高等数学第17章第2节复合函数微分法

§2复合函数微分法

设函数

),(t s x ϕ=与)

,(t s y ψ=)1(定义在st 平面的区域D 上，函数

)

,(y x f z =)

2(定义在xy 平面的区域1D 上，且(){}1

),(),,(),,(|,D D t s t s y t s x y x ⊂∈==ψϕ则函数

D t s t s t s f t s F z ∈==),()),,(),,((),(ψϕ)

3(是以)2(为外函数，)1(为内函数的复合函数．其中y x ,称为函数F 的中间变量，t s ,为函数

的自变量．

本节将讨论复合函数F 的可微性、偏导性与全微分．一

复合函数的求导法则

定理17.5若函数),(),,(t s y t s x ψϕ==在点D t s ∈),(可微，),(y x f z =在点

)),(),,((),(t s t s y x ψϕ=可微，则复合函数)),(),,((t s t s f z ψϕ=在点),(t s 可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为

.,)

,(),(),(),(),()

,(),(),(),(),(t s y x t s y x t s t s y x t s y x t s t y

y z t x x z s z s y

y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)

4(证

由假设),(t s x ϕ=，),(t s y ψ=在点),(t s 可微，于是

,

..,..

2211t s t t y

s s y y t s t t x

s s x x ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆βαβα)

6()5(其中当t s ∆∆,趋于零时，2121,,,ββαα都趋向于零．又由),(y x f z =在点),(y x 可微，所

以

,

..

y x y y

z

x x z z ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆βα)7(其中当0,→∆∆y x 时，0,→βα（我们补充βα,之定义使当0,0=∆=∆y x 时，0==βα）将()()6,5代入)7(，得

)..)

.(.2211t s t t y

s s y y z t s t t x s s

x

x z z ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂+∆+∆+∆∂∂+∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∆βαββαα整理后

,)()(

t s t t

y

y z t x x z s s y y z s x x z z ∆+∆+∆∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆∂∂∂∂+∂∂∙∂∂=∆βα)

8(其中

,,

211212121ββαββαββββαααβαααα++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

t

y

t x y z x z s y

s x y z x z )

10()9(由于),(),,(t s t s ψϕ在点),(t s 可微，因此它们在点),(t s 都连续，即当0,→∆∆t s 时，有0,→∆∆y x .从而也有0,0→→βα，以及0,,,2121→ββαα于是在)10()9(、式中，当

0,→∆∆t s ，有0,0→→βα。故由)8(式推得复合函数)3(可微并求得z 关于s 和t 的偏导数)4(．

这里公式)4(也称为链式法则．

注意如果只是求复合函数)),(),,((t s t s f ψϕ关于s .或t 的偏导数，则定理17.5中),(t s x ϕ=和),(t s y ψ=只须具有关于s .或t 的偏导数就够了。因为以s ∆或t ∆除)7(式两边，然后让0→∆s 或0→∆t ，也能得到相应的结果。但是对外函数f 的可微性假设是不

能省略的，否则上述复合函数求导公式不一定成立．如函数

⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,),(222

22y x y x y x y x f 由§1习题6知0)0,0()0,0(==y x f f ，但),(y x f 在)0,0(不可微，若以),(y x f 为外函数，t y t x ==,为内函数，则得以t 为自变量的复合函数

,

2

),()(t

t t f t F z ===所以.2

1=dt dz 。这时若用链式法则，将得出错误结果：

)0,0(0)0,0(0===∂∂+

∂∂=t t t dt dy

y z dt dx x z dt dz .

01010=∙+∙=这个例子说明在使用复合函数求导公式时，必须注意外函数f 可微这一重要条件．

一般地，若),,(1m u u f 在点),,(1m u u 可微，),,2,1)(,,(1m k x x g u n k k ==在点),,(1n x x 具有关于),2,1(n i x i =的偏导数，则复合函数()

),,(),,(),,(11211n m n n x x g x x g x x g f ，，，关于自变量i x 的偏导数是

).,,2,1(1n i x u u f x f m

k i

k

k i =∂∂∂∂=∂∂∑=多元函数的复合函数求导一般比较复杂，我们必须特别注意复合函数中哪些是自变量，

哪些是中间量．只有这样才能正确使用链式法则（4）求出结果．

例1设)ln(2

v u z +=，而,,22

y x v e

u y x +==+求

.,y

z x z ∂∂∂∂解

所讨论的复合函数以y x ,为自变量，v u ,为中间变量，由于

,1,222v u v z v u u u z +=∂∂+=∂∂1,2,2,22=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂++y

v x x v ye y u e x u y x y x 根据公式（4）得到