2018年四川省乐山市高考数学二模试卷(理科)Word版含解析

2018年四川省乐山市高考二模试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|0＜x＜3}，N={x|x＞2}，则M∩（∁RN）=（）A．（0，2] B．[0，2）C．（2，3）D．[2，3）2．已知i是虚数单位，若复数满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．43．若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．44．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm35．设样本x1，x2，…，x10数据的平均值和方差分别为2和5，若yi=xi+a（a为非零实数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．2，5 B．2+a，5 C．2+a，5+a D．2，5+a6．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x0＜3x0，命题，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．p∧（￢q） D．（￢p）∧q7．如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tan θ的值为（ ）A ．2B ．3C ．﹣2D ．﹣38．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f （x ）=x 2+2ax ﹣b 2+π有零点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．对于数列{a n }，定义H 0=为{a n }的“优值”．现已知某数列的“优值”H 0=2n+1，记数列{a n ﹣20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣64B ．﹣68C ．﹣70D ．﹣7210．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ﹣π）=f （x ）+sinx ，当0≤x ≤π，f （x ）=1时，则=（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别是函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与两条直线l 1：y=m （A ≥m ≥0），l 2：y=﹣m 的两个交点，记S （m ）=|x M ﹣x N |，则S （m ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=x ﹣lnx+h 在区间上任取三个实数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，e 2）B ．（﹣∞，e 2﹣4）C ．（e 2，+∞）D ．（e 2﹣4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若的二项展开式中含x 6项的系数为36，则实数a= ．14．某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为 ．15．双曲线C 的左右焦点分别为F 1、F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点．设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1的底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 ．16．若函数f （x ）满足，当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=x ，若在区间[﹣1，1]上，g （x ）=f （x ）﹣mx+m 有两个零点，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n }满足a 1=3，．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n ＜﹣4的最小自然数n ．18．（12分）某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨的概率；（2）用ξ表示未来3天日销售量不低于40吨的天数，求随机变量ξ的数学期望．19．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．（12分）已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．21．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为（1）求θ的值；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=6，求证：．2018年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|0＜x＜3}，N={x|x＞2}，则M∩（∁RN）=（）A．（0，2] B．[0，2）C．（2，3）D．[2，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意和补集的运算求出∁R N，由交集的运算求出M∩（∁RN）．【解答】解：由题意知N={x|x＞2}，则∁RN={x|x≤2}，又集合M={x|0＜x＜3}，则M∩（∁RN）={x|0＜x≤2}=（0，2]，故选A．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．2．已知i是虚数单位，若复数满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式两边取模，化简整理得答案．【解答】解：由，得，即|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出x．【解答】解：∵向量，∴3=（﹣6，0）+（2，1）=（﹣4，1），∵3与共线，∴﹣=，解得x=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．4．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B ．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．5．设样本x 1，x 2，…，x 10数据的平均值和方差分别为2和5，若y i =x i +a （a 为非零实数，i=1，2，…，10），则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为（ ） A ．2，5B ．2+a ，5C ．2+a ，5+aD ．2，5+a【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，由样本x 1，x 2，…，x 10数据的平均值和方差分别为2和5，可得=（x 1+x 2+…+x 10）=2，=[（x 1﹣2）2+（x 2﹣2）2+…+（x 10﹣2）2]=5，进而对于数据y i =x i +a ，由平均数、方差的公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，样本x 1，x 2，…，x 10数据的平均值和方差分别为2和5，则有=（x 1+x 2+…+x 10）=2，=[（x 1﹣2）2+（x 2﹣2）2+…+（x 10﹣2）2]=5，对于y i =x i +a ；则有=（x 1+a+x 2+a+…+x 10+a ）=（x 1+x 2+…+x 10+10a ）=2+a ，=[（y 1﹣2﹣a ）2+（y 2﹣2﹣a ）2+…+（y 10﹣2﹣a ）2]=5，故选：B ．【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式．6．已知命题p ：∃x 0∈（﹣∞，0），2x0＜3x0，命题，则下列命题中真命题是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q【考点】复合命题的真假．【分析】由指数函数的图象与性质可得：x ∈（﹣∞，0），2x ＞3x 恒成立，即可判断出真假．当x ∈时，sinx ＜x 恒成立，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：由指数函数的图象与性质可得：x∈（﹣∞，0），2x＞3x恒成立，因此p是假命题．∴￢p是真命题．当x∈时，sinx＜x恒成立，因此q是真命题．∴￢p∧q是真命题．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知，求出tan（θ+45°）=﹣3，利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ，求出tanθ．【解答】解：∵，则，又点P（﹣3，﹣1），则tan（θ+45°）=﹣3，所以tanθ=tan（θ+45°﹣θ）==；故选A【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出tan（θ+45°），利用角的等价变换求出tanθ．8．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b 2+π有零点，得到关于a 、b 的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型， ∵a ，b 使得函数f （x ）=x 2+2ax ﹣b 2+π有零点， ∴△≥0 ∴a 2+b 2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a ，b ）|﹣π≤a ≤π，﹣π≤b ≤π} ∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a ，b ）|a 2+b 2≥π}， ∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=， 故选B ．【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．9．对于数列{a n }，定义H 0=为{a n }的“优值”．现已知某数列的“优值”H 0=2n+1，记数列{a n ﹣20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣64B ．﹣68C ．﹣70D ．﹣72【考点】数列的求和．【分析】由{a n }的“优值”的定义可知a 1+2a 2+…+2n ﹣1•a n =n•2n+1，当n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2•a n﹣1=（n ﹣1）•2n ，则求得a n =2（n+1），则a n ﹣20=2n ﹣18，由数列的单调性可知当n=8或9时，{a n ﹣20}的前n 项和为S n ，取最小值．【解答】解：由题意可知：H 0==2n+1，则a 1+2a 2+…+2n ﹣1•a n =n•2n+1，当n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2•a n ﹣1=（n ﹣1）•2n ， 两式相减得：2n ﹣1•a n =n•2n+1﹣（n ﹣1）•2n ，a n =2（n+1）， 当n=1时成立，∴a n ﹣20=2n ﹣18，当a n ﹣20≤0时，即n ≤9时， 故当n=8或9时，{a n ﹣20}的前n 项和为S n ，取最小值，最小值为S 8=S 9==﹣72，故选D ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．10．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ﹣π）=f （x ）+sinx ，当0≤x ≤π，f （x ）=1时，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】运用诱导公式化简求值；函数的值．【分析】利用条件以及诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵f （x ﹣π）=f （x ）+sinx ，当0≤x ≤π，f （x ）=1时，则=f （﹣﹣π）=f （﹣）+sin （﹣）=f （﹣﹣π）+sin （﹣）=f （﹣）+sin （﹣）+sin （﹣）=f （﹣π）+sin （﹣）﹣sin=f （）+sin+sin （﹣）+sin=1+﹣+=，故选：C ．【点评】本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于基础题．11．如图，M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别是函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与两条直线l 1：y=m （A ≥m ≥0），l 2：y=﹣m 的两个交点，记S （m ）=|x M ﹣x N |，则S （m ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由已知条件及所给函数的图象知，图象从M 点到N 点的变化正好是半个周期，故|x M ﹣x N |=，S （m ）的图象大致是常函数．【解答】解：如图所示，作曲线y=f （x ）的对称轴x=x 1，x=x 2， 点M 与点D 关于直线x=x 1对称， 点N 与点C 关于直线x=x 2对称， ∴x M +x D =2x 1，x C +x N =2x 2； ∴x D =2x 1﹣x M ，x C =2x 2﹣x N ；又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称， ∴x M +x C =2x B ，x D +x N =2x B ， ∴x M +2x 2﹣x N =2x B ， 2x 1﹣x M +x N =2x B ，∴x M ﹣x N =2（x B ﹣x 2）=﹣，∴x N ﹣x M =2（x B ﹣x 1）=，∴|x M ﹣x N |=，T 为f （x ）的最小正周期； S （m ）的图象大致是常数函数． 故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．12．已知函数f（x）=x﹣lnx+h在区间上任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A．（﹣∞，e2）B．（﹣∞，e2﹣4）C．（e2，+∞）D．（e2﹣4，+∞）【考点】函数的值；利用导数研究函数的单调性．【分析】任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，从而2f（x）min ＞f（x）max且f（x）max＞0，由此能求出实数h的取值范围．【解答】解：任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，∴2f（x）min ＞f（x）max且f（x）max＞0，令，解得x=1，当时，f′（x）＜0，当1＜x＜e时，f′（x）＞0，∴当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h，f（x）max=max{f（），f（e2）}=max{，e2﹣2+h}，从而得到，解得h＞e2﹣4．∴实数h的取值范围是（e2﹣4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查导数的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若的二项展开式中含x6项的系数为36，则实数a= ﹣4 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】通项公式Tr+1==（﹣a）r x9﹣3r，令9﹣3r=6，解得r，进而得出．【解答】解：通项公式Tr+1==（﹣a）r x9﹣3r，令9﹣3r=6，解得r=1．∴的二项展开式中含x6项的系数=﹣a×9=36，解得a=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i ≤9，退出循环，由裂项法即可计算可得输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0，满足条件i≤9，执行循环体，S=，i=2满足条件i≤9，执行循环体，S=+，i=3…i=9，满足条件i≤9，执行循环体，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S=++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．15．双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为1+．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16．若函数f（x）满足，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有两个零点，则实数m的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，求出x∈（0，1）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．【解答】解：∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=x，∴当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0），，可得x﹣1=，所以f（x）=，作出f（x）在[﹣1，1）上的图象，如图：因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）的图象与直线y=mx﹣m有两个交点，由图象可知m∈（0，]．故答案为：（0，]．【点评】此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）（2017•乐山二模）已知数列{a n }满足a 1=3，．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n ＜﹣4的最小自然数n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+n ﹣1=n+1，即可求得数列{a n }的通项公式；（2）由（1）可知b n =log 2=log 2=log 2（n+1）﹣log 2（n+2），求得S n =b 1+b 2+…+b n =1﹣log 2（n+2），由S n ＜﹣4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数n 的值．【解答】解：（1）由，则数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴=2+n ﹣1=n+1，∴a n =n 2+2n ，数列{a n }的通项公式a n =n 2+2n ；（2）b n =log 2=log 2=log 2=log 2（n+1）﹣log 2（n+2），数列{b n }的前n 项和为S n ，S n =b 1+b 2+…+b n =log 22﹣log 23+log 23﹣log 24+…+log 2（n+1）﹣log 2（n+2），=1﹣log 2（n+2），由S n ＜﹣4，1﹣log 2（n+2）＜﹣4， log 2（n+2）＞5=log 232， ∴n+2＞32，解得：n ＞30，满足Sn＜﹣4的最小自然数n为31．【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•乐山二模）某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨的概率；（2）用ξ表示未来3天日销售量不低于40吨的天数，求随机变量ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出日销售量不低于40吨的频率为0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于40吨的事件为Ai （i=1，2，3），则P（Ai）=0.4，未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨包含两个互斥事件：和，由此能求出未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，0.4），由此能求出ξ的数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知：日销售量不低于40吨的频率为：10×（0.025+0.015）=0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于40吨的事件为Ai（i=1，2，3），则P（Ai）=0.4，未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨包含两个互斥事件：和，∴未来3天内，连续2天日销售量不低于40吨，另一天的日销售量低于40吨的概率为：P（∪）=P（）+P（）=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣0.4）2=0.216，P（ξ=1）==0.432，P（ξ=2）==0.288，P（ξ=3）=0.43=0.064，∴ξ的分布列为：Eξ=0×0.216+1×0.432+2×0.228+3×0.064=1.2．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及二项分布的性质的合理运用．19．（12分）（2017•乐山二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…（9分）设面DAE的法向量为，，即，∴，…（10分）设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…（12分）∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2017•乐山二模）已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T （4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R （x 1，y 1），S （x 2，y 2）联立，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR （显然TS ，TR 的斜率存在），故k TS +k TR =0即②，由R ，S 两点在直线y=k （x ﹣1）上，故y 1=k （x 1﹣1），y 2=k （x 2﹣1）代入②得，即有2x 1x 2﹣（t+1）（x 1+x 2）+2t=0③，将①代入③，即有：④， 要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T （4，0），使得当k 变化时，总有∠OTS=∠OTR ．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．21．（12分）（2017•乐山二模）已知f （x ）=e x ﹣ax 2，曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a ，b 的值；（2）求f （x ）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x ＞0时，e x +（1﹣e ）x ﹣xlnx ﹣1≥0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ）的导数，计算f′（1），f （1），求出a ，b 的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣2ax，∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得：a=1，b=e﹣2；（2）由（1）得：f（x）=e x﹣x2，f′（x）=e x﹣2x，f″（x）=e x﹣2，∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=e﹣1；（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，g′（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=e x﹣2，由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，∴g′（ln2）＜0，∴存在x∈（0，1），使得g′（x）=0，∴x∈（0，x）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，x∈（x，1）时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）递增，在（x，1）递减，在（1，+∞）递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，故≥x，x＞0，由（2）得：e x≥x+1，故x≥ln（x+1），∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，∴≥x≥lnx+1，即≥lnx+1，∴e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，当且仅当x=1时“=”成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•乐山二模）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为（1）求θ的值；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）消去参数t，可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得圆C的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得θ的值．（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），消去参数t，可得：xsinθ﹣ycosθ﹣sinθ=0．圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，即ρ2=﹣4ρcosα．可得圆C的普通坐标方程为：x2+y2+4x=0，可知圆心为（﹣2，0），圆C的圆心到直线l的距离为d=由题意：d=，即∴sinθ=．∵0≤θ＜π，∴或．（2）已知P（1，0），在P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将带入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x=0可得：（1+tcosθ）2+（tsinθ）2+4（1+tcosθ）=0∴t2+6tcosθ+5=0．设A，B对于的参数为t1．t2，则t1+t2=﹣6cosθ，t1•t2=5，∵t1•t2＞0，t1，t2是同号．∴=．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•乐山二模）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=6，求证：．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N*，解得m；（2）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=6，可得α+β=4．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（2）证明：α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=6，∴α+β=4，∴+≥（+）（α+β）=（5++）≥（5+2=，当且仅当=即α=，β=时“=”成立，故+≥．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。