人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题

1. 1.1变化率问题课前预习学案。

知道平均变化率的定义。

，课本中的问题1,2
预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1
气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描
述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水
h
与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt
的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=
v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段
时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot
问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用
___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________
于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
1.学习目标理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
.
会求函数在某点处附近的平均变化率3.
学习重点： .平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点： .平均变化率的概念学习过程一：问题提出率问题：1气球膨胀问题dmrVL__________. 之间的函数
关系是)(气球的体积单位(单位::)与半径 ___________.,那么r表示为体积V的函数如果将半径
___________. 气球半径增加了增加到1时,⑴当V从0___________.
气球的平均膨胀率为___________. 气球半径增加了增加到2时,⑵当V从1___________.
气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．VV? 气
球的平均膨胀率是多少时,思考：当空气容量从增加到
h 21___________.
问题2 高台跳水问题：）与起跳后的h（单位：m在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高
度（单位：s）存在怎样的函数关系？时间t mh与起跳后的时)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度单位：(st___________.
间）存在函数关系（单位：1.82，.5，1≤t≤）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０ot
.
≤2≤t2.2，时间段里的平均速度≤t≤2，v2?.51?t0?t?0的平均速度思考计算：和5.?00?t在__________.；这段时间里，_2t?1?___________. 这段时间里，在65?t0?：计算运动员在探究这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65)0?hh(()2thtt+10+6.5，探究过程：如图是函数(的图像，结合图形可知，)= -4.94965??t0)/m0(s但实际情况是___________.所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为，49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 1）计算和思考，展开讨论；（.
）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上（2）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运3（②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员
的运动状态；动状态.
:
二平均变化率概念)xf)?(xf(12xxxf的平均变化．1上述问题中的变化率可用式子)从到, 表示称为函数 (21x?x12．
率
?x?x?x?f?f(x)?f(x)?x x的一个“增量”可用 (．若设这里看作是对于, 211122?f??y?f(x)?f(x)x?xx) ,代替+同样2112?y?f??___________. 则平均变化率为3．?x?x
fx)的图象( 思考：观察函数?f)f(xf(x)?12?? 表示什么平均变化率
x?xx?12（1）一起讨论、分析，得出结果；
（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x-x；②求函数的增量Δf=f(x)-f(x)；③
求平1122f(x)?f(x)?f12?. 均变化率?xx?x12注意：①Δx是一个整体符，而
不是Δ与x相乘；
②x= x+Δx；12③Δf=Δy=y-y；12三．典例分析
2xx??)?2?1,A(xf点)=近一及象的(图上的一点1例．已知函数临?y?)?y?x,?2?B(?1?． ,
则?x解：2x?xx?y附近的平均变化率。

．求在例20解：
四．有效训练
23??ts)t??(3,3．中相应的平均速度为1．质点运动规律为，则在时间
2ststt.
求在4)=3附近的平均变化率+的规律作直线运动+4,2.物体按照(3xQxyxyfxP时割=0.1,1+Δ))=
上两点作曲线的割线，求出当（1，1）和 (1+3.过曲线Δ=(Δ.
线的斜率 1、平均变化率的概念反思总结： 2、如何求函数在某点附近的平均变化
率当堂检测????231,?xfx?1、函数在区间）上的平均变化率是（31 D、、A4 B、2 C、442x?1.5,x?1x2?y?函数的直线的斜率（B、、经过函数2图象上两点
A_______;）为BA．
2x2y?在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________
2t?s?3______
中相应的平均速度等于[2，2.1]3、如果质点M按规律运动，则在时间课后练习与提高
??2xf1???xf(x)、已知函数在下列区间上的平均变化率，分别计算1 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]
y?f(x)在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2、已知一次函数2），试求此
一次函数的表达式。

21??2xy?f(x)?1f(x??x，）的图象上一点（1，3、已知函数1及邻近一点（1+）），?y求x??R，
则球的加径的若热球R径将4、半为的加，球半增体积增量
4??32??______?R4V??()R(?)R?__________?3．
1.1.1 变化率问题教学目标：; 理解平均变化率的概念1.; 了解平均变化率的几何意
义2.. 会求函数在某点处附近的平均变化率3. 教学重点： .平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率教学难点： .平均变化率的概念教学过程：一、创设情景,随着对函数的研究为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,:
微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关产生了微积分,; 求物体在任意时刻的速度与加速度等一、已知物体运动的路程作为时间的函数,;
线的切线二、求曲; 三、求已知函数的最大值与最小值.
四、求长度、面积、体积和重心等值等问题最一般、)导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小.
最有效的工具.变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度导数研究的问题即二、新课讲授问题提出(一) 问题1 气球膨胀率气球的,随着气球内空气容量的增加, 我们
都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现?
从数学角度,如何描述这种现象呢半径增加越来越慢.43?r?(r)VdmVL r )之间的函数关系是)与半径:(气球的体积单位(:单位33V?)(Vr V r的函数如果将半径,表示为体积那么3?43V?)(Vr:
分析3?4r(1)?r(0)?0.62(dm)V01 ,(1)当从气球半径增加了增加到时r(1)?r(0)?0.62(dm/L)气球
的平均膨胀率为1?0r(2)?r(1)?0.16(dm)V21 ,气球半径增加了(2)当从增加到时
r(2)?r(1)?0.16(dm/L)气球的平均膨胀率为2?1.
它的平均膨胀率逐渐变小了,随着气球体积逐渐增大,可以看出
)(VV)?rr(12VV时,思考: 当空气容量从? 增加到气球的平均膨胀率是多少21
VV?12高台跳水问题2
h
m h与起跳(单位:在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度)2t10.5t??4.9t?6h(t)?s如何用
(单位:后的时间.)存在函数关系v? 运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动
状态v2t?t?0.51?0?思考计算: 和的平均速度)(0)?hh(0.5?v/s)?4.05(m5.0?t?0,这段时间里在05?0.)(1h(2)?h)m8.2(/sv???2?1t?o这段时间里,在t
12?65??t0:
并思考以下问题探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,49运动员在这段时间内使静
止的吗？(1) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(2)210t?t?6.5(ht)??4.9, 的图像探究过程: 如图是函数65)0h(()?h6549)ms/?0(v?))?h(h(0 ,结合图形可知,所
以65490?4965)/m0(s?t0?, 虽然运动员在这段时间里的平均速度为49,
,并非静止但实际情况是运动员仍然运动.
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 )平均变化率概念(二)(xx)?ff(12表示,1.
上述问题中的变化率可用式子x?x12xx)f(x.
从的平均变化率称为函数到12x)f(x?f(x)?x??x?x?f x?的一个“增量”可用看作是对于, 2.若设(这
里12121)xf(f(x)??x?x?f??y?x)
,同样代替1212)(xx)?f(x)f(x??)f(x?ffy??1121???则平均变化率为
xx??xxx??12)xf(思考: 观察函数的图象f?)f(x)f(x?12??
平均变化率表示什么x?xx?12三、典例分析2x??(fx)?x)?1(A?,2 1 例的图象上的一点已知函数及y?)?,??1?(Bx?2?y? . 临近一点则x?
2?2??y??(?1??x)?(?1??x) : 解2?(?1??x1??x))?2?y?(???3??x∴
?x?x2y?xx?x附近的平均变化率例2 求在.
022x??x)?y?(x?解: 0022222x)?(x??xx??x??x2x?xy?00000x?????2x所以
0xx??x?2x?2x?x?xxy?在所以附近的平均变化率为00四、课堂练习
23t?s?)?t,3?(3 . 1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为
24?t?(t)?3ts s4. 附近的平均变化率的规律作直线运动2.物体按照,求在
3x??f(x)y)??y1Q(??x,1)(P1,1, 和上两点作曲线的割线3.过曲线1.0?x?. 时割线的斜率求出当五、回顾总结.
平均变化率的概念1. 2.函数在某点处附近的平均变化率. 六、布置作业12xy?,2,31x?x?，哪一点附近的平均变化率附近的平均变化率，取都为求函数在3最大？。