抛物线的简单几何性质
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p 准线 l : x ,分别过点 A、B 作 l 的垂 2 线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
p ∵直线 AB 的方程为 x y cot 2 p x y cot 由 2 消去 y 并整理得 x2 (2 p cot 2 p) x p2 0 y 2 2 px 2p 2 ∴ AB = 2 p cot 2 p sin 2
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!
2
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. p 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F ( , 0) M ( x1 , y1 ) 2
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度：2P
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 思考: 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.
坐标法是一种非常好的证明,你 还有没有其他好方法呢? 本题几何法也是一个极佳的思维!
作业: A 、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两点,满 足 OA OB ( O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
继续
p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 2 p ∴直线 AB 的方程为 x y cot
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
/AB/=X1+X2+P=8
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
一般地, 题目改为: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.
2p AB 2 sin
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
答案:下一张
设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
2 2 y y ∵ y12=2px1，y22=2px2∴ 1 2 y1 y2 0 2p 2p ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y y 2p ∴ 1 2 ∴ k AB ∴直线 AB： y y1 ( x x1 ) y1 y2 y1 y2 x1 x2 y1 y2
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
.
o
x
F
o
x
p F (0, ) 2 p y 2
wk.baidu.com
F (0,
p ) 2 p y 2
2 2 x y 方程 2 1(a b 0) 2 性质 a b
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图形
范围 对称性 顶点坐标
B1 (0,b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴
问题(接上一节的思考): 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.
法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.
标准方程
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0)
y y
F
x 2 2 py( p 0)
y
x 2 2 py ( p 0)
y o x
F
图 形
.
p F ( ,0) 2 p x 2
o
x
F
焦
点
F (
准
线
p ,0) 2 p x 2
3、椭圆和双曲线的性质：
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 定值，即x1x2 p , y1 y2 p 2 . 4
2
y
A
A1 p1
B1
F
p
(3)设 | AF | m,| BF | n, 则
1 1 2 . m n p
B
x
(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.
通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值
p y1 y2
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
刚才发现的结论的逆命题是否成立? 已知直线 l 和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2
太漂亮了!
继续大胆猜想
大胆猜想: 过定点 P(a,0) (a>0) 的一条直线和抛物线 2 y 2 px( p 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 y2 是定值.
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. 在△ AFE 中 EF AF cos .
Q
E
N
p ∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA 1 cos
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
p p p 2p 同理 FB ,∴ AB 1 cos 1 cos 1 cos sin 2
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线， 常数e＝1是抛物线的离心率 .
K
l
y
d
.M .
F
y 2 px
2
O
x
p 0是焦准距
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可
避免讨论！
思考： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (a,0), A2 (a,0) A1 (a,0), A2 (a,0)
A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴
c e , (e 1) a
a x a,b y b
离心率
二、讲授新课： 类比探索
o
y
F
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
.
x
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
e=1
y
P
(5)焦半径
(6)通径
|PF|=x0+p/2
O
F
x
2P | AB | 2 sin
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
y
解：设P( x, y)是抛物线上任意一点
p1
B1 l
y
A
A1 p F B
x
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2 x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l 我们还可以推得以下结论：
2P (1)若直线的倾斜角为，则 | AB | . 2 sin
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
联立用韦达定理解得 X^2-6X+1=0 X1+X2=6 X1X2=1 弦长公式：/AB/=根号 1+K^2*/X1-X2/ = 8
法二:设而不求 ,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三: 设而不求, 数形结合, 活用定义, 运用韦达定理,计 算弦长. X^2-6X+1=0 X1+X2=6 X1X2=1
返回
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点F， 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )，弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
∴ AB FA FB = x1 x2 p
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解 : 如图记焦点 F , 准线 l , 分别过点 M A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N. 由抛物线定义可知 FA MA , FB NB K
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
p ∵直线 AB 的方程为 x y cot 2 p x y cot 由 2 消去 y 并整理得 x2 (2 p cot 2 p) x p2 0 y 2 2 px 2p 2 ∴ AB = 2 p cot 2 p sin 2
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!
2
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. p 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F ( , 0) M ( x1 , y1 ) 2
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度：2P
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 思考: 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.
坐标法是一种非常好的证明,你 还有没有其他好方法呢? 本题几何法也是一个极佳的思维!
作业: A 、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两点,满 足 OA OB ( O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
继续
p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 2 p ∴直线 AB 的方程为 x y cot
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
/AB/=X1+X2+P=8
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
一般地, 题目改为: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.
2p AB 2 sin
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
答案:下一张
设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
2 2 y y ∵ y12=2px1，y22=2px2∴ 1 2 y1 y2 0 2p 2p ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y y 2p ∴ 1 2 ∴ k AB ∴直线 AB： y y1 ( x x1 ) y1 y2 y1 y2 x1 x2 y1 y2
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
.
o
x
F
o
x
p F (0, ) 2 p y 2
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F (0,
p ) 2 p y 2
2 2 x y 方程 2 1(a b 0) 2 性质 a b
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图形
范围 对称性 顶点坐标
B1 (0,b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴
问题(接上一节的思考): 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.
法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.
标准方程
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0)
y y
F
x 2 2 py( p 0)
y
x 2 2 py ( p 0)
y o x
F
图 形
.
p F ( ,0) 2 p x 2
o
x
F
焦
点
F (
准
线
p ,0) 2 p x 2
3、椭圆和双曲线的性质：
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 定值，即x1x2 p , y1 y2 p 2 . 4
2
y
A
A1 p1
B1
F
p
(3)设 | AF | m,| BF | n, 则
1 1 2 . m n p
B
x
(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.
通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值
p y1 y2
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
刚才发现的结论的逆命题是否成立? 已知直线 l 和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2
太漂亮了!
继续大胆猜想
大胆猜想: 过定点 P(a,0) (a>0) 的一条直线和抛物线 2 y 2 px( p 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 y2 是定值.
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. 在△ AFE 中 EF AF cos .
Q
E
N
p ∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA 1 cos
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
p p p 2p 同理 FB ,∴ AB 1 cos 1 cos 1 cos sin 2
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线， 常数e＝1是抛物线的离心率 .
K
l
y
d
.M .
F
y 2 px
2
O
x
p 0是焦准距
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可
避免讨论！
思考： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (a,0), A2 (a,0) A1 (a,0), A2 (a,0)
A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴
c e , (e 1) a
a x a,b y b
离心率
二、讲授新课： 类比探索
o
y
F
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
.
x
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
e=1
y
P
(5)焦半径
(6)通径
|PF|=x0+p/2
O
F
x
2P | AB | 2 sin
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
y
解：设P( x, y)是抛物线上任意一点
p1
B1 l
y
A
A1 p F B
x
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2 x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l 我们还可以推得以下结论：
2P (1)若直线的倾斜角为，则 | AB | . 2 sin
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
联立用韦达定理解得 X^2-6X+1=0 X1+X2=6 X1X2=1 弦长公式：/AB/=根号 1+K^2*/X1-X2/ = 8
法二:设而不求 ,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三: 设而不求, 数形结合, 活用定义, 运用韦达定理,计 算弦长. X^2-6X+1=0 X1+X2=6 X1X2=1
返回
发现一个结论: 2 过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 y2 p .
2
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF
2
思考: “一条直线和抛物线 y 2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?
( x1 , y1 )
p ( x , y ) 2 2 x y cot 由 2 消去 x 并整理得 y2 2 py cot p2 0 与直线 y 2 2 px 的倾斜角 ∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) = (1 cot )( y1 y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 cot ) ( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 2 sin
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点F， 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )，弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
∴ AB FA FB = x1 x2 p
问题: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解 : 如图记焦点 F , 准线 l , 分别过点 M A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N. 由抛物线定义可知 FA MA , FB NB K