x 轴下方图形的面积．如图所
示，有
b f (x)dx A1 A2 A3 A4 ． a
b f (x)dx =
b f (u)du ，例如：
1 x 2dx
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第 五次P141.习 题 3、2、29、30 1、⎰⎰++=++dx 3sinxx 3cosx3x 31dx 3sinxx cosx x 3232()⎰++=++=C 3s i n x x ln 313sinx x x sin 3x d 31333解：()()⎰⎰=+xlnxd e dx lnx 1x xlnxxC x C exx l n x+=+=2、习题4，(11) 解：⎰⎰=x lnsinxdtandx xcos lnsinx 2⎰-=dx sinxcosx tanxtanxlnsinxC x t a n x l n s i n x +-=3、P109，例3.5，习题3，选择题4、⎰⎰--=dtanx tanxedx excos sinx tanxtanx3⎰--=t a n xt a n x d e⎰--+-=d t a n x et a n x et a n xt a n xC et a n x e t a n xt a n x+--=--5、设()C x arcsin dx x xf +=⎰，则()()⎰+--=C x 131x f dx 3230有理函数积分()⎰dx x R →真分式→部分分式 部分分式：()()n22nq px xNMx ,qpx x N Mx ,b ax 1,bax 1++++++++其中：04q p 2<- 5、⎰--+dx 12x x 1x 2解：()()3x 4x 1x 12x x 1x 2+-+=--+3x B 4x A ++-=()()()()3x 4x 4x B 3x A +--++=()()1x 4x B 3x A +=-++令 ,75A 4x == 令 72B 3x =-=∴ ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++dx 3x 24x 571dx 53x x 1x 2C 3x ln 724x ln 75+++-=6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4) c 22x arctan21dx 8x 4x 12++=++⎰⎰⎰++-+=++8x 4x24x 221dx 8x 4x122()()()2x d 22x18x 4x 84x d 212222+++-++++=⎰⎰c 22x a r c t a n218x 4x ln 212++-++=40三角有理式积分()⎰dx cosx sinx,R 令 222t12t sinx t1t 1cosx t2x tan +=+-== 2t12dt dx +=8、⎰+dx sinx21⎰+⋅++=dt t12t 12t 2122⎰++=dt 1t t 12⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21t d 2321t 122 C 2321t a r c t a n 32++=C 312x 2tanarctan32++=9、⎰⎰+=+dx1x 3sec xsec xcos 3dx 222⎰+=tanx 3d 4x 3tan1312C 2tanx 3arctan2131+⋅=C 2t a n x 3a r c t a n 321+=6、设()x f 的原函数()x F 恒正，且()10F =，当0x ≥，有()()2x sin x F x f 2=，求()x f解：()()x f x F =' ()()x sin x F x F 2='()()⎰⎰='2xdx sin dx x F x F 2()()()⎰⎰-=dxcos4x 121x dF x F()C sin4x 41xx F2+-= 由()10F = 得C=1∴ ()1sin4x 41x x F +-=∴ ()1sin4x 41x xsin x f 2+-=定积分的概念一、定义及性质 <定义>：()()∑⎰=→∆=n1i i i 0x b ax ζf limdx x f ，{}i ni 1x m ax λ∆=≤≤注意(1)积分区间有限，被积函数有界；(2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰b ab adt t f dx x f ；(4)()x f 在[]b ,a 有界是()x f 在[]b ,a 可积的必要条件，()x f 在[]b ,a 连续是()x f 在[]b ,a 可积的充分条件。
<几何意义>：()⎰b adx x f 在几何上表示介于0y =，()x f y =，a x =，b x =之间各部分面积的代数和。
补充规定 ()0dx x f a a=⎰()()⎰⎰-=a bb adx x f dx x f<性质>P115，性质（1）—（9）其中(8)为估计定理：在[]b ,a ，()M x f m ≤≤，则()()()a b M dxx f a b m ba -≤≤-⎰(9)中值定理：如()x f 在[]b ,a 连续，[]b a,ζ∈∃，使()()()a b ζf dx x f b a-=⎰例1、 利用定积分几何意义，求定积分值 4dx x 1102π=-⎰上式表示介于0x =, 1x =, 0y =, 2x 1y -=之间面积例2、（估计积分值） 证明21xx 2dx 3212<-+<⎰证：2221x 49x x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+在[]1,0 上最大值为49，最小值为2∴21xx 21322≤-+<∴ 21xx 213212<-+<⎰二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式 10变上限积分基本定理：设()x f 在[]b ,a 连续，x 为()b ,a 上任意一点， 则()()⎰=x adt t f x Φ是可导函数，且()()x f x Φ='即()()⎰=x ax f dt t f dxd 说明()⎰x adt t f 为()x f 的一个原函数。
例3、已知()dt ex F x 0t12⎰-=,()dt ex F 22xt2⎰-=, ⎰-=1cosxt32eF()⎰-=sinx cosx t4dt ex F 2, ()()⎰=x 05dt t tf x F ,()()⎰=x 06dt t xf x F ， ()()()⎰-=x 07dt t f t x x F求：()⎪⎭⎫⎝⎛='9,2,1,i x F i 解：()()()xcos 3x2x1242sinxex F 2xe x F e x F ---='='='()()()x xf x F sinxecosxe x F 5xcos xsin 422='+='--()()()x xf dt t f x F x 06+='⎰()()()()⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=xx 0x 0/7dt t f 'dt t tf dt t f x x F例4、3x 41cosxx 4xsinxcosxlncosxlimxtlntdt lim⋅=→→⎰2x 0x 0x xlncosx limx sinx limcosx lim 41→→→⋅⋅=c o s x2x sinx lim410x ⋅-=→81-=例5、()⎰-=22x 0tdt e1t y 有极大值的点为 DA.1x =B.1x -=C. 1x ±=D. 0x = 例6、如()dt t 11dt t11x F x12x 02⎰⎰+++=0x ≠,则()=x F BA .0B .2π C . 31 D .e 2例7、P117 例3.11例8、设()x f 在()+∞∞-,上连续，且()()()dt t f t 2x x F x 0⎰-=,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数 证：()()()()()()t d t f u 2x ut dtt f t 2x x F x 0x 0--+--=--=-⎰⎰-()()dt t f t 2x x 0⎰--=()x F =20定积分计算① 牛顿莱伯尼兹公式 <定理>设()x F 在[]b ,a 连续。
()x F 为()x F 在[]b ,a 上的任意一个原函数，则有F(a)F(b)F(x)f(x)dxb ab a-==⎰② 定积分换元法与分部积分法30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质 (1) ()x f 在[]a ,a -连续，0a > 当()x f 为偶数，则⎰⎰=a 0a -af(x)dx 2f(x)dx当()x f 为奇函数，则0f(x)dx a -a=⎰(2) ⎰⎰=+T 0T a af(x)dx f(x)dx ，()x f 以T 为周期说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。
例9、e4)dx e -)(exx(11-1x-x2001=+⎰原式 ⎰=10x-x)dx e -x(e2⎰=10x-x)e -x d (e 2[]10xx)ex (e 2-+=e4=例10、⎰⎰-+=+2π2π2π022dx xsin 1 x cos dx x2sin x cos x cos 2πx2arctansin dsin x xsin 112π2π2==+=⎰例11、⎰⎰=-π0π042dx sinx cosx x dx x cos x cos x⎰⎰ππ-=22π0x xcosxsinxd x xcosxsinxd⎰⎰-=π2π2π02x dsin x 21xdsin2x 212π=例12、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0x e 0x x 1f(x)x2则=⎰312)dx -f(xA 、31e-B 、31e +C 、31 D 、e 2)dx e dx )x (1f(t)dt t2 x 2)dx -f(x (10x0121-131⎰⎰⎰⎰++==--例13、 加P124 例3.18 例14、⎰⎰-=-2222022dx )1(x -1xdx x2x x设 sin t 1-x =π23t)dt sin (12dt t cos costsin t)(12π22π2π2=+=+⎰⎰-法二 设 t 2sinx 2=原式π232π!4!!3!8dt t sin 82π4=⋅⋅==⎰例15、设()x f 为连续函数，且⎰+=π0dx f(x)sinx f(x) 求()x f解： 设⎰=π0A dx f(x)则()A x sin x f +=两边积分π0π0π0π0Ax cosx A A)dx (sinx dx f(x)+-=+=⎰⎰π12A -=∴ π12sinx f(x)-+=(()x f 、()x g 在[]2,0连续，且⎰⎰+-=+=2023202f(x)dx 3xx g(x)g(x)dx 3xf(x)求()x f 、()x g 的表达式 答案：()4x 3x f 2-=()3x x g -= )例16、设 ()0x dtt1ln t x f x1>+=⎰，求()⎪⎭⎫⎝⎛+x 1f x f解：()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰x11x 1dt t 1lntdt t 1ln t x 1f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+++=2x 1x11x 1lnx 1lnx()xlnx 1x x lnx x 1lnx =+++=()c x ln 21dx xlnx x 1f x f 2+==⎪⎭⎫⎝⎛+⎰令1x = 0c =(∵()01f =)∴ ()x ln 21x 1f x f 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+例17、设 ⎰-=x 0dt tπsint f(x)求⎰π0f(x)dx解：⎰⎰⎰---=-=π0π0π0π0)df(x)π(x )f(x)π(x )πf(x)d(x f(x)dx 2sinxdx dx x-πsinx )π-(x π0π0==⋅=⎰⎰例18、已知()x f 在[]2,0上二阶可导，且()12f =，()02f ='及4f(x)dx 20=⎰求⎰''102(2x)dx f x解：原式 ⎰⎰'-'='=11212(2x)dx f 2x 21(2x)f x 21(2x)f d x 21⎰⎰+-=-=111f(2x)dx 21xf(2x)21xdf(2x)2121121 t f(t)d 412120=+-=+-=⎰例19、设()x f 在()+∞∞-,连续 证明：⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 0u 0x 0du f(x)dx u u)d -f(u)(x证：右边=⎰⎰⎰=-x0u 0x0u 0f(x)dx ud f(x)dxu⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=x 0x 0x 0x 0x 0u)f(u)du-(x uf(u)duf(u)du x uf(u)du f(x)dx x例20、设 1a ≤ ⎰--=11xdx e a x I(a)求(a)I '解：⎰⎰+=-1axa 1xdx a)e -(x dx x)e -(a I(a)⎰⎰⎰⎰-+-=-1ax1axa -1xa 1xdx e a dx xe dx xe dx e ae1e 2e eedx e dx e aedx e ae ae ae dx e (a)I a1axa 1x1ax a 1xa1axaaaa 1x--=-=-=+---+='---⎰⎰⎰⎰例21、设()x f 连续，⎰=ϕ10t f(xt)d )(x ，且A xf(x)limx =→求(x)ϕ'，并讨论(x)ϕ'在0x =处连续性 解：0f(x)lin f(0)Axf(x)limx 0x ==∴=→→ 得 ()00=ϕ令 u xt = ⎰=ϕx 0u f(u)d x1(x) 0x ≠⎪⎩⎪⎨⎧=≠=ϕ∴⎰x 00x u f(u)d x1(x)x 02A 2xf(x)limxf(u)du lim-x (0)-(x)lim(x)0x 2xx 0x ===ϕϕ='ϕ→→→⎰∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-='ϕ⎰0x 2A 0x xf(u)duxf(x)(x)2x 0(0)2A 2A -A )xf(u)du xf(x)(lim xf(u)duxf(x)lim(x)lim /2x 0x 2x 00x /x ϕϕ===-=-=⎰⎰→→→∴ (x)ϕ'在0x =连续 即(x)ϕ'在()+∞∞-,连续例22、试证方程0dt t sin 1tdt sin x2π2x 10π2=+⎰⎰ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,10π内有且仅有一实根 证：设 ⎰⎰-=x 2π2x 10π2dt tsin 1tdt sin F(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,10π连续 且⎰⎰>-=⎪⎭⎫⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2π10π210π2π20tdt sin 2πF 0dt tsin 110πF由介值定理 ⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2π,10πζ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根又∵0xsin 1x sin (x)F 22>+='，()x F 单增∴根唯一例23、设()x f 在[]1,0，连续()⎰-=121xdx x f e2f(0)试证：[]1,0内至少∃一点ζ，使)ζf()ζ(f =' 证：设()()x f ex F xf-=则()x F 在[]1,0可导⎰==121x-f(x)dxe 2f(0)F(0)1c 21F(c)f(c)e c≤≤=-()x F 在[]1,0上满足罗尔定理条件∴至少存在一点ζ，使()0F =ζ'即 0)ζf(e )ζf(e -ζ-ζ=+-亦即()()ζ=ζ'f f例24、P128例3.23 (1) (3)中值例25、04y dt ex 2y32t3=++-⎰-0y y 3e y y 2x 34y 2='+'--24y 2y3ye2x 3y -='-例26习题3.11设)x (f 在]b ,a [连)b ,a (可导，且0)x (f ≤'，⎰-=x adt )t (f ax1)x (F证明在)b ,a (内，有0)x (F ≤'证：2x a)a x (dt)t (f )x (f )a x ()x (F ---='⎰b x a )a x ()(f )a x ()x (f )a x (2≤≤ζ≤-ζ---=ax )(f )x (f -ζ-=)x (f 0)x (f ∴≤' 在)b ,a (单调减，x ≤ζ)x (f )(f ≥ζ→ 故 0)x (F ≤'三、定积分应用 P 132 1︒平面图形面积 (ⅰ)直角坐标：[]⎰<<-=b a 2112)x (f )x (f b a dx )x (f )x (f s [])y ()y (dc dy)y ()y (21d c12ϕ<ϕ<ϕ-ϕ=⎰P134 例3.26，例3.27例1习题3 21求抛物线3x 4x y 2-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积解：4x 2y K +-='=在)3,0(-点处，4K 1=，切线方程 3x 4y -= 在)0,3(点处，2K 2-=，切线方程6x 2y +-=⎩⎨⎧+-=-=6x 2y 3x 4y 得交点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23[][]498989dx )9x 6x (dx x dx)3x 4x(6x 2dx )3x 4x(3x 4S 32322323232232=+=+-+=-+--+-+-+---=⎰⎰⎰⎰（ii ）极坐标[]⎪⎭⎫ ⎝⎛θθγ-θγ=ϕϕρ-ϕρ=⎰⎰βαβαd )]()([21d )()(21S 21222122例2、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π⎪⎪⎭⎫⎝⎛π65,22,6,22 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡θθ+θθ=⎰⎰πππ6462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-⎰πd )2cos 1(60+⎰ππθθ46d 2cos21362sin 212sin 21466--π=θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ-θ=πππ2︒旋转体体积由b x ,a x ),x (f y ,0y ====所围平面图形绕x 轴旋转一周所生成的立体体积，⎰π=b a2x dx )x (f V由d y ,c y ,0x ),y (l x ====所围平面图形绕y 旋转一周所得旋转体体积⎰ϕπ=d c2y dy )y (V例3、过点)0,1(P 作抛物线2x y -=的切线，求该切线与抛物线2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为)2x ,x (00-切线方程)1x (2x 21y 0--=切点在切线上，∴1x (2x 212x 000--=-3x 0=，∴切线方程：)1x (21y -=⎰⎰π=-π--π=31322x 6dx )2x (dx )1x (41V6π=θ2。