与三角形的角有关模型

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中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型

相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。

三角形的四大模型

三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。

在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。

下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。

一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。

欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。

根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。

这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。

欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。

这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。

二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。

特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。

重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。

特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。

例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。

三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。

边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。

在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。

例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以用来计算三角形的角度，海伦公式可以用来计算三角形的面积。

四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。

向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。

在向量模型中，我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角，用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。

三角形有关的角度计算

与三角形有关的角一、三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形内角和为180︒推论：1、直角三角形两锐角互余2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和（学校课本没有外角概念，小题可以直接用，大题需要证明）1. 【易】（2010年重庆巴蜀中学初一下期中）如图所示，已知,OB OA OD OC ==，且65,20O C ∠=︒∠=︒，则AEB ∠的度数为（）A ．90︒B ． 115︒C ． 95︒D ． 105︒2. 【易】（2010湖北武汉二中初一下期中）如图，在直角三角形中，，是斜边上的高，，，垂足分别为、，则图中与（除之外）相等的角的个数是（）A ．B ．C ．D ．3. 【易】（北京汇文中学2013年初一数学第二学期期中考试试卷）适合条件1123∠=∠=∠A B C 的ABC △是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4. 【易】（2009年大兴一模）把两块含有的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点、、在同一直线上,连结，则等于（）A ．B ．C ．D ．5. 【中】（2009年武珞路中学七年级下期中）如图，已知140A BCD ∠+∠=︒，BO 平分ABC ∠，DO 平分ADC ∠，则BOD ∠＝（）A ．40︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒6. 【中】（2012年昌平二中初一第二学期期中）如下几个图形是五角星和它的变形．DOEC BAABC AC AB ≠AD BC DE AC ⊥DF AB ⊥E F C ∠C FEDCBA234530︒C B E CD BCD ∠15︒30︒35︒45︒OFEDCBAAC B DE7. 8. 3.内9. ⑴ 图①中是⑵ 如果把图（即CAD ∠⑶如果把图（即CAD ∠【易】（中的延长线上D ∠的度数【中】（北小学已学习的度数和为结合上述知已知如图1之为“字问题一：⑴ 在图1中⑵ 如图2，别相交于⑶ 在⑵的条之间的数量问题二：如图3，的平内外角角分线【易】（20角平分线A 8AD ABC ∠AC是一个五角星图①中的点D B C +∠+∠图②中的点C D B AC +∠+∠中关村中学20上，过D 作D 数__________北京十二2013习：三角形的为180︒，上述知识，完成如，线段字形”．中，请直接写和M 、N ，若条件下，若图量关系．，且平分线线模型012年杭州市AD ，BE所在AB DAB ∠D BC ∥DQ 图1 OD星，求A ∠+∠A 向下移到B D E +∠+∠）向上移动到CE D +∠+∠014届初一第DE AB ⊥于E ___． 3学初一数学内角和为述结论不受三下问题：、相交子写出、的平，图2中的且和和相交于市坎山镇中初在直线所成的18CD A ∠BCD ∠40D =︒∠∠DAB ∠BQACBB C +∠+BE 上，形成）有无变化？BD 上，形成E ）有无变化第二学期期中，交AC 学第二学期期，即对于三角形的形状子点，连接、、平分线和，和为任的平分点，判断初一第二学期的角的度数是80︒O B ∠C ∠AP 36B =︒∠D B ∠BCD ∠Q 图2 4321MNO D E ∠+∠．成如图②的图？说明你的结成如图③的图化？说明你的中考试）如图于F ．已知期末考试试题于任意三角形状与大小的影接、之间的相交于点请直接写出任意角，请直分线和断与期期中）在△是（）AD CB D ∠CP AP C P ∠Q ∠ PBD形，则图②中结论的正确性图形，则此时的结论的正确图，ABC △中30A ∠=︒，∠题）ABC △，∠响．，我们把形的数量关系；点，并且与出的度数直接写出相交于点的大小关系ABC 中，∠P P ∠∠CP QAC中五个角的和性．时五个角的和确性．中，点D 在B 80FCD =︒，A 、B ∠、如图1的图形与、数；与、点，，并说明理60C =︒．两CD AB P D ∠P ADC∠ 图3O和和BC则C∠形称分和由．两条B ∠C P BD10.11.12. 13.14. 则A ．60︒ 【易】如图40D ∠=︒．A ．50︒【易】（北分线的交点CAB ∠的度A ．36︒ 【中】（武ABC ∠的平平分ACB ∠④BOC ∠= A ．①③④ 【中】（20若50A ∠=A ．15︒ 【易】（204∠=____1BA图，在ABC ∆则A ∠等于北达资源中学点，点N 是度数为（武汉二中广雅平分线与AB △B ，以下结论2COP ∠+∠011年北京八︒，10D ∠= 012年成都金___度．AMCBB ．120︒ 中，B ∠的平于（）B ．60︒ 学初一下学期数ABC △两个外）B ．42︒ 雅中学七年级BC 的外角∠论： ①OCP ∠P ．B ．②③④八十中初一下︒，则P ∠的度B ．20︒ 金牛初一下期2EDC 平分线与∠数学期中测试外角平分线的（下）数学月ACD 的平分90CP =︒；②下期中）如图度数为（期末）如图，C ．150︒ C 的外角平分C ．70︒ 试）如图：点的交点，如果C ．54︒ 月考（四））分线相交于点②90BOC ∠=C ．①②③图，ABD ∠，）C ．25︒ 若130∠=︒D 分线相交于D D 点M 是AB △果:CMB C∠∠ D ）如图，在△点P ，O 是B 12A ︒+∠；③ D ACD ∠的角 D ，295∠=︒，．60︒或12，．80︒ BC 两个内角3:2CNB =，．60︒ABC 中，BP 上一点，③12P A ∠=∠．①②③④角平分线交于．30︒335∠=︒，0︒角平则CO；④点P ，15.16.17.18.19.【易】（2050ACB∠=【易】（20ACB∠与∠A∠的度数【中】（清线，可知∠CP仍然是【中】（20ACD∠的平2A∠；……__________【中】如右BE、CE交1BA012年昌平二︒，BP平分011年天津红ABC的角平为_______．清华附初一下90BPC=︒B∠、C∠的010年昌平五平分线交于点…，2008A BC∠__．右图所示，在交于E，BD423AC二中初一第二分ABC∠，CP红桥区七年级平分线的交点期中）如图⑴12A+∠，把图的平分线，猜五中七下期中点1A，得1A∠与2008A CD∠在ABC∆中，D、CD交于A21D二学期期中）P平分ACB∠级第二学期期．BD的延长⑴，BP、C图⑴中的A△猜想BPC∠与中试卷）如图；1A BC∠D的平分线相CD、BE是D，试探索如图，AB△B．则BPC∠中考试数学长线交ACCP是任意ABC变成⑵中A∠、D∠的图，在ABC△与1A CD∠的平相交于点2009A是外角平分线D∠与E∠的BC中，AB∠C的度数____）如图在A△于E，且ED∠ABC△中B∠中的四边形A的数量关系是C中，A a∠=平分线相交于，得2009A∠．线，BD、C的关系：____80BC=︒，____________ABC中，D50DC=︒，则、C∠的角平ABCD，BP是__________，ABC∠于点2A，得．则2009A∠CE是内角平_______．_．是则平分、_．与=分线，20.21.22.23.【易】（20个相等的角⑴求P∠的度⑵若MON∠⑶经过⑴，【中】如图E，求BD∠【中】（20⑴如图1，⑵如图2，动，探究：⑶如图3，EP交于点探究：P∠【中】（20⑴如图1，系是______⑵如图2，A∠的关系是⑶如图3，关系是____010年初一下角．即MAP∠度数；80N=︒，其余⑵的计算，图，在三角形DC的度数．012年北京八两条斜边所当DEF△中在DEF△转当DEF△转P．的度数是否发012年江苏省BO、CO分___________BO、CO分是_________BO、CO分___________下期中）计算PPAB=∠，余条件不变，猜想并证明形ABC中，∠八十中初一下所形成的钝角中的直角边E转动过程，∠转动到如图所发生变化？并省苏州市相城分别是ABC△_____（直接分别是ABC△___________分别是ABC△_______，请证算题：如图，BP把ABN∠，求P∠的度MON∠与42A= ，下期中）将一角α的度数是EF绕点C转αβ+∠的大所示的位置时并说明理由；城区第二学期C中ABC∠写出结论）；C两个外角__，请证明你C一个内角和证明你的结论90MON∠=N平分成两个度数；P∠的关系．ABC∠和A∠一副三角板按是______．转动时（0︒<大小是否发生时，作FCB∠期期中考试初和ACB∠的平；CBD∠和B∠你的结论．和一个外角的论．0︒，AP把∠个相等角，即ACB的三等分如图方式放置45β<︒），生变化？并说B、FEB∠的一数学试卷）平分线，则∠CE的平分线的平分线，则MAB平分成即ABP N∠=∠分线分别交于置．ACB△保持说明理由．的平分线CP）BOC与A∠线，则BOC∠则BOC∠与成两NBP．于D、持不、的关C与A∠的24.25.26.⑷利用以上OF、OD上P，猜想【易】（20分线，交点（过程不写【中】（20试判断AE∠【中】（20高，AE、度数．B上结论完成以上的动点，P∠的大小是否010年深圳外点为点O，O写理由）012年北京ED与ACB∠011年河南省BF是角平分OA图1下问题：如ABO△的外角否变化？请证外国语初一下H BC⊥于点101初一第的大小关系省实验中学内分线相交于点C D图4FOA图4，已知：角OBE∠的平证明你的猜想下测试）已知点H，请写出二学期期中系，并对结论内部中考数学点O，BAC∠图2BOAPB9DOF∠=平分线与内角想．知：AD、BE出BOD∠与）如图，已知进行证明．学第一轮复习50,C C=︒∠=CEDE0︒，点A、角OAB∠的平E、CF是△COH∠的关系知12∠+∠=资料3）A△70︒，求D∠BA图3B分别是射线平分线相交于ABC三条角系，并说明理180︒，3∠ABC中，ADDAC，BOA∠CO线于点角平理由B=∠，D是A的D27.28.29.【中】（20ABC∠，且【中】（20从点出发利用上述知如下图，若反射：在若⑴写出⑵若第次【中】（清点在⑴ 作⑵ 如图2，动的时候⑶ 当的化，如果2PECAA01OA A∠A∠n1n n nA A A-+∠C AQACB∠A∠011年育才中且12∠=∠，012年十一中发经过镜面反知识以及你所若、是处进行第一，_____次反射后，反射________清华附中初一上，连接和的作候，的大小在大于果变化请写出1FDBAOB OC1102OA A=∠12A A=1=CBB ABD∠PBC∠M∠+中学初一下期DC与BE交中学第二学期反射后（是所学过的数学是两个平面镜一次反射，在____；射光线能与平__；（是大一下期中）如并延长．的平分线交于和的平的度数和于小于出ODOθ∠=1A A∠nBBCQ∠N∠0︒90︒M N∠+∠期末）已知：交于点F．期七年级数学是反射光线知识，解决下镜，一束光线在处进行第______平面镜相交，大于等于1的图1，两条射于点，探平分线交于点会如何变化间变化时，的变化范围2A23A=M如图所示，在学期中练习试），有性质下列问题：线从出发，第二次反射…___；根据上面所的整数）射线、探索与点，问当？并给出理由请直接回答．A23A A∠AP AM∠∠N在ABC△中卷）材料：如．在这两个平……_______所求的结果，交于点的关系；点和点在由．：12∠=∠4A=AQ AAB CM N∠+∠中，BE平分如图，一束光平面镜之间来__；猜测，点在在和的度数是否B AAP AQ光线来回上，上运否变AP30.31.32.【中】(201⑴判断⑵若将直线判断图）【中】如图．⑴求⑵在⑴中，与⑶如图乙、、之【中】（20直角三角形BDC A∠=∠F∠ADH∠BAC∠EAD∠BEAD∠B∠C∠B1年三帆初一，过点与线绕这点、、图甲，在．若将、之间图丙，平之间又有什么010年武汉市形，ACBFDA BCD∠DFH AHD∠AB△D甲E DA7C∠=B∠C∠AE乙FADE9AOB∠=一下期中)如图作直线之间存在的点旋转（不之间中，间的数量关系平分，么数量关系？市新洲区初一，斜边DDFDDBCD∠BC∠C70,50B︒∠=BAC∠BC90︒A图，已知，使的数量关系，不含与、间存在的数量，,改为“系吗？为上？请你任意选一下期末）如与轴交A△F DFAB70C=︒∠︒∠F AE丙FADEAB y，，并证明；重合的量关系并证明，”，而上一点，选择其中一种如图，在平面于点．ABC DAC∥CD50B=︒ADC B>∠FDCC为边上一点情况），交明．（如有需垂直于而其它条件不于，种情况证明．直角坐标系中ABD BCBC⊥D点，交射线于点需要，请自己，平分不变，你能求，这时中，CAD AEEFD∠AOB△点，己画分求出与是HD33.34.35.⑴若⑵延长求度数⑶如图，点旋转时（是否发生【中】（20，点⑴如图1⑵如图2，⑶如图3，系式______【中】（杭点的直线⑴如图1，⑵如图2，【中】（20纸片之间有一种⑴若折成图间的关系；⑵若折成图⑶若折成图A∠=ABA∠OAABC∠BABC△，求证交轴于点；平分（斜边与生改变？若不011年武汉二点为直线上当当点在点在边_______ ．杭州七年级下线交于若若010年武汉市片沿折叠种数量关系保图2或图3，即（不必证明图4，写出图5，写出AOC∠xOF AO∠AB图1P40ABC∠=PACPACAD EABE∠=BAD∠+DE∠∠证：，过作，轴正半轴始不变，请求其度二中广雅中学上上一动，延长线上时所示位置时期末复习）在，交于，市洪山区数学叠成图1，此保持不变，请找即点落在）与、与、B B∠=∠E OOM BCO∠yAC︒BAC∠CCAC30︒EBD∠90EBD∠=AA1∠∠A1∠∠；，的平分线交始终相交于点度数；若改变学下学期期末点，PO B⊥，点与时，求证：时，请直接写在中，，求，学七年级（下时点落在找出这种数量或上之间的关系之间的关系BOCOD AB⊥O图260=︒PABC△F AEF∠20D=︒︒BM AD⊥ABE CD22且交的延长线点），在⑵变，请说明理末七年级数学BO于点，与点重合时写出中，．求的度于，求下）期末数学四边形量关系并说明上时，分别写系式；（不必系式．（不必DOB∠=FOCOC(12APO∠=APO∠ABC∠=AFE=∠BAD∠DMBCD，线于点，当⑵的条件下，理由．）在时，与，，是度数．求模拟试卷）如内部，则明理由．出与必证明）必证明）EOB∠O∠PAABC△APO∠=ACB BA∠-∠ACB∠C∠D BADB E∠-∠DEA∠∠当试问的中，平分．．的等量上一点，的度数如图：将与、；与OAE OEA=∠ABO△P∠图3BO)CBAC∠BCEBMA∠1∠2A∠∠，绕度数分量关过．之AO2∠111/1136. 【中】（2012年江苏省苏州市相城区第二学期期中考试初一数学试卷）现有两块大小相同的直角三角板和，，30A D ∠=∠=︒．⑴ 将这两块三角板摆成如图①的形式，使、、、在同一条直线上，点在边上，与相交于点，试求的度数；⑵ 将图①中的固定，把绕着点逆时针旋转如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，?并说明理由．37. 【难】（2010年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学模拟试卷）把一付学生用三角板（和）如图⑴放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直角边与轴重合，斜边与轴重合，直角边交轴于，斜边交轴于，是中点，．⑴ 把图1中的绕点顺时针旋转度（）得图2，此时的面积是，的面积是，分别求、、三点的坐标； ⑵ 如图3，设的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，当改变的大小时，的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．图5图4图3图2图112121221A B CD EABCDEA B CDE A BCD EEDCB A ABC DEF 90ACB DFE ∠=∠=︒B F E A C DF DE AC G AGD ∠ABC △DEF △F DF AC ∥图2图1ABCDEF GF ED CBA30,60,90︒︒︒45,45,90︒︒︒A y AC y AD y AE x F AB x G O AC 8AC =Rt AED △A α090︒α<︒≤AGH △10AHF △8F H B AHF ∠AGH ∠M EFH ∠FOC ∠N αN M ∠+∠图3图2图1。

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)1/2∠ABC+1/2∠XXX又因为∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB=180°(三角形内角和定理)所以∠I=90°+1/2∠A应用：如下左图所示，AD是△ABC中的高线，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。

则∠BIC=90°+1/2∠A。

更多内容请关注我的百度文库店铺/shop/bdbceb19e8bb53#doc模型四：两外角角平分线模型条件：△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O。

结论：∠BOC=18012BAC ACB)。

证明：如上图，∠XXX∠1+∠2，∠XXX∠3+∠4XXX∠B+∠C+∠1+∠2+∠3+∠4B+∠C+2(∠1+∠3)=∠B+∠C+2∠A又因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)所以∠BOC=180°-1/2(∠BAC+∠ACB)应用：如下左图所示，AD是△ABC中的高线，BE、CF 分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O。

则∠BOC=1801/2(BAC ACB)。

更多内容请关注我的百度文库店铺/shop/bdbceb19e8bb53#doc模型五：内外角角平分线模型条件：△ABC中，AD是高线，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O，BI是∠ABC的角平分线，且与CF交于点G。

结论：OG⊥BC。

证明：如上图，∠XXX∠1+∠2，∠XXX∠3+∠4XXX∠B+∠C+∠1+∠2+∠3+∠4B+∠C+2(∠1+∠3)=∠B+∠C+2∠A又因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)所以∠BOC=180°-1/2(∠BAC+∠ACB)又因为∠BOG=∠BOC-∠GOC=(180°-1/2(∠BAC+∠ACB))-∠GOC又因为∠BOG=∠BIG+∠GBC=1/2∠ABC+∠XXX所以180°-1/2(∠BAC+∠ACB)-∠GOC=1/2∠ABC+∠XXX即180°-∠GOC-1/2∠BAC-1/2∠ACB=1/2∠ABC+∠XXX 又因为∠BAC+∠GOC=180°(三角形内角和定理)所以180°-1/2(∠BAC+∠ACB)-1/2(180°-∠BAC-∠ACB)=1/2∠ABC+∠XXX即∠GBC=1/2(∠BAC-∠ACB)又因为∠XXX∠BAC+∠ACB=2∠A所以∠BOG=∠XXX-∠XXX∠A即OG⊥BC。

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。

下面一一推导证明。

条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。

(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。

(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。

本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。

有关三角形外角的模型

有关三角形外角的模型三角形外角是指三角形的一个内角的补角。

在三角形的每个内角的外部都可以找到一个外角。

三角形的三个外角的和总是等于360度。

三角形的外角模型可以用来解决一些与三角形的角度相关的问题。

比如，我们可以利用外角模型来证明三角形的内角和为180度。

首先，我们可以在三角形的每个顶点处画出一个外角，然后连接这些外角，得到一个完整的圆。

根据圆的性质，圆心角的度数是360度。

由于外角是圆心角的补角，所以三角形的外角和为360度。

而三角形的内角和加上外角和也为360度。

因此，三角形的内角和为180度。

除了证明三角形的内角和为180度，外角模型还可以用来解决其他与三角形的角度相关的问题。

比如，我们可以利用外角模型来证明三角形的一个内角和与其对边的夹角相等。

我们可以在三角形的一个顶点处画出一个外角，然后连接这个外角的两个边与三角形的两个相邻顶点，得到一个新的三角形。

根据三角形的内角和为180度，这个新三角形的两个内角和与其对边的夹角相等。

而这两个内角和加上原来的内角和为180度，所以原来的内角和与其对边的夹角相等。

除了用来解决三角形的角度问题，外角模型还可以用来解决一些与平行线和三角形有关的问题。

比如，我们可以利用外角模型来证明当一条直线与两条平行线相交时，两个内角和与两个外角和相等。

我们可以在两条平行线之间的一条直线上选择一个点，并画出与这个点相交的两条平行线。

然后，我们可以从这个点出发分别画出与两条平行线相交的直线段，得到一个新的三角形。

根据三角形的内角和为180度，这个新三角形的两个内角和与两个外角和相等。

因此，当一条直线与两条平行线相交时，两个内角和与两个外角和相等。

三角形外角的模型是一个有用的工具，可以帮助我们解决与三角形的角度相关的问题。

通过利用外角模型，我们可以证明三角形的内角和为180度，以及一些与平行线和三角形有关的性质。

在解决问题时，我们可以根据具体情况选择不同的外角模型，从而得到所需的结论。

三角形中常用的基本模型

A
已知：如图6 ，BE、CE分
别是∠ABC、∠ACD的平分
E 线。
则：∠A=2∠E
B
C
D
图6
精ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课件
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7.两外角角平分线的交角
E A
已知：如图7 ，AF、CF分别是∠EAC、∠ACD的平分线。
F 则：∠F=90°- ½ ∠B
B
C
D
图7
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4.双垂直模型
C
A D
图4
已知：如图4 则：∠B=∠ACD
∠A=∠BCD
B
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C
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5.两内角角平分线的交角
A 已知：如图5,BD、CD分别
是∠ABC、∠ACB的平分线。
D
则：∠D= ½ ∠A+90°
B
C
图5
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变式一：
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6.一内一外角角平分线的交角
三角形中常用的基本模型
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1.“A”字型
A
D 12 E
已知：如图1 则：∠1+∠2=∠B+∠C
B
C
图1
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B
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2.“8”字型
A
B
E
已知：如图2 则：∠A+∠B=∠C+∠D
C
D
图2
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180° 180° 360° 540°
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3.燕尾模型
A
D
B
C
图3
已知：如图3 则：∠D=∠A+∠B+∠C

三角形中角度计算相关的模型

三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

下面一一推导证明。

条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。

(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。

本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。

三角形的三大模型

三角形的三大模型
“8字形”模型
线段AB 、CD相交于点O，连结AB、CD，我们把这样的基本图形称之为''对顶三角形''。 ''对顶三角形形''有如下性质:∠A+∠D=∠C+∠B。对于求角问题，若图形中含有“8字形”，运用''8字形''的性质求解。
飞镖模型：证明结论:∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C
角分线模型：
三角形的两个内(外)角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系：一、当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和(如图1)；二、当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差(如图2)；三、当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半(如图3)；
例1、如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F=_____度。
例5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
飞镖模型应用如图，已知AB//DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与 ∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．
Thank you
解:图中有若干个现成的''8字形''。 ∵∠A+∠B=∠1+∠3 ，∠C+∠D=∠1+∠2，∠E+∠F=∠2+∠3， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°．
例2、求五角星的五个角之和；
例3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

《三角形》计算中与角度相关的模型(共18张PPT)

例1.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则 ∠1+∠2等于多少？
四.折叠模型
例1.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则 ∠1+∠2等于多少？
四.折叠模型练习反馈 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张三
角形纸片，点D、E分别是边AC、AB上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若 ∠A=75°，求∠1+∠2的度数.
《三角形》计算中与角度相关的模型
一.蝴蝶模型例1.如图所示,在和中,点O是AC与BБайду номын сангаас的交点,
求证：∠A+∠B=∠C +∠ D
一.蝴蝶模型例1.如图所示,在和中,点O是AC与BD的交点
求证：∠A+∠B=∠C +∠ D.
一.蝴蝶模型
练习反馈：
1.如图所示，∠α=
度.
一.蝴蝶模型
练习反馈：
1.如图所示，∠α=
度.
解析：由模型可知：
20°+30°=40°+∠α
∠α= 20°+30°-40°
=10°.
二.飞镖模型
二.飞镖模型
练习反馈：
1.如图所示，∠A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D=
度.
二.飞镖模型练习反馈： 1.如图所示， ∠A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D= 220° 度. 提示:连接BC.
二.飞镖模型练习反馈： 2.观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+ ∠ E=360° 。

2020年中考数学专题训练(一)与三角形的角有关的四种几何模型

专题训练(一)与三角形的角有关的四种几何模型模型一角的“8”字模型如图1-ZT-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.结论:∠A+∠D=∠B+∠C.图1-ZT-1模型结论的推导:∵∠A+∠D+∠AOD=180°(),∠B+∠C+∠BOC=180°(),又∠AOD=∠BOC(),∴∠A+∠D=∠B+∠C.模型的应用:1.如图1-ZT-2,∠A=43°,∠D=57°,∠C=37°,则∠B的度数为.图1-ZT-22.如图1-ZT-3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .图1-ZT-33.(1)如图1-ZT-4①,求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E;(2)如图②,求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E.图1-ZT-44.如图1-ZT-5,已知∠1=∠2,∠3=∠4,判断∠A,∠C与∠E之间的数量关系,并证明你的结论.图1-ZT-5模型二角的燕尾模型如图1-ZT-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.图1-ZT-6模型结论的推导:如图1-ZT-6,连接AD并延长到点E.∵∠BDE=∠B+∠BAD(),∠CDE=∠C+∠CAD(),∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.模型的应用:5.如图1-ZT-7,已知∠A=60°,∠BDC=120°,∠C=37°,则∠B= °.图1-ZT-76.如图1-ZT-8,在四边形ABCD中,AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于点M.探究∠AMC与∠B,∠D之间的数量关系.图1-ZT-87.如图1-ZT-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.图1-ZT-98.如图1-ZT-10,BP,DP分别平分∠ABC与∠ADC,且交于点P,判断∠A,∠C与∠P之间的数量关系,并证明你的结论.图1-ZT-10模型三折纸中的角度如图1-ZT-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2;(2)如图②,2∠A=∠1-∠2.图1-ZT-11模型结论的推导:结论(1):由折叠可知,∠ADE= ,∠AED= ,而∠ADE+∠A'DE+∠1= ,∠AED+∠A'ED+∠2= ,即∠1=180°- ,∠2=180°- ,∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A.自己试着推导结论(2).模型的应用:9.如图1-ZT-12,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.图1-ZT -12(1)当点A 的对应点A'落在四边形BCED 内部时,若∠1=26°,∠2=52°,则∠A 的度数为 ; (2)当点A 的对应点A'落在四边形BCED 外部时,若∠1=116°,∠2=20°,则∠A 的度数为 .10.如图1-ZT -13,点M ,N 分别在AB ,AC 上,MN ∥BC ,将△ABC 沿MN 折叠后,点A 落在点A'处.若∠A'=20°,∠B=120°,则∠A'NC 的度数为 .图1-ZT -13模型四三角形内角及外角的平分线所成的角度如图1-ZT -14,BD ,CD 为角平分线.图1-ZT -14(1)如图①,∠BDC=90°+12∠A ; (2)如图②,∠BDC=12∠A ;(3)如图③,∠BDC=90°-12∠A.模型结论的推导:结论(1):由角平分线的定义可知,∠ABC=2 ,∠ACB=2 .∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12(∠ABC+∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A.自己试着用类似的方法证明(2)(3). 模型的应用:11.如图1-ZT -15,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的平分线相交于点O ,OD ⊥OC 交BC 于点D.若∠A=80°,则∠BOD= °.图1-ZT -1512.如图1-ZT -16,在△ABC 中,∠A=64°,D 为BC 延长线上的一点,∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点A 1,则∠A 1= °;∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2……∠A n-1BC 与∠A n-1CD 的平分线相交于点A n ,要使∠A n 的度数为整数,则n 的值最大为 .图1-ZT -16教师详解详析模型结论的推导三角形三个内角的和等于180° 三角形三个内角的和等于180° 对顶角相等 1.63° [解析] 由模型可知∠A+∠D=∠B+∠C ,∴∠B=∠A+∠D-∠C=43°+57°-37°=63°. 2.180° [解析] 连接CD ,变为基本图形,用三角形内角和定理求解. 3.[解析] (1)连接CD ,变为基本图形,用三角形内角和定理求解. (2)连接DE ,变为基本图形,用三角形内角和定理求解. 解:(1)180° (2)180° 4.解:结论:2∠E=∠A+∠C.证明:由模型可知∠1+∠A=∠3+∠E ,① ∠4+∠C=∠2+∠E.②①+②,得∠1+∠A+∠4+∠C=∠3+∠E+∠2+∠E. ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴2∠E=∠A+∠C.模型结论的推导三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 5.236.解:2∠AMC=∠B+∠D.证明:如图,由模型可知∠AMC=∠1+∠D+∠4,① ∠B=∠2+∠AMC+∠3.②①-②,得∠AMC-∠B=∠1+∠D+∠4-∠2-∠AMC-∠3.又∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴2∠AMC=∠B+∠D.7.解:由模型可知∠BOF=∠A+∠B+∠F ,① ∠EOC=∠D+∠E+∠C ,②①+②,得∠BOF+∠EOC=∠A+∠B+∠F+∠D+∠E+∠C.又∵∠EOC=∠BOF=135°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=270°.8.解:∠P=12(∠A-∠C ).证明:如图,由模型可知∠ADC=∠A+∠ABC+∠C.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴2∠4=∠A+2∠2+∠C.①同样由模型可知∠PDC=∠P+∠PBC+∠C , 即∠4=∠P+∠2+∠C.②②×2-①,得∠P=12(∠A-∠C ).模型结论的推导 ∠A'DE ∠A'ED 180° 180° 2∠ADE 2∠AED9.(1)39° (2)48° 10.100°模型结论的推导 ∠DBC ∠DCB 11.4012.32 6 [解析] 由三角形的外角性质,得∠ACD=∠A+∠ABC ,∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC.∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点A 1, ∴∠A 1BC=12∠ABC ,∠A 1CD=12∠ACD.∴∠A 1+∠A 1BC=12(∠A+∠ABC )=12∠A+∠A 1BC.∴∠A 1=12∠A=12×64°=32°.同理可得∠A 2=12∠A 1.∴∠A 2=14∠A. ∴∠A n =(12)n∠A=64°2n .∵∠A n 的度数为整数,∴n 的最大值为6.。

三角形中角度计算七大几何模型(学生版)-初中数学

三角形中角度计算七大几何模型【模型18字模型】 1【模型2飞镖模型】 5【模型3A字模型】 11【模型4老鹰抓小鸡模型】 14【模型5双内角平分线模型】 19【模型6双外角平分线模型】 24【模型7内外角平分线模型】 30【模型18字模型】【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D.【练习】1.如图，∠C=∠D=90°，∠A=20°，则∠COA=，∠B=．2.如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．3.如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为4.如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于()A.240°B.300°C.360°D.540°6.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．7.我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．(1)如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；(2)如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用(1)中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；(3)如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=1 4∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．【模型2飞镖模型】【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.【证明】如图,延长BD交AC于点E.∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.【练习】8.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度数是()A.37°B.61°C.60°D.39°9.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )度．A.90B.60C.50D.4010.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为()A.90°B.180°C.360°D.无法确定11.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=°．12.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°．13.如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC的度数是．14.【探究】如图①，求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C．【应用】(1)如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°，∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数；(2)如图③，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．15.已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．(1)如图1，若∠A=28°，∠B=72°，∠C=11°，求∠ADC；(2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【模型3A字模型】【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A.【练习】16.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为()A.180°B.215°C.235°D.245°17.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2=214°，则∠A的度数为()A.17°B.34°C.68°D.无法确定18.如图，在△ABC中，∠C=70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A.140°B.180°C.250°D.360°19.在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．20.如图，已知∠A=40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【模型4老鹰抓小鸡模型】【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【证明】如图，连接AF.∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，即∠BAC+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【练习】21.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于()A.40°B.60°C.80°D.140°22.如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°23.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°24.如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是．25.一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部)(1)如图1，若∠A=45°，则∠1+∠2=°．(2)利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数．26.Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：．(不需说明理由)．【模型5双内角平分线模型】【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的内角和为180°,得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°,得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①,得∠A+2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°+∠A，即∠BDC=90°+12∠A.【练习】27.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC=80°，则∠BOC的度数是()A.130°B.120°C.100°D.90°28.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为()A.20°B.30°C.45°D.50°29.如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为．30.已知在△ABC中，∠A=100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD．(1)如图1，求∠BDC的度数；(2)如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED-∠AFD=12°，求∠ACF的度数．31.已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O(1)若∠A=70°，求∠BOC的度数；(2)若∠A=a，求∠BOC的度数；∠ABC，∠OCB=(3)如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=131∠ACB，∠A=a，求∠BOC的度数．332.已知△ABC 中，∠A =60°，在图(1)中∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O 1，则计算可得∠BO 1C =120°：(1)在图(2)中，设∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，得到∠BO 2C ．则∠BO 2C =；(2)在图(3)中请你猜想，当∠ABC 、∠ACB 同时n 等分时，(n -1)条等分角线分别对应交于O 1、O 2⋯O n -1，则∠BO n -1C =(用含n 的代数式表示)．【模型6双外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，则∠BDC =90°-12∠A .【证明】设∠EBD =∠CBD =x ，∠BCD =∠FCD =y .由△BCD 的内角和为180°,得x +y +∠BDC =180°.②易得2x +2y =180°+∠A .②由①得x +y =180°-∠BDC .③把③代人②,得2(180°-∠BDC )=180°+∠A ，即2∠BDC =180°-∠A ，即∠BDC =90°-12∠A .【练习】33.如图，∠ABD 和∠ACE 是△ABC 的外角，BF 和CG 分别是∠ABD 和∠ACE 的角平分线，延长FB 和GC 交于点H ．设∠A =α，∠H =β，则α与β之间的数量关系为．34.在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点P ．∠ABC 的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点Q ，当∠Q =65°，则∠BPC =°．35.如图，点F ，C 在射线AN 上，点B ，E 在射线AM 上，∠MEF 与∠NFE 的角平分线交于点P ，∠MBC 与∠NCB 的角平分线交于点G ．若∠G =67°，那么∠P =°．36.如图，△ABC 中，∠CAB =n °，∠CBA =m °，点D 是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB 到点G ，∠FCB 与∠CBG 的平分线将于点E ，若BE ∥AC ，则45n +35m =．37.如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，BD 是△ABC 内角∠ABC 的平分线，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，CD 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，以下结论不正确的是()A.AD ∥BCB.∠ACB =2∠ADBC.∠ADC =90°-∠ABDD.BD 平分∠ADC38.如图，AD ，BD 分别是△ABC 的外角∠BAF ，∠ABG 的角平分线；AE ，BE 分别是∠DAB ，∠ABD 的角平分线；AM ，BN 分别是∠FAD ，∠DBG 的角平分线．当∠C =( )时，AM ∥BN ．A.45°B.50°C.60°D.120°【模型7内外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，则∠D =12∠A .【证明】设∠ABD =∠DBC =x ，∠ACD =∠ECD =y .由外角定理得2y =∠A +2x ，①y =∠D +x .②把②代人①,得2(∠D +x )=xA +2x ,即∠D =12∠A .【练习】39.如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角平分线交于点P ；若∠BPC =25°，则∠ACB 的度数为()A.25°B.50°C.65°D.70°40.如图，BE 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CE 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABC =40°，∠ACD =100°，则∠A +∠E =()A.40°B.90°C.100°D.140°41.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP 的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°42.如图，在△ABC 中，∠ACB <∠A ，BD 是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角∠ACF 的平分线交于点G ．以下四个结论：①∠ABD =∠CBD ；②∠ABE +∠A =90°；③∠G =12∠A ；④∠A -∠ACB =2∠EBD ．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.443.如图，在△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，⋯，∠A 2023BC 和∠A 2023CD 的平分线交于点A 2024，则∠A 2024的度数为()A.3022024 °B.3022023 °C.6022024 °D.6022023°44.如图，在△ABC 中，∠A =∠ABC ，BH 是∠ABC 的平分线，BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，D 、C 、H 三点在一条直线上，下列结论中：①DB ⊥BH ；②∠D =90°-12∠A ；③DH ∥AB ；④∠H =12∠A ；⑤∠CBD =∠D ，其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个45.在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图(1)，若∠MON =90°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线交∠BAO 的平分线于点D ．则∠D =°；(2)【问题推广】①如图(2)，若∠MON =α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D =°(用含α的代数式表示)；②如图(2)，∠MON =α(0°<α<180°)，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，点E 是OB 上一动点，BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与射线AE 交于点D ，若∠D =12α，则AE 是△OAB 的角平分线吗？请说明理由；(3)【拓展提升】如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．。

全等三角形13种基本模型

全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边（SSS）
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边（SAS/边-角-边）
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角（ASA/角-边-角）
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边（AAS/角-角-边）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等）证明全等。
5
斜边、直角边（HL/直角三角形的HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
6
“K”型全等
通过构造辅助线，形成两个具有公共边的三角形，利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形，利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质（中线将对边平分），结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高（从顶点垂直于对边或对边的延长线）的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合其他条件证明全等。

三角形中的八大经典模型(解析版)

三角形中的八大经典模型【八大题型】【题型1A字模型】【题型28字模型】【题型3双垂直模型】【题型4飞镖模型】【题型5风筝模型】【题型6两内角角平分线模型】【题型7两外角角平分线模型】【题型8内外角角平分线模型】【知识点1A字模型】【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【题型1A字模型】1(2023春·湖北荆门·八年级校联考期末)如图，在△ABC中，∠C=70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2 =()A.360ºB.250ºC.180ºD.140º【答案】B【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．1.(2023春·八年级单元测试)如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【解析】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2.(2023春•常州期中)如图，△ABC中，∠B=68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB=42°．(1)求∠A的度数；(2)判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由．【答案】(1)设∠C的度数为x，根据三角形的内角和列出方程解答即可；(2)根据平行线的判定解答即可．【解析】解：(1)设∠C的度数为x°，则∠A的度数为(x+28)°，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠B=68°，可得：x+x+28+68=180，解得：x=42，所以∠C=42°，∠A=70°，(2)∵∠DEB=42°，∠C=42°，∴∠DEB=∠C，∴DE∥AC．3.(2023春·江苏泰州·八年级校联考期中)如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为．【答案】280°【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【解析】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案为280°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形内角和为180度是解题的关键．【知识点28字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【题型28字模型】1(2015-2016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷(带解析))如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()A.62°B.152°C.208°D.236°【答案】C【详解】∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故选C．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A +∠F+∠B-∠D=180°，此题难度不大．1.(2013-2014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷(带解析))如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】90°；65°【分析】由ΔABC≅ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B，因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB=∠DFB-∠D，即可得∠DGB的度数．【解析】解：∵ΔABC≅ΔADE，∴∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)=12(120°-10°)=55°．∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．综上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65°．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到相应等量关系的角，做题时要结合图形进行思考．2.(2023·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【解析】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．3.(2023春·八年级期末)(1)如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(2)如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；(3)如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】(1)360°；(2)720°；(3)540°【分析】(1)连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B+∠C=∠BAD+∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，(2)与(1)方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，(3)使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【解析】解：(1)如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B+∠C=∠BAD+∠CDA，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°，(2)如图②，由(1)方法可得：∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H=(6-2)×180°=720°，(3)如图③，根据(1)的方法得，∠F+∠G=∠GAE+∠FEA，∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．【知识点3双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型3双垂直模型】1(2023春·广东珠海·八年级校联考期末)如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．(1)求证：∠EAB=∠CED；(2)如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②45°．【分析】(1)利用同角的余角相等即可证明；(2)①想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题；②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12(∠CDE+∠EAB)即可解决问题.【详解】(1)∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB=90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠CED．(2)①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB，∵EH平分∠DEC，∴∠HED=12∠CED，∵∠EAB=∠CED，∴∠HED=∠EAG，∴∠HED+∠AEG=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∴∠EGA=90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∠EAB，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12(∠CDE+∠EAB)=45°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．1.(2023春·江苏泰州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF 请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由．证明：∵AE平分∠CAB(已知)∴∠CAE=∠FAB()∵∠ACE=90°(已知)∴∠CAE+∠CEF=90°()∵CD是△ABC的高(已知)∴∠FDA=90°(三角形高的定义)∴∠FAB+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠CEF=∠AFD()∵∠CFE=∠AFD()∴∠CFE=∠CEF()【答案】角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【分析】根据角平分线的定义得到∠CAE=∠FAB，根据直角三角形两锐角互余得到∠CAE+∠CEF= 90°，∠FAB+∠AFD=90°，再利用等角的余角相等得到∠CEF=∠AFD，最后利用等量代换可得结果．【解析】解：证明：∵AE平分∠CAB(已知)∴∠CAE=∠FAB(角平分线的定义)∵∠ACE=90°(已知)∴∠CAE+∠CEF=90°(直角三角形的两锐角互余)∵CD是△ABC的高(已知)∴∠FDA=90°(三角形高的定义)∴∠FAB+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠CEF=∠AFD(等角的余角相等)∵∠CFE=∠AFD(对顶角相等)∴∠CFE=∠CEF(等量代换)故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键，此题难度不大．2.(2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于点G．(1)判断△DBF的形状，并说明理由．(2)求证：AD⊥CF．【答案】(1)△DBF是等腰直角三角形，理由见解析；(2)证明见解析．【分析】(1)利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，证明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到∠ABF=∠CAB=45°，进一步得∠CBA+∠ABF=90°，利用DE⊥AB证明∠BDF=45°即可证明△DBF是等腰直角三角形；(2)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，只要证明三角形全等，即可．【解析】(1)解：△DBF是等腰直角三角形，理由如下：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠ABF=∠CAB=45°，∴∠CBA+∠ABF=90°，即∠DBF=90°，∵DE⊥AB，∠CBA=45°，∴∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴△DBF是等腰直角三角形．(2)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．∴BF=CD．在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD CB=AC∴△CBF≌△ACD(SAS)．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、垂直的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键．3.(2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中)如图，△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．(1)如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；(2)如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；(3)如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．【答案】(1)30°；(2)①∠EDC=∠BAD，理由见解析；②∠G的度数不变，理由见解析；(3)不变，45°.【分析】(1)先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论；(2)①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论；(3)利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论．【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=30°，∴∠ADC=120°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；(2)①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，∵∠ADE=90°，∴∠EDC+∠ADB=90°，∴∠EDC=∠BAD；②∠G的度数不变，理由：∵EF⊥BC，∴∠EDF+∠DEF=90°，∵∠ADB+∠EDF=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵∠BAD+∠ADB=90°，∴∠BAD+∠DEF=90°，∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠DEF，∴∠DAG+∠DEG=12(∠BAD+∠DEF)=45°，∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，∴∠G=45°；(3)∠G的度数不变化，理由：如图3，∵AD⊥DE，∴∠ADB+∠BDE=90°，∵EF⊥BD，∴∠DEF+∠BDE=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵EM是∠DEF的角平分线，∴∠DEM=12∠DEF=12∠ADB，∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=12∠BAD，延长DE交AG于N，∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，∴∠ENG=∠AEN+∠EAG=90°+∠DAE+∠EAG=90°+∠DAG=90°+12∠BAD，∴∠G=180°-(∠ENG+∠GEN)=180°-(∠ENG+∠DEM)，=180°-90°+12∠BAD+12∠ADB，=90°-12(∠BAD+∠ADB)=45°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和和外角的性质，解(1)的关键是求出∠ADC=120°，解(2)的关键是求出∠DAG+∠DEG=45°，解(3)的关键是利用三角形的外角的性质．【知识点4飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4飞镖模型】1(2023春·江苏镇江·八年级统考期中)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是( )．A.72°B.70°C.65°D.60°【答案】B【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°-∠BED=108°,∴∠DFO=360°-∠D-∠DEO-∠EOF=360°-35°-108°-107°=110°,∴∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补．1.(2023春·八年级期末)如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【解析】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．2.(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【解析】方法1如图所示，连接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠1+∠ACD+∠2=180°.在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+∠ABD.同理，∠4=∠2+∠ACD.∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD.即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC=∠A+∠ABD.∵∠BDC是△DEC的外角，∴∠BDC=∠DEC+∠ACD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．3.(2023春·福建南平·八年级统考期中)如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F= 115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【解析】【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【知识点5风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【题型5风筝模型】1(2023春·重庆渝北·八年级校考期中)如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2= 80°,则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【分析】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定义可求出∠BED+∠BDE的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.【详解】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=12(360°-∠1-∠2)=12×(360°-80°)=140°∴∠B=180°-(∠BED+∠BDE)=180°-140°=40°故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.1.(2023春·八年级期末)如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为( )．A.14°B.15°C.28°D.30°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°，再根据折叠性质得出∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，进而求得∠1+∠2=110°即可求解．【解析】解：∵∠A=55°，∴∠AEF+∠AFE=180°-55°=125°，∴∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°，由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，∴∠1+∠2=235°-125°=110°，∵∠1=95°，∴∠2=110°-95°=15°，故选：B．【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．2.(2023春·八年级期末)如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，将∠C沿DE翻折，使点C落在△ABC外的点C 处．若∠1=20°，则∠2的度数为．【答案】100°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C'，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解析】解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-65°-75°=40°，由折叠的性质可知，∠C'=∠C=40°，∴∠3=∠1+∠C'=60°，∴∠2=∠C+∠3=100°，故答案是：100°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．3.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=120°，则∠1+∠2的度数为()A.90°B.100°C.110°D.120°【答案】D【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【解析】解：如图，连接AA '，∵A 'B 平分∠ABC ，A 'C 平分∠ACB ，∴∠A 'BC =12∠ABC ，∠A 'CB =12∠ACB ，∵∠BA 'C =120°，∴∠A 'BC +∠A 'CB =180°-120°=60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠BAC =180°-120°=60°，∵沿DE 折叠，∴∠DAA '=∠DA 'A ，∠EAA '=∠EA 'A ，∵∠1=∠DAA '+∠DA 'A =2∠DAA '，∠2=∠EAA '+∠EA 'A =2∠EAA '，∴∠1+∠2=2∠DAA '+2∠EAA '=2∠BAC =2×60°=120°，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．【知识点6两内角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I .【结论】∠I =90°+12∠A 【证明】∵BI 是∠ABC 平分线，∴∠2=12∠ABC ∵CI 是∠ACB 平分线，∴∠3=12∠ACB 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知：∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +12∠ABC +12∠ACB =∠A +12(180°−∠A )=90°+12∠A .【题型6两内角角平分线模型】1(2023春·江苏苏州·八年级期中)直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠CED的度数．(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及反向延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则∠ABO的度数为(直接写答案)【答案】(1)不发生变化，∠AEB=135°；(2)不发生变化，∠CED=67.5°；(3)60°或45°【分析】(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；(2)延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；(3)由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：(1)∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=45°，∴∠AEB=135°；(2)∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB +∠MBA =270°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，∴∠BAD +∠ABC =12(∠PAB +∠ABM )=135°，∴∠F =45°，∴∠FDC +∠FCD =135°，∴∠CDA +∠DCB =225°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴∠CDE +∠DCE =112.5°，∴∠CED =67.5°；(3)∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，∴∠E =∠EOQ -∠EAO =12(∠BOQ -∠BAO )=12∠ABO ，∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴∠EAF =90°．在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF =3∠E ，∠E =30°，∠ABO =60°；②∠EAF =3∠F ，∠E =60°，∠ABO =120°(舍弃)；③∠F =3∠E ，∠E =22.5°，∠ABO =45°；④∠E =3∠F ，∠E =67.5°，∠ABO =135°(舍弃)．∴∠ABO 为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．1.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC =140°，∠BGC =100°，则∠A =()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB, 再求解∠GBC+∠GCB, 可得∠GBD+∠GCD, 再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD, 从而可得：∠ABC+∠ACB, 再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【解析】解：连接BC, ∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．3.(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=；(直接写出答案)(2)若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n°；(3)∠BGO-∠ACF=50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据(2)的结论解答．【解析】解：(1)∵∠MON=60°，∴∠BAO+∠ABO=120°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=60°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON=n°，∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由(2)得：∠ACG =90°-12×80°=50°．∴∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．【知识点7两外角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是△ABC 的外角的角平分线，且相交于点O .【结论】∠O =90°−12∠A .【证明】∵BO 是∠EBC 平分线，∴∠2=12∠EBC ，∵CO 是∠FCB 平分线，∴∠5=12∠FCB 由△BCO 中内角和定理可知：∠O =180°-∠2-∠5=180°-12∠EBC -12∠FCB =180°-12(180°−∠ABC )-12(180°−∠ACB )=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°−∠A )=∠O =90°−12∠A 【题型7两外角角平分线模型】1(2023春·江苏·八年级专题练习)【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A +∠B =∠C +∠D ；【简单应用】(2)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC =46°，∠ADC =26°，求∠P 的度数；【问题探究】(3)如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】(4) ①在图4中，若设∠C =α，∠B =β，∠CAP =13∠CAB ，∠CDP =13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：(用α、β表示∠P )；②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．【答案】(1)见解析；(2)36°；(3)26°，理由见解析；(4)①∠P=2α+β3②∠P=180°+∠B+∠D2【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；(2)直接利用(1)中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；(3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3)，∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．(4)①同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题．【详解】(1)在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2)由(1)得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．(3)∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+(180°-∠2)=∠D+(180°-∠3)，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12(∠B+∠D)=12×(36°+16°)=26°．(4)①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α-∠P=n-m，∠P-β=2n-2m=2(n-m)，∴2α+β=3∠P∴∠P=2α+β3．故答案为：∠P=2α+β3．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°-y+∠D，∠B+2x=180°-2y+∠D，∴∠P=180°+∠B+∠D2．故答案为：∠P=180°+∠B+∠D2．【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．1.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，则∠CPD=．【答案】105°【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD+∠CDE的度数，从而求出∠PCD+∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．【解析】解：∵∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，∴∠BCD+∠CDE=(5-2)×180°-160°-80°-90°=210°，∴∠PCD+∠PDC=12(180°×2-210°)=75°，在△CPD中，∠CPD=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-75°=105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD+∠CDE的度数是解题的关键．2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G，请写出∠A和∠CPG的数量关系.【答案】∠CPG=90°+12∠A【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含∠A的式子表示出∠CBP和∠BCP的和，再利用三角形外角的性质即可得到∠A和∠CPG的数量关系.【解析】解：∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A,∴∠ECB+∠FBC=180°×2-(180°-∠A)=180°+∠A,∵点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，∴∠CBP+∠BCP=12(180°+∠A)=90°+12∠A，又∵∠CPG=∠CBP+∠BCP，∴∠CPG=90°+12∠A.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.3.(2023春·八年级期末)如图1，△ABC的外角平分线交于点F．(1)若∠A=40°，则∠F的度数为；(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A 与α+β的数量关系是；(3)在(2)的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】(1)70°(2)α+β-12∠A=90° (3)①见解析 ②不成立；β-α-12∠A=90°或α-β-12∠A=90°【分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；(2)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；(3)①根据(2)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到∠A 与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据(2)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到∠A 与α，β之间的数量关系．【解析】解：(1)如图1，∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =140°，∴∠DBC +∠ECB =360°-140°=220°，又∵△ABC 的外角平分线交于点F ，∴∠FBC +∠FCB =12(∠DBC +∠ECB )=12×220°=110°，∴△BCF 中，∠F =180°-110°=70°，故答案为：70°；(2)如图2，∵∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∴∠DBC +∠ECB =360°-(180°-∠A )=180°+∠A ，又∵△ABC 的外角平分线交于点F ，∴∠FBC +∠FCB =12(∠DBC +∠ECB )=12×(180°+∠A )=90°+12∠A ，∴△BCF 中，∠BFC =180°-90°+12∠A =90°-12∠A ，又∵∠MFB =α，∠NFC =β，MN ∥BC ，∴∠FBC =α，∠FCB =β，∵△BCF 中，∠FBC +∠FCB +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°，故答案为：α+β-12∠A =90°；(3)①α+β-12∠A =90°，理由如下：如图3，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠MFB +∠NFC +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°，②当直线MN 与线段BC 有交点时，①中∠A 与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M 在线段AB 上，N 在AC 延长线上时，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠BFC -∠MFB +∠NFC =180°，∴90°-12∠A -α+β=180°，即β-α-12∠A =90°；如图5，当M 在AB 的延长线上，N 在线段AC 上时，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠BFC -∠NFC +∠MFB =180°，∴90°-12∠A -β+α=180°，即α-β-12∠A =90°；综上所述，∠A 与α，β之间的数量关系为β-α-12∠A =90°或α-β-12∠A =90°．【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．【知识点8内外角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BP 、CP 分别是△ABC 的内角和外角的角平分线，且相交于点P .【结论】∠P =12∠A 【证明】∵BP 是∠ABC 平分线，∴∠3=12∠ABC ∵CP 是∠ACE 平分线，∴∠1=12∠ACE 由△ABC 外角定理可知：∠ACE =∠ABC +∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ⋯⋯①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+12∠A ⋯⋯②又在△BPC 中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ⋯⋯③比较②③式子可知：∠P =12∠A .12(∠ABC +∠ACB )=12(180°−∠A )=∠O =90°−12∠A .【题型8内外角角平分线模型】1(2023春·八年级期末)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A =α，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解∠A 1=12∠A ，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12(∠A +∠ABC )=12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=122α，根据规律推导，∴∠A 2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 1.(2023春·八年级期末)如图，已知△ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠ABC 的平分线与。

三角形计算四大模型

三角形计算四大模型三角形是数学中的一种基本几何形状，拥有三边和三个内角。

在数学中，有四种常见的三角形计算模型：余弦定理、正弦定理、海伦公式和面积公式。

这些模型可以用于计算三角形的各种属性，例如边长、角度和面积。

下面将详细介绍这四个模型。

1.余弦定理：余弦定理表达了一个三角形的任意一条边的平方与其余两条边的平方之间的关系。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么余弦定理可以表达为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2.正弦定理：正弦定理利用了角度和边长之间的关系。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC3.海伦公式：海伦公式可以用来计算三角形的面积。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，令s为半周长（即s=(a+b+c)/2），那么海伦公式可以表达为：面积 = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))4.面积公式：面积公式也可以用来计算三角形的面积。

面积=(1/2)*b*h这四大模型都能够为我们提供计算三角形属性的方法。

余弦定理和正弦定理适用于计算三角形边长和角度的情况，而海伦公式和面积公式则适用于计算三角形的面积。

根据具体的问题，我们可以选择合适的模型来计算三角形的属性。

除了上述四大模型之外，三角形的属性还可以通过其他方法来计算，例如勾股定理、角平分线定理等。

每个模型在不同的问题中都有其特定的适用场景，因此了解并掌握这些模型可以帮助我们更好地解决各种三角形计算问题。

三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型(学生版)

三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①∠BCD =∠A +∠B +∠D ；②AB +AD >BC +CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12(∠A +∠C )。

飞镖模型结论的常用证明方法：例1．(2023·重庆·八年级专题练习)请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”1如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C =180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD +∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB =150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．2(2023·成都市·七年级专题练习)如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC =140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°3(2023·湖北·八年级专题练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是( )．A.72°B.70°C.65°D.60°4(2023·广东·八年级期中)如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.5(2023·福建三明·八年级统考期末)如图1所示的图形，像我们常见的符号--箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：(1)观察“箭头四角形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；应用：(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ΔABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=60°，则∠ABX+∠ACX=；②如图°3，∠ABE、∠ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF相交于点F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数；拓展：(3)如图4，BO i，CO i分别是∠ABO、∠ACO的2020等分线(i=1，2，3，⋯，2018，2019)，它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、⋯、O2019．已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO1000C=度．模型2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)鹰爪模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

[26946616]2020-2021学年八年级数学人教版上册第11章与三角形有关的角度计算

【模型三：两内角角平分线模型】
条件：BD 是∠ABC 的角平分线，CD 是∠ACB 的角平分线。
1
结论：∠D=90°+ ∠A。
2 证明：证法一：∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠1=∠2= 1 ∠ABC，
2
∵CD 是∠ACB 的角平分线，∴∠3=∠4= 1 ∠ACB， 2
1
在△BCD 中，∠D=180°-∠1-∠4=180°- (∠ABC+∠ACB)
4、如图，已知∠ABC 的平分线 BD 与△ACB 的外角平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，若 ∠BDC=40°，则∠DAC 的度数为_______.
5、如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于 I，根据下列条件填空 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BIC=______。 (2)若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BIC=_______。 (3)若∠A=56°，则∠BIC=______； (4)若∠BIC=120°，则∠A=______； (5)若∠A=α，请将∠BIC 用α的代数式表示。
M
D
N
7、如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线与∠ACD 的角平分线交于同一点 P，根据下列条件填空： (1) 若∠A=50°，则∠P=______；
(2)若∠ABC+∠ACB=135°，则∠P=______；
(3)若∠BPC=34°，则∠A=______；
(4)若∠A=α，请将∠P 用α的代数式表示。
9、如图，∠DBC 和∠ECB 的角平分线相交于点 O，∠A=α，
(1)若∠CBO= 1 ∠DBC，∠BCO= 1 ∠ECB，请将∠BOC 用α的代数式表示．
3
3

与三角形的角有关模型

中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型

三角形的四大模型

三角形有关的角度计算

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

有关三角形外角的模型

三角形中常用的基本模型

三角形中角度计算相关的模型

三角形的三大模型

《三角形》计算中与角度相关的模型(共18张PPT)

2020年中考数学专题训练(一)与三角形的角有关的四种几何模型

三角形中角度计算七大几何模型(学生版)-初中数学

全等三角形13种基本模型

三角形中的八大经典模型(解析版)

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三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型(学生版)

[26946616]2020-2021学年八年级数学人教版上册 第11章 与三角形有关的角度计算

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