利用变式教学法谈二次函数最值问题的复习

二次函数是初中数学的重要组成部分，又是学生升入高中必备的基础知识。

因此，历届中考试题都十分重视对它的考查，基于这个原因，我们在中考总复习中理应把它作为一个重点。

而有关二次函数的最值问题更是中考中的热点内容，从平时学生对这一内容掌握的情况来看，存在问题比较多。

下面结合近五年来的变式教学法的尝试，笔者粗浅谈谈有关二次函数最值问题的复习，以供各位同行参考，指正。

所谓变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维障碍情境，从而形成一种思维训练的有效模式。

它的主要作用在于培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力。

它能做到结构清晰、层次分明，激发学生的学习热情，达到举一反三、触类旁通的效果，使他们的应变能力得以提高，进而提高教学质量。

【引例】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１ｘ２＋ｘ，其中ｘ∈Ｒ，求ｆ（ｘ）的最大值。

【思路点拨】本题是二次函数求最值的基本题，由于函数的定义域是Ｒ，所以只需要采用配方法，找到函数的顶点（１，１２）（最高点）即可解决问题。

（如图１）ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ＝－１２（ｘ２－２ｘ＋１）＋１２＝－１２（ｘ－１）２＋１２当ｘ＝１时，ｆ（ｘ）最大值为１２。

1定义域的变化【变式１】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１ｘ２＋ｘ，其中ｘ≥－２，求ｆ（ｘ）的最大值。

【思路点拨】本变式尽管函数的定义域改变了，但是函数图像的最高点（１，１２）没有变，所以最大值仍是１２。

（如图２）【变式２】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ，其中－２≤ｘ≤２，求ｆ（ｘ）的最大值和最小值。

【思路点拨】本变式仍是改变了定义域，函数的顶点仍是最高点（１，１２），所以最大值没有变，但此时函数图像存在最底点（－２，－４），所以最小值是－４。

（如图３）【变式３】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ，其中－２≤ｘ≤０，求ｆ（ｘ）的最大值和最小值。

【思路点拨】本变式仍是改变了定义域，函数的顶点不在是图象的最高点，而最高点变为（０，０），所以最大值是０；最底点（－２，－４），所以最小值是－４。

（如图４）【变式４】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ，其中－２≤ｘ≤ｔ，求ｆ（ｘ）的最大值。

【思路点拨】本变式仍是改变了定义域，由于这里含有参数ｔ，而ｔ与１的大小决定了函数图像最高点，所以本题就需要进行分类讨论。

具体解法如下：①当－２＜ｔ≤１时，最高点是（ｔ，１ｔ２＋ｔ），所以ｆ（ｘ）的最大值是－１ｔ２＋ｔ。

（如图５）②当ｔ＞１时，函数的顶点仍是最高点（１，１），所以ｆ（ｘ）的最大值是１。

（如图６）【变式５】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１ｘ２＋ｘ，问是否存在实数ｍ、ｎ（ｍ〈ｎ），使ｆ（ｘ）的定义域和值域分别是［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］？如果存在，求出ｍ、ｎ的值，如不存在，说明理由。

【思路点拨】本题由于定义域的两端都有参数，使得该问题变得复杂了很多，关键要找到解决问题的突破口。

分析如下：ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ＝－１２（ｘ２－２ｘ＋１）＋１２＝－１２（ｘ－１）２＋１２≤１２所以２ｎ≤１２，即ｎ≤１４，而函数ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ图像的对称轴为ｘ＝１，所以定义域［ｍ，ｎ］在整个对称轴的左侧，函数图像的最高点是（ｍ，２ｍ）、最底点是（ｎ，２ｎ）。

则－１２ｍ２＋ｍ＝２ｍ－１２ｎ２＋ｎ＝２!####"####$ｎ解得ｍ＝－２或０ｎ＝－２或%０又ｍ＜ｎ，所以ｍ＝－２ｎ＝%０即存在。

2解析式的变化【变式６】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｘ＋ｃ，其中－２≤ｘ≤２，求ｆ（ｘ）的最大值和最小值。

【思路点拨】本变式改变了函数解析式，函数的顶点仍是（下转１２８页）利用变式教学法谈二次函数最值问题的复习潘金梅（江苏省江阴市周庄中学江苏江阴２１４４２３）摘要：本文从函数定义域的变化和函数解析式的变化，例谈了二次函数最值问题的有效复习。

关键词：变式教学法最值中图分类号：G632.46文献标识码：C文章编号：1672-1578（2010)10-0118-01的英语教学中深切体会到，生动活泼的教学活动可以有效提高课堂教学的质量，使学生对所学的知识形成深刻的印象。

同时还必须做好以下两方面的工作。

一是严密组织课堂练习活动，加快练习节奏，在课堂上充分练习；二是在课堂教学中积极复习，即在向学生显现新材料的过程中，有意识地让旧材料及时复现，这样可以在学生出现遗忘前就及时地予以复习，可以避免学生花费大量的时间去进行旧知识的机械记忆。

例如在向学生介绍新单词时，笔者常常把已学过的近形、近义的单词显现给学生，提醒学生注意区别；在举例中，笔者有意识地使用一些学过但不常出现的单词。

在学习新的语法项目前，先复习旧的语法，并注意让学生在头脑中对所学的知识形成清晰的条理，为新旧知识的衔接创造一个良好的心理环境。

这样课堂上的效率得到保证，学生的课后负担就得以减轻。

为了减轻学生的课后负担，笔者还在学生作业的布置上多动脑筋，精心设计练习形式、选择练习内容，力求做到精练巧练，同时也注意练习的趣味性，例如注意收集一些生动有趣的英语短文供学生做阅读练习，经常变换练习的形式等。

这样学生的课外负担减轻了，学生们觉得学英语不那么困难和费力，学英语的积极性得到促进，随后英语课堂上的效率得到保证，形成了良性循环。

5建立和谐的师生关系教学过程是教师和学生的一个双向信息交流的过程。

英语教学由于有大量的对话练习，这种交流就显得更为重要。

和谐的师生关系往往可以减少学生的紧张情绪，使学生轻松愉快地参与课堂活动。

和谐的师生关系的基础是民主、平等、互敬、互爱。

教师要尊重学生的个性，鼓励学生独立思考、大胆发言、勇于提出自己的独立见解，缩短师生间的角色距离。

初中阶段的学生，自我意识不断增强，他们比较注重自己在老师和同学面前的形象。

他们有较强的自尊心，有时不愿将自己内心真实的感受直接对老师与同学说。

他们追求个性，不相信不遵循别人的话。

有时他们宁可按照自己的意愿去做即使是错误的事。

他们有自己的决定，自己的选择，这是老师和家长必须面对的事实！我们教师最好放下架子，用心去倾听我们这些学生的想法；让我们暂时忘记“威严”，尝试一下换位思考，用耐心、谅解和宽容，拉进彼此的距离。

在教学中，注意创造良好的教学气氛，注意交流、沟通！教师与学生的情感交往调节着师生间的关系。

这种师生关系直接关系到教学的成败、关系到学生的个人精神发展。

充分利用课外活动组织学生学唱英语歌曲、排练英语短剧、讲英语故事、看英语电视节目，让学生在轻松愉快的情景中学习和练习，这样既可陶冶学生的情趣，又可提高学生的英语水平，也不知不觉中缩短师生之间的距离。

学生对教师的不同情感，会影响他们对学科的兴趣、努力程度以至教学效果。

教育家们早就发现，学生的学习成绩在很大程度上取决于学习态度，良好的情绪态度使学生学习热情高涨，不好的情绪态度会降低学生的积极性。

参考文献：[1]韩立福.新课程有效课堂教学行动策略[M].北京：首都师范大学出版社，2006.[2]赵毓英.对提高中学英语教学效率的几点建议[J].人民教育，1998.9.（上接１１８页）最高点（１，１２＋ｃ），所以最大值为１２＋ｃ，但此时函数图像存在最底点（－２，－４＋ｃ），所以最小值是－４＋ｃ。

这里尽管是改变了函数解析式，但从图像上看，相当于是把整个函数图像上下平移了一下。

【变式７】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１αｘ２＋αｘ，其中－２≤ｘ≤２，求ｆ（ｘ）的最大值。

【思路点拨】这里尽管二次函数解析式的一次项和二次项系数都变化了，但是函数图像的对称轴是没有变的。

由于ｆ（ｘ）＝－１２αｘ２＋αｘ＝－１２α（ｘ２－２ｘ＋１）＋１２α＝－１２α（ｘ－１）２＋１２α此时函数图像的开口方向要看字母ａ的正负，所以需要分类讨论：①当α＞０时，开口向下，最高点是（１，１２α），所以最大值是１α；②当α＜０时。

开口向上，最高点是（－２，－４α），所以最大值是－４α。

【变式８】已知二次函数ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｂｘ，其中－２≤ｘ≤２，求ｆ（ｘ）的最大值。

【思路点拨】本变式仅有一次项的系数改变了，所以函数的对称轴也随之改变，此时情况就变得比较复杂了。

由于ｆ（ｘ）＝－１２ｘ２＋ｂｘ＝－１２（ｘ２－２ｂｘ＋ｂ２）＋１２ｂ２＝－１２（ｘ－ｂ）２＋１２ｂ２二次函数图像的对称轴为ｘ＝ｂ，由于ｂ与２、－２的大小关系直接影响到函数的最大值，结合图形分以下几种情况讨论：①当ｂ≤－２时，图像最高点是（－２，－２－２ｂ），所以最大值是－２－２ｂ；（如图７）②当－２＜ｂ＜２时，图像最高点是（ｂ，１２ｂ２），所以最大值是１２ｂ２；（如图８）③当ｂ≥２时，图像最高点是（２，－２＋２ｂ），所以最大值是－２＋２ｂ。

（如图９）初三毕业复习时间仓促，为了取得理想效果，这时师生往往会陷入传统的“题海战术”之中难以自拔。

而变式教学在中考复习中却有着它的独到功效，因为它是培养学生思维能力，提高应变能力的一种有效的教与学的手段。

事实上，复习不同于新课，新课一节仅需要掌握一两个知识点，而复习课要在有限的时间内大容量、高效率完成一章节的复习任务，使知识条理化、系统化、网络化，不仅要掌握知识，而且要形成基本技能，同时要掌握基本数学思想和数学方法，还要培养数学意识。

实践证明，变式教学能摆脱“题海”变被动思维为主动自觉思维，让学生成为学习的主人，培养学生良好的思维品质，提高教学效益，从而大面积提高教学质量。

由此看出，在数学教学中，若教师能有意识地引导学生由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，就能使我们发现问题的本质，并能深入挖掘出其潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵。

恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，有利于学生掌握基础知识，有益于培养学生的应变能力、开拓思路、活跃思维，变式要能做到恰当合理，就应针对中考命题的“源于课本，高于课本”的原则，做到循序渐进，有的放矢，紧扣考纲，万变不离其宗，与素质教育要求的“培养学生的创新能力”的本质相吻合。