2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线 Word版含解析
2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课时跟踪检测理
C. 3D. 42019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课时跟踪检1.抛物线y = 4ax 2(a ^ 0)的焦点坐标是以选C.答案:解析：由准线x = 1知，抛物线方程为2r Py =— 2px ( p >0)且2 = 1, p = 2,4•设F 为抛物线y 2= 2x 的焦点,A. 1A (0, a ) B. (a,0) C. 0,116aD. 1 16a ，0解析: 将y = 4ax 2(a ^ 0)化为标准方程得£y(a z 0)，所以焦点坐标为 0, £，所2•以 x =1为准线的抛物线的标准方程为A. y 2= 2x C. y 2= 4xB. D. )y 2= —2x 2•••抛物线的方程为 y 2=— 4x , 故选D. 答案：D3.已知点 A — 2,3)在抛物线 C y 2= 2px (p >0)的准线上，记 C 的焦点为F ,则直线 AF的斜率为()4 A•一 3B.C •- 4D.解析：由已知，得准线方程为x = — 2，所以 F 的坐标为(2,0) •又A — 2,3)，所以直线1 1解析：依题意，设点 A (x i , y i ), B (X 2, y 2), C (X 3, y 3),又焦点 F -, 0 , X i + X 2+ X 3= 3X -11 1 3 3 3Xi+ 2 + X2+ 2 + X3 + 2 = (X 1 + X 2 + X 3)+ - = 2+~2 = 3.答案：C5•已知P 为抛物线y = 1X 2上的动点，点P 在X 轴上的射影为点 M 点A 的坐标是6,耳,则 |PF =|PH , I PM = |PF - 2, |PM + |PA = |PF + I PA -I ,即求| PF +1 PA 的最小值. 因为 | PF + | PA >1 FA | ,n 17 12 又 |FA = AJ 6+ 2 - 2 = 10.B. 4C. 3D. 2解析：设 A (X 1, yj , B (X 2, y 2),由题意知AB 所在的直线方程为 y = ^3 X - 2 ,I 19 所以|PM + |PA > 10-2= 2，故选 B . 答案：B6.已知过抛物线y 2= 2px ( p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线I 与抛物线在第一、四19B. ~2 D.21~211 F 0, 2，准线方程为y =-2，则| PA + | PM 的最小值是(A. 8C. 10解析：依题意可知焦点延长PM 交准线于点 代图略)•3 2,则 I F A | + | F E | + |F q = 象限分别交于 A, B 两点，则罟的值为( A. 5 2y = 2px ,联立 py = .3 X—2 , 2得X 2-53P X + 4 = 0,3 p所以X1=3P, P 所以的2p+ 2 3 X26，所以| BF p p2 +6答案：C7. （xx届豫南九校联考）已知点P是抛物线x2= 4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q点A的坐标是（8,7），则| PA + | PQ的最小值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10解析：抛物线的焦点为F（0,1），准线方程为y = - 1,延长PQ交准线于M如图所示, 根据抛物线的定义知，| PF = I PM = I PQ + 1.所以| PA +1 PQ = | PA +1 PM —1T PA + I PF —1》丨AF— 1 = __7—1 __2—1 = 10- 1 = 9.答案：C&已知抛物线y2= 4x，圆F: （x —1）2+ y2= 1,过点F作直线I，自上而下顺次与上述两曲线交于点A, B, C, D（如图所示），则下列关于| AB •I CD的值的说法中，正确的是（）B. 等于4C. 最小值是1D.最大值是4解析：设直线l : x = ty +1，代入抛物线方程，得y2—4ty —4= 0.设A（X1, y" , C （X2,y2），根据抛物线的定义知，| AF =刘+1, | DF = X2+ 1，故|AB = X1,|CD = X2，所以| AB •丨CD216而yy = —4，故| AB「CD = 1.A.等于1=X1X2 =答案：A9. _____________________________________________________________ 抛物线y = —x2上的点到直线4x+ 3y —8= 0距离的最小值是______________________________解析：解法一：如图，设与直线4x+ 3y —8= o平行且与抛物线y= —x相切的直线为4 4 2 =o，贝U △= 16+ 12b= o，解得b=—3,所以切线方程为4x+ 3y—- = o,抛物线y=—x3 38 4—■— 82 2 43 3 4以m=R即切点T-,—，点T到直线4x+ 3y —8= o的距离d=-------------------- =，由图知3 3 9 ，^16+ 9 32 4抛物线y = —x2上的点到直线4x+ 3y —8= o距离的最小值是孑3答案：410. 若点P在抛物线y2= x上，点Q在圆(x —3)2+ y2= 1上，则| PQ的最小值为解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，半径为1,则| PQ >1 PAA—| AQ = | PA —1,当且仅当P, Q A三点共线时取等号，所以当| PA取得最小值时，| PQ最小.设P(x o, y o)，贝U y0= x o, | PA = .； x o — 3 2+ y0= x2—6x0 + 9+ x o= x o当且仅当x o= 5时，| PA取得最小值二丫，此时I PQ取得最小值石1.答案：专—1211. 已知抛物线y= 2px(p>0)的焦点为F, A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方4x+ 3y + b= o,切线方程与抛物线方程联立得2y= —x ,4x+ 3y + b= o,消去y整理得3x2—4x —b114+25 243.上的点到直线4x + 3y —8= o距离的最小值是这两条平行线间的距离=—x2相切的直线与抛物线的切点是T(m —m)，则切线斜率k= y'|=m= —2m= —£所的点，A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B, 0B的中点为M(1) 求抛物线的方程；(2) 若过M作MN L FA,垂足为N,求点N的坐标. 解：⑴抛物线y2= 2px的准线为x = - 2,于是4+券5,所以p= 2.所以抛物线方程为y2= 4x.(2)因为点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4) , M0,2).4又因为F(1,0)，所以k FA= 3,3因为MN L FA,所以k MN=—.44所以FA的方程为y = 3(x—1)，①3MN的方程为y —2=—4X,②8 4联立①②，解得x= , y=5 5一8 4所以N的坐标为5，5 .12. 已知过抛物线y2= 2px( p>0)的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于A(X1, yj , B(X2,y2)( X1<X2)两点，且| AB = 9.(1) 求该抛物线的方程；(2) O为坐标原点，C为抛物线上一点，若5C=OA F入6B求入的值.解：(1)由题意得直线AB的方程为y= 2谑x —| ,与y2= 2px联立，消去y 有4x2—5px+ p2= 0,所以X1 + X2= 严.4由抛物线定义得| AE| = X1 + X2+ p = -4 + p = 9,所以p= 4,从而该抛物线的方程为y2= 8x.2 2(2)由(1)得4x —5px+ p = 0,2即x —5X+ 4 = 0,则X i= 1, X2 = 4,于是y i= — 2 .2, y2= 4 '2,从而A(1 , — 2 ⑵,B(4,4 ⑵.设C(X3, y,则0(= (X3, y3)= (1 , —2 ：2) + 入(4,4 ⑵=(4 入+ 1, 4 ： 2 入一2 ：2).又y3= 8X3，所以［2 :'2(2 入—1)］2= 8(4 入+ 1),2整理得(2入一1) = 4入+ 1,解得入=0或入=2.故入的值为0或2.［能力提升］1. 如图，由部分抛物线：y2= m灶1(m>0, X>0)和半圆X2+ y2= r2(X<0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C，若“黄金抛物线C'经过点(3,2)和—2, ¥•J弋cl2 设R0,1)和Q0 1)，过点P作直线I与“黄金抛物线C'相交于A, P, B三点,问是否存在这样的直线l，使得QP平分/ AQB若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：(1) 黄金抛物线C'过点(3,2)和—1^23,••• r2= —1 2+ 3 2= 1,4 = 3耐1,2 2•m= 1.•“黄金抛物线C'的方程为y2= x+ 1(X>0)和X2+ y2= 1(x w0).k• I k BQ =. 1 — 2ky = kx +1, 联立2 2消去y ,x + y = 1,得(k 2+ 1)x 2+ 2kx = 0,22k 1 — kX A=—-, y A =-,k + 1' ' k +1，22k 1 — k1即 A - FT?，吋，.kAQ =- k .■/ QP 平分/ AQB 「. k AQ + k BQ = 0, k 1 .1- 2k ― k = 0， 解得 k =- 1±2,由图形可得k =- 1 - ■ 2应舍去， .k = 2 - 1 ,•••存在直线I : y = ( 2- 1)x + 1,使得QF 平分/ AQB22. (xx 届湖南六校联考)已知抛物线的方程为 x = 2py (p >0)，其焦点为F ,点O 为坐标 原点，过焦点F 作斜率为k (k 工0)的直线与抛物线交于 A B 两点，过 A B 两点分别作抛物 线的两条切线，设两条切线交于点 M(1) 求OA- O B32(2) 设直线MF 与抛物线交于 C, D 两点，且四边形 ACBD 勺面积为—p 2，求直线 AB 的斜3 率k .p解：(1)设直线 AB 的方程为 y = kx + ^, A (X 1, y" , B (X 2, y 2),2x = 2py , 由 p y = kx + ^, X 1 + X 2= 2pk ,则2X 1 • X 2=— p ,所以6A OB = X 1 • X 2 + y 1 • y 2=- 3p 2.⑵由 x 2 = 2py ，知 y '= p ,1 - 2k 1 — k得 x 2-2pkx - p 2= 0,k ，pX i X2所以抛物线在A B两点处的切线的斜率分别为一，一，p pX i X2所以直线AM的方程为y—y i = — (x —X i)，直线BM的方程为y—y2= —(x—X2)，则可得P PMpk, —2 .1所以k M= —所以直线MF与AB相互垂直.由弦长公式知，|AB = k2+ 1| X i —X2| = k2+1 • 4p2k2+ 4p2= 2p(k2+1),1 1用—k代替k得，| CD = 2p尸+ 1 ,1 2 2 1 32 2 2 21四边形ABCD勺面积S= - •I AB •丨CD = 2p 2 + k + —2= p ,解得k = 3 或k =-,即k2 k3 3=± 或k =±2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.8曲线与方程课时跟［课时跟踪检测］［基础达标］1. 已知M —2,0) , N2,0) , I PM—|PN = 4，则动点P 的轨迹是()A. 双曲线B.双曲线左支C. 一条射线D.双曲线右支解析：根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线，但不满足2c>2a>0的条件，故动点P的轨迹是一条射线.答案：C2. 方程x= 1 —4y2所表示的曲线是()A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.圆的一部分D.直线的一部分解析：x = 1 —4y2两边平方，可变为x2+ 4y2= 1(x>0)，表示的曲线为椭圆的一部分. 答案：B .. 2 2 ..3. 设点A为圆(x—1) + y = 1上的动点，PA是圆的切线，且|PA = 1,则P点的轨迹方程为()解析：如图，设 Rx , y )，圆心为M 1,0) •连接MA PM 则MALPA 且I MA = 1,又因为I PA = 1,所以 | PM = ；l MA2+ | PA 2 = ,2 即 I PM 2= 2，所以(x — 1)2+ y 2= 2.答案：D 4. 已知A — 1,0) , B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N,若論社入XN-血当入<0时，动点M 的轨迹为()A. B. C. D. y 2= 2x(x — 1)2+ y 2= 4 2y = — 2x,八 2 2 (x — 1) + y =2A.圆B. 椭圆C.双曲线D. 抛物线解析：设M x , y )，则N ( x, 0)，所以 Mt N= y 2,入 XN- N B= X (x + 1,0) - (1 — x, 0) = X (1—x 2)，所以 y 2 =入(1 — x 2)，即 2x 2+ V = 1.又因为X <0,所以动点 M 的轨迹为双曲线. X答案：C5.已知F i , F 2分别为椭圆2C: -4 + £ = 1的左、右焦点，点 P 为椭圆C 上的动点，则△PFF 的重心G 的轨迹方程为(2 2x y A 36+茅 w 0)4x 22B . y + y = 1(y z 0)C.9^ + 3y 2= 1(y 丰 0)D. x 2+ 给 1(y 丰0)解析：依题意知F i ( — 1,0) ,F 2(1,0)，设P (x o , y o ) , Qx , y )，则由三角形重心坐标关X 0— 1+ 1x =3 ,系可得y 0y =3,答案：C 6. 方程(x 2+ y 2— 2x ) x + y -3 = 0表示的曲线是()A. —个圆和一条直线B. —个圆和一条射线C. 一个圆D. —条直线解析：依题意，题中的方程等价于x + y — 3> 0,①x + y — 3 = 0或② 22x + y — 2x = 0.注意到圆x 2+ y 2— 2x = 0上的点均位于直线 x + y — 3= 0的左下方区域，即圆x 2 + y 2— 2x =0上的点均不满足 x + y — 3>0,即②不表示任意图形， 因此题中的方程表示的曲线是直线x + y — 3= 0.答案：D17.已知A —5,0) , B (5,0)，动点P 满足, 2l P A ，8成等差数列，则点 P 的轨迹方程为解析：由已知得|PA — |P B = 8<10= |AB ,所以点P 的轨迹是以A , B 为焦点的双曲线的右支， 且 a = 4, b = 3, c = 5,2 2所以点P 的轨迹方程为1"6— 9 = 1( x >4).2 2x y答案：16— 9 = 1( X 》4)&已知M — 2,0) , N2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是解析：设P (x , y ),因为△ MPt 为直角三角形， 所以 |MP 2+ |NP 2=|MN 2,所以(x + 2)2 + y 2 + (x — 2)2 + y 2 = 16, 整理得x 2+ y 2= 4.x o = 3x , 即y o = 3y ,x o y o代入4+3=1得重心G 的轨迹方程为9X + 3y 2= 1( y M 0).因为M, N, P不共线，所以X M土2,所以点P 的轨迹方程为x 2+ y 2= 4(X M 土 2). 答案：x 2+ y 2= 4（ x 工土 2）椭圆截得的弦长为—^.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若动直线I 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点 M 1,0)作I 的垂线，垂足为 Q 求点Q 的轨迹方程.解：(1)因为椭圆E 的离心率为¥， 所以手=¥，2 222x y解得a = 2b ，故椭圆E 的方程可设为 石+ b 2= 1,则椭圆E 的左焦点坐标为(一b, 0),过左焦点且倾斜角为 45°的直线方程为I '： y = x + b . 设直线I '与椭圆E 的交点为A, B,2 2x , y _ .由石*产， 消去y ,y = x + b2得 3x + 4bx = 0, 4b解得 X 1 = 0, X 2=— 3.因为 |AB = , 1 + 12|X 1 — X 2| = ^-3^^= ^3^, 解得b = 1.2X 2故椭圆E 的方程为-+ y 2= 1.(2)①当切线I 的斜率存在且不为 0时，设I 的方程为y = kx + m 联立直线I 和椭圆E的方程,y = kx + m2 2 2得(2 k + 1)x + 4km 灶 2m — 2= 0. 因为直线I 和椭圆E 有且只有一个交点,9.已知椭圆=1( a >b >0)的离心率为 过左焦点且倾斜角为 45°的直线被得X 2 22 + y = 1,消去y 并整理,所以△= 16k 2m i - 4(2 k 2+ 1)(2 rm- 2) = 0, 化简并整理，得2k 2+1. 因为直线MQ 与 l 垂直，⑴求曲线r 的方程;解：(1)圆A 的圆心为A — 1,0)，半径等于2 2. 由已知|MB =|MP ,于是 | MA + | MB =| MA + | MP = 2讨'2>2 = | AE | , 故曲线r 是以A , B 为焦点，以2 2为长轴长的椭圆, 即 a = 2, c = 1, b = 1,2x 2所以曲线r 的方程为-+ y = 1.⑵ 由 cos / BA =乎，|AP = 2 .2,得 P |,号于是直线AP 的方程为y^(x +1).x2 + y 2= i ,1所以直线MQ 勺方程为y =—厂 x -1).1 y= 一 厂 X -1,联立方程组ky = kx + m1 - km x =2 , 1 + k '解得 ,k + m2 . 2.2 2.2 2 ▲221 - km + k + m k m + k + m + 1所以 x + y =1 + k2 21 + k2 2▲ 2 ▲ 2 ▲k + 1 m + 1 m + 1 1 + k 2 2 = 1 + k 2,把2k 2+ 1代入上式得X 2+ y 2= 2.(*) ②当切线I 的斜率为0时,此时 Q 1,1)或 Q 1 , - 1)，符合(*) 式. ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q 返,0)或Q -亚 0)，符合(*)式.综上所述，点 Q 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 2. P 为圆A ： (x + 1)2+ y 2= 8上的动点，点 B (1,0).线段PB 的10. (xx 届唐山模拟)已知垂直平分线与半径 PA 相交于点 M 记点M 的轨迹为r .⑵当点P 在第一象限，且，求点M 的坐标.cos / BAP=2y -4227整理得 5x + 2x - 7= 0，解得 X 1= 1 , X 2=—匸.5由于点M 在线段AP 上， 所以点M 坐标为1，丄.2［能力提升］11.已知正方体 ABC — ABCD 的棱长为1，点 M 在AB 上，且 AM= 3,点P 在平面 ABCD 3 内，且动点P 到直线AD 的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解析：如图，过点 P 在平面 ABCD 内作PF 丄AD 垂足为F ,过点F 在平面 AADD 内作FE 丄AD ,垂足为E ,连接PE 则有PE 丄AD ,即卩PE 为点P 到AD 的距离.由题意知| PE 2-|PM 2 = 1,._ 2 2 2 2 2 2又因为 | PE = | PF + I EF ，所以 | PF +1 EF -1 PM = 1, 即|PF 2= | PM 2,即 |PF = |PM ,所以点P 到点M 的距离等于点 P 到直线AD 的距离.由抛物线的定义知点 P 的轨迹是以点 M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点 P 的轨迹 为抛物线.答案：D2. (xx 届郑州质检)已知动点P 到定点F (1,0)和到直线x = 2的距离之比为,设动点P 的轨迹为曲线 E ,过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线 E 相交于A 、B 两点，直线l : y = mx+ n 与曲线E 交于C D 两点，与线段 AB 相交于一点(与A B 不重合).(1) 求曲线E 的方程；(2) 当直线I 与圆x 2 + y 2= 1相切时，四边形 ACBD 勺面积是否有最大值？若有，求出其 最大值及对应的直线I 的方程；若没有，请说明理由.解：(1)设点P (x , y )，由题意可得,寸 x — 12+ y 2 =犬1^—2 =兀，2X 2整理可得-+ y 2= 1.2X 2所以曲线E 的方程是-+ y 2= 1.⑵设 C (X 1, y 1), D (X 2, y 2)，由已知可得 |AB =2.不合题意.—2口时x1= ~2m i +1 ~，X 2 = —2m i + 1 —，时等号成立，所以四边形 ACBD 勺面积的最大值为冷,此时n =± #,经检验可知，直线 y = #x —弓6和直线y =—三^+三6符合题意.3 一 0 3AF 的斜率为k =七牛=—3—2— 2 4当m = 0时, 当m 产0时, 由直线 I 与圆x 2+ y 2= 1相切, 可得—I l 1=1,2 2m +1 = n •y = m 好 n ,联立參y 2= 1消去y 得m +12 2x + 2mnx^ n — 1 =2 2 2 , 1△ = 4mn — 4 m +2 2(n — 1) = —2mn-△°1 * 2i mS 四边形 ACB= 2|A B I X2— X1i =硏 1 12|m+nm三¥，当且仅当2|n| =盒，即m =±¥答案：CA B C为抛物线上三点，若F ABC的重心，则I FA +1 F B| +1 F C 的值为()B. 2(1) 求“黄金抛物线C'的方程；(2)假设存在这样的直线I，使得QP平分/ AQB显然直线I的斜率存在且不为0,y = kx+ 1,设直线l : y = kx+ 1( k丰0)，联立2消去y,y = X +1,得k2x2+ (2k —1)X = 0,1—2k 1—k•XB=-k^, y B=,。
高考数学(文科)一轮复习基础知识检测抛物线02 Word版含解析
抛物线
．若>，且抛物线＝与＝的焦点间距离为，则＝( )
．．．动点到点()的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程是( )
．圆．椭圆．双曲线．抛物线．点在抛物线＝－上移动，点(，－)，则线段的中点的轨迹方程是( )
．(＋)＝－．(－)＝－＋
．(＋)＝－＋．(－)＝－
．已知抛物线＝的准线方程为＝，则＝.
．若直线－＋－＝(>，>)经过抛物线＝的焦点，则＋的最小值为( )
．＋．＋．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－
＝的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )
．＝．＝－
．＝－．＝－．正数、的等差中项是、一个等比中项是，且>，则抛物线＝－
的焦点坐标为( )
．如图－所示，过抛物线＝(>)的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点、、
，若＝，且＝，则抛物线的方程为( )
．＝
．＝
．＝
．＝
．以抛物线＝－的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是．
．若函数()＝(＋)－的零点是抛物线＝焦点的横坐标，则＝.．已知为抛物线＝上一点，设到准线的距离为，到点()的距离为，则＋的最
小值为．
．(分)已知圆过定点，且与直线＝
相切，圆心的轨迹为，曲线与直线：＝(＋)(∈)相交于、两点．
()求曲线的方程；
()当△的面积等于时，求的值．．(分)已知过抛物线＝(>)的焦点，斜率为
的直线交抛物线于(，)，(，)(<)两点，且＝.
()求该抛物线的方程；。
抛物线(练)-2019年高考数学(文)---精校解析 Word版
A基础巩固训练1．【河北省衡水中学2019届高三上期中】抛物线的焦点坐标是（）A． (0,1) B． (1,0) C． (0,2) D． (0,)【答案】D2．抛物线的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C). (D).【答案】D【解析】由抛物线标准方程中的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又，故选.3．【河北省衡水中学2018届押题卷四】抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则（）A． B． C． D．【答案】D4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届第八次模拟】已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为A． B． C． D．【答案】C【解析】因为抛物线的焦点在轴负半轴，所以抛物线开口向左，所以抛物线的标准方程是，又，所以抛物线方程为，故选C.5．【2018届山西省孝义市高三上学期入学摸底】抛物线上的一点到轴的距离与它到坐标原点的距离之比为，则到点的焦点的距离是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设 ,则所以到点的焦点的距离是 ,选D.B能力提升训练1．【2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为( )A. B. C. D.【答案】C2.【黑龙江省2018年仿真模拟（八）】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（）A． B． 1 C． 2 D． 4【答案】C【解析】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.本题选择C选项.3．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )A．B．2 C．D．3【答案】B【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，所以最小值是，故选4．【湖南湖北八市十二校2019届高三第一次联考】已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则的值等于（）A． B． C． 2 D． 4【答案】C5.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】设，抛物线焦点，直线AB方程为，联立，，所以，则，则题型ABCD的面积，所以，选A.C思维扩展训练1．已知圆的方程，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是()A. B.C. D.【答案】C2．【内蒙古赤峰二中2019届第二次月考】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（）A． 5 B． 6 C． D．【答案】C3.如图，过抛物线的焦点作直线与抛物线及其准线分别交于三点，若，则__________．【答案】【解析】根据抛物线的几何性质，，所以，求得，，解得：,而.4．【2016高考新课标1文数】在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有5.【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义知，，∵，∴，∴．，，∴，令，，则．。
2019届高考文科数学一轮复习专题演练：抛物线(含解析)
图形
顶
（ 0,0 ） 点
对
称 x轴
轴
焦
p
（ ，0）
性点
2
p
（ - ， 0）
2
质 准 x=- p
线
2
x= p
2
范
x≥ 0， y ∈R x≤ 0， y ∈R
围
离
心 e=1
率
y轴
p
（0， ）
2 p y =2
y ≥ 0， x ∈R
p
（ 0， - ）
2 p y= 2
y ≤ 0， x ∈R
【规律方法技巧】 1. p 的几何意义： p 是焦点到准线的距离，故
【解析】 ( Ⅰ ) 由题意可得抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离 . 由抛物
线的定义得 p 1 ，即 p=2. 2
( Ⅱ ) 由( Ⅰ ) 得抛物线的方程为 y2 4x,F 1,0 ，可设 A t 2, 2t , t 0, t
1 . 因为 AF 不垂直于
y 轴，可设直线 AF：x=sy+1, s 0 , 由 y2 4x 消去 x 得 y2 4sy 4 0 ，故 y1 y2
A． 8
B
【答案】 B
．4
C
．3
D
．2
【解析】 设 P( x0 , y0 ), Q( 1, t) , 则 PF x0 1, PQ ( x0 1)2 ( y0 t ) 2 , 由 PF PQ 可
得 y0
t , 故 x0 1 2
1, 即 x0
3 , 所以 PF
x0 1 4 ，故应选 B.
【考点 3】直线与抛物线的位置关系
5. 抛物线 y2 2 px （ p 0 ）上点的坐标可设为（
2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：8-7抛物
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：由准线x ＝1知，抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D. 答案：D3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.答案：C4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案：C5．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192 C ．10D ．212解析：依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12， |PM |＋|P A |＝|PF |＋|P A |－12， 即求|PF |＋|P A |的最小值． 因为|PF |＋|P A |≥|F A |， 又|F A |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|P A |≥10－12＝192，故选B. 答案：B6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得x 2－5p 3x ＋p 24＝0，所以x 1＝3p 2，x 2＝p 6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p 6＝3.答案：C7．(2018届豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，延长PQ 交准线于M ，如图所示，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9.答案：C8．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是()A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4解析：设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1. 答案：A9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：解法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.解法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：4310．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3,0)，半径为1， 则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小． 设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.答案：112－111．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2. 所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又因为F (1,0)，所以k F A ＝43， 因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34. 所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45， 所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2.[能 力 提 升]1．如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)． (2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0， ∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－k k ， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ， ∴k BQ ＝k1－2k.联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2kk 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1，∴k AQ ＝－1k . ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k 1－2k－1k ＝0， 解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去， ∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .2．(2017届湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB→； (2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2. (2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp ，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k ，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k 代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ABCD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 22＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。
版高考数学一轮复习8.7抛物线课时跟踪训练文【含答案】
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 8.7抛物线课时跟踪训练文一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：y 2＝8x 的焦点到准线的距离为p ＝4，选C. 答案：C2．(2015·宁波质检)已知抛物线y 2＝－8x 的焦点与双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点重合，则双曲线的离心率为( )A.233 B.255 C.305D.52解析：因为抛物线y 2＝－8x 的焦点为(－2,0)，双曲线的左焦点为(－a 2＋1，0)，所以a 2＝3，双曲线的离心率为e ＝23＝233.答案：A3．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，得y 22－ky －12＝0， y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝ y 1y 2 24＋y 1y 2＝14－1＝－34.故选B.答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C.答案：C5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与该抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：抛物线的准线方程为x ＝－1，∴|AF |＝x 1＋1， |BF |＝x 2＋1，∴y 21＋y 22＝4x 1＋4x 2＝4(|AF |＋|BF |)－8＝4|AB |－8. ∵|AB |的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得)， ∴y 21＋y 22的最小值为8. 答案：B6．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°， ∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形． 由|HF |＝4得|AF |＝8， ∴|PF |＝8.故选B. 答案：B 二、填空题7．(2014·河北唐山一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝__________.解析：∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F (1,0)． 又A 到抛物线准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3. ∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13.∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.答案：1638．(2015·山东济南期末考试)已知定点Q (2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ |＋|PF |取最小值时，P 的坐标为__________．解析：设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要使|PQ |＋|PF |取得最小值，即需D ，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF |最小．将Q (2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为14，－1.答案：14，－19．(2015·衡水月考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝__________.解析：经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F 0，p2，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．y ′＝1p x ，由题意知在Mx 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，点F 0，p 2，F 2(2,0)，M 33p ，p 6共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p －0，即p ＝433.答案：433三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43.∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为(85，45)．11．以抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 为圆心的圆，交C 的准线l 于P ，Q 两点，与C 在第一象限内的交点为M ，且Q ，F ，M 三点共线．(1)求直线QM 的斜率；(2)若△MPQ 的面积为83，求圆F 的方程．解：(1)如题图，设M y 202p ，y 0，由题意知F p 2，0，因为Q ，F ，M 三点共线，所以点Q ，M关于点F 对称，可得Qp －y 202p ，－y 0，因为点Q 在准线l 上，所以p －y 202p ＝－p 2，即y 20＝3p 2.所以M 3p 2，3p ，Q －p2，－3p ，所以直线QM 的斜率为3p － －3p3p 2－－p 2＝ 3.(2)由(1)知∠QFO ＝60°，所以|QF |＝2p ，|QP |＝23p ，因为点M 到直线l 的距离与|MF |相等，又|MF |＝|QF |，所以|MF |＝2p ，S △MPQ ＝12×2p ×23p ＝23p 2＝83，故p ＝2，所以圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝16.12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .求证：直线AB 过定点(0,4)．解：证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0. ∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．。
2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课时跟踪检测理201805194169
8.7 抛物线[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.答案：C2．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D. 答案：D3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34. 答案：C4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3³12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案：C5．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192C ．10D ．212解析：依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)． 则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.答案：B6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得x 2－5p 3x ＋p24＝0，所以x 1＝3p 2，x 2＝p 6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：C7．(2018届豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，延长PQ 交准线于M ，如图所示，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋ 7－1 2－1＝10－1＝9.答案：C8．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |²|CD |的值的说法中，正确的是()A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4解析：设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |²|CD |＝x 1x 2＝y 214²y 224＝y 1y 2 216.而y 1y 2＝－4，故|AB |²|CD |＝1. 答案：A9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.解法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：4310．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________． 解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3,0)，半径为1， 则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1， 当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝ x 0－3 2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝ ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.答案：112－111．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又因为F (1,0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2.[能 力 提 升]1．如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0， ∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－kk，即B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ ＝k1－2k.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0， ∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1，∴k AQ ＝－1k .∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去， ∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .2．(2017届湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →²OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1²x 2＝－p 2，所以OA →²OB →＝x 1²x 2＋y 1²y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p(x －x 2)，则可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1²4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ABCD 的面积S ＝12²|AB |²|CD |＝2p 22＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。
2019年高三文科数学一轮复习：抛物线(解析版附后)
2019年高三文科数学一轮复习：抛物线（解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)2．(2018·佛山模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4 B．3C．2 D．13．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2C．2 3 D．44．(2018·岳阳模拟)若直线y＝2x＋p2与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5p B．10pC．11p D．12p5．(2018·汕头模拟)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为()A．3 B．4C．5 D．2＋1二、填空题6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.7．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．8．如图8-7-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．图8-7-1三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x2．(2018·汕头模拟)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝________.3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．2019年高三文科数学一轮复习：抛物线（解析版）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)D[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．(2018·佛山模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4 B．3C．2 D．1B[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为2＋42＝3.]3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2C．2 3 D．4C[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋2＝42，得x0＝32，代入抛物线方程得，y20＝42×32＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF ＝12|OF||y0|＝12×2×26＝2 3.]4．(2018·岳阳模拟)若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12pB [将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p ，∵直线过抛物线的焦点，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p ，故选B ．]5．(2018·汕头模拟)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋1A [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，∴N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.故选A ．]二、填空题6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.6 [在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2. 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.]7．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．x 2＝3y [设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .]8．如图8-7-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．图8-7-1 26 [由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝± 6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.[解] 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |，且AN ＝ 5. 3分 ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2).6分∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .8分 抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58， 准线方程为y ＝－58.10分 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58， 准线方程为y ＝58. 12分10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 3分由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . 5分(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42). 8分设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22).10分又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x C [由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (易知k ＞0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x 2＋(y －2)2＝4得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x .故选C ．] 2．(2018·汕头模拟)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝________. 1 [∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ， ∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∴直线l 的方程为y ＝12，∴|AF |＝|BF |＝1.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.2分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2 FB →，所以y 1＝－2y 2.联立上述三式，消去y 1，y 2得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.5分 (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．8分 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4. 12分。
抛物线(测)-2019年高考数学(文)---精校解析 Word版
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，焦点坐标为，即为，故选B.2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线的焦点坐标为（0，－1），实数a的值等于（）A. 4B. －4C.D.【答案】B3.【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】D4.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A. 4B. 5C. 6D. 11【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴线段的中点到轴的距离为，故选B.5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知为的三等分，作于，如图，则，，故选B.6．【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C7．【四川省高2019届第一次诊断】设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的焦点为（0，2），∴椭圆的焦点在y轴上，∴c=2，由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，故.故选A.8.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A9.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届考前押题卷（二）】已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，，设，，则的最小值为A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，直线方程为，当斜率存在时，设直线的方程为，联立抛物线方程，可得，设出，则，依据抛物线定义得出，当斜率不存在时，，则的最小值是4，故选D.10.【河南省中原名校2018届高考预测金卷】过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则（）A． 2 B． 3 C． D．【答案】B11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的轴长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B12.【山东省青岛市2019届9月调研】已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（）A． B． 1 C． 2 D． 4【答案】B【解析】分别是的中点，，且轴，，由抛物线定义知，为正三角形，则，正三角形边长为，，又可得为正三角形，，故选C.二、填空题13.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是_____________．【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填.14.【江西省南昌市2018届二轮测试卷（三）】若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是________.【答案】1015.【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初模拟】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为 .【答案】【解析】试题分析：由抛物线定义得：又点位于第一象限，因此从而16.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．【答案】6【解析】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影为，则，由抛物线的定义可得，，，过的直线设为，与联立得：，，计算得出且，三、解答题17.【四川省成都市棠湖中学2019届高三第一次月考】如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点【解析】⑴设抛物线方程为C：，由其定义知，又，所以，18.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初联考】已知是抛物线的焦点，点是不在抛物线上的一个动点，过点向抛物线作两条切线，切点分别为.（1）如果点在直线上，求的值；（2）若点在以为圆心，半径为4的圆上，求的值.【答案】（1）1（2）16试题解析：解：因为抛物线的方程为，所以，所以切线的方程为，即①，同理切线的方程为②，设，则由①②得以及，由此得直线的方程为．（1）由于点是直线上的一个动点，所以，即直线的方程为，因此它过抛物线的焦点．当时，的方程为，此时，所以；当时，把直线方程代入抛物线方程得到，从而有，所以．综上，．（2）由（1）知切线的方程为，切线的方程为，联立得点．设直线的方程为，代入得．因此，所以点的坐标为，由题意，所以，从而.19.如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）；（2）设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．【答案】(Ⅰ) 的方程为其准线方程为；(Ⅱ)2.【解析】试题分析; （I）由题意抛物线的焦点为抛物线的顶点（，由此算出从而得到抛物线的方程，得到的准线方程；试题解析：（Ⅰ）的方程为其准线方程为．（Ⅱ）设，，，则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为.联立得，所以.所以．点到直线的距离．所以的面积所以当时，取最小值为.即面积的最小值为2.21．【浙江省诸暨市2018届5月】已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于不同两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作轴的垂线交直线（是原点）于，过作直线的垂线与抛物线的另一交点为，中点为.①求点的纵坐标；②求的取值范围.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】【详解】（1）设：，∴∴，∴∴（2）直线：∴即，∴，即直线：22．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【解析】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．．所以为定值．。
2019年高考数学(文)一轮复习第八章 解析几何跟踪检测 (四十九)抛物线及答案
课时跟踪检测 (四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选D 由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )A．2 B．1 2C．32D．52解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是x1＋x22＝32．3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C 的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－43B．－1C．－34D．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2．答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |，又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)，整得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD―→的最大值等于( ) A ．－4 B ．－16 C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB―→＝－(4k 2＋4)． 同FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ．则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
2019版高考数学(文)一轮复习课时跟踪检测(四十八)+抛物线(普通高中)+含解析.docx
课时跟踪检测(四十八)抛物线(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1.已知抛物线x 2=2py(p>Q)的准线经过点(1, -1),则抛物线的焦点坐标为()A. (0,1)B. (0,2) C ・(1,0) D ・(2,0)解析：选A 由抛物线x 2=2py(p>0)的准线为j=—£= —1,得p=2,故所求抛物线 的焦点坐标为(0,1).2.已知是抛物线y=2x 的一条焦点弦，MB|=4,则力3中点(7的横坐标是()A. 2B.| C 2 解析：选 C 设 A(x if ji), B(x 2f 丁2),则\AB\=xi+x 2+p=4t =3,所以点(7的横坐标是驾出=号・3・设抛物线G y 2=4x 的焦点为F,准线/与x 轴的交点为 作准线/的垂线，垂足为Q ・若△"F 的面积为2,则点P 的坐标为( A. (1,2)或(1, -2)B. (1,4)或(1, -4)C. (1,2) 解析：选A 设点P 的坐标为(xo, jo).因为的面积为2,所以㊁X2XbM=2,即热|=2,所以x 0=l,所以点P 的坐标为(1,2)或(1, -2).4.已知点F 是抛物线y 2=x 则线段AB 的中点到丿轴的距离为()C 4 解析：选 B 设 A(x At y A )t B(X R , y R )f 则 \AF\+ |^F| =x A +^=x A -\-x R +p =3, 则肋的中点呼)到j,轴的距离孑=呼=宁今.5・已知点力(0,2),抛物线Ci ： y=ax(a>^)的焦点为F,射线场与抛物线C 相交于点 M,与其准线相交于点N.若|FM| ： |MN|=1 ：诟，则"的值为()D 2又卩=1,所以X\+X2 过抛物线C 上一点P的焦点，A f 〃是该抛物线上的两点.若\AF\+\BF\=3, D. 1A -4C ・1解析：选D 依题意，点F 的坐标为%，0)，设点M 在准线上的射 影为K,由抛物线的定义知\MF\=\MK\t \KM\ : \MN\=1 : ^5,则阳：0—2 8 \KN\ 8\KM\=2*1. •: kFN= = 一：，kFN= ~\XM\ = — 2，2,解得 a=4・4_0 6・已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点F 的直线交抛物线于B 两点，O 为坐标 原点.若△力0〃的面积为4,则\AB\=()A ・6B ・8C ・ 12 D. 16解析:选 D 设 皓，j J, B 佇，J 2),F(1,0).当/B 丄 x 轴时 f \AB\=4t S^AOB =^\OF\-\AB\ 勺卩2=一4•由的面积为4,得务"一力以1=4,所以7.已知点P 在抛物线/=4x±,且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为舟，则点P 到x 轴的距离为 ________ .解析：设点P 的坐标为(XP , »),抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-l,根据抛物线的 定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故一—丄)z解得Xp=l,所以J*=4,所以bsl=2・答案:28. 一个顶点在原点，另外两点在抛物线/=2x±的正三角形的面积为 _______________ 解析：如图，根据抛物线的对称性得ZAOx=30°・直线0/1的方程y=票,代入y 2=2x f 得 X 2—6x=0,解得x=0或x=6.即得/的坐标为(6,2^3).：.\AB\=4yj3t 正三角形 0AB 的面积为 1x4^3X6=12^3.答案：12萌 D. 4 Ti+j2 = 56,因此\AB\=X\+x 2+p= 2 2 J + 2 1 +2 = 16.4=2,不成立，所以学一9.已知抛物线/=4x,过焦点F的直线与抛物线交于B两点，过B分别作y轴的垂线，垂足分别为C, D,贝IJ|/IC|+|BZ)|的最小值为 ________ ・解析:由题意知F(1,O), \AC\+\BD\=\AF\+\FB\-2=\AB\-29即\AC\+\BD\取得最小值时当且仅当凶〃1取得最小值.依抛物线定义知当为通径，即\AB\=2p=4时为最小值, 所以\AC\+\BD\^)最小值为2.答案：210.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作一条直线交抛物线于力，B两点.若|/1F|=3,则\BF\= __________ ・解析：设A(x Af y A)f B(x Bf yn),点/在第一象限，则HF|=v^ + l=3,所以x A=2f y A=2yj2f 所以直线AB的斜率为&=豁=2並则直线的方程为y=2yj2(x-l)9 与抛物线方程联立整理得2?_弘+2=0, x A+x B=^f 所以x^=|, 答案：IB级——中档题目练通抓牢1・已知抛物线C：J2=8X的焦点为F, P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF所以\BF\=x z/+^=|+1 =|.与抛物线(7的一个交点.若\PQ\=yf2\QF\,则直线PF的方程为()A. x—丿一2=0 B・ x+y—2=0C. x-j+2=0D. x+y+2=(i解析：选B 如图，过点0作QM丄/于点M.V\QF\等于点0到准线的距离|0M|,・*. \PQ\=^2\QM\f :. ZPQM=45° , A ZPFO=45° , ・・・直线PF的倾斜角为135° ,即斜率A=-l,・・・直线PF的方程为丿一0=-lX(x-2),即x+y—2 = 0.2.已知点P是抛物线y2=2x±的动点，点P在v轴上的射影是M,点/伶4),则网+ \PM\的最小值是( )7A运 B. 49C运 D. 5解析：选C 设抛物线y2=2x的焦点为F,贝']\PF\=\PM]+^f :. \PM\=\PF\-^.・・・ \PA | + \PM\=\PA\+\PF\-^.7将x=2代入抛物线方程y 2=2x f 得y=±\[j.・・•萌V4,・••点力在抛物线的外部.・••当P, A f F 三点共线时，丽|+|PF|有最小值.••吩 4 ・・・"1=寸6-务+S - 0)2=5・1 9:.\PA\+\PM\^最小值 5-^=2- 3•如图，过抛物线y 2=2px （p>Q ）的焦点尸的直线依次交抛物线及其准 线于点B, C,若|BC|=2|〃F|,且|/1冋=3,则抛物线的方程为（） 2 3 2A. y =尹 B- y =3x2 9 2 C. y =^x D. y =9x 解析：选B 如图，分别过点力，B 作准线的垂线，交准线于点£, ED,G设 \BF\=a,则 \BC\=2a fD ° / 噸 x由抛物线的定义得，|〃0|=心9 < 故ZBCD=30° ,在直角三角形/G?中，因为\AE\=\AF\=3f \AC\=3+3a f 2\AE\=\AC\f所以6=3+3“，从而得«=1, 因为BD 〃尸G,所以鬻=跆・1 2 3即”=3，解得p=2,因此抛物线方程为j ，=3x ・一 X 2 V 24. （2017•山东高考）在平面直角坐标系xQr 中，双曲线卩一”=1@>0, Q0）的右支与焦 点为F 的抛物线1=2妙（p>0）交于力，〃两点.若\AF\+\BF\=4\OF\t 则该双曲线的渐近线 方程为 __________ .解析：设A （x lf ji ）, B （x 2f 力），由抛物线的定义可知\AF\=yi +^f \BF\=y 2+^f由 \AF\+ \BF\=yi +^+y 2+^=yi +y 2+p =4\OF\=2p f得 yi+yi=p^消去 x,得 a 2y 2—2pb 2y+a 2b 2=0,2pb 2 2 2ph 2 *=P ，答案：y=±^x5.已知直线y=a 交抛物线y=x 2于B 两点.若该抛物线上存在点C,使得ZACB 为直角，则实数“的取值范围为 ____________________ ・解析：如图，设(7(X(), xj)(xo^«), A(—y[a, a), B(y[a f a), 则C4 =(—诵一xo, a —xi), CB =@—xo, a —xl).VC4 丄 CB, :.~CA ~CB=O f即—(a —xo)+(a —xj)2=0, (a —x ：)(—1+a —xj)=0.・•・£=□—1 MO, .•.“Mi.答案：［b +8)6.已知抛物线y 2=2px(p>^焦点为F,力是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的 点，力到抛物线准线的距离等于5,过力作力〃垂直于y 轴，垂足为3, 03的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN 丄E4,垂足为N,求点N 的坐标.解：⑴抛物线y 2=2px 的准线为x=—2,于是 4+f=5, .\p=2.:.抛物线方程为y2=4x ・⑵・・•点/的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2).又・・・F(1,O),・••畑=x=2py所以yi+y2= 所以双曲线的渐近线方程为y=因为以与PB 的斜率存在且倾斜角互补, 所以kp^ = —kpB ・由A(x i9 ji), B(x 2f j ，2)均在抛物线上， 0=4七‘ %；=4兀2, ①②所以厂2 一 拈T必 2所以 口+2= —0，2+2)・所以必+必=_4・由①一②得，J2=4(xj —x 2),所以如=北=点=一3总2)・C 级——重难题目自主选做・・・MN 丄 FA f :. k MN =-^.・・・昭的方程为j=|(x-l),①3MN 的方程为y-2=~^x 9②8 4联立①②，解得X=T ，丿=7•如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(l,2),A (X 19 n), Bg,力)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.⑵当刃与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求yi +y 2的值及直线 AB 的斜率.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px(p>Q).因为点P(l,2)在抛物线上， 所以22=2pXl,解得p=2.故所求抛物线的方程是j ，=4x,准线方程是x=~l.⑵设直线刃的斜率为每M ,直线P 〃的斜率为心炉・・・"的坐标为(兀2工1),1.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于B 两点，分别过B 两点作准线 的垂线，垂足分别为川，B'两点，以线段B 1为直径的圆C 过点£(一2,3),则圆C 的方程为()A. (X +1)2+(J -2)2=2B ・(X +1)2+0^-1)2=5C ・(X +1)2+(J +1)2=17D. (x+l)2+(y+2)2=26解析：选B 设直线/B 的方程为x —l=ty.设A(x i9 ji), B(x 2t j 2),则(—1, Ji), B' (—1, J2).•"•ji+^2=4r,歹卩2= 一4・又•・•以R B'为直径的圆C 过点£(-2,3),^1 = (-1,3-Ji), ^1 = (一1,3-必)，:.A' E B' E = 1 + (3-JI )(3-J 2)=0,即阳2—3(^1+丁2)+10=—4—12(+10=0,解得 t=^•"1+72=2,.•.圆c 的圆心为(一；~\也护)=(一1,1).半径*咛匚血呼如=诟.・••圆C 的方程为(x+1)2 + 3 — 1)2 = 5.2. (2018-武汉调研)已知直线y=k(x-2)与抛物线八y 2=^x 相交于B 两点,M 是 线段力〃的中点，过M 作j ，轴的垂线交厂于点N.(1)证明：抛物线厂在点N 处的切线与直线力〃平行；⑵是否存在实数R 使瓦T •両=0?若存在，求A 的值；若不存在，请说明理由.y=k(x-2),解：⑴证明：由｛ 2 1消去并整理, y=^得 2A 2X 2-(8^2+1)X +8^2=0.X1+X2 8A 2+1x-l=osJ 2=4X ,得)，一4°,—4 = 0.设 A(x lf ji), B(X 2, y 2),则 Xi+*2 = 8^+1 2k 2 xix 2=4,由题设条件可知，P V =J<M =玉，心=2丿召=80 ・"（缶£）・设抛物线厂在点N 处的切线/的方程为将x=2y 2代入上式，得2/wj ，—卩+令—哉2=（）. •・•直线/与抛物线厂相切,ni —ky 即 ///AB,（2）假设存在实数％,使祐•両=0,则N4丄NB. ・.・M 是的中点，・・・ \MN\=^\AB\.由(1),得HB|=V1-H 2I VI -X 2|=yj 1+k^yj (xi +x 2)2—4XJX 2•••MN 丄y 轴， .8A 2+1 1 16k 2+l：• M 、1=氏M —兀vl= 4&2 =―防~•16k 2+1 1 -^A /16A 2+1 — 1 ・・・^p —=^/iTT ・U 2& ，解得k*. 故存在 A=±|,使 NA^ NB =0. 1/.J = l-4X2wX16k 2+1 2k@7=yjl+k 2^。
高考数学一轮复习抛物线同步提升检测(含解析)
2019 高考数学一轮复习抛物线同步提高检测（含分析）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，下面是查词典数学网整理的抛物线同步提高检测，请考生实时练习。
一、选择题1.(2019 宜春模拟 )动点 P 到点 A(0,2) 的距离比它到直线l:y=-4 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程为 ()(A)y2=4x (B)y2=8x(C)x2=4y (D)x2=8y2.若抛物线 y2=2px(p0)的焦点在圆 x2+y2+2x-3=0 上,则 p=()(A) (B)1 (C)2 (D) 33.抛物线 y=-2x2 上的一点 M 到焦点的距离为1,则点 M 的纵坐标是 ()(A) (B) (C)- (D)-4.正三角形的一个极点位于原点,此外两个极点在抛物线y2=4x 上,则这个正三角形的边长为()(A)4 (B)8 (C)8 (D)165.已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点 ,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 ()(A)x=1 (B)x=-1(C)x=2 (D)x=-26.直线 l 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点，且交抛物线于 A，B 两点，交其准线于 C 点，已知 |AF|=4，=3，则 p=()(A)2 (B) (C) (D)47.(2019西安模拟 )若双曲线 -=1(a0)的左右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 x=y2 的焦点分红 3∶2 的两段 ,则此双曲线的离心率为 ()(A) (B) (C) (D)8.(能力挑战题 )若已知点 Q(4,0)和抛物线 y=x2+2 上一动点 P(x,y),则y+|PQ|最小值为 ()(A)2+2 (B)11(C)1+2 (D)6二、填空题9.以抛物线 x2=16y 的焦点为圆心 ,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .10.(2019 巢湖模拟 )抛物线 y=x2 的焦点与双曲线 -=1 的上焦点重合 ,则m=.11.(2019铜川模拟 )已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点 ,点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A 的坐标是 (4,a),则当 |a|4时,|PA|+|PM|的最小值是 .三、解答题12.已知圆心为 P 的动圆与直线 y=-2 相切 ,且与定圆 x2+(y-1)2=1 内切 ,记点 P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程 .(2)设斜率为 2 的直线与曲线 E 相切 ,求此时直线到原点的距离.13.(2019 宝鸡模拟 )已知抛物线 C:y2=2px(p0) 过点 A(1,-2).(1)求抛物线 C 的方程 ,并求其准线方程 .(2)能否存在平行于 OA(O 为坐标原点 )的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点 ,且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存在 ,求出直线 l 的方程 ;若不存在 ,说明原由 .14.(能力挑战题 )如图 ,曲线 C1 是以原点 O 为中心 ,F1,F2 为焦点的椭圆的一部分 ,曲线 C2 是以原点 O 为极点 ,F2 为焦点的抛物线的一部分,A,B 是曲线 C1 和 C2 的交点且 AF2F1 为钝角 ,若|AF1|=,|AF2|=.(1)求曲线 C1 和 C2 的方程 .(2)设点 C,D 是曲线 C2 所在抛物线上的两点 (如图 ).设直线 OC 的斜率为 k1,直线 OD 的斜率为 k2,且 k1+k2=,证明 :直线 CD 过定点 ,并求该定点的坐标 .答案分析1.【分析】选D.由已知得,动点P 到点A(0,2)的距离与它到直线l:y=-2 的距离相等 ,依据抛物线的定义得 ,该轨迹为以 A(0,2) 为焦点 ,y=-2 为准线的抛物线 ,且=2,p=4.又焦点在 y 轴上 ,张口向上 ,因此所求方程为:x2=8y.2.【分析】选 C.由已知 (,0)在圆 x2+y2+2x-3=0 上,因此有 +2-3=0,即 p2+4p-12=0,解得 p=2 或 p=-6(舍去 ).3.【分析】选 D.由抛物线 y=-2x2 得 x2=-y,因此其焦点为 F(0,-),设点 M 纵坐标为 y0,由抛物线定义得 -y0=1,得 y0=-.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离常常互相转变 :(1)若求点到焦点的距离 ,则可联想点到准线的距离 ;(2)若求点到准线的距离 ,则常常联想点到焦点的距离 .解题时必定要注意 .4.【分析】选 B.设此中一个极点为 (x,2),∵是正三角形 ,=tan 30=,即=,x=12.除原点外的此外两个极点是(12,4)与(12,-4),这个正三角形的边长为8.5.【分析】选 B.方法一 :设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知直线 AB 的方程为:y=x-, 与 y2=2px 联立得 :y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,由题意知 :y1+y2=4,p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为 x=-1,应选 B.方法二 :设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 y1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得 :kAB====1,p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为 x=-1.6【.分析】选 C.过 A，B 分别作准线的垂线交准线于E，D.由于 |AF|=4，=3，因此|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，依据三角形的相像性可得=，即 =，解得 a=2，因此 =，即 ==，因此 p==，选 C.7.【分析】选 D.由已知得 F1(-c,0),F2(c,0),抛物线 x=y2,即 y2=2bx 的焦点 F(,0),依题意 =.即=,得:5b=2c25b2=4c2,又 b2=c2-a2,25(c2-a2)=4c2,解得 c=a.故双曲线的离心率为 =.8.【分析】选 D.抛物线 y=+2 的准线是 y=1,焦点 F(0,3).用抛物线的定义:设 P 到准线的距离为d,则 y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1|FQ|+1=5+1=6,(当且仅当 F,Q,P共线时取等号 )故 y+|PQ|的最小值是 6.9.【分析】抛物线 x2=16y 的焦点为 (0,4),准线方程为 y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切 ,因此圆的半径 r=4-(-4)=8,因此圆的方程为 x2+(y-4)2=64.答案 :x2+(y-4)2=6410.【分析】由于抛物线 y=x2 的标准方程为 x2=16y,焦点坐标为 (0,4), 又由于双曲线 -=1 的上焦点坐标为 (0,),依题意有 4=,解得 m=13.答案 :13【误区警告】此题易出现y=x2 的焦点为 (0,)的错误 ,原由是对抛物线的标准方程记忆不正确.11.【分析】由 y2=4x 得,抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1,由|a|4知点 A(4,a)在抛物线的外面 ,要使 |PA|+|PM|最小 ,只要 |PA|+|PF|最小 ,这只要点 A,P,F 三点共线即可 ,此时 :(|PA|+|PF|)min==,因此 :|PA|+|PM|的最小值为 (|PA|+|PF|)min-1=-1.答案 :-112.【分析】 (1)由题意 ,得点 P 到直线 y=-1 和点 (0,1)距离相等 ,点 P 的轨迹是以点 (0,1)为焦点 ,以直线 y=-1 为准线的抛物线 ,曲线 E 的方程是 x2=4y.(2)设斜率为 2 的直线方程为 y=2x+m,由消去 y,得 x2-8x-4m=0,由直线与曲线 E 相切 ,得=(-8)2+16m=0,得 m=-8,直线方程为 y=2x-8,即 2x-y-8=0.原点到直线的距离为d==.13.【分析】 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p1,因此 p=2.故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)存在 .假定存在切合题意的直线l,其方程为 y=-2x+t.由得 y2+2y-2t=0.∵直线 l 与抛物线 C 有公共点 ,=4+8t0,解得 t-.由直线 OA 与 l 的距离 d=,可得 =,解得 t=1.∵-1[-,+),1[-,+).切合题意的直线l 存在 ,其方程为 2x+y-1=0.14.【分析】 (1)设 A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0), 曲线 C1 所在椭圆的长轴长为 2a,则 2a=|AF1|+|AF2|=6.又由已知及圆锥曲线的定义得:(xA-c)2+=,(xA+c)2+=,xA+c=,得:(xA-c)2=. 又∵ AF2F1 为钝角 ,xA-c=, 故 xA=,c=1,即曲线 C1 的方程为 +=1(-3),曲线 C2 的方程为 y2=4x(0).(2)设直线 OC 的方程为 :y=k1x,由得(k1x)2-4x=0,即 C(,),同理得 :D(,),直线 CD 的方程为 :y-=(x-), 即 y=x+2,教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线 Word版含解析
[课时跟踪检测][基础达标]1．(2017届山东德州模拟)抛物线x2＝12y的焦点到准线的距离是()A．2 B．1C.12 D.14解析：抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝14，故选D.答案：D2．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为() A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D.答案：D3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A．1 B.1 2C．2 D.1 4解析：因为抛物线的标准方程为x2＝1a y，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a，则有14a＝1，a＝14，故选D.答案：D4．(2018届衡水模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q 两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是() A．y2＝4x B．y2＝2xC ．y 2＝8xD ．y 2＝6x解析：设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ， 由抛物线定义可知|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋x 2＋p . 又∵线段PQ 中点的横坐标为3，又|PQ |＝10， ∴10＝6＋p ，可得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x . 答案：C5．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.答案：C6．(2018届汕头一模)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵x 2＝2y ，∴y ′＝x ，∴抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.∵x 2＝2y 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12，又准线方程为y ＝－12，∴|AF |＝1.答案：A7．(2018届辽宁五校协作体模拟)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°.∵AH 垂直于准线，∴∠F AH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，由|AF |＝|AH |，得m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边△AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.答案：C8．(2017届平遥县模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若PF→＝3QF →，则|QF |＝( ) A.52 B.83 C ．3D ．6解析：如下图所示，抛物线C 的焦点为(2,0)，准线为x ＝－2，准线与x 轴的交点为N .过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知|MQ |＝|QF |，又因为PF →＝3QF→，所以3|MQ |＝|PF |， 又因为|MQ ||NF |＝|PQ ||PF |，可得|MQ |＝4×23＝83. 所以，∴|QF |＝|QM |＝83.故选B.答案：B9．(2017届浙江模拟)若坐标原点到抛物线x ＝m 2y 2的准线的距离为2，则m ＝________；焦点坐标为________．解析：抛物线的标准方程为y 2＝1m 2x ，则准线方程为x ＝－14m 2，∵坐标原点到抛物线x ＝m 2y 2的准线的距离为2，∴－14m 2＝－2，即14m 2＝2，即m 2＝18，则m ＝±24，则抛物线的焦点坐标为(2,0)．答案：±24 (2,0)10．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：211．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程为y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6.即得A 的坐标为(6，23)．∴|AB |＝43，∴正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 312．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45， ∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.[能 力 提 升]1．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，由抛物线的定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于点K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 答案：C2．抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上不同于A ，B 的一点，若直线P A ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ→的值是( )A ．20B ．1C ．12D ．与点P 位置有关的一个实数解析：设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，Q (a,2)，R (b,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8y ，y ＝2x －2，得x 2－16x ＋16＝0，x 1x 2＝16.由P ，A ，Q 共线得2－x 218a －x 1＝x 208－x 218x 0－x 1＝x 0＋x 18，∴a ＝x 0x 1＋16x 0＋x 1＝x 0x 1＋x 1x 2x 0＋x 1＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1，同理b ＝x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2，∴ab ＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1×x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2＝x 1x 2＝16，∴OR →·OQ→＝ab ＋4＝20，故选A. 答案：A3．(2017届奉贤区二模)已知实数x 、y 满足方程(x －a ＋1)2＋(y －1)2＝1，当0≤y ≤b (b ∈R )时，由此方程可以确定一个偶函数y ＝f (x )，则抛物线y ＝－12x 2的焦点F 到点(a ，b )的轨迹上点的距离最大值为________．解析：由题意可得圆的方程一定关于y 轴对称，故由－a ＋1＝0，求得a ＝1.由圆的几何性质知，只有当y ≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0<b ≤1，由此知点(a ，b )的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于(0,1]．又抛物线y ＝－12x 2，故其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.由此可以判断出焦点F到点(a ，b )的轨迹上点的距离最大距离是(1－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝132.答案：1324．(2017届榆林一模)设F 为抛物线y ＝－14x 2的焦点，与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 与x 轴的交点为Q ，则∠PQF 的值是________．解析：由题意，焦点坐标为F (0，－1)，先求导函数为y ′＝－12x ，则P 点处切线斜率是2，∴ 与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 的方程为y ＝2x ＋4，交x 轴于Q (－2，0)，∴ PQ →＝(2,4)，QF →＝(2，－1)，∴PQ →·QF→＝0，∴PQ →⊥QF →.答案：π25．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．又F (1,0)，∴直线AF 的方程y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)．所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆与直线GB 相切．。
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[课时跟踪检测][基础达标]1．(2017届山东德州模拟)抛物线x2＝12y的焦点到准线的距离是()A．2 B．1C.12 D.14解析：抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝14，故选D.答案：D2．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为() A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D.答案：D3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A．1 B.1 2C．2 D.1 4解析：因为抛物线的标准方程为x2＝1a y，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a，则有14a＝1，a＝14，故选D.答案：D4．(2018届衡水模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q 两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是() A．y2＝4x B．y2＝2xC．y2＝8x D．y2＝6x解析：设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，由抛物线定义可知|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋x 2＋p . 又∵线段PQ 中点的横坐标为3，又|PQ |＝10， ∴10＝6＋p ，可得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x . 答案：C5．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.答案：C6．(2018届汕头一模)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵x 2＝2y ，∴y ′＝x ，∴抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.∵x 2＝2y 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12，又准线方程为y ＝－12，∴|AF |＝1.答案：A7．(2018届辽宁五校协作体模拟)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°.∵AH 垂直于准线，∴∠F AH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，由|AF |＝|AH |，得m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边△AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.答案：C8．(2017届平遥县模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若PF →＝3QF →，则|QF |＝( )A.52B.83 C ．3D ．6解析：如下图所示，抛物线C 的焦点为(2,0)，准线为x ＝－2，准线与x 轴的交点为N .过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知|MQ |＝|QF |，又因为PF →＝3QF→，所以3|MQ |＝|PF |， 又因为|MQ ||NF |＝|PQ ||PF |，可得|MQ |＝4×23＝83. 所以，∴|QF |＝|QM |＝83.故选B. 答案：B9．(2017届浙江模拟)若坐标原点到抛物线x ＝m 2y 2的准线的距离为2，则m ＝________；焦点坐标为________．解析：抛物线的标准方程为y 2＝1m 2x ，则准线方程为x ＝－14m 2，∵坐标原点到抛物线x ＝m 2y 2的准线的距离为2，∴－14m 2＝－2，即14m 2＝2，即m 2＝18，则m ＝±24，则抛物线的焦点坐标为(2,0)．答案：±24 (2,0)10．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：211．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程为y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6.即得A 的坐标为(6，23)．∴|AB |＝43，∴正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 312．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5， ∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34. 又F A 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45， ∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.[能 力 提 升]1．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，由抛物线的定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于点K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 答案：C2．抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C上不同于A ，B 的一点，若直线P A ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ→的值是( )A ．20B ．1C ．12D ．与点P 位置有关的一个实数解析：设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，Q (a,2)，R (b,2)．由⎩⎨⎧x 2＝8y ，y ＝2x －2，得x 2－16x ＋16＝0，x 1x 2＝16.由P ，A ，Q 共线得2－x 218a －x 1＝x 208－x 218x 0－x 1＝x 0＋x 18，∴a ＝x 0x 1＋16x 0＋x 1＝x 0x 1＋x 1x 2x 0＋x 1＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1，同理b ＝x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2，∴ab ＝x 1(x 0＋x 2)x 0＋x 1×x 2(x 0＋x 1)x 0＋x 2＝x 1x 2＝16，∴OR →·OQ→＝ab ＋4＝20，故选A. 答案：A3．(2017届奉贤区二模)已知实数x 、y 满足方程(x －a ＋1)2＋(y －1)2＝1，当0≤y ≤b (b ∈R )时，由此方程可以确定一个偶函数y ＝f (x )，则抛物线y ＝－12x 2的焦点F 到点(a ，b )的轨迹上点的距离最大值为________．解析：由题意可得圆的方程一定关于y 轴对称，故由－a ＋1＝0，求得a ＝1.由圆的几何性质知，只有当y ≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0<b ≤1，由此知点(a ，b )的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于(0,1]．又抛物线y ＝－12x 2，故其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.由此可以判断出焦点F到点(a ，b )的轨迹上点的距离最大距离是(1－0)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝132. 答案：1324．(2017届榆林一模)设F 为抛物线y ＝－14x 2的焦点，与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 与x 轴的交点为Q ，则∠PQF 的值是________．解析：由题意，焦点坐标为F (0，－1)，先求导函数为y ′＝－12x ，则P 点处切线斜率是2，∴ 与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 的方程为y ＝2x ＋4，交x 轴于Q (－2，0)，∴ PQ →＝(2,4)，QF →＝(2，－1)，∴PQ →·QF→＝0，∴PQ →⊥QF →. 答案：π25．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．又F (1,0)，∴直线AF 的方程y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)．所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆与直线GB 相切．。