版高考数学大一轮复习课时限时检测(六十五)离散型随机变量的均值与方差、正态分布【含答案】

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离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）

离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义.教材复习1.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+2.数学期望:则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望3.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平4.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .5.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 7.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 8.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .9.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.10.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-11.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. 12.正态分布密度函数：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（0σ>）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) ,(2σμN。

高考数学(理)一轮规范练【63】离散型随机变量的均值与方差、正态分布(含答案)

课时规范练63 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课时规范练第97页一、选择题1.随机变量X的分布列为X 1 2 4P 0.40.30.3则E(5X+4)等于( )A.15B.11C.2.2D.2.3答案:A解析:∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为( )A. B. C.3 D.答案:C解析:由题意,得x1+x2=,①D(X)=.②由①②得x1=1,x2=2,∴x1+x2=3.3.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ<5)=0.8,则P(1<ξ<5)=( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2[:答案:C解析:根据题意,随机变量ξ的正态分布密度曲线关于x=1对称,故P(1<ξ<5)=P(-3<ξ<1)=P(ξ<5)-P(ξ<1)=0.8-0.5=0.3.4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,若随机变量ξ=|a-b|的取值,则ξ的数学期望E(ξ)=( )A. B. C. D.答案:A解析:对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2=126条,ξ的可能取值有0,1,2.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,E(ξ)=.5.已知分布列为ξ-10 1P a且设η=2ξ+3,则η的均值是( )A. B.4 C.-1 D.1答案:A解析:由+a=1得a=,E(ξ)=(-1)×+0×+1×a=-=-,E(η)=E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=2×+3=.6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则的最小值为( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意得投篮一次得分X的分布列为X 0 2 3P c b aE(X)=0×c+2b+3a=2,即3a+2b=2,所以=3+≥+2+2=. 二、填空题7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则E(ξ)= . 答案:解析:次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. 分布列为ξ 0 1[:2 3PE(ξ)=0×+1×+2×+3×.8.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 答案:解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,[:∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(AB+AB)C. ∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 P=.9.若随机变量X 的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=(x ∈R),则E(2X-1)= . 答案:-5解析:σ=2,μ=-2,E(2X-1)=2E(X)-1=2×(-2)-1=-5.三、解答题10.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p ≠0),发球次数为X,若X 的数学期望E(X)>1.75,求p 的取值范围.解:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p 2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p ∈(0,1),可得p ∈.11.如图,单位到火车站共有两条路径L 1和L 2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?(2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时,40分钟内赶到火车站”,B i 表示事件“乙选择路径L i 时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得P(A 1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A 2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A 1)>P(A 2),∴甲应选择L 1;[:P(B 1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B 2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B独立,∴P(X=0)=P()=P()P()=0.4×0.1=0.04,[:P(X=1)=P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.∴X的分布列为X 0 1 2P 0.040.420.54∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.12.(2018湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?解:(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=P(700<X≤900)=0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.依题意,x,y还需满足:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.由(1)知,p0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆.。

高三数学一轮复习课时作业6：12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.62．(2015·太原高三期中)已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.40.4则E (6X ＋8)的值为( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.23．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，若P (X <2a －3)＝P (X >a ＋2)，则a ＝( ) A ．3B.53C ．5D.735．(2015·芜湖一模)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－86．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400二、填空题7．(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X ，则X 的数学期望是______．8．若随机变量X 的概率分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π·e －x ＋228(x ∈R )，则E (2X－1)＝________.9．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为______．10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为______________．三、解答题11.(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．12．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32t(单位：℃)天数612Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32t(单位：℃)日销售额X(单位：千元)2568(1)求Y，Z的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率．答案1．选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. 2．选B 由随机变量的期望公式可得E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2.3．选C 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝C k 20·⎝⎛⎭⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值．4．选D 因为X 服从正态分布N (3,4)，P (X <2a －3)＝P (X >a ＋2)．∴2a －3＋a ＋2＝6，a ＝73，故选D. 5．选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np 1－p＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112×12×⎝⎛⎭⎫1－1211＝12212＝3×2－10. 6．选B 1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数服从随机变量ξ～B (1 000,0.1)，∴1 000粒种子中不发芽的种子数的期望E (ξ)＝1 000×0.1＝100(粒)，又每粒不发芽的种子需补种2粒，∴需补种的种子数的期望E (X )＝2×100＝200.7．『解析』根据题意知X ＝0,1,2，而P (X ＝0)＝C 26C 210＝1545；P (X ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445； P (X ＝2)＝C 24C 210＝645.∴E (X )＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.『答案』458．『解析』σ＝2，μ＝－2，E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5.『答案』－59．『解析』次品数服从超几何分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫100，10100，所以E (X )＝3×10100＝0.3.『答案』0.310．『解析』记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.『答案』20，200311．解：(1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝12.(2)落入A 槽的概率为⎝⎛⎭⎫122＝14，落入B 槽的概率为12，落入C 槽的概率为⎝⎛⎭⎫122＝14. X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫143＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋⎝⎛⎭⎫142×12＝2132，P (X ＝10)＝14＋14×14＋14×⎝⎛⎭⎫142＝2164，X 的分布列为X 0 5 10 P16421322164E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.12．解：(1)由已知得：P (t ≤32)＝0.9， ∴P (t ＞32)＝1－P (t ≤32)＝0.1， ∴Z ＝30×0.1＝3， Y ＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P (t ≤22)＝630＝0.2，P (22＜t ≤28)＝1230＝0.4，P (28＜t ≤32)＝930＝0.3，P (t ＞32)＝330＝0.1，∴六月份西瓜日销售额X 的分布列为X 2 5 6 8 P0.20.40.30.1∴E (X )＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，D (X )＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3. (3)∵P (t ≤32)＝0.9，P (22＜t ≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率得：P (X ≥5|t ≤32)＝P (22＜t ≤32|t ≤32)＝P22＜t ≤32P t ≤32＝0.70.9＝79.。

高考数学一轮复习课时过关检测(六十二) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

课时过关检测（六十二）离散型随机变量的均值与方差、正态分布A 级——基础达标1．(2019·福建省质量检查)经统计，某市高三学生期末数学成绩X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是( )A ．0.35B ．0.65C ．0.7D ．0.85解析：选A ∵数学成绩X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，∴P (X ≥90)＝错误!＝0.35，故选A ．2．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选C 因为p ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3，所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝22D (X )＝4，故选C ． 3．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示取出球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6解析：选B 易知随机变量X 的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P (X ＝0)＝C11C24C35＝6C35＝0.6， P (X ＝1)＝C11C23C35＝3C35＝0.3，P (X ＝2)＝1C35＝0.1.所以E (X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B.4.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲类水果的平均质量为0.4 kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．σ2＝1.99解析：选ABC 由图象可知甲的正态曲线关于直线x ＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A 正确，C 正确；由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B 正确；因为乙的正态曲线的峰值为1.99，即12πσ2＝1.99，所以σ2≠1.99，故D 错误．故选A 、B 、C ．5．(多选)(2021·山东泰安高三质检)下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大解析：选ABD 设随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516，A正确；∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x ＝2.∵P (X ＜4)＝0.9，∴P (0＜X ＜4)＝0.8，∴P (0＜X ＜2)＝P (2＜X ＜4)＝0.4，B 正确；E (2X ＋3)＝2E (X )＋3，D (2X ＋3)＝4D (X )，故C 不正确；由题意可知，E (ξ)＝1－x ，D (ξ)＝x (1－x )＝－x 2＋x ，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x ＜12时，E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大，故D 正确． 6．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝________. 解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称．又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023.所以P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9547．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是________．解析：在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝2×13×23＋23×23＝89，未通过的概率为19.X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，89，由二项分布的期望公式，得E (X )＝3×89＝83.答案：838．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________．解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A 4种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P (ξ＝0)＝9A44＝38，P (ξ＝1)＝C14×2A44＝13，P (ξ＝2)＝C24A44＝14，P (ξ＝4)＝1A44＝124，所以E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.答案：19．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由题意，设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相等实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”为事件C ，则Ω＝{(b ，c )|b ，c ＝1,2，…，6}， A ＝{(b ，c )|b 2－4c <0，b ，c ＝1,2，…，6}， B ＝{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1,2，…，6}， C ＝{(b ，c )|b 2－4c >0，b ，c ＝1,2，…，6}，所以Ω的基本事件总数为36，A 的基本事件总数为17，B 的基本事件总数为2，C 的基本事件总数为17.又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (C )＝236＋1736＝1936.(2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则 P (ξ＝0)＝1736，P (ξ＝1)＝118，P (ξ＝2)＝1736，故ξ的分布列为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×1736＋1×118＋2×1736＝1.10．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA ，此种情况的概率为C35C36×1C13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C25C36×1C13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36. P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．B 级——综合应用11．(多选)已知随机变量X 的取值为不大于n (n ∈N *)的非负整数，它的概率分布列为其中p i (i ＝0,1,2,3，…，n )满足p i ∈[0,1]，且p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.定义由X 生成的函数f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，g (x )为函数f (x )的导函数，E (X )为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为f 1(x )，则( )A ．E (X )＝g (2)B ．f 1(2)＝152C ．E (X )＝g (1)D ．f 1(2)＝2254解析：选CD 因为f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＋…＋p i x i ＋…＋p n x n ，则g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x ＋3p 3x 2＋…＋ip i x i －1＋…＋np n x n －1， E (X )＝p 1＋2p 2＋3p 3＋…＋ip i ＋…＋np n ，令x ＝1时，E (X )＝p 1＋2p 2＋3p 3＋…＋ip i ＋…＋np n ＝g (1)，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为f 1(x )＝116x 2＋216x 3＋316x 4＋416x 5＋316x 6＋216x 7＋116x 8，f 1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254.故选项B 错误，选项D 正确．故选C 、D.12．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，∴q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B ∪A B ∪AB ，且A ，B 独立．由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，∴P (C )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p .∵P (C )＝12＋12p ＞45，∴p ＞35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，∴p ≤23.∴p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，∴随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.∵E (X )＞E (Y )，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．C 级——迁移创新13．(2021·广东省七校联考)2019年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．有且仅有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送另外2位同行专家(不同于前3位专家)进行复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p (0＜p ＜1)，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立．(1)若p ＝12，求抽检一篇学位论文，被认定为“存在问题学位论文”的概率；(2)现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用为1 500元，若某次评审抽检论文总数为3 000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．解：(1)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 23p 2(1－p )＋C 3p 3，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 13p (1－p )2[1－(1－p )2]．所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )＝C 23p 2(1－p )＋C 3p 3＋C 13p (1－p )2·[1－(1－p )2]＝3p 2(1－p )＋p 3＋3p (1－p )2·[1－(1－p )2]＝－3p 5＋12p 4－17p 3＋9p 2，当p ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2532.所以抽检一篇学位论文，被认定为“存在问题学位论文”的概率为2532.(2)设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900,1 500. P (X ＝1 500)＝C 13p (1－p )2， P (X ＝900)＝1－C 13p (1－p )2，所以E (X )＝900×[1－C 13p (1－p )2]＋1 500×C 13p (1－p )2＝900＋1 800p (1－p )2. 令g (p )＝p (1－p )2，p ∈(0,1)，则g ′(p )＝(1－p )2－2p (1－p )＝(3p －1)(p －1)．当p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，g ′(p )＞0，g (p )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增；当p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，g ′(p )＜0，g (p )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减．所以g (p )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.所以该次评审费用期望的最大值为3 000×⎝⎛⎭⎪⎫900＋1 800×427＝3 500 000(元)，对应p ＝13.。

高考数学一轮总复习课时跟踪检测(六十九) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布理新人教版-新人

课时跟踪检测(六十九) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．32B ．2 C ．52D ．3解析：选A E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400解析：选B 记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000,0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100.又X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( )A ．54B ．52C ．3D ．72解析：选D 因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54，所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.4．已知离散型随机变量X 的概率分布列为X 1 3 5 P0.5m0.2则其方差D (X )＝( )A ．1B ．0.6C ．2.44D ．2.4解析：选C 因为0.5＋m ＋0.2＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.9，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.6解析：选C 因为随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，所以正态分布曲线的对称轴是直线x ＝2.又因为P (ξ<4)＝0.9，所以P (ξ≥4)＝0.1，因此P (0<ξ<2)＝0.5－0.1＝0.4.二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·某某八校联考)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (4，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．0.9解析：选D ∵ξ服从正态分布N (4，σ2)(σ>0)，∴曲线的对称轴是直线x ＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.∵ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9. 2．(2016·某某重点中学协作体第一次适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为( )A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243解析：选B 依题意，知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝49×59＝2081，P (ξ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选B 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 4．已知某随机变量X的概率密度函数为P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e －x，x >0，则随机变量X 落在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2＋e B ．e ＋1e 2C ．e 2－e D ．e －1e2解析：选D 画出概率密度曲线，随机变量X 落在区间(1,2)内的概率相当于直线x ＝1和x ＝2以及密度曲线和直线y ＝0围成的图形的面积，P ＝⎠⎛12e －xd x ＝e －1e2. 5．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6,2.4 B ．2,2.4 C ．2,5.6D ．6,5.6解析：选B 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X . 因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6．(2016·某某重点中学协作体摸底考试)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，根据统计，随机变量ξ的概率分布列如下，则ξ的数学期望为________．ξ 0 1 2 3P0.10.32aa解析：由概率分布列的性质得0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2，∴ξ的概率分布列为∴E (ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7. 答案：1.77．(2016·某某一中模拟)若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则D (3ξ＋2)＝________. 解析：∵随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，∴D (ξ)＝5×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109，∴D (3ξ＋2)＝9D (ξ)＝10.答案：108．若随机变量服从正态分布ξ～N (2,1)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________. 解析：由题意可知正态分布密度函数的图象关于直线x ＝2对称，得P (ξ<1)＝P (ξ>3)＝0.158 7，∴P (ξ>1)＝1－P (ξ<1)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：0.841 39．(2016·某某模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)由题知，P (80≤X <85)＝12－P (X <75)＝0.2，P (85≤X <95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X <75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B (3,0.4)，P (ξ＝0)＝0.63＝0.216，P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是E (ξ)＝3×0.4＝1.2.10．(2016·某某模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为34，12，13，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设事件A 表示“甲同学问题1回答正确”，事件B 表示“甲同学问题2回答正确”，事件C 表示“甲同学问题3回答正确”，依题意P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13.记“甲同学能进入下一轮”为事件D ，则P (D )＝P (A B －C ＋AB ＋A －BC )＝P (A B －C )＋P (AB )＋P (A －BC )＝P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )＋P (A －)P (B )P (C ) ＝34×12×13＋34×12＋14×12×13＝1324. (2)X 可能的取值是6,7,8,12,13.P (X ＝6)＝P (A －B －)＝14×12＝18， P (X ＝7)＝P (A B －C －)＝34×12×23＝14，P (X ＝8)＝P (A －B C －)＝14×12×23＝112， P (X ＝12)＝P (A B －C )＝34×12×13＝18， P (X ＝13)＝P (AB ＋A －BC )＝P (AB )＋P (A －BC ) ＝34×12＋14×12×13 ＝512. ∴X 的分布列为X 6 7 8 12 13 P181411218512X 的数学期望E (X )＝6×18＋7×14＋8×112＋12×18＋13×512＝12112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A ．148B ．124C ．112D ．16解析：选D 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为X 3 2 0Pa b cE (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时，等号成立．即ab 的最大值为16.2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P (ξ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________.解析：因为P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝10a ＋4b ＝1，又E (ξ)＝30a ＋10b ＝3，解得a ＝110，b ＝0，所以a ＋b ＝110.答案：1103．(2016·某某模拟)某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？ (注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费) 解：(1)若汽车走公路1，不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6＝18.4(万元)；堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6－1＝17.4(万元)， ∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为E (ξ)＝18.4×910＋17.4×110＝18.3(万元)．(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，则不堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8＋1＝20.2(万元)；堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8－2＝17.2(万元)． ∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为E (η)＝20.2×12＋17.2×12＝18.7(万元)．∵E (ξ)<E (η)，∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多．。

2023年高考数学(理科)一轮复习—— 离散型随机变量的均值与方差

P(X＝100)＝21×14×14＝312，
∴X 的分布列为
X 20 40 50 70 100
P
3 8
9 32
1 8
3 16
1 32
∴E(X)＝20×38＋40×392＋50×18＋70×136＋100×312＝1465.
索引
考点二二项分布的均值与方差
例2 (2021·东北三省三校联考)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
内容索引
知识诊断基础夯实
考点突破题型剖析
分层训练巩固提升
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
话费，求 X 的分布列与数学期望.
索引
解 ①由题意知 P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝12，获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，
70，100， P(X＝20)＝12×34＝38，P(X＝40)＝21×34×34＝392，
P(X＝50)＝12×14＝18，P(X＝70)＝21×34×14＋12×14×43＝136，
索引
P(X＝4)＝1304＝1080100. 故 X 的分布列为
X0
1
2
3
4
P
2 401 10 000
1 029 2 500
1 323 5 000
189 2 500
81 10 000
故 E(X)＝0×120400010＋1×12 052090＋2×15 302030＋3×2158090＋4×1080100 ＝65或E（X）＝4×130＝65.

2020版高考数学一轮复习离散型随机变量的均值、方差和正态分布配套课时作业理(含解析

第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布配套课时作业1．已知ξ的分布列则在下列式：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确． D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确． 2．(2019·广东佛山模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P ξ2＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B. 3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C解析 X ＝k 表示第(4－k )次命中目标， P (X ＝3)＝0.6，P (X ＝2)＝0.4×0.6，P (X ＝1)＝0.42×0.6，P (X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E (X )＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376. 4．(2019·大庆模拟)已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329 B.89 C.439 D.599答案 A解析由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89，∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4D (ξ)＝4×89＝329. 5．(2019·福建厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400答案 B解析将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1000，由题意可知ξ～B (1000,0.1)，所以E (ξ)＝1000×0.1＝100，又因为X ＝2ξ，所以E (X )＝2E (ξ)＝200.故选B.6．2019年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N (100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( ) A ．80 B ．100 C ．120 D ．200答案 D解析 ∵X ～N (100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，由对称性知成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18，∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为18×1600＝200.故选D. 7．(2019·潍坊统考)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3 B.83 C ．2 D.53答案 B解析每个轮次甲不能通过的概率为13×13＝19，通过的概率为1－19＝89，因为甲3个轮次通过的次数X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，89，所以X 的数学期望为3×89＝83. 8．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a ∈N *)，现从中随机取出一球，再放入一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放入一个黑球；若取出的是黑球，则放入一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是ξ.若E (ξ)＝3，则D (ξ)＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 答案 B解析由题意得ξ的所有可能取值为2,4，且P (ξ＝2)＝33＋a ，P (ξ＝4)＝a 3＋a，∴E (ξ)＝2×33＋a ＋4×a 3＋a＝3，解得a ＝3， ∴P (ξ＝2)＝12，P (ξ＝4)＝12，∴D (ξ)＝(2－3)2×12＋(4－3)2×12＝1.故选B. 9．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E (η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18答案 A解析 ∵η＝12ξ＋7，则E (η)＝12E (ξ)＋7，即E (η)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＋7＝34， ∴2m ＋3n ＝53，① 又14＋m ＋n ＋112＝1，∴m ＋n ＝23，② 由①②，可解得m ＝13. 10．(2019·广东茂名模拟)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%.)A ．7539B ．6038C ．7028D ．6587答案 D解析 ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，∴P (0<X <2)＝68.26%，则P (1<X <2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.3413＝0.6587.∴向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是。

【金版新学案】高考数学总复习课时作业65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布理北师大版

课时作业(六十五) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布A 级1．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是( )A ．－16 B.23C.2936D ．12．已知X 的分布列为，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.44．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定5．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N (100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )A ．22.8%B ．45.6%C ．95.44%D ．97.22%6．(2012·山东济南)随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ＜30)＝0.2，则P (30＜ξ＜50)＝________.7．若p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则E (X )的最大值为__________，D (X )的最大值为__________.8.10次试验中，成功次数X的期望是________．9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数学之积的数学期望是________．10．某商场一号电梯从1层出发后可以在2,3,4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2,3,4层下电梯是等可能的．(1)求这4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的概率；(2)用X表示这4位乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．11．某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．设出租车一次行驶的路程数X(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某一天每次出车都超过了 3 km，且一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.(1)求这一天中一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差．B 级1．甲、乙等五名大运会志愿者被随机分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列及数学期望．2．为迎接2012“龙”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．详解答案课时作业(六十五)A 级1．B E ξ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2ξ＋1，∴E η＝2E ξ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.2．B 先求出E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y ＝aX ＋3得E (Y )＝aE (X )＋3. ∴73＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋3，解得a ＝2. 3．C ξ＝0,1,2,3，此时P (ξ＝0)＝0.43，P (ξ＝1)＝0.6×0.42，P (ξ＝2)＝0.6×0.4，P (ξ＝3)＝0.6，E (ξ)＝2.376.故选C.4．C 因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，∴μ＝4.5．C 设该校高考数学成绩为X ，由X ～N (100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P (80＜X ＜120)＝P (100－20＜X ＜100＋20)＝0.954 4.6．解析：根据正态分布曲线的对称性可得P (30＜ξ＜50)＝1－2P (ξ＜30)＝0.6. 答案： 0.67．解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p <10≤p <1，∴p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴E (X )＝p ＋1≤32，D (X )＝－p 2－p ＋1≤1.答案： 3218．解析：由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，所以E (X )＝509. 答案：5099．解析：设抛掷1次，向上的面上的数字为X ，抛掷2次，向上的面上的数字之积为Y ，则由题意可知，P (X ＝0)＝12，P (X ＝1)＝13，P (X ＝2)＝16，所以P (Y ＝0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝34，P (Y ＝1)＝13×13＝19，P (Y ＝2)＝2×13×16＝19，P (Y ＝4)＝16×16＝136，所以E (Y )＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案： 4910．解析： (1)设4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的事件为A ，由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13，方法一：P (A )＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝6581，方法二：P (A )＝1－P (A )＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，方法一：由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13.E (X )＝4×13＝43. 方法二：由题意可得每人在第4层下电梯的概率均为13.∴P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝881，P (X ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1681＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.11．解析： (1)由概率分布的性质有0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a 2＋3a ＋4a ＝1. ∴100a 2＋7a ＝0.3，∴1 000a 2＋70a －3＝0， ∴a ＝3100或a ＝－110(舍去)，即a ＝0.03.∴100a 2＋3a ＝0.18,4a ＝0.12， ∴X 的分布列为∴E (X )＝＋30×0.12＝25(km)．D (X )＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y ＝3X －3(X ＞3，X ∈N )，∴E (Y )＝E (3X －3)＝3E (X )－3＝3×25－3＝72(元)，D (Y )＝D (3X －3)＝32D (X )＝86.76.B 级1．解析： (1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件A 1，则P (A 1)＝A 33C 25A 44＝140.故甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为140.(2)记“甲、乙两人在同一岗位服务”为事件A 2，则P (A 2)＝C 14A 33C 25A 44＝110.故甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为P (A 2)＝1－P (A 2)＝910.(3)由题知，随机变量ξ的所有可能取值为1,2，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34.故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝1×34＋2×14＝4.2．解析：随机猜对问题A 的概率P 1＝14，随机猜对问题B 的概率P 2＝15，回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： (1)先回答问题A ，再回答问题B . 参与者获奖金额ξ可取0，m ，m ＋n ，则P (ξ＝0)＝1－P 1＝34，P (ξ＝m )＝P 1(1－P 2)＝14×45＝15，P (ξ＝m ＋n )＝P 1P 2＝14×15＝120.E ξ＝0×34＋m ×15＋(m ＋n )×120＝m 4＋n20.(2)先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η可取0，n ，m ＋n ，则P (η＝0)＝1－P 2＝45，P (η＝n )＝P 2(1－P 1)＝15×34＝320， P (η＝m ＋n )＝P 2P 1＝15×14＝120.E η＝0×45＋n ×320＋(m ＋n )×120＝m 20＋n5.E ξ－E η＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 20－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 20＋n 5＝4m －3n 20.于是，当m n ＞34时，E ξ＞E η，先回答问题A ，再回答问题B ，获奖金的期望值较大；当m n ＝34时，E ξ＝E η，两种顺序获奖金的期望值相等；当m n ＜34时，E ξ＜E η，先回答问题B ，再回答问题A ，获奖金的期望值较大．。

【创新设计】高考数学一轮复习限时集训(六十六)离散型随机变量的均值与方差、正态分布理新人教A

限时集训(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.62．(2013·衡水模拟)若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－83．(2013·东营模拟)若P 为非负实数，随机变量ξ的分布列为则E (ξ)的最大值为( A ．1 B.32 C.23D ．24．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35B.815C.1415D ．15．已知X 的分布列为，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，s 2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知随机变量x ～N (2，s 2)，若P (x <a )＝0.32，则P (a ≤x <4－a )＝________.8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.9．2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升．并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，s 2)．已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量，某游客计划在游园期间种植n 棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率都为p (0<p <1)，用X 表示他所种植的树中成活的棵数，X 的数学期望为E (X )，方差为D (X )．(1)若n ＝1，求D (X )的最大值； (2)已知E (X )＝3，标准差DX ＝32，试求n 与p 的值并写出X 的分布列． 11.(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．12．(2012·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位： mm)对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．答案限时集训(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．B 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7．0.36 8.2 9.18010．解：(1)当n ＝1时，随机变量满足两点分布，D (X )＝p (1－p )＝－⎝⎛⎭⎪⎫p －122＋14即当p ＝12时，D (X )有最大值14，(2)∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 即np ＝3，np－p ＝32，解得，n ＝4，p ＝34.∴P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫34k·⎝ ⎛⎭⎪⎫144－k (k ＝0,1,2,3，4)，即X 的分布列为：11．解：(1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，910，故E (X )＝2×910＝95，则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－9102＝1100， P (ξ＝2)＝C 12×910×⎝⎛⎭⎪⎫1－910＝18100， P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝81100. 所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1100＋2×100＋4×100＝3.6.同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，P (η＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝827， P (η＝3)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49， P (η＝6)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝29， P (η＝9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以η的分布列为：∴E (η)＝0×827＋3×9＋6×9＋9×27＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975. 12．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝1－0.3＝0.7，又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P X ＜900|X ≥300)＝P x ＜P X＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.。

高三数学(理)高考总复习课时跟踪检测 (六十五) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 Word版含解析

课时跟踪检测(六十五)离散型随机变量的均值与方差、正态分布一保高考，全练题型做到高考达标1．已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：选B因为X～B(10,0.6)，则n＝10，p＝0.6，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X＋Y＝8，则Y＝8－X，所以E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4×1＝2.4.2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0<X<2)＝() A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6解析：选C∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，∴P(2<X<4)＝0.9－0.5＝0.4，∴P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故选C.3．已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A．1 B．0.6C．2.44 D．2.4解析：选C因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.4.(2016·武汉市武昌区调研)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P (0<x ≤1)＝12[P (－1－2<X ≤－1＋2)－P (－1－1<X ≤－1＋1)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以落入阴影部分的个数为0.1359×10 000＝1 359，故选B.5．(2016·浙江重点中学协作体第一次适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( )A.24181B.26681 C.27481D.670243解析：选B 依题意，知X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681. 6．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为________．解析：由题意可知(k －4)＋k2＝5，解得k ＝7.答案：77．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望为________；方差为________．解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.答案：2020038．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为Y ，若Y 的数学期望E (Y )>74，则p 的取值范围是________．解析：由已知得P (Y ＝1)＝p ，P (Y ＝2)＝(1－p )p ， P (Y ＝3)＝(1－p )2，则E (Y )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 9．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ，∴当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.10．(2017·青岛模拟)某中学根据2004～2016年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m >n .(1)求m 与n 的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．解：(1)依题意有，⎩⎨⎧13mn ＝124，1－(1－m )⎝⎛⎭⎫1－13(1－n )＝34，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝14.(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P (X ＝0)＝12×23×34＝14；P (X ＝1)＝12×23×34＝14；P (X ＝2)＝12×13×34＝18；P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524；P (X ＝4)＝12×23×14＝112；P (X ＝5)＝12×13×14＝124；P(X＝6)＝12×13×14＝124.故X的分布列为：于是，E(X)＝0×14＋1×14＋2×18＋3×524＋4×112＋5×124＋6×124＝2312.二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·兰州市诊断考试)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资结算方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表(1)40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．解：(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C220C2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a＝40时，X＝40×4＝160；当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.所以X的所有可能取值为152,156,160,166,172. 故X的分布列为：所以E(X)＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)．由①得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．2．(2017·衡水调研)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．解：(1)设落在区间[75,85]内的频率为x，则落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布B(n，p)，其中n＝3.由(1)得，落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×0.41＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63×0.40＝0.216.所以X的分布列为：所以X的数学期望为E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)＝np＝3×0.6＝1.8)。

2021版江苏高考数学一轮复习课后限时集训：65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是()A．1B．2 C.32 D.52A[∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为12×12＝14，∴X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，14，∴E (X )＝4×14＝1.故选A.] 2．(2019·广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若P (0<ξ<1)＝0.4，则P (0<ξ<2)＝( )A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2B [由正态分布的图象和性质得P (0<ξ<2)＝2P (0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]3．已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 2 Px13 16y 若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( ) A ．1 B.119 C.23D ．2B [∵E (ξ)＝13，∴由随机变量ξ的分布列知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＋16＋y ＝1，－x ＋16＋2y ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝518，y ＝29，则D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×518＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132×29＝119.]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3B.72C.185D ．4B [ξ的可能取值为2,3,4，P (ξ＝2)＝A 22A 25＝110，P (ξ＝3)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (ξ＝4)＝A 33C 12C 13＋A 33C 23C 12A 45＝35，则E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B.] 5．甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N (5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是( ) A ．甲、乙两厂生产都出现异常 B ．甲、乙两厂生产都正常 C ．甲厂生产正常，乙厂出现异常 D ．甲厂生产出现异常，乙厂正常D [由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N (5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D.]二、填空题6．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的均值E (X )＝2，则P (X ＝2)等于．80243 [由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得 np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.] 7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X (单位：kg)服从正态分布N (25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg 的概率为．(附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (|Z －μ|＜σ)＝0.682 6，P (|Z －μ|＜2σ)＝0.954 4，P (|Z －μ|＜3σ)＝0.997 4)0.818 5 [∵X ～N (25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P (24.8≤X ≤25.4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋2σ)＝12×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]8．2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N (95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是．38[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N (95,82)， ∴P (ξ＞95)＝12，故所求概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38.] 三、解答题9．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数 10 30 40 20(1)若将频率作为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg . 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg)16182224(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望E (X )．[解](1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则P (A )＝20100＝15，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则X ～B (4，15)，所以恰好抽到2个礼品果的概率为P (X ＝2)＝C 24(45)2(15)2＝96625.(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为 E (ξ)＝16×110＋18×310＋22×410＋24×210 ＝16＋54＋88＋4810＝20.6，因为E (ξ)>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案． (3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 36C 310＝16；P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12；P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310；P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，所以X 的分布列如下：X 0 1 2 3P16 12 310 130所以E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.10．某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)认为考生竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75≈14.31；②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4；③0.841 34≈0.501.[解](1)由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，∴这4 000名考生的平均成绩x为70.5分．(2)由题知Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x＝70.5，σ2＝204.75，σ≈14.31，∴Z服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)．而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6，∴P(Z≥84.81)＝1－0.682 62＝0.158 7.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634.(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3.而ξ～B(4,0.841 3)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012P a b c其中a，b，c为()A.16 B.13C.12 D.56B [由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.]2．(2019·浙江高考)设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是X 0 a 1 P131313则当a 在A ．D (X )增大 B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小 D ．D (X )先减小后增大D [法一：由分布列得E (X )＝1＋a3，则D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3－02×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3－a 2×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3－12×13＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16，则当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．故选D.法二：则D (X )＝E (X 2)－E (X )＝0＋a 23＋13－(a ＋1)29，＝2a 2－2a ＋29＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34，则当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．故选D.]3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p (0＜p ＜1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞52或p＜12.由p∈(0,1)，可得p∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12.]4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．1．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3 B.83 C ．2D.53B [在一轮投篮中，甲通过的概率为p ＝89，通不过的概率为19. 由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的取值分别为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫193＝1729；P (X ＝1)＝C 13×89×⎝ ⎛⎭⎪⎫192＝24729； P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫892×19＝192729； P (X ＝3)＝512729.∴随机变量X 的分布列为：X123P172924729192729512729数学期望E(X)＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83，或由二项分布的期望公式可得E(X)＝8 3.]2．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[解](1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P (14.55<Z ≤38.45)＝P (26.5－11.95<Z ≤26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.②根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12， P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116；P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38；P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 116 14 38 14 116∴E (X )＝4×12＝2.。

2021高考数学一轮复习专练65离散型随机变量的均值与方差正态分布含解析理新人教版 112117

专练65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布命题范围：离散型随机变量的均值、方差及正态分布基础强化一、选择题1．[2020·唐山摸底]随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ<2)＝0.2，P (2<ξ<6)＝0.6，则μ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．32．已知X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )和D (Y )分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.63．设随机变量X ～N (2,4)，若P (X >a ＋2)＝P (X <2a －3)，则实数a 的值为( )A ．1 B.53C ．5D ．9 4．已知离散型随机变量X X 1 3 5P 0.5 m 0.2则E (X )＝( )A ．1B ．0.6C ．2.44D ．2.45．[2020·吉林长春一中高三测试]随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )X 0 2 aP 16 p 13A.2 B ．3 C ．4 D ．56．[2020·广东广雅中学高三测试]口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.67．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.38．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )9．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，若P (X >1)＝P ，则P (－1<X <0)＝( )A.12＋P B ．1－P C ．1－2P D.12－P二、填空题10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.11．一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________．12．在我校2018届高三10月份高考调研中，理科数学成绩X ～N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤X ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．能力提升13．[2020·天津一中高三测试]设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D (X )＝( )A ．2B ．1 C.23 D.3414．[2020·广西柳州高三测试]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为( )A.24181B.26681C.27481D.67024315．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2017年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N (1000，σ2)，若P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b ，则1a ＋9b的最小值为________． 16．已知随机变量ξD (ξ)的最大值为________.专练65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.C 由正态分布的特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝2＋62＝4. 2．B ∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X ＋Y ＝8，∴Y＝8－X ，∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.3．B ∵P(X>a＋2)＝P(X<2a －3)，∴a ＋2＋2a －32＝2，得a ＝53. 4．D 由分布列的性质可知0.5＋m ＋0.2＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.5．C 由分布列的性质可知16＋p ＋13＝1， ∴p＝12， ∴E(X)＝0×16＋2×p＋a×13＝1＋a 3＝2， ∴a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1， ∴D(2X－3)＝4D(X)＝4.6．B 由题可知X 可取的值为0,1,2，则P(X ＝0)＝C 24C 35＝0.6， P(X ＝1)＝C 23C 35＝0.3， P(X ＝2)＝C 22C 35＝0.1， ∴E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5.7．B 由题意得X ～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，得p ＝0.4或p ＝0.6，又P(X ＝4)<P(X ＝6)，∴C 410p 4(1－p)6<C 610p 6(1－p)4，∴(1－p)2<p 2，∴p>0.5，∴p＝0.6.8．C 由图可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A 不正确；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B 不正确；当t 为任意正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝－1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C 正确，D 不正确．9．D ∵X～N(0,1)，∴正态分布曲线关于x ＝0对称，∴P(X>0)＝P(X<0)＝12，∴P(X>1)＝P(X<－1)＝P ， ∴P(－1<X<0)＝P(X<0)－P(X<－1)＝12－P. 10．1.96解析：由题意，X ～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.11.52解析：X 的分布列为∴E(X)＝1×14＋2×14＋3×4＋4×4＝2. 12．78解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝90对称，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝1－0.82＝0.1， ∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．13．C 每次取球时，取到红球的概率为23，黑球的概率为13， ∴取到红球的概率服从二项分布，即：X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴D(X)＝3×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝23. 14．B 由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P(ξ＝2)＝59，P(ξ＝4)＝59×49＝2081，P(ξ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，所以E(ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.故选B . 15．32解析：由ξ～N(1 000，σ2)，P(ξ>1 200)＝a ，P(800<ξ<1 000)＝b 得a ＝0.5－b ，所以a ＋b ＝12，则1a ＋9b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b (a ＋b)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·9a b ＝32，所以1a ＋9b 的最小值为32.16．0.6解析：由分布列的性质可知x ＋y ＋0.4＝1，∴y＝0.6－x ，∵E(ξ)＝0×y＋1×0.4＋2x ＝2x ＋0.4，E(ξ2)＝0.4＋22x ＝0.4＋4x ，D(ξ)＝Ε(ξ2)－[E(ξ)]2＝0.4＋4x －(2x ＋0.4)2＝－4x 2＋2.4x ＋0.24，∴当x ＝0.3时，D(ξ)max ＝0.6.。

高考数学高三模拟试卷《离散型随机变量的均值、方差和正态分布》

高考数学高三模拟试卷《离散型随机变量的均值、方差和正态分布》1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A. 0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977解析：由题意，可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y 轴对称．又知P(ξ>2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.答案：C2.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)A. 32B. 2 C. 52D. 3 解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A3.现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A. 6B. 7.8C. 9D. 12解析：P(ξ＝6)＝C38C310，P(ξ＝9)＝C28C12C310，P(ξ＝12)＝C18C22C310，则E(ξ)＝6×C38C310＋9×C28C12C310＋12×C18C22C310＝7.8.答案：B4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B(3，14)．∴D(X)＝3×14×(1－14)＝916.答案：9165.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A B ＋A B ＋AB)C.∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.答案：38高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

2023届高考数学一轮复习作业离散型随机变量的均值与方差正态分布新人教B版

离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．(2021·四川泸州高三二模)离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝3，则p的值为( )A． B． C． D．C　[因为二项分布X～B(n，p)，所以解得p＝．]2．(2021·内蒙古包头高三二模)设X～N(1,1)，且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是( )注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7．A．75 385 B．60 375 C．70 275 D．65 865D　[因为X～N(1,1)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，向正方形ABCD中随机投掷一个点，这个点落在阴影部分的概率为P＝1－P(0<x<2)＝1－0.341 35＝0.658 65，所以取自阴影部分的点的个数约为100 000×0.658 65＝65 865．]3．(2021·浙江杭州高三三模)已知随机变量ξ，η满足ξ～B(2，p)，η＋2ξ＝1，且P(ξ≤1)＝，则D(η)的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3C　[因为随机变量ξ满足ξ～B(2，p), P(ξ≤1)＝，所以有P(ξ≤1)＝1－p2＝，即p＝．则D(ξ)＝2××＝，η＝1－2ξ，D(η)＝4D(ξ)＝2．]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )A．3 B． C． D．4B　[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，则E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，故选B．]5．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B　[对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为X11234P 0.10.40.40.1E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以＝．对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以＝．对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以＝．对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以＝．所以B中的标准差最大．]二、填空题6．(2021·四川师范大学附属中学高三期中)已知离散型随机变量ξ～B，随机变量η＝4ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝．4　[∵离散型随机变量ξ～B，∴E(ξ)＝3×＝，∴E(η)＝E(4ξ＋1)＝4E(ξ)＋1＝4×＋1＝4．]7．(2021·辽宁大连高三二模)一个袋子里装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任取2个球，其中含有白球个数为X，则X的方差D(X)＝．　[根据题意，摸得白球的个数X可能取的值为0,1,2．计算P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．所以随机变量X的数学期望为：E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，所以随机变量X的方差为：D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝．]8．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是．　[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝，故所求概率P＝C＝．]三、解答题9．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg．已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η)．[解](1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－＝．所以4株中恰好有3株成活的概率P＝C＝．(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B，所以ξ的分布列如下表：ξ01234P C C1·C·C·C ∴E(ξ)＝4×＝3.5，E(η)＝E(2.205ξ)＝2.205·E(ξ)＝7.717 5(kg)．10．(2021·合肥一六八中学高三模拟)2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105 kg，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66 kg．称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg)的平方和为117．(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差s2；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布N(μ，δ2)，用作为μ的估计值，用s2作为δ2的估计值．随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,3.21]的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了1 000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼的质量在[1,21,3.21]的条数，利用(2)的结果，求ξ的数学期望．附：(1)数据t1，t2，…t n的方差s2＝(t i－t)2＝(－n t2)．(2)若随机变量X服从正态分布N(μ，δ2)，则P(μ－δ≤X≤μ＋δ)＝0.682 7；P(μ－2δ≤X≤μ＋2δ)＝0.954 5；P(μ－3δ≤X≤μ＋3δ)＝0.997 3．[解](1)z＝＝1.71，s2＝－1.712＝0.25．(2)该鱼塘鱼质量满足X～N(μ，δ2)，其中μ＝1.71，δ2＝0.25，即X～N(1.71,0.25)，则P(μ－δ≤X≤μ)＝，P(μ≤X≤μ＋3δ)＝，∴P(1.21≤X≤3.21)＝P(μ－δ≤X≤μ＋3δ)＝P(μ－δ≤X≤μ)＋P(μ<X≤μ＋3δ)＝＝0.84．(3)由(2)可得鱼的质量在[1,21,3.21]的概率为0.84．由题意可知ξ～B(1 000,0.84)，由二项分布的数学期望公式可得，ξ的数学期望为E(ξ)＝1 000×0.84＝840．1．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012P a b c其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )A． B． C． D．B　[由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝．]2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是( )A． B．C． D．C　[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜．由p∈(0,1)，可得p∈．]3．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝，方差D(ξ)的最大值为．p [记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1．ξ01P1－p p数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤．故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为．]4．某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2 100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率．(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．[解](1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300＞0．当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300＜0．故当X∈(300,400]时，f(X)＞g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为：x 13141617182P则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16．乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618P则E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14．(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估计A公司外卖配送员月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)．估计B公司外卖配送员月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780(元)．因为3 780＞3 720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等．(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1 000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42,52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)．(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光．由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1．将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X 1＜X＜33≤X≤5X＞5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元．记Y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？[解](1)年龄在[42,47)内的游客人数为150，年龄在[47,52]内的游客人数为100．若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42,47)内的游客人数为6，年龄在[47,52]内的游客人数为4．所以P(ξ＝3)＝＝．(2)①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3(万元)．②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3－0.5＝2.5，此时P(Y＝2.5)＝P(1＜X＜3)＝＝；若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P(Y＝6)＝P(3≤X≤5)＋P(X＞5)＝．此时Y的分布列如表：Y 2.56P此时E(Y)＝2.5×＋6×＝5.3(万元)．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3－1＝2，此时P(Y＝2)＝P(1＜X＜3)＝＝；若3≤X≤5，则Y＝3×2－0.5＝5.5，此时P(Y＝5.5)＝P(3≤X≤5)＝；若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P(Y＝9)＝P(X＞5)＝．此时Y的分布列如表：Y2 5.59P 此时E (Y )＝2×＋5.5×＋9×＝6.2(万元)．由于6.2＞5.3＞3，则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大．。