北师大版数学选修2-1巩固提升：第一章 常用逻辑用语 章末综合检测(一)

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④对任意x∈R，5x－3＞6.A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选D.①无法判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④为命题．2．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆否命题是()A．若x＜－3，则x≤0B．若x＞－3，则x≥0C．若x＜0，则x≤－3D．若x≥0，则x＞－3解析：选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x≥0，则x＞－3”．3．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是()A．存在x∈R，使得e x≤x2B．任意x∈R，使得e x≤x2C．存在x∈R，使得e x＞x2D．不存在x∈R，使得e x＞x2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，使得e x≤x2”．4．已知条件p：x＞0，条件q：x≥1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为{x|x≥1}{x|x＞0}，所以p是q的必要不充分条件．5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β解析：选C.因为b⊥β，α∥β，所以b⊥α，又aα，所以a⊥b.6．命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期是π，则命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图像，所以命题p 是假命题，“非p ”是真命题，“p 且q ”是假命题．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －π6·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π32＋12，最小正周期为π，命题q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故真命题有2个，故选C.7．关于x 的函数f (x )＝sin(φx ＋φ)有以下命题：①任意φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )；②存在φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )；③任意φ∈R ，f (x )都不是偶函数；④存在φ∈R ，使f (x )是奇函数．其中假命题的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④D ．②③解析：选A.对于命题①，若f (x ＋2π)＝sin(φx ＋2πφ＋φ)＝sin(φx ＋φ)成立，φ必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f (x )＝sin(φx ＋φ)，当φ＝π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题．所以选A.8．已知平面α，直线l ⊆/α，直线m α，则“直线l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.l ∥α，l ⊆/α，m α，l 与m 可能平行或异面；反过来，若l ∥m ，l ⊆/α，m α，则l ∥α.9．命题p ：“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，若p 为原命题，则p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.因为p 真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B. 10．已知命题p ：函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或qC ．(非p )且(非q )D ．p 或(非q )解析：选B.函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π2知命题p 为假命题；若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )关于x ＝1对称，据此可知命题q 为真命题，根据真值表可得“p 或q ”为真命题．11．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＜0 B ．x ＜0或x ＞4 C ．|x －1|＞1D ．|x －2|＞3解析：选C.由x 2－4x ＞0有x ＞4或x ＜0，故f (x )＞0的必要不充分条件中x 的取值范围应包含集合{x |x ＞4或x ＜0}，验证可知，只有C 选项符合．12．下列判断正确的是( )A ．命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”B ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是假命题C ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a ＞0且Δ≤0D ．x 2≠y 2⇔x ≠y 且x ≠－y解析：选D.对于A ：其逆否命题为“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”，排除A.对于B ：若“p 或q ”为假命题，则p 、q 均为假命题，非p 、非q 均为真命题，故非p 且非q 为真命题，排除B.对于C ：ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集， 当a ＝0时，可得b ＝0，c ＞0，当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，排除C ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若“x ＝2”是“x 2－2x ＋c ＝0”的充分条件，则c ＝________. 解析：由题意x ＝2⇒x 2－2x ＋c ＝0，所以22－2×2＋c ＝0，所以c ＝0. 答案：014．若命题“存在x <2 017，x >a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为“存在x <2 017，x >a ”是假命题，所以其否定：“对任意x <2 017，x ≤a ”为真命题，所以a ≥2 017.答案：[2 017，＋∞)15．若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的________条件． 解析：若a·b ＝a·c ，则a·b －a·c ＝0，即a·(b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )；反之，若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0，即a·b －a·c ＝0，所以a·b ＝a·c .从而有a·b ＝a·c ⇔a ⊥(b －c )．答案：充要16．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p 或q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：“p 或q ”为假，则非p 和非q 均为真．非p ：对任意x ∈R ，mx 2＋1＞0为真时，m ≥0；非q ：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真时，Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥0}∩{m |m ≤－2或m ≥2}＝{m |m ≥2}．答案：[2，＋∞)三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)判断下列命题的真假． (1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a ，b 不都为0，则a 2＋b 2≠0”；(3)命题“对于任意x ∈(0，＋∞)，有x ＜4且x 2＋5x －24＝0”的否定． 解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题． 18．(本小题满分12分)已知命题p ：x －5x ＜0，命题q ：函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义．(1)若“p 且q ”为真命题，求实数x 的取值范围； (2)若“p 或(¬q )”为假命题，求实数x 的取值范围． 解：由x －5x ＜0，得0＜x ＜5，要使函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义， 需x 2－x －12＞0， 解得x ＜－3或x ＞4.(1)若“p 且q ”为真命题，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜5，x ＜－3或x ＞4， 解得4＜x ＜5.(2)若“p 或(﹁q )”为假命题，则p 与﹁q 都为假命题， 所以¬p 与q 都为真命题， 因为¬p ：x ≤0或x ≥5，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥5，x ＜－3或x ＞4，解得x ＜－3或x ≥5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋43sin 2x －23－1，且给定条件p ：“⎝⎛⎭⎫x －π4⎝⎛⎭⎫x －π2＞0”(x ∈R )． (1)在非p 的条件下，求f (x )的值域；(2)若条件q ：“－2＜f (x )－m ＜2”，且非p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)非p ：⎝⎛⎭⎫x －π4⎝⎛⎭⎫x －π2≤0， 即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋43sin 2x －23－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )∈[3，5]． (2)q ：m －2＜f (x )＜m ＋2， 因为非p 是q 的充分条件，所以{f (x )|3≤f (x )≤5}⊆{f (x )|m －2＜f (x )＜m ＋2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜3，m ＋2＞5，即m ∈(3，5)．20．(本小题满分12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：x －5x －3≥2，所以x －1x －3≤0，所以1≤x ＜3.因为q ：x 2－ax ≤x －a ， 所以x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0. ①当a ＜1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a ＞1时，1≤x ≤a . 因为非p 是非q 的充分条件， 所以q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ， 当a ＜1时，A ⊆/ B ，不合题意； 当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a ＞1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1＜a ＜3. 综上，a 的取值范围为a ∈[1，3)．21．(本小题满分12分)对于函数f (x )，若命题“任意x 0∈R ，f (x 0)≠x 0”的否定为真命题，则称x 0为函数f (x )的不动点．(1)若函数f (x )＝x 2－mx ＋4有两个相异的不动点，求实数m 的取值集合M ；(2)在(1)中的条件下，设不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知方程x 2－mx ＋4＝x ，即x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个相异的实根，所以Δ＝[－(m ＋1)]2－16＞0，解得m ＞3或m ＜－5，即M ＝{m |m ＜－5或m ＞3}．(2)解不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0，当a ＞1时，N ＝{x |x ＞a 或x ＜2－a }；当a ＜1时，N ＝{x |x ＞2－a 或x ＜a }；当a ＝1时，N ＝{x |x ≠1}．因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，所以NM .当a ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－5，a ≥3(等号不同时取到)，解得a ≥7；当a ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5，2－a ≥3(等号不同时取到)，解得a ≤－5；当a ＝1时，不合题意，舍去．综上可得实数a 的取值范围是a ≥7或a ≤－5.22．(本小题满分12分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2. (1)当b ＞0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明：(1)此题等价于对所有x ∈R 有ax －bx 2≤1，即bx 2－ax ＋1≥0， 因为b ＞0，所以Δ＝a 2－4b ≤0. 又因为a ＞0，所以a ≤2b .(2)①必要性：设对所有x ∈[0，1]，有|f (x )|≤1，即－1≤ax －bx 2≤1. 令x ＝1∈[0，1]，则有－1≤a －b ≤1，即b －1≤a ≤b ＋1. 因为b ＞1，所以12－12b ≤a 2b ≤12＋12b .这说明a2b∈[0，1]．所以f ⎝⎛⎭⎫a 2b ≤1，即a 22b －b ·a24b 2≤1. 所以a 2≤4b ，a ≤2b . 综上所述，有b －1≤a ≤2b . ②充分性：设b －1≤a ≤2b . 因为b ＞1，所以a 2b ＝a 2b ·1b＜1.所以当x ∈[0，1]时f (x )的最大值为f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a ·a 2b －b ·a 24b 2＝a24b＜1. 又因为f (x )的图像是开口向下的抛物线， 所以当x ∈[0，1]时，f (x )的最小值f (x )min ＝ min{f (0)，f (1)}＝min{0，a －b }≥－1. 所以当x ∈[0，1]时，|f (x )|≤1.综合①②可知，当b ＞1时，对任意x ∈[0，1]有|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .由Ruize收集整理。