与三角形的角有关模型

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三角形中常用的基本模型

4.双垂直模型
C
A D
图4
已知：如图4 则：∠B=∠ACD
∠A=∠BCD
B
.
C
.
5.两内角角平分线的交角
A 已知：如图5,BD、CD分别
是∠ABC、∠ACB的平分线。
D
则：∠D= ½ ∠A+90°
B
C
图5
.
.
变式一：
.பைடு நூலகம்
6.一内一外角角平分线的交角
A
已知：如图6 ，BE、CE分
别是∠ABC、∠ACD的平分
三角形中常用的基本模型
.
1.“A”字型
A D 12 E
已知：如图1 则：∠1+∠2=∠B+∠C
B
C
图1
.
B
.
2.“8”字型
A
B
E
C
D
图2
已知：如图2 则：∠A+∠B=∠C+∠D
.
180° 180° 360° 540°
.
3.燕尾模型 A
D
B
C
图3
已知：如图3 则：∠D=∠A+∠B+∠C
.
.
E 线。
则：∠A=2∠E
B
C
D
图6
.
.
7.两外角角平分线的交角

相似三角形12种基本模型

相似三角形的基本模型：

1.A字型、斜A字型(基础)，分为平行A字型和不平行A 字型。

2.8字型、反8字型（基础），也叫沙漏型，分为平行型和不平行型俩种。

3.子母型。字母型由相似的三角形组成。

6. 双垂直型。

7. 半角模型

归纳总结：

八年级上册数学三角形模型大全

八年级上册数学三角形模型包括以下几种：

1. A字模型：∠1 + ∠2 = ∠c + 180°。

2. 高分角模型：高分角等于底角差的一半。

3. 八字模型：两翼和相等。

4. 飞镖模型：∠d = ∠a + ∠b + ∠c。

5. 镖分分模型：上下之和等于中间两倍。

6. 八字加角分线模型：上下之和等于中间两倍。

7. 双角平分线模型—内内：内内90°+1/2。

8. 双角平分线模型—外外：外外90°-1/2。

9. 双角平分线模型—内外：本质上有某些关联。

10. 一内一外模型：由三角形的一个内角平分线和一个外角平分线产生夹角。

11. 两内模型：两个内角平分线的夹角。

12. 两外模型：两个外角平分线的夹角。

以上内容仅供参考，可以请教数学老师或查看教辅资料，以获取更多有关三角形模型的解题技巧和方法。

三角形的四大模型

三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。

一、欧拉模型

欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。

欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。

二、特里希亚特中心模型

特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。

特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质

心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的

性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。

三、边-角模型

边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积

关系。

在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

1/2∠ABC+1/2∠XXX

又因为∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB=180°(三角形内角和定理)

所以∠I=90°+1/2∠A

应用：如下左图所示，AD是△ABC中的高线，BI、CI

分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。则

∠BIC=90°+1/2∠A。更多内容请关注我的百度文库店铺

/shop/bdbceb19e8bb53#doc

模型四：两外角角平分线模型

条件：△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的外

角平分线，且相交于点O。

结论：∠BOC=180

BAC ACB)。

证明：如上图，∠XXX∠1+∠2，∠XXX∠3+∠4

XXX∠B+∠C+∠1+∠2+∠3+∠4

B+∠C+2(∠1+∠3)=∠B+∠C+2∠A

又因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)

所以∠BOC=180°-1/2(∠BAC+∠ACB)

应用：如下左图所示，AD是△ABC中的高线，BE、CF 分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O。则

∠BOC=1801/2(BAC ACB)。更多内容请关注我的百度文库店铺/shop/bdbceb19e8bb53#doc

模型五：内外角角平分线模型

条件：△ABC中，AD是高线，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，且相交于点O，BI是∠ABC的角平分线，且与CF交于点G。

结论：OG⊥BC。

证明：如上图，∠XXX∠1+∠2，∠XXX∠3+∠4

XXX∠B+∠C+∠1+∠2+∠3+∠4

B+∠C+2(∠1+∠3)=∠B+∠C+2∠A

全等三角形的九大经典模型(解析版)

全等三角形的九大经典模型

【题型1平移模型】

【题型2轴对称模型】

【题型3旋转模型】

【题型4一线三等角模型】

【题型5倍长中线模型】

【题型6截长补短模型】

【题型7手拉手模型】

【题型8角平分线模型】

【题型9半角全等模型】

【知识点1平移模型】

【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.

【常见模型】

【题型1平移模型】

1(2023春·陕西咸阳·八年级统考期末)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD，AC、DE交于点O．下列结论一定正确的是()

A.∠B=∠F

B.AC⊥DE

C.BC=DF

D.AC、DE互相平分

【答案】D

【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当

∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，

∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，

只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；

只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确；

∵AD∥BC，

∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，

有关三角形外角的模型

三角形外角是指三角形的一个内角的补角。在三角形的每个内角的外部都可以找到一个外角。三角形的三个外角的和总是等于360度。

三角形的外角模型可以用来解决一些与三角形的角度相关的问题。比如，我们可以利用外角模型来证明三角形的内角和为180度。首先，我们可以在三角形的每个顶点处画出一个外角，然后连接这些外角，得到一个完整的圆。根据圆的性质，圆心角的度数是360度。由于外角是圆心角的补角，所以三角形的外角和为360度。而三角形的内角和加上外角和也为360度。因此，三角形的内角和为180度。

除了证明三角形的内角和为180度，外角模型还可以用来解决其他与三角形的角度相关的问题。比如，我们可以利用外角模型来证明三角形的一个内角和与其对边的夹角相等。我们可以在三角形的一个顶点处画出一个外角，然后连接这个外角的两个边与三角形的两个相邻顶点，得到一个新的三角形。根据三角形的内角和为180度，这个新三角形的两个内角和与其对边的夹角相等。而这两个内角和加上原来的内角和为180度，所以原来的内角和与其对边的夹角相等。

除了用来解决三角形的角度问题，外角模型还可以用来解决一些与平行线和三角形有关的问题。比如，我们可以利用外角模型来证明

当一条直线与两条平行线相交时，两个内角和与两个外角和相等。我们可以在两条平行线之间的一条直线上选择一个点，并画出与这个点相交的两条平行线。然后，我们可以从这个点出发分别画出与两条平行线相交的直线段，得到一个新的三角形。根据三角形的内角和为180度，这个新三角形的两个内角和与两个外角和相等。因此，当一条直线与两条平行线相交时，两个内角和与两个外角和相等。

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

三角形中与角度计算相关的模型

两个定理：

一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。

条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和)

证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°

在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，

由对顶角相等：∠BOA=∠COD

故有∠A+∠B=∠C+∠D

应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

条件：四边形ABDC如上左图所示。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和)

证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：

∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。结论：A I ∠+

︒=∠2

90 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=

∠2

2 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠2

由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +

三角形角的计算——角平分线模型

三⾓形⾓的计算——⾓平分线模型

三⾓形⾓的计算模型，⼀般分为三⼤模型：8字型、飞镖型、⾓平分线型。标准不⼀，称呼会有区别。

今天学习⾓平分线模型

知识体系：内⾓和-----外⾓定理--------⾓平分线模型

根据⾓平分线位置分类

（1）双内⾓平分线

练习：如图所⽰，在△ABC中，BO、CO是⾓平分线。

(1)∠ABC=50∘,∠ACB=60∘，求∠BOC的度数，并说明理由。

(2)题(1)中,如将“∠ABC=50∘,∠ACB=60∘”改为“∠A=70∘”，求∠BOC的度数。

(3)若∠A=n∘，求∠BOC的度数。

(2)双外⾓平分线

(3)内外型

练习：如图,已知∠MON=90∘，点A，B分别在射线OM，ON上移动，

∠OAB的⾓平分线与∠ABO的外⾓平分线交于点C.

①当∠OAB=60∘时，求∠ACB的度数；

②试猜想，随着点A，B的移动，∠ACB的度数是否变化?说明理由。

如图,在△ABC中,∠A=m∘,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…∠A2014BC和∠A2014CD的平分线交于点A2015,则∠A2015=___度。

特别强调：1模型做题不是死记硬背，切记每个模型的推导要熟练运⽤，在此基础上对模型的结构、结论强化理解和记忆。

2，双内与双外型两个⾓的和为180°，为什么呢？邻补⾓的⾓平分线互相垂直，这两⾓对应四边形存在两个直⾓的

三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型(学生版)

三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)

图1图2图3

条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①∠BCD =∠A +∠B +∠D ；②AB +AD >BC +CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =

12(∠A +∠C )。条件：如图3，线段AO 平分∠DAB ，线段CO 平分∠BCD ；结论：∠O =12(∠D -∠B )。飞镖模型结论的常用证明方法：

1(2023·重庆·八年级专题练习)请阅读下列材料，

并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

(即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：

方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C =180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD

+∠CBD+∠C．

三角形的四大模型

一、三角形的重要概念和性质

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°

2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、三角形角平分线角分线中线分面积等高直角三角形两锐角互余

二、八字模型：

证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D

三、飞镖模型：

证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C

四、角分线模型：

如图,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,BD、CD相交于点D,

试探索∠A与∠D之间的数量关系,并证明你的结论．

如图,△ABC两个外角∠CAD、∠ACE的平分线相交于点P．

探索∠P与∠B有怎样的数量关系,并证明你的结论．

题型一、三角形性质等应用

1．如图,小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了米数是

A．120 B．150 C．240 D．360

2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为 cm2．

3．如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,

且S△ABC=4cm2,则S阴影= cm2．

4． A、B、C是线段A1B,B1C,C1A的中点,S△ABC的面积是1,则S△A1B1C1的面积．

5．一个四边形截去一个角后,剩下的部分可能是什么图形画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外角和变化情况．

6．如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成

解直角三角形的常见几种模型

1.30-60-90三角形模型：这种模型通常用于解决一个角为30度、另一个角为60度的直角三角形问题。根据特定的比例关系，我们可以求出三角形的边长。

2. 45-45-90三角形模型：这种模型通常用于解决一个角为45度、另一个角也为45度的直角三角形问题。同样地，我们可以根据特定的比例关系，求出三角形的边长。

3. 直角三角形勾股定理模型：这种模型是解决直角三角形问题的基础。根据勾股定理，我们可以得出一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

4. 一般直角三角形模型：这种模型通常用于解决没有特定角度的直角三角形问题。我们可以利用勾股定理和三角函数等方法求解。

以上是解直角三角形的常见几种模型，掌握这些模型可以帮助我们更好地解决直角三角形问题。

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三角形的三大模型

源自文库
例5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
飞镖模型应用如图，已知AB//DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与 ∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．
Thank you
角分线模型：
三角形的两个内(外)角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系：一、当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和(如图1)；二、当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差(如图2)；三、当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半(如图3)；
例1、如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F=_____度。
三角形的三大模型
“8字形”模型
线段AB 、CD相交于点O，连结AB、CD，我们把这样的基本图形称之为''对顶三角形''。 ''对顶三角形形''有如下性质:∠A+∠D=∠C+∠B。对于求角问题，若图形中含有“8字形”，运用''8字形''的性质求解。
飞镖模型：证明结论:∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C
解:图中有若干个现成的''8字形''。 ∵∠A+∠B=∠1+∠3 ，∠C+∠D=∠1+∠2，∠E+∠F=∠2+∠3， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°．

三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(学生版)

三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型

图1图2

8字模型(基础型)

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①∠A+∠B=∠C+∠D；②AB+CD<AD+BC。

8字模型(加角平分线)

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D

1(2021·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．

2(2023·浙江·八年级假期作业)如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

3(2023·山东德州·八年级校考阶段练习)如图1，已知线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；

(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．

①若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；

②若角平分线中角的关系改为“∠CAP=1

∠CAB,∠CDP=1

∠CDB”，试探究∠P与∠B,∠C之间的数

量关系．

2020年中考数学专题训练(一)与三角形的角有关的四种几何模型

专题训练(一)与三角形的角有关的四种几何模型

模型一角的“8”字模型

如图1-ZT-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.

结论:∠A+∠D=∠B+∠C.

图1-ZT-1

模型结论的推导:

∵∠A+∠D+∠AOD=180°(),

∠B+∠C+∠BOC=180°(),

又∠AOD=∠BOC(),

∴∠A+∠D=∠B+∠C.

模型的应用:

1.如图1-ZT-2,∠A=43°,∠D=57°,∠C=37°,则∠B的度数为.

图1-ZT-2

2.如图1-ZT-3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .

图1-ZT-3

3.(1)如图1-ZT-4①,求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E;

(2)如图②,求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E.

图1-ZT-4

4.如图1-ZT-5,已知∠1=∠2,∠3=∠4,判断∠A,∠C与∠E之间的数量关系,并证明你的结论.

图1-ZT-5

模型二角的燕尾模型

如图1-ZT-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.

图1-ZT-6

模型结论的推导:

如图1-ZT-6,连接AD并延长到点E.

∵∠BDE=∠B+∠BAD(),

∠CDE=∠C+∠CAD(),

∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.

又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.

模型的应用:

5.如图1-ZT-7,已知∠A=60°,∠BDC=120°,∠C=37°,则∠B= °.

图1-ZT-7

6.如图1-ZT-8,在四边形ABCD中,AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于点M.探究∠AMC与∠B,∠D之间的数量关系.

《三角形》计算中与角度相关的模型(共18张PPT)

例1.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则 ∠1+∠2等于多少？
四.折叠模型
例1.已知如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则 ∠1+∠2等于多少？
四.折叠模型练习反馈 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张三
角形纸片，点D、E分别是边AC、AB上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若 ∠A=75°，求∠1+∠2的度数.
结论：∠1+∠2=2∠A.
四.折叠模型
练习反馈
1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片，点D、E分别是边AC、AB上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若 ∠A=75°，求∠1+∠2的度数.
《三角形》计算中与角度相关的模型
一.蝴蝶模型例1.如图所示,在和中,点O是AC与BD的交点,
求证：∠A+∠B=∠C +∠ D
一.蝴蝶模型例1.如图所示,在和中,点O是AC与BD的交点
求证：∠A+∠B=∠C +∠ D.
一.蝴蝶模型
练习反馈：
1.如图所示，∠α=
度.
一.蝴蝶模型
Байду номын сангаас
练习反馈：
1.如图所示，∠α=
度.
解析：由模型可知：
20°+30°=40°+∠α