3.5 两个随机变量的函数的分布
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例：已知X和Y的联合分布律为
1 1 1 P X 0, Y 0 , P X 0, Y 1 , P X 0, Y 2 , 8 16 4 1 1 1 P X 1, Y 0 , P X 1, Y 1 , P X 1, Y 2 . 4 16 4
z2 4
即 Z 服从N (0,2)分布.
2 一般地，设X和Y相互独立，且 X N (1,12 )，Y N (2 , 2 )
则 Z=X+Y仍服从正态分布，且有
X Y N (1 2 , )
2 1 2 2
2015年8月23日星期日
9
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二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布
12
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2015年8月23日星期日
类似地，可得Z=min{X,Y}的分布函数：
P{Z z} P{min( X , Y ) z} 1 P{min( X , Y ) z}
1 P X z} P{Y z
即
FZ ( z) 1 [1 FX ( z)] [1 FY ( z)]
以上结果还可推广到n个相互独立随机变量的情况．
FZ ( z) P{max( X1, X 2 , X n ) z} FX1 ( z) FX2 ( z)FX n ( z)
FZ ( z) P{min( X1, X 2 , X n ) z}
1 [1 FX1 ( z)] [1 FX2 ( z)][1 FX n ( z)]
第五节 两个随机变量的函数的分布
一、Z=X+Y的分布 二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布 三、 Z=Y / X 的分布
2015年8月23日星期日
1
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一、Z=X+Y的分布
例：已知X和Y的联合分布律为
Y
X
0 0.4 0.2
1 0.1 0.3
0 1
求 Z=X+Y的分布律。
k
P X i P Y k i
i 0 k i i n i k i k i m k i Cn p q Cm p q i 0 i k i k k n m k p k q n mk Cn Cm Cnm p q i 0 k
f Z ( z)
f X ( x) fY ( z x)dx 1 fY ( z x)dx
0
当z≤0或z≥2时，
f Z ( z ) 1 fY ( z x)dx 0
0
1
当0< z ≤1时， f Z ( z) 1 fY ( z x)dx 11dx z
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例：设X和Y的联合概率密度为
e ( x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其它. 0,
求随机变量Z=Y / X的概率密度。 Y e ( x y ) d xd y 解： FY ( z ) P z X y X
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例：已知X和Y相互独立，且在(0,1)上服从均匀分布，
求 Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知， X和Y的概率密度为
1, 0 x 1, f X ( x) 其它. 0, 1, 0 y 1, fY ( y ) 其它. 0,
1
于是，由卷积公式有
从而，Z=max{X,Y}的概率密度为
2(1 e z )e z , z 0, f max ( z ) 0, z 0.
(2)当这两个灯泡串联时，系统寿命为Z=min{X,Y} 利用公式，可得
1 e2 z , z 0, Fmin ( z ) 0, z 0. 2015年8月23日星期日
15
2e2 z , z 0, f min ( z ) 0, z 0. 目录 上页 下页 返回
三、 Z=Y / X 的分布
y y
y zx
y zx
G1
o
G1
x
o
G2
x
z0
G2
z0
注：需特别注意z的正负号，因为这决定着二重积分的 上下限。
2015年8月23日星期日
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dx
zx
x y z
f ( x, y)dy
o
y u x
z
dx f ( x, u x)du
z
x
du
f ( x, u x)dx
4
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2015年8月23日星期日
或 FZ ( z) PZ z PX Y z
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内容小结
2015年8月23日星期日
19
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习题A
2015年8月23日星期日
20
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解：由题意知， Z=X+Y的分布律为
Z X Y P
2015年8月23日星期日
0 0.4
2
1 2 0.3 0.3
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例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n, p）， Y~B（m, p），则X+Y~B（n+m , p）。 证明 X+Y所有可能取值为 0，1，…，m+n.
P X Y k P X i, Y k i
求 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。 解：由题意知， Z=max{X,Y}的分布律为
Z max{ X , Y } P
2015年8月23日星期日 10
0 1 8
1 3 8
2 1 2
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例：已知X和Y的联合分布律为
1 1 1 P X 0, Y 0 , P X 0, Y 1 , P X 0, Y 2 , 8 16 4 1 1 1 P X 1, Y 0 , P X 1, Y 1 , P X 1, Y 2 . 4 16 4
求 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。
解： Z=min{X,Y}的分布律为
Z min{ X , Y } P 0 11 16 1 5 16
2015年8月23日星期日
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以上讨论了当X，Y为离散型随机变量， Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。下面讨论当X，Y 为连续型随机变量，Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布密 度。 若(X, Y)是连续型随机变量，且X和Y相互独立。
k
i ຫໍສະໝຸດ Baidu0
证毕
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2015年8月23日星期日
3
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以上讨论了两个离散型随机变量X，Y和的分布律。 下面讨论两个连续型随机变量X，Y和的分布密度。 若(X, Y)是连续型随机变量，设f (x,y)为其概率密度。 则 Z=X+Y的分布函数为
y
FZ ( z) PZ z PX Y z
0
zx
x
z
0
e
( x y )
dydx (1 e zx )e x dx
0
x e 1 e 1 z 1 z 1 0
( z 1) x
2015年8月23日星期日
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求导，得Z=Y / X的概率密度为
f ( x, z x)dx
f ( z y, y)dy
特别地，当X和Y相互独立时，有
f X ( x) fY ( z x)dx
f X ( z y) fY ( y)dy
记为fX * fY 。 上面的等式称为 fX 和 fY的卷积。
2015年8月23日星期日 5
1 f X ( x) e 2π
f Z ( z)
x2 2
1 , x fY ( y) e 2π
y2 2
, y
于是，由卷积公式有
f X ( x) fY ( z x)dx
x2 2
1 e 2π
e
( z x )2 2
dy
z
z y
f ( x, y)dx
x u y
dy f (u y, y)du
z
du
f (u y, y)dy
因此 Z=X+Y的概率密度为
f Z ( z) FZ ( z) f Z ( z)
0 0
1
z
2015年8月23日星期日
6
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当1< z<2时， 因此
f Z ( z ) 1 fY ( z x)dx 11dx 2 z
0 z 1
1
1
0 z 1, z, f Z ( z ) 2 z , 1 z 2, 0, 其它.
则 Z=max{X,Y}的分布函数为
P{Z z} P{max( X , Y ) z} PX z,Y z
由于X和Y相互独立，所以
P{Z z} PX z, Y z PX z} P{Y z
即
FZ ( z) FX ( z) FY ( z)
由于概率密度函数的形状是三角形，y 所以称随机变量Z=X+Y服从三角分 布(triangular distribution)． 1
o
2015年8月23日星期日 7
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1
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x
返回
例：已知X和Y相互独立，且都服从N (0,1)分布， 求 Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知， X和Y的概率密度为
1 f Y ( z) 2 ( z 1) X
Y 而当z≤0时，FY ( z ) P z 0 从而 f Y ( z ) 0 X X X
综上
1 , z 0, 2 f Y ( z ) ( z 1) X 0, z 0.
2015年8月23日星期日 18
2015年8月23日星期日 13
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例：设一个系统由两个相互独立的灯泡连接而成， 设两个灯泡的寿命分别为X和Y，且都服从参数为1的指 数分布，求： (1)当这两个灯泡并联时，系统寿命的概率密度； (2)当这两个灯泡串联时，系统寿命的概率密度． 解： 由题可知
相应的分布函数为
e x , x 0, e y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 0, 其它. 0, 其它.
1 dx e 2π
8
z2 4
e
z ( x )2 2
dx
2015年8月23日星期日
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z ( x )2 1 fZ ( z) e e 2 dx 2π z 令t x 2 z2 z2 z2 1 4 t 2 1 4 1 4 fZ ( z) e e dt e π e 2π 2π 2 π
x
1 e , x 0, FX ( x) 其它. 0,
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1 e y , y 0, FY ( y ) 其它. 0,
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(1)当这两个灯泡并联时，系统寿命为Z=max{X,Y}。 由上面的公式，可得
(1 e z )2 , z 0, Fmax ( z ) z 0. 0,
1 1 1 P X 0, Y 0 , P X 0, Y 1 , P X 0, Y 2 , 8 16 4 1 1 1 P X 1, Y 0 , P X 1, Y 1 , P X 1, Y 2 . 4 16 4
z2 4
即 Z 服从N (0,2)分布.
2 一般地，设X和Y相互独立，且 X N (1,12 )，Y N (2 , 2 )
则 Z=X+Y仍服从正态分布，且有
X Y N (1 2 , )
2 1 2 2
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二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布
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类似地，可得Z=min{X,Y}的分布函数：
P{Z z} P{min( X , Y ) z} 1 P{min( X , Y ) z}
1 P X z} P{Y z
即
FZ ( z) 1 [1 FX ( z)] [1 FY ( z)]
以上结果还可推广到n个相互独立随机变量的情况．
FZ ( z) P{max( X1, X 2 , X n ) z} FX1 ( z) FX2 ( z)FX n ( z)
FZ ( z) P{min( X1, X 2 , X n ) z}
1 [1 FX1 ( z)] [1 FX2 ( z)][1 FX n ( z)]
第五节 两个随机变量的函数的分布
一、Z=X+Y的分布 二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布 三、 Z=Y / X 的分布
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一、Z=X+Y的分布
例：已知X和Y的联合分布律为
Y
X
0 0.4 0.2
1 0.1 0.3
0 1
求 Z=X+Y的分布律。
k
P X i P Y k i
i 0 k i i n i k i k i m k i Cn p q Cm p q i 0 i k i k k n m k p k q n mk Cn Cm Cnm p q i 0 k
f Z ( z)
f X ( x) fY ( z x)dx 1 fY ( z x)dx
0
当z≤0或z≥2时，
f Z ( z ) 1 fY ( z x)dx 0
0
1
当0< z ≤1时， f Z ( z) 1 fY ( z x)dx 11dx z
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例：设X和Y的联合概率密度为
e ( x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其它. 0,
求随机变量Z=Y / X的概率密度。 Y e ( x y ) d xd y 解： FY ( z ) P z X y X
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例：已知X和Y相互独立，且在(0,1)上服从均匀分布，
求 Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知， X和Y的概率密度为
1, 0 x 1, f X ( x) 其它. 0, 1, 0 y 1, fY ( y ) 其它. 0,
1
于是，由卷积公式有
从而，Z=max{X,Y}的概率密度为
2(1 e z )e z , z 0, f max ( z ) 0, z 0.
(2)当这两个灯泡串联时，系统寿命为Z=min{X,Y} 利用公式，可得
1 e2 z , z 0, Fmin ( z ) 0, z 0. 2015年8月23日星期日
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2e2 z , z 0, f min ( z ) 0, z 0. 目录 上页 下页 返回
三、 Z=Y / X 的分布
y y
y zx
y zx
G1
o
G1
x
o
G2
x
z0
G2
z0
注：需特别注意z的正负号，因为这决定着二重积分的 上下限。
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dx
zx
x y z
f ( x, y)dy
o
y u x
z
dx f ( x, u x)du
z
x
du
f ( x, u x)dx
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或 FZ ( z) PZ z PX Y z
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解：由题意知， Z=X+Y的分布律为
Z X Y P
2015年8月23日星期日
0 0.4
2
1 2 0.3 0.3
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例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n, p）， Y~B（m, p），则X+Y~B（n+m , p）。 证明 X+Y所有可能取值为 0，1，…，m+n.
P X Y k P X i, Y k i
求 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。 解：由题意知， Z=max{X,Y}的分布律为
Z max{ X , Y } P
2015年8月23日星期日 10
0 1 8
1 3 8
2 1 2
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例：已知X和Y的联合分布律为
1 1 1 P X 0, Y 0 , P X 0, Y 1 , P X 0, Y 2 , 8 16 4 1 1 1 P X 1, Y 0 , P X 1, Y 1 , P X 1, Y 2 . 4 16 4
求 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。
解： Z=min{X,Y}的分布律为
Z min{ X , Y } P 0 11 16 1 5 16
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以上讨论了当X，Y为离散型随机变量， Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布律。下面讨论当X，Y 为连续型随机变量，Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y}的分布密 度。 若(X, Y)是连续型随机变量，且X和Y相互独立。
k
i ຫໍສະໝຸດ Baidu0
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以上讨论了两个离散型随机变量X，Y和的分布律。 下面讨论两个连续型随机变量X，Y和的分布密度。 若(X, Y)是连续型随机变量，设f (x,y)为其概率密度。 则 Z=X+Y的分布函数为
y
FZ ( z) PZ z PX Y z
0
zx
x
z
0
e
( x y )
dydx (1 e zx )e x dx
0
x e 1 e 1 z 1 z 1 0
( z 1) x
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求导，得Z=Y / X的概率密度为
f ( x, z x)dx
f ( z y, y)dy
特别地，当X和Y相互独立时，有
f X ( x) fY ( z x)dx
f X ( z y) fY ( y)dy
记为fX * fY 。 上面的等式称为 fX 和 fY的卷积。
2015年8月23日星期日 5
1 f X ( x) e 2π
f Z ( z)
x2 2
1 , x fY ( y) e 2π
y2 2
, y
于是，由卷积公式有
f X ( x) fY ( z x)dx
x2 2
1 e 2π
e
( z x )2 2
dy
z
z y
f ( x, y)dx
x u y
dy f (u y, y)du
z
du
f (u y, y)dy
因此 Z=X+Y的概率密度为
f Z ( z) FZ ( z) f Z ( z)
0 0
1
z
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当1< z<2时， 因此
f Z ( z ) 1 fY ( z x)dx 11dx 2 z
0 z 1
1
1
0 z 1, z, f Z ( z ) 2 z , 1 z 2, 0, 其它.
则 Z=max{X,Y}的分布函数为
P{Z z} P{max( X , Y ) z} PX z,Y z
由于X和Y相互独立，所以
P{Z z} PX z, Y z PX z} P{Y z
即
FZ ( z) FX ( z) FY ( z)
由于概率密度函数的形状是三角形，y 所以称随机变量Z=X+Y服从三角分 布(triangular distribution)． 1
o
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例：已知X和Y相互独立，且都服从N (0,1)分布， 求 Z=X+Y的概率密度。 解：由题意知， X和Y的概率密度为
1 f Y ( z) 2 ( z 1) X
Y 而当z≤0时，FY ( z ) P z 0 从而 f Y ( z ) 0 X X X
综上
1 , z 0, 2 f Y ( z ) ( z 1) X 0, z 0.
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例：设一个系统由两个相互独立的灯泡连接而成， 设两个灯泡的寿命分别为X和Y，且都服从参数为1的指 数分布，求： (1)当这两个灯泡并联时，系统寿命的概率密度； (2)当这两个灯泡串联时，系统寿命的概率密度． 解： 由题可知
相应的分布函数为
e x , x 0, e y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 0, 其它. 0, 其它.
1 dx e 2π
8
z2 4
e
z ( x )2 2
dx
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z ( x )2 1 fZ ( z) e e 2 dx 2π z 令t x 2 z2 z2 z2 1 4 t 2 1 4 1 4 fZ ( z) e e dt e π e 2π 2π 2 π
x
1 e , x 0, FX ( x) 其它. 0,
2015年8月23日星期日 14
1 e y , y 0, FY ( y ) 其它. 0,
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(1)当这两个灯泡并联时，系统寿命为Z=max{X,Y}。 由上面的公式，可得
(1 e z )2 , z 0, Fmax ( z ) z 0. 0,