9.9--2高二数学第九章复习
202X年人教版高中数学第九章统计知识点归纳总结
千里之行，始于足下。
202X年人教版高中数学第九章统计知识点归纳
总结
202X年人教版高中数学第九章统计知识点主要包括以下内容：
1. 统计调查与统计图表：
- 统计调查的目的和意义
- 调查方法和步骤
- 数据的收集与整理
- 统计图表的绘制和分析
2. 描述性统计：
- 数据的集中趋势：平均数、中位数、众数
- 数据的离散程度：极差、四分位数、方差、标准差
- 箱线图和散点图的绘制和分析
3. 随机事件与概率：
- 随机事件的概念和性质
- 样本空间与事件的关系
- 概率的定义和计算方法
- 条件概率与独立事件
- 事件的复合与分解
4. 排列与组合：
- 排列与组合的概念与性质
- 全排列与重排列的计算
- 组合的计算
- 二项式定理与应用
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锲而不舍，金石可镂。
5. 随机变量与概率分布：
- 随机变量的概念和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 随机变量的分布函数与密度函数
- 期望值与方差的计算
以上是202X年人教版高中数学第九章统计知识点的主要内容。
学生们需要掌握调查与统计图表的方法和步骤，了解描述性统计中的各项指标的计算方法和应用，理解随机事件和概率的概念，掌握排列与组合的计算方法，以及了解随机变量与概率分布的基本概念和计算。
高二下学期数学第九章复习(3)
高二下学期数学第九章复习（3）高二下学期数学第九章复习〔3〕空间向量的〔坐标 〕运算〔1〕一、知识要点：1．向量定义： ；相等向量： ； 共线〔平行〕向量： ；共面向量： ； 2．向量加法与数乘向量的差不多性质：〔1〕a b b a +=+ 〔2〕()()a b c a b c ++=++ 〔3〕()a b a b λλλ+=+． 3．空间向量数量积：〔1〕要紧性质：①||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>〔能够用来求角〕； ②0a b a b ⊥⇔⋅=〔能够用来证明线线垂直〕； ③2||a a a =⋅〔能够用来求线段长〕． 〔2〕运算律：①()()a b a b λλ⋅=⋅； ②a b b a ⋅=⋅； ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．4．共线向量定理： ；空间直线的向量参数方程：OP OA ta =+或(1)OP OA t AB t OA tOB =+⋅=-+〔其中l 过点A ，P 在直线l 上，O 为空间任意一点，a 是l 的方向向量AB a =〕由此判定,,P A B 三点共线⇔ ．5．共面向量定理： ； 据此判定,,,P A B C 四点共面⇔ ． 6．空间向量差不多定理： ； 专门地，假设基底为单位正交基底〔常用,,i j k 表示〕，那么能够建立空间直角坐标系。
7．空间直角坐标系〔右手直角坐标系〕：假设123a a i a j a k =++，那么123(,,)a a a a = 8．空间向量的坐标运算：123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么a b += ；a b -= ；a λ= ；a b ⋅= ；//a b ⇔ ；a b ⊥⇔ ；假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么212121(,,)AB x x y y z z =---． 9．夹角和距离公式：〔1〕夹角公式：123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么||a = ；HG ODCBA||b = ；a b ⋅= ；cos ,a b <>= ；〔2〕两点间距离公式：111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么AB d = ；〔3〕向量与平面垂直的意义：假设表示a 的有向线段AB 所在直线垂直于平面α，那么称那个向量垂直于平面α，记为：a α⊥，现在a 叫做平面α的法向量．二、例题分析：例1．12,e e 不平行，122AB e e =+，12332BC e e =+，1224BD e e =+，试判定：,,,A B C D 四点共面吗？并证明你的结论． 提示：⑴能够求得23AB BC =，⑵,,,A B C D 四点共线，从而共面．例2．空间四边形OABC 中，,G H 分不是ABC ∆，OBC ∆的重心，设OA a =，OB b =，OC c =，⑴试用向量,,a b c 表示向量OG 和GH ；⑵证明：//GH 平面OAB ．答案：⑴()13OG a b c =++，13GH a =-；例3．如图在正方体1AC 中，,,M N F 分不是棱11,,AA BB BC 的中点，⑴求证：11D N B F ⊥；⑵求直线CM 与1D N 所成角的余弦值； ⑶求直线1B M 与1D N 所成角的正弦值．答案：⑵1cos 9θ=；⑶sin 5θ=．AB C DA1B1C1D1MNFABC三、课后练习： 班级 学号 姓名1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，假设11A B a =，11A D b =，1A A c =，那么1B M =()12c b a +-． 2．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，那么AB 的中点M 到C 点的距离||CM = 〔 C 〕()A ()B 532()C ()D 3．假设(4,1,5),(4,1,5)M AB -=-，那么 〔 D 〕()A M 与A 重合 ()B M 与B 重合 ()C M 在AB 上 ()D OM AB =4．假设0a b c ++=且||3,||1,||4a b c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=13-． 5．(1,2,1),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，那么ABC ∆的形状是锐角三角形，ABC S ∆=6．||22p =||3q =，,4p q π<>=，求52a p q =+，3b p q =-为边的平行四边形的对角线的长．答案：15,7．：(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥，求：⑴,,a b c ；⑵()a c +与()b c +所成角的余弦值． 答案：⑴()()()2,4,1,2,4,1,3,2,2a b c ==---=-，⑵ 219-8．在Rt ABC ∆中90,30,1ACB BAC BC ∠=∠==，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA 平移到111A B C ∆的位置，1AA =M 是1CC 的中点，⑴求异面直线1AB 与1A M 所成角；⑵假设P 是1A M 中点，Q 是1AB 中点，求线段PQ 的长．答案：⑴90；⑵4。
新教材苏教版高中数学必修第二册第九章平面向量 知识点考点重点难点解题规律归纳总结
第九章 平面向量9.1 向量概念 ................................................................................................................ - 1 - 9.2 向量运算 ................................................................................................................ - 5 - 9.3 向量基本定理及坐标表示 ................................................................................... - 19 - 9.4向量应用 .............................................................................................................. - 29 -9.1 向量概念知识点1 向量的定义及表示 定义既有大小又有方向的量叫作向量表示 方法 (1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A 为起点、B 为终点的向量记为AB→； (2)字母表示：用小写字母a ，b ，c 来表示 模向量AB→的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|1．定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？[提示] 向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面．知识点2 向量的有关概念及其表示 名称 定义 表示方法 零向量 长度为0的向量记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量平行向量 方向相同或相反的非零向量 a 与b 平行(或共线)，记作a ∥b相等向量 长度相等且方向相同的向量 a 与b 相等，记作a ＝b 相反向量长度相等且方向相反的向量a 的相反向量记作－a2．(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？ (2)已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB→和向量BA →相等吗？它们共线吗？(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ [提示] (1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．(2)因为向量AB→和向量BA →方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．重点题型类型1 向量的概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量的方向是任意的；(3)在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则向量DE →与CB →是平行向量；(4)对于向量a 、b 、c ，若a ∥b ，且b ∥c ，则a ∥c ；(5)若非零向量AB→与CD →是平行向量，则直线AB 与直线CD 平行；(6)非零向量AB→与BA →是模相等的平行向量．[解] (1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)正确．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；(3)正确．由三角形中位线性质知，DE ∥BC ，向量DE →与CB →方向相反，是平行向量；(4)错误．b 为零向量时，有a ∥b 且b ∥c ，但a 与c 的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误．A 、B 、C 、D 四点也可能在同一条直线上；(6)正确．非零向量AB→与BA →的模相等，方向相反，二者是平行向量．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． 类型2 向量的表示【例2】 一辆汽车从A 点出发，向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D ．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，AD →；(2)求|AD→|．依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量AB →，BC →，CD →，AD →；进而求出|AD→|. [解] (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD ．又∵|AB→|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB ═∥CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD→|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.类型3 共线向量【例3】 (对接教材P 6例2)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有______个．8 [如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．]1．(变条件)在本例中，与向量AC→同向且长度为22的向量有多少个？ [解] 与向量AC →同向且长度为22的向量占与向量AC →平行且长度为22的向量中的一半，共4个．2．(变条件)在本例中，与向量AO→相等的向量有多少个？[解] 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO →方向相同的向量与其相等，共有8个．1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．9.2 向量运算9.2.1 向量的加减法第1课时 向量的加法知识点1 向量的加法 (1)向量加法的定义求两个向量和的运算叫作向量的加法． (2)向量加法的运算法则 ①三角形法则：如图，已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA→＋AB →＝OB →．这个法则称为向量加法的三角形法则． ②平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA→＝a ，OC →＝b ，以OA ，OC 为邻边作▱OABC ，则以O 为起点的对角线表示的向量OB →＝a ＋b ，这个法则叫作向量加法的平行四边形法则．向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？[提示] 向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以适用；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量．知识点2 向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (3)a ＋0＝0＋a ＝a ． (4)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0．重点题型类型1 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【例1】 如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．[解] 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即为a ＋b ＋c (用到向量加法运算律)．如图①，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD →＝c ；(4)作▱CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．则OE →即为所求．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.类型2 向量的加法运算【例2】 (1)在正六边形ABCDEF 中，AB →＝a ，AF →＝b ，则AC →＝________，AD →＝________，AE→＝________．(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________．(1)2a ＋b 2a ＋2b a ＋2b (2)0 [(1)如图，连接FC 交AD 于点O ，连接OB ，由平面几何知识得四边形ABOF ，四边形ABCO 均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO→＝AB →＋AF →＝a ＋b ． 在平行四边形ABCO 中，AC →＝AB →＋AO →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ，AD →＝2AO →＝2a ＋2b ．而FE→＝AO →＝a ＋b ， 由三角形法则得AE→＝AF →＋FE →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b ．(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0．]1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．类型3 向量加法在实际问题中的应用【例3】 (对接教材P 11例2)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ．(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)结合实际问题画出草图，借助三角形的边角关系求解.[解] (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA→表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度．设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°． ∵MA→＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形．则∠AMN ＝60°，∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°，所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°．解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.第2课时 向量的减法知识点 向量的减法 (1)向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫作a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)向量的减法法则如图所示，以O 为起点，作向量OA→＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b ．向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，a －b ＝ a ＋(－b )是否一定恒成立？[提示] 向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法， a －b ＝a ＋(－b )一定恒成立．重点题型类型1 向量减法的几何作图【例1】 (对接教材P 12例3)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c ．[解] 法一：先作a －b ，再作(a －b )－c 即可．如图①所示，以A 为起点分别作向量AB→和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b ，连接CB ，得向量CB→，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ，连接DB ，得向量DB →．则向量DB →即为所求作的向量a －b －c ．法二：先作－b ，－c ，再作a ＋(－b )＋(－c )，如图②． (1)作AB→＝－b 和BC →＝－c ； (2)作OA→＝a ，则OC →＝a －b －c ．求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.类型2 向量减法法则的应用 【例2】 (1)化简下列式子： ①NQ→－PQ →－NM →－MP →； ②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．(2)如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．[解] (1)①原式＝NQ →＋QP →－(NM →＋MP →)＝NP →－NP →＝0．②(AB→－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB→－CD →－AC →＋BD → ＝AB→＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB→＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0． (2)因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ；BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ．(1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧 ①观察待表示的向量位置； ②寻找相应的平行四边形或三角形； ③运用法则找关系，化简得结果． 类型3 |a －b |与a ，b 之间的关系【例3】 已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |．结合向量加、减的运算法则，你能发现向量a ，b 间存在怎样的位置关系？如何借助该关系求得|a －b |.[解] 如图，设AB→＝a ，AD→＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ． 则AC→＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|AC→|＝|DB →|． 又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形． 故AD ⊥AB ．在Rt △DAB 中，|AB→|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10，所以|a －b |＝10．1．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB→＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的平行四边形是矩形．9.2.2 向量的数乘知识点1 向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |；(2)若a ≠0，则当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反． 实数λ与向量a 相乘的运算，叫作向量的数乘． 特别地，当λ＝0时，0a ＝0；当a ＝0时，λ0＝0．向量的数乘λa 的几何意义：当λ＞0时，把向量a 沿着a 的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a 沿着a 的相反方向放大或缩小．1．λa ＝0，一定能得到λ＝0吗？ [提示] 不一定．λa ＝0，则λ＝0或a ＝0． 知识点2 向量数乘的运算律 设a ，b 为向量，λ，μ为实数，则 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算． 知识点3 向量共线定理一般地，对于两个向量a (a ≠0)，b ，设a 为非零向量，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa ．2．向量共线定理中，为什么规定a ≠0．[提示] 当a ＝0时，显然b 与a 共线，此时若b ＝0，则存在无数实数λ，使b ＝λa ；若b ≠0，则不存在实数λ使得b ＝λa ．重点题型类型1 向量数乘的基本运算 【例1】 计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． [解] (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b ． (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －23a －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋37b ＋12a ＝32a ＋b －13a －12b －712a －12b －712a ＝0．(3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝6a ＋2b ．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.类型2 向量的共线问题【例2】 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．(1)欲证A ，B ，D 三点共线，能否证明AB→与AD →或BD →共线？(2)若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？[解] (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→， ∴AB→，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1．1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB→，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．类型3 向量的表示【例3】 如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB→分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ．(1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE→＝λOA →，求实数λ的值． [解] (1)依题意，A 是BC 中点， ∴2OA→＝OB →＋OC →， 即OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b ． (2)若OE→＝λOA →， 则CE→＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b ． ∵CE→与DC →共线， ∴存在实数k ，使CE→＝kDC →，∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45．用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．9.2.3 向量的数量积知识点1 向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫作向量a 和b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．1．(1)两个向量的数量积是向量吗？ (2)数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示] (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定． 知识点2 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a与b 的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°．(3)当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． (4)当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (5)两个非零向量a 和b 的夹角θ，可以由cos θ＝a·b|a||b|求得． 知识点3 投影向量设a ，b 是两个非零向量，如图，OA→表示向量a ，OB →表示向量b ，过点A 作OB →所在直线的垂线，垂足为点A 1，我们将上述由向量a 得到向量OA 1→的变换称为向量a 向向量b 投影，向量OA 1→称为向量a 在向量b 上的投影向量．(1) (2)所以OA 1→＝ (|a |cos θ)b |b |，a·b ＝OA 1→·b ． 投影向量与向量数量积的关系：向量a 和向量b 的数量积就是向量a 在向量b 上的投影向量与向量b 的数量积．知识点4 向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ． ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (2)数量积的性质： ①a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a·b |≤|a||b |，当且仅当向量a ，b 为共线向量时取“＝”号； ③a ⊥b ⇔a·b ＝0．(向量a ，b 均为非零向量)2．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ [提示] 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．重点题型类型1 向量数量积的运算【例1】 (对接教材P 20例1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．[解] (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3．(2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5． (3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34．1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ．要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．类型2 求向量的模【例2】 已知向量OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4．求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |．[解] ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43，|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－16＋16＝4， |3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413．1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a·a＝|a|2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．类型3求向量的夹角【例3】已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a －2b垂直，求a与b的夹角．由两组向量分别垂直可得出|a|，|b|同a·b的关系，由此可借助公式cos θ＝a·b |a ||b|求a与b的夹角.[解]由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0，②①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝12b2，代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°．求a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|及a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．提醒：注意两向量的夹角θ∈[0，π]．9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是数乘向量和平行四边形法则．知识点2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a ＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．重点题型类型1对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对A[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．类型2 用基底表示向量【例2】 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN→＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →．[解] 法一：由已知，在△ABC 中，AM→＝MB →，且AN →＝12NC →，已知BN 与CM交于点E ，过N 作AB 的平行线，交CM 于D ，如图所示．在△ACM 中，CN CA ＝ND AM ＝23， 所以ND MB ＝NE EB ＝DE EM ＝23，所以NE→＝25NB →， AE→＝AN →＋NE →＝13AC →＋25NB → ＝13AC →＋25(NA →＋AB →) ＝13AC →＋25⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AC →＋AB →＝25AB →＋15AC →＝25a ＋15b ．法二：易得AN→＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数m ，满足 AE→＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ． 所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ． 因为a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，所以AE→＝25a ＋15b ．将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.类型3 平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例3】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在AC 上且AN ＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值．[解] 设AB→＝a ，AC →＝b ，则AM→＝12(a ＋b )，BN →＝－a ＋23b ． ∵A ，P ，M 共线， ∴设AP→＝λAM →，∴AP→＝λ2(a ＋b )． 同理设BP→＝μBN →，∴BP→＝－μa ＋23μb ．∵AB →＝AP →＋PB →，∴a ＝λ2(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－μa ＋23μb ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2－μa ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2－23μb ． ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＋μ＝1，λ2＝23μ，∴λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM →，BP →＝35BN →， ∴AP ∶PM ＝4∶1．1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．9.3.2 向量坐标表示与运算第1课时 向量的坐标表示知识点1 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x ，y )，使得a ＝x i ＋y j ．我们把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．1．在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1，1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1，1)，则向量a 的位置确定了吗？[提示] 对于A 点，若给定坐标为A (1，1)，则A 点位置确定．对于向量a ，给定的坐标为a ＝(1，1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关．知识点2 向量线性运算的坐标表示(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2．设i ，j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？[提示] a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j ．重点题型类型1 平面向量的坐标表示【例1】 (对接教材P 28例1)在直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的位置如图，|a |＝4，|b |＝3，且∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，分别求向量a ，b 的坐标．[解] 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，由于向量a 相对于x 轴正方向的转角为45°，所以a 1＝|a |cos 45°＝4×22＝22，a 2＝|a |sin 45°＝4×22＝22． 可以求得向量b 相对于x 轴正方向的转角为120°，所以b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332． 故a ＝(22，22)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.类型2 平面向量的坐标运算【例2】 已知平面上三个点A (4，6)，B (7，5)，C (1，8)，求AB →，AC →，AB →＋AC→，2AB →＋12AC →． [解] ∵A (4，6)，B (7，5)，C (1，8)， ∴AB→＝(3，－1)，AC →＝(－3，2)， AB→＋AC →＝(0，1)， 2AB →＋12AC →＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1．平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．类型3 平面向量线性运算的坐标应用【例3】 已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值．若不能，说明理由．以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解t 的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数t 的表达式．[解] (1)AB →＝(3，3)，OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )， 则P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13． (2)因为OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．1．(变条件)在本例条件下，若P 在第三象限，求t 的取值范围．[解] 由本例解知，若P 在第三象限，则⎩⎨⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23，所以t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23．2．(变条件)在本例条件下，t 为何值时，P 在函数y ＝－x 的图象上？ [解] 由P 点坐标(1＋3t ，2＋3t )在y ＝－x 上， 得2＋3t ＝－1－3t ，解得t ＝－12．即t ＝－12时，P 在y ＝－x 的图象上．已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.第2课时 向量数量积的坐标表示知识点1 平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．知识点2 向量的长度、夹角、垂直的坐标表示(1)向量的模：设a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2，即|a |＝x 2＋y 2．(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22． 特别地，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0；反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b ．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？[提示] ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2． 重点题型类型1 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1)，求： (1)a·b ；(2)(a ＋b )·(2a ＋b )；(3)(a·b )·c ． [解] (1)a·b ＝1×2＋3×5＝17． (2)∵a ＋b ＝(3，8)， 2a ＋b ＝(4，11)，∴(a ＋b )·(2a ＋b )＝12＋88＝100． (3)(a·b )·c ＝17c ＝(34，17)．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.类型2 向量的夹角【例2】 已知A (2，－2)，B (5，1)，C (1，4)，求∠BAC 的余弦值． [解] ∵AB →＝(5，1)－(2，－2)＝(3，3)， AC→＝(1，4)－(2，－2)＝(－1，6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15． 又|AB→|＝32＋32＝32， |AC→|＝(－1)2＋62＝37， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474．已知a ，b 的坐标求夹角时，应先求出a·b 及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.类型3 向量垂直的综合应用【例3】 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD→|．[解] 法一：设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)， ∴⎩⎨⎧x －3＝－6λy －2＝－3λ， ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0．① 又∵AD ⊥BC ， ∴AD →·BC→＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，。
高中数学第九章知识点总结（精华版）--立体几何
高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。
高二数学第九章复习讲义(4)
高二数学第九章复习（4）空间向量的（坐标）运算（2）一．基础训练：1．已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A 、)1,4,2(B 、)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，则=p 3 ，=q 2 ．2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中， 4=AB ，3=AD ，51=AA ，oBAD 90=∠，oDAA BAA 6011=∠=∠，则1AC3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） ()A 外心 ()B 内心 ()C 重心 ()D 垂心4．若(1,1,3)A m n +-，(2,,2)B m n m n -，(3,3,9)C m n +-三点共线，则m n +=0．5．已知(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，若||a ,a AB a AC ⊥⊥，则a 的坐标为 ()()1,1,1,1,1,1---．6．已知,是空间二向量，若||3,||2,||a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为60．7．已知向量)3,2,1(-=，)1,1,1(=，则向量在向量． 二．例题分析：例1．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，090=∠ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成060角，求B 、D间的距离。
（答案：2,例2．在矩形ABCD 中，已知1=AB ，a BC =，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ，若BC 边上存在唯一一点Q ，使得DQ PQ ⊥，M 是AD 上一点，M 在平面PQD 上的射影恰好是PQD ∆的重心，求线段AM 的长度及M 到平面PQD 的距离。
（答案：23）PAB CDM例3．在ABC ∆中2AB BC AC ===，现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量1AA平移到111A B C ∆的位置，31=BB ，D 是AB 的中点，F 是11C A 的中点，E 在1BB 上，⑴当131BB BE =时，求直线EC 与DF 所成角的大小； ⑵当E 点在1BB 上变化时，BE 为多长时DF CE ⊥．答案：⑴；⑵23三．课后练习： 班级 学号 姓名1．四面体SABC 中，SC ＝AB ＝１，SA 与BC 中点分别为,P Q，且2PQ =，则异面直线AB 与SC 所成的角为90．2．已知2=，且点A 、B 、C 、D 不共线，则下列结论正确的是 （ D ）()A 四边形ABCD 是平行四边形 ()B 四边形ABDC 是平行四边形()C 四边形ABCD 是梯形 ()D 四边形ABDC 是梯形3．已知32134e e e -+=，321245e e e +-=，其中},,{321e e e 是一组正交基底，b及a之间的夹角的余弦值为65． 4．从O 点出发的三条射线两两垂直，空间一点P 到这三条射线的距离分别为,,a b c ，则P到O5．已知平面α内的60BOC ∠= ，OA a =，OA 是平面α的斜线段，且45AOB AOC ∠=∠=，则点A 到平面α的距离为3． 6．如图，,,,,,M N E F G H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点， 若此四面体的对棱相等，则EF 与GH 所成的角等于90； ()EF NH MG ⋅+=_0．7．已知空间三个点(2,0,2)P -,(1,1,2)Q -和(3,0,4)R -，设a PQ = ,b PR =，⑴求a 与b的夹角θ（用反三角函数表示）；⑵试确定实数k ，使ka b + 与2ka b -互相垂直；⑶试确定实数k ，使ka b + 与a kb +互相平行。
高中第二册(下A)数学第九章 综合复习
第九章综合复习●教学目标（一）教学知识点1.高中数学中的主要数学思想.2.化归与类比思想在立体几何中的应用.3.分类讨论思想在立体几何中的应用.4.整体思想在立体几何中的应用.5.函数思想和方程思想在立体几何中的应用.（二）能力训练要求1.使学生能够体会各种数学思想在解题中的作用.2.使学生深刻领悟化归与类比思想在立体几何中的应用.3.使学生深刻领悟分类讨论思想在立体几何中的应用.4.使学生深刻领悟整体思想在立体几何中的应用.5.使学生深刻领悟函数思想和方程思想在立体几何中的作用.（三）德育渗透目标1.继续体验事物与事物之间的普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点.2.培养学生用运动变化的辩证唯物主义观点分析、解决问题.●教学重点体验各种数学思想在解题中的应用.●教学难点怎样以数学思想为指导，准确选用数学方法解决具体问题.●教学方法启发引导式通过例题的分析，启发学生体验各种数学思想在解题中的重要作用，引导学生去意识只有正确的数学思想作指导，才能选择出恰当具体的数学方法于解题中.●教具准备投影片四X.第一X：化归与类比思想的应用（记作A)第二X：分类讨论思想的应用（记作B)第三X：整体思想在解题中的应用（记作C)第四X：函数思想与方程思想的应用（记作D)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］数学思想是数学知识在更高层次上的概括，它蕴含在每一个数学问题的发生、发展和应用的过程中，这节课，我们来讨论数学思想在立体几何问题中的体现.Ⅱ.讲授新课［师］在前面的学习中，我们经常提到的数学思想有哪些呢？［生］化归与类比的思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体性思想、函数与方程思想.［师］下面，我们一起体会以上数学思想在解决立体几何问题中的应用.分析：由于△ABC 的重心在中线AO 上，而AO 、DM 在同一平面内，所以可将问题转化成平面AMPD 的问题.证明：如图，连结PM 、AD ，并设AO ∵对角面AMPD 是平行四边形, ∴PM =DA .∵△OMG ∽△ADG , ∴OG ∶AG =OM ∶AD =1∶2.∵AO 是△ABC 的边BC 的中线，且AG ∶GO =2∶1，∴点G 是△ABC 的重心.［师］本题是将有关元素化归到辅助平面AMPD 中，再利用平面几何的方法解决的，这是3△ABC 如果能注意到只有棱AC 的长为6，其他棱长都是5，就可以过AC 的中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题转化为求小三棱锥的体积.解：取AC 的中点D ，则直线AC ⊥平面PBO ，于是有 V P —ABC =V A —PBD +V C —PBD =31AD ·S △PBD +31CD ·S △PBD =31（AD +CD ）·S △PBD =31×6·S △PBD =2S △PBD . ∵PB =5，BD =PD =4，∴S △PBD =4395,∴V P —ABC =2395. ［师］以上这种通过分割几何体使问题由未知转化成已知的方法在求几何体的面积、体积等计算题中常常用到.下面，体会分类讨论思想在立体几何中的应用.（打出投影片B ）解：（1）当AB ⊥l 时，显然α+β=90°.(2)当AB 与l 不垂直时，在平面P 内作AC ⊥l ,C 为垂足，连结BC . ∵平面P ⊥平面Q ， ∴AC ⊥平面Q .∴∠ABC 是AB 与平面Q 所成的角， 即∠ABC =β.在平面Q 内作BD ⊥l ,垂足为D ，连结AD ， 同理得∠BAD =α.在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，BD <BC . ∴AB BD <ABBC ,即sin α<sin BAC . ∵α与∠BAC 均为锐角, ∴α<∠BAC .而∠BAC +β=90°，∴α+β<90°. (3)若AB 与l 重合时，α+β=0°. 综上可得0°≤α+β≤90°.［师］由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.组对棱相等，可联想到长方体对面不平行的对角线也具有这种性质,从而将此三棱锥补成一个长方体.解：可将如图（1）的三棱锥补成图（2）的长方体，设AD =a ,DB =b ,DC =c . ∴a 2+b 2=152,b 2+c 2=132,a 2+c 2=142.(1)PABC(2)解得a =126,b =99,c =70.又∵V P —ABC =V AFPG —DBEC -4V A —BCD =abc -4·31·21abc =31abc =4255.［师］以上题目让我们体会到通过利用整体思想将三棱锥补成一个长方体，从而使问题简便快捷地得到解决.另外，函数思想和方程思想在立体几何中也起着非常重要的作用，一起来体会两个例题.解：∵PA ⊥平面ABC ，∴AD 是PD 在平面ABC 内的射影. 又∵AD ⊥BC ，即BD ⊥AD ， ∴BD ⊥PD .在Rt △PDB 和Rt △PDC 中，θ=∠BPD -∠CPD .∵tan BPD =x 2,tan CPD =x1,∴tan θ=tan(∠BPD -∠CPD )=x x x x 12112⋅+-=22+x x(x >1).∴tanθ=xx 21+≤221=42. 当且仅当x =x2,即x =2时“=”成立. ∴tan θ的最大值为42.解：如图，在四面体S —ABC 中，BC =x ,其余棱长都为1，取BC 中点为D ，连结AD ，则AD ⊥BC ，且AD 平分∠BAC ，∴S △BAC =21BC ·AD =21x ·2)2(1x -=41x ·24x -.设点O 为S 在平面ABC 上的射影，则OA =OB =OC ，过O 作OE ⊥AB 交AB 于点E ，连结SE ，则SE ⊥AB ，∴△AOE ∽△ABD .∴ADAEBD OE =, 即2)2(1212xx OE -=. ∴OE =242xx-.∴SO =22OE SE -=)4(4)23(222x x --=2243x x -- ∴V S —ABC =31S △ABC ·OS =F (x ).∴F (x )=31·244x x -·2243xx -- =12x·23x - (0<x <3) =12x 423x x -=12122)23(49--x . ∴当x 2=23，即x =26时，F (x )m a x =121·23=81; 当0<x ≤26时，F （x )单调递增; 当26≤x <3时，F （x )单调递减. ［师］以上两例中选取变元，构造函数关系去解决问题，这是运用函数思想的较高层次，需要同学们在平时的学习中多加训练并注意不断积累，才能做到得心应手.Ⅲ.课堂练习1.长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长是多少？ 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,对角线长为d ,则⎩⎨⎧=++=++.24)(4,11)(2c b a ac bc ab 由②得a +b +c =6,∴对角线d =222c b a ++ =)(2)(2ac bc ab c b a ++-++.① ②∴d =1136 =5.2.球面上四点P 、A 、B 、C ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，PA =PB =PC =a ,求球的半径是 多少？解：以PA 、PB 、PC 为棱补成一个正方体，则这个正方体就是球的内接正方体. ∴正方体的对角线是球的直径.设球的半径为R ，则2R =3a . ∴R =23a . Ⅳ.课时小结1.化归与类比思想：在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题变为简单问题，将难解问题变为容易求解的问题，将未解的问题转化为已解决的问题.2.分类讨论思想：一种培养思维品质的条理性和概括性的数学思想方法.引起分类的因素有：概念、公式、性质、定理、参数变化、等价变换过程、几何图形不确定性等.3.整体思想：通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法.4.函数思想和方程思想：函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，再通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.Ⅴ.课后作业三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，且P 到三个平面的距离分别为3、4、5，求OP 的长.答案：52.“空间问题平面化思想”的教学将空间问题平面化，是立体几何中常常用到的一种化归与类比思想，在教学中必须重视这种思想的渗透.1.在知识形成过程中的渗透(1)空间图形的斜二测画法是将空间图形的问题转化为它的直观图这一平面图形的问题. (2)两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是将这些空间角转化为平面角.(3)棱柱、棱锥的侧面积公式的推导过程是将它们展平，从而使空间曲面的面积转化为平面图形的面积.(4)三垂线定理是判定平面的斜线和该平面内直线垂直的一种重要方法.定理的应用过程就是将平面的斜线和该平面内直线垂直的这一空间问题转化为平面内直线与该斜线在平面内的射影垂直的问题.2.在分析问题解决问题中的渗透［例题］在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、C1D1的中点，则A1B1与截面A1ECF 所成的角是多少？分析：连结A1C、B1C，则面A1B1C⊥面A1ECF，∴A1B1在平面A1ECF内的射影为A1C，∠B1A1C为所求角.1A解：设正方体棱长为a,则B1C=2a,A1C=3a.∵sin B1A1C=aa32=36,∴所求角的大小为arcsin36.评述：在求线面所成的角时，找出该直线在平面内的射影是问题的关键.。
高中数学必修二第九章知识点总结
高中数学必修二第九章知识点总结一、随机抽样。
1. 简单随机抽样。
- 定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤ N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
- 常用方法。
- 抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
- 随机数法：利用随机数表、随机数生成器或统计软件来抽取样本。
2. 系统抽样。
- 定义：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。
- 步骤。
- 先将总体的N个个体编号。
- 确定分段间隔k = (N)/(n)(n是样本容量)，对编号进行分段。
- 在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤ k)。
- 按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l + k)，再加k得到第3个个体编号(l+2k)，以此类推，直到获取整个样本。
3. 分层抽样。
- 定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样。
- 适用情况：总体是由差异明显的几个部分组成时。
- 步骤。
- 根据已掌握的信息，将总体分成互不相交的层。
- 计算各层中个体数与总体数的比例，按各层个体数占总体数的比例确定各层应抽取的样本容量。
- 在每一层进行抽样（可以用简单随机抽样或系统抽样）。
二、用样本估计总体。
1. 频率分布表与频率分布直方图。
- 频率分布表。
- 计算极差（最大值与最小值的差）。
- 决定组距与组数（组距=(极差)/(组数)，组数通常取5 - 12组比较合适）。
- 确定分点，将数据分组。
- 统计每组的频数，计算频率（频率=(频数)/(样本容量)），列出频率分布表。
部编版高中数学必修二第九章统计知识点总结全面整理
(名师选题)部编版高中数学必修二第九章统计知识点总结全面整理单选题1、已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为x，方差为s2，则（）A．x=5，s2=2B．x=5，s2=1.6C．x=4.9，s2=1.6D．x=5.1，s2=2答案：B分析：设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，进而根据题意求出x1+x2+⋯+x7和(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x7−5)2，进而再根据平均数和方差的定义求得答案.设这10个数据分别为：x1,x2,⋯,x7,x8=4,x9=5,x10=6，根据题意x1+x2+⋯+x77=5⇒x1+x2+⋯+x7=35，(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x7−5)27=2⇒(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x7−5)2=14，所以x=x1+x2+⋯+x1010=35+4+5+610=5，s2=(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x10−5)210=14+(4−5)2+(5−5)2+⋯+(6−5)210=1.6.故选：B.2、2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（）A．各班植树的棵数不是逐班增加的B．4班植树的棵数低于11个班的平均值C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳答案：C分析：从图中直接观察可以判定AD正确，结合平均数的定义，将比4班多的里面取出部分补到比4班少的班中，可以使得4班的植树量最少，从而判定B正确；结合中位数的定义可以判定C错误.从图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确；4班的指数棵数为10，11个班中只有2、3、8班三个的植树棵数少于10，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、3、8班中取，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9、10、11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的；1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15，另外从图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确；综上，不正确的只有C，故选：C.小提示：本题考查频数折线图的意义，涉及平均数，中位数，波动大小的判定，难点是平均数的估算，这里采用取长补短法进行估算，可以避免数字的计算.3、下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查答案：B分析：根据简单随机抽样的特点逐项判断可得答案.对于A，某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动，每个人被抽到的机会不相等，故错误；对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验，是简单随机抽样，故正确；对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故错误；对于D ，饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故错误. 故选：B.4、3个数1，3，5的方差是（ ） A ．23B ．34C ．2D ．83 答案：D分析：由题得3个数的平均数为3，再利用方差公式求解. 由题得3个数的平均数为3，所以S 2=13[(1−3)2+(3−3)2+(5−3)2]=83．故选：D5、为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300,500)的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：根据直方图求出a =0.0025，求出[300,500)的频率，可判断①；求出[200,500)的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.由(0.001+0.0015+0,002+0.0005+2a)×100=1，a=0.0025，[300,500)的频率为(0.002+0.0025)×100=0.45，①正确；[200,500)的频率为(0.0015+0.002+0.0025)×100=0.55，②正确；[200,400)的频率为0.3，[200,500)的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45，故中位数为400+0.5−0.30.25×100=480，③正确.故选:D.小提示：本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题6、一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（）A．2B．3C．4D．5答案：B分析：先判断出平均数不变，然后分别表示出原先一组数的方差和新数据的方差，作差化简即可得到答案. 一个数由4改为1，另一个数由6改为9，故该组数据的平均数x不变，设没有改变的八个数分别为x1,x2,x3,⋯,x8，原先一组数的方差s12=110[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋯+(x8−x)2+(4−x)2+(6−x)2]，新数据的方差s22=110[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋯+(x8−x)2+(1−x)2+(9−x)2所以s22−s12=110[(1−x)2+(9−x)2−(4−x)2−(6−x)2]=110(1−2x+x2+81−18x+x2−16+8x−x2−36+12x−x2)=3，故选：B.小提示：关键点点睛：该题考查了平均数与方差的求解，正确解题的关键是熟练掌握方差的计算公式.7、某老师为了解某班50名同学在家学习的情况，决定将本班学生依次编号为01，02，⋅⋅⋅，50.利用下面的随机数表选取10名学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，则选出来的第4名学生的编号为（）7 2 5 6 0 8 1 3 0 2 5 8 3 2 4 9 8 7 0 2 4 8 1 2 9 7 2 8 0 19 8 3 1 0 4 9 2 3 1 4 9 3 5 8 2 0 9 3 6 2 4 4 8 6 9 6 9 3 87 4 8 1A．25B．24C．29D．19答案：C分析：利用随机表法从第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，超过50的跳过，重复的只取一个即可求解.从题中随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，超过50的跳过，重复的只取一个可得：25 ，30 ，24，2 9，19，10 ，49 ，23，14，20，故选出来的第4名学生的编号为29.故选：C.8、为了进一步推动全市学习型党组织､学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，从全体测试人员中随机抽取了一部分人的测试成绩，得到频率分布直方图如图所示.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，则估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是（）A．85，87.5B．86.75，86.67C．86.75，85D．85，85答案：B分析：根据平均数和中位数的定义求解即可由题意可知，平均数约为(0.03×77.5+0.05×82.5+0.06×87.5+0.04×92.5+0.02×97.5)×5=86.75；因为前2组的频率和为5×0.03+5×0.05=0.4<0.5，前3组的频率和为5×0.03+5×0.05+5×0.06= 0.7>0.5，所以中位数在[85，90）内，设中位数为x，则5×0.03+5×0.05+(x−85)×0.06=0.5，解得x≈86.67. 所以估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是86.75，86.67.故选：B.多选题9、中国的华为公司是全球领先的ICT（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31,32]内B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C．根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D．根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少答案：ABD解析：计算出甲店的月营业额的平均值即可判断A；由图可直接判断B；分别计算出甲、乙两店的月营业额极差和7、8、9月份的总营业额即可判断CD.对于A，根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值为14+21+26+30+52+476=1906≈31.7，故A正确；对于B，根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势，故B正确；对于C，可得甲店的月营业额极差为52−14=38，乙店的月营业额极差为53−7=46，故C错误；对于D，甲店7、8、9月份的总营业额为30+52+47=129，乙店7、8、9月份的总营业额为33+44+ 53=130，故D正确.故选：ABD.10、（多选）下列调查方式合适的是（）A．为了了解炮弹的杀伤力，采用抽样调查的方式B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式D．检查一批待售袋装牛奶中的细菌是否超标，采用普查的方式答案：AC分析：根据普查和抽样方法的特点判断.了解炮弹杀伤力的过程中具有破坏性，所以采用抽样调查的方式；了解全国中学生的睡眠状况，工作量大，所以采用抽样调查的方式；了解人们保护水资源的意识，工作量大，所以采用抽样调查的方式；检查一批待售袋装牛奶中的细菌是否超标，具有毁损性，所以采用抽样调查的方式．故选：AC．11、某学校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（）A．样本中数据的中位数小于41B．样本中支出不少于40元的人数为132C．全校学生支出的众数约为45元D．若该校有2000名学生，则约有600人的支出在[50，60]内答案：BCD分析：设样本数据的中位数为x，根据(0.01+0.024)×10+(x−40)×0.036=0.5求出x可判断A；计算出样本中支出在[50,60]内的频率可得样本中支出不少于40元的人数可判断B；由频率分布直方图得样本中学生支出的众数再估算全校学生支出的众数可判断C；若该校有2000名学生乘以0.3可判断D.在A中，设样本数据的中位数为x，则(0.01+0.024)×10+(x−40)×0.036=0.5，解得x≈44.44>41，故A 错误；在B中，样本中支出在[50,60]内的频率为1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，样本中支出不少于40元的+60=132，故B正确；人数为0.36×60=45（元），所以全校学生支出的众数约为在C中，由频率分布直方图得样本中学生支出的众数约为40+50245元，故C正确；在D中，若该校有2000名学生，则约有2000×0.3=600人的支出在[50,60]内，故D正确.故选：BCD.填空题12、由6个实数组成的一组数据的方差为S12，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7 ，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为S22，则S22−S12=________．答案：2分析：根据平均数和方差的定义进行求解即可.因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为x，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为S，所以S22−S12=[S+(2−x)2+(7−x)2]−[S+(5−x)2+(4−x)2]=2，6所以答案是：213、已知一组数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4，则a的值是_____. 答案：2分析：根据平均数的公式进行求解即可．∵数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4∴4+2a+3−a+5+6=20，即a=2.所以答案是：2.小提示：本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．。
高二数学下第九章复习讲义
高二数学下第九章复习讲义第1讲平面的基本性质一、典型例题例1、用符号语言写出下列图形应满足的条件图（1）图（2）分析；根据图形；准确地想象点、线、面这些基本元素的关系；然后用集合的符号语言表示出来。
书写的规律一般是：先平面再直线；最后为点。
在（1）中：平面α∩平面β= ；a∩α=A；b∩α=B在（2）中：α∩β= ；a⊂α；b⊂β；a∩ =P； b∩ =P；c∥ 。
例2、作出满足下列条件的图形：图（1）图（2）（1）α∩β=AB；a⊂α；b⊂β；a∥AB；b∩AB=M；（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中；O为正方形ABCD中心；A1C∩平面C1BD=M；求作点M。
分析：（1）作图的顺序与读图的顺序相同；先平面再直线再到点。
如图（1）（2）设法把点M放到某两个平面的交线上；∵M∈A1C；A1C⊂平面AA1C1C（由AA1∥C1C；A1A；CC1是可以确定一个平面的）；∴M∈平面AA1C1C。
又M∈平面C1BD；∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点。
观察图象可知；C1、O也为上述两个平面的公共点；即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O。
∵M∈C1O；又M∈A1C；∴C1O∩A1C=M；即平面AA1C1C1内；两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M。
评注：题（2）首先体现了转化的思想；将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点；确定了交点的位置。
其次；将直线A1C放在平面AA1C1C内思考；这是处理直线典型的一种思考方法。
借助于平面AA1C1C；点M的位置就越来越具体了。
这种类似于平面几何辅助直线的平面；称之为辅助平面。
在研究空间图形时；经常要作这样的辅助平面。
进一步研究M点性质；还可发现M为A1C的三等分点；M是△C1BD的重心（中心）。
例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面。
分析：以文字语言出现的几何证明题；首先要“翻译”为符号语言写成已知、求证的形式；并辅之以正确的图形；然后再进行证明。
2019-2020年高二数学第九章小结与复习二
O PMDC B ADO C B A P 2019-2020年高二数学第九章小结与复习二教学目的：1．在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力授课类型：练习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解范例：例1 已知正三棱锥的底面边长为，过作截面垂直侧棱于，且此截面与底面成的二面角，求此三棱锥的侧面积．解：作底面，垂足为，则是中心，连结并延长交与，连结，则，，∴面，，∴是二面角的平面角，∵面，，，3tan 60PO AO a =⋅==，在中，，2132S a =⨯=侧． 例2．已知正三棱锥的高为，一个侧面三角形的面积为，求这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角解：设正三棱锥，高，， 作于，连接， 由三垂线定理知，为所求的侧面和底面所成的二面角的平面角，设，则，又，∴．，∴．由，得，1cos 2OD x PDO PD y ∠===，∴所求二面角为． 例3．如图，正四棱锥中，所有棱长都是，为的中点，（1）求二面角的大小；（2）如果点在棱上，那么直线与能否垂直？请说明理由解：（1）取的中点，连结，是正三角形，∴ ，∴是二面角的平面角， 在中，2223381cos 263BE DE BD BED BE DE +-+-∠===-⋅， ∴， 故二面角的大小为．（2）设，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，2222(,0,),(2,0,)2222P Q x x -， 2222(,2,),(2,2,)2222DP BQ x x ==--，，∴与不可能垂直 说明：证明线线垂直可以建系证明或用三垂线定理证明例4．已知三棱锥中，，，⊥平面，，分别是上的动点，且，（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；（Ⅱ）当为何值时，平面⊥平面？证（Ⅰ）∵平面，∴，∵，且，∴平面，又∵（），∴不论为何值，恒有，∴平面，平面，∴不论为何值恒有平面⊥平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又要平面平面，∴平面，∴，∵，，，∴2,2tan 606BD AB ===，∴，由得，∴， 故当时，平面平面．例5．如图，在棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求证：平面平面．分析：(Ⅲ)中平面与平面的公共棱不明显，因而可证明其中一个平面内的某一直线垂直于另一个平面．证明：（Ⅰ）取中点，连结，∵侧面是边长为的正三角形，∴，∵侧面底面，∴底面，在中，，，∴，由三垂线定理知．（Ⅱ）∵，，，∴平面，∵，∴平面，∴是二面角的平面角，∵，∴，，，∴二面角为．（Ⅲ）取中点，连结，则，又，∴，又∵平面，平面，，∴，又∵，且，平面，平面，∴平面平面．二、小结：棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现三、课后作业：四、板书设计（略）五、课后记：2019-2020年高二数学第九章直线平面简单几何体教材分析新课标人教版本章共分四大节11小节，教学时间约需36课时，具体分配如下（仅供参考）：空间的直线和平面9．1平面的基本性质约3课时9．2空间的平行直线与异面直线约2课时9．3直线与平面平行、平面与平面平行约2课时9．4直线和平面垂直约4课时空间向量9．5空间向量及其运算约5课时9．6空间向量的直角坐标及其运算约3课时夹角和距离9．7直线与平面所成的角和二面角约3课时9．8距离约2课时简单多面体和球9．9棱柱和棱锥约4课时9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现约2课时9．11球约3课时小结与复习约3课时一、内容与要求9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图9.2节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础9．3节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系平行平面的传递性在练习中出现，学生做完练习，教师可加以总结让学生掌握这一性质通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点9．4节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理这里的“掌握”与9(A)的要求不同主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学第二大节空间向量，主要是学习空间向量及其在立体几何中的初步应用本大节共分2小节9．5节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明9．6节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理本章第三大节，夹角和距离共有2小节9．7节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质9．8节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离，异面直线的距离和计算这一大节要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了本章第四大节是简单多面体和球，共分4小节简单几何体，是指最基本、最常见的几何体按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球这些内容分别构成本大节的4个小节由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等9．9节，有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图9．10节，这一版修定为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣9．11节，有两个知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》(必修本)有较大变化教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节这一大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面三大节，空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用二、教学目标（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理；了解三重线定理及其逆定理（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理（8）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图（10）了解棱锥的慨念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图（11）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式（12）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式（13）通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点三、本章的特点（一）加强三种数学语言功能的发挥，使教材更有利于培养学生的空间想象能力数学语言是在数学思维中产生和发展的，是数学思维不可缺少的重要工具通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言和图象语言几种语言各有特点，发挥着不同的功能，又互相依存，互相制约1．从图象语言入手，有序地建立三种数学语言的联系当代著名数学家、数学教育家G．波利亚将一般数学问题的解决分为四个水平，即图象水平，联系水平，数学水平和探索水平从数学语言的角度说，这里的第一种水平，使用的主要是图象词汇；第二种水平，是将所考察的对象及表示它的图象词汇用文字或符号表示出来，建立几种词汇间的联系；第三种水平，是将各种数学词汇发展成以数学理论为“句法”的数学语句；第四种水平，是由数学语句发展成数学文章，即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索在本章中，上述四种水平的循序发展尤为典型．立体图形是立体几何研究的对象，对它的一般描述表示是按“三维对象（几何模型）--图形--文字--符号”这种程序进行的其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学词汇，也是形象、直观的语言完成了由对象到图形的飞跃，才有可能达到后面的水平因此，加强图形的运用十分重要本章编写中首先强调图象语言，适当增加插图的数量，提高插图的质量，在图形的典型性、简明性、直观性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分发挥其作用文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象显然，首先建立的是图象语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，即整体认识有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，能根据需要由一种描述转化为其他描述，就能基本把握对象了对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言．本章在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先给出图形再以文字和符号描述，注意综合运用几种数学语言，使其优势互补，以期能收到更好的效果 2．做好由模型到图形的过渡立体几何的一个主要难点，是要由画在二维平面上的图形想象出三维空间中的几何关系对此,即使学习了较长时间立体几何，遇到复杂些的图形也有一定难度对于初学立体几何的高中生，把平面上的图形在头脑中立体化困难就更大克服这些困难的一个有效办法，就是做好由模型到图形的过渡要增加一些由模型画图形的训练，例如画简单几何体的练习可以提前些通过观察实物或模型并用几何图形表示它们，熟悉空间各种线面关系的表示方法，对于看图是非常重要的这应作为学习立体几何的图象语言的起始内容为此，本章在练习和习题中安排了一些“观察图形后填空”或“用符号表示语句并画出图形”类型的题目，希望教学中能重视发挥它们的作用3．注意两个方向的转化培养空间想象力，有两个不同方向的转化问题首先是“图形---文字--- 符号”的转化，即由图形出发，弄清画在平面（书页、黑板等）上的立体图形所表示的空间几何关系，以及未明确表示的隐蔽关系，然后将它们用文字语言加以描述，再以数学符号概括表示，将“有形”的信息变为“无形”的形式其次是“符号---文字---图形”的转化，即理解符号或文字所表达的空间几何关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，特别在前面部分的练习题和习题中增加了插图的数量，并且加强这种转化的训练这样做既有利于第一种转化,同时也为实现第二种转化做了必要准备4.文字语言要准确简明本章的语言叙述力求准确简明（1）关于平面的公理2的叙述：“如果两个平面*有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条直线”（教科书中加页边注：* 在本章中，没有特别说明的“两个平面”，均指不重合的两个平面）由于教材在第1章专门安排了“集合”的内容，在第9章的序言中又强调了“空间图形是空间中点的集合”，能够结合学生已学的集合概念，简单准确清楚地说明问题（2）关于两点间球面距离的叙述如下：“在球面上，两点之间的最短连线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧我们把这段弧的弧长叫做两点的球面距离”5．符号语言要合理、简洁、易用、相对规范使用符号的目的在于带来方便，符号要合理例如，表示“平面α和β的交线为a”和“点p 在直线a上，a在平面α内”，要根据点是基本元素，直线、平面是点的集合的道理，分别使用∩、∈、，这些符号不能随意使用，教学中有必要向学生反复交代符号要简洁，在不会引起混乱的前提下可适当简化．符号要易用，如果一下子出现过多符号会给使用带来不便，则不必强求符号化．符号的使用要有通用性，因而应相对规范．（二）用“分割，求和，逼近”法对球的两个公式进行推导，突出相应的数学思想教材在处理球面积、球体积公式推导时，（1）先讲球体积公式，后讲球的表面积公式，讲后者时利用前者，而且推导它们的基本思想方法同出一辙（2）以求几何度量公式时具有一般性的数学思想为指导，用“分割，求近似和，化为精确和”的方法推导公式同时注意适合高中生的水平，既要使学生理解公式推导的基本思想方法，又要有别于正规地使用极限、微积分等有关概念及公式法则的严格推导具体处理方法是：求球体积公式时，将半球切片，用多个圆柱体的和逼近球；求球表面积公式时，将球分为多个以球心为顶点的小锥体，用它们的和逼近球，通过比较体积得出表面积公式本章推导这两公式时，力图进行在渗透近代数学思想方法上下功夫，在教学要求上应重在掌握公式本身和理解公式推导的基本思路，而不要过于强调掌握具体推导过程四、教学中应注意的几个问题（一）抓住重点，克服难点，打好基础，注重培养学生的空间想象能力本章教材的重点，是平面的基本性质、空间直线的位置关系、直线与平面之间及两平面之间的平行和垂直关系，即第一大节的主要内容这是研究立体几何问题的重要基础掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最根本的内容，其他部分就容易学习了因此，对于本章前面部分的教学，应注意讲求实效，让学生切实学好这些最基础的内容，并能在头脑中建立相应的知识体系，使知识条理化使学生建立正确的空间观念，对图形的认识上实现由平面到立体的过渡，是本章教学中的难点为克服这一难点，可注意以下几点：1．联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出它所对应的模型的形状及其中各元素的空间几何位置关系的能力2．体会本章“从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系”的编写意图，通过适当的练习训练提高学生使用这些语言的能力。
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第九章 统计 知识点汇总及解题规律方法提炼
新教材人教A版高中数学必修第二册第九章统计知识点汇总及解题规律方法提炼第九章统计学9.1 随机抽样1.全面调查与抽样调查全面调查是对每一个调查对象进行调查的方法，也被称为普查。
在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。
抽样调查是根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法。
从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。
调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。
2.简单随机抽样简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。
放回简单随机抽样是从一个总体含有N（N为正整数）个个体中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。
不放回简单随机抽样是如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。
3.总体平均数与样本平均数总体平均数是指总体中所有个体变量值的平均数，记为Y。
如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则Y=（Y1+Y2+…+YN）/N。
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=（∑fiYi）/N。
样本平均数是指从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=（y1+y2+…+yn）/n为样本均值，又称样本平均数。
在简单随机抽样中，各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性。
在统计学中，我们常使用样本平均数y来估计总体平均数Y。
高二下学期数学第九章复习(2)doc
E1A CA高二下学期数学第九章复习（2）直线与平面的位置关系（2）一、复习目标：1．掌握直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会熟练应用； 2．掌握三垂线定理及其逆定理，并会利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题．二、知识要点：1．直线和平面平行与平面和平面平行（1）直线与平面的位置关系有（2）线面平行的判定定理：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒（线线平行⇒线面平行） （3）线面平行的性质定理：//,,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒（线面平行⇒线线平行）（4）面面平行的判定定理：,//,,//,//a a b b a b P αβαβαβ⊂⊂=⇒（线面平行⇒面面平行） （5）面面平行的性质定理：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒（面面平行⇒线线平行）2．直线与平面垂直（1）判定定理：,,,,a b a b p l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥ （2）性质定理：,//a b a b αα⊥⊥⇒3．三垂线定理及其逆定理的内容为．三、基础训练：1．已知a ,b ,c ,d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，则（ C ） A ．a ∥d ⇒a ∥b B ．a ⊥b ⇒c ⊥d C ．a ∥b ⇒c ∥d D ．c ⊥d ⇒a ⊥b 2．设,αβ是不重合的两个平面，l 和m 是不重合的两条直线，那么//αβ的一个充分条件是（ C ） A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B ．l ⊂α，m ⊂β，且l ∥m C ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m D ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m 3．下列命题中错误的命题的序号为 ⑴、⑵、⑷ ⑴,a b 是异面直线，一定存在过a 且垂直于b 的平面；⑵互相平行的两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线或一条直线或一个点； ⑶若不与平面相交的直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直； ⑷若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面．4．四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，4,3,1AB cm BC cm PD cm ===，则点P 到直线AC 的距离为135．5．已知异面直线,a b 所成的角为050，P 为空间的一个定点，则过点P 且与,a b 所成的角都是030的直线有 2条。
第九章 第2讲 高中数学复习专题课件
解析 先将 2x＋2y＋1＝0 化为 x＋y＋12＝0，
则两平行线间的距离为
d＝|2－212|＝3 4
2 .
答案
32 4
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________. 解析 由题意知 －m2－－4m＝1，所以 m－4＝－2－m， 所以 m＝1. 答案 1
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (1)曲线 y＝2x－x3 在横坐标为－1 的点处的切线为
l，则点 P(3，2)到直线 l 的距离为( )
72 A. 2
92 B. 2
11 2 C. 2
9 10 D. 10
(2)(2017·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线 l1：x＋ay
＋6＝0 与 l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行，则 l1 与 l2 间的距离
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点一 两直线的平行与垂直
【例 1】 (1)已知两条直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3 ＝0 平行，则 a 等于( )
A.－1
B.2
C.0 或－2
D.－1 或 2
(2)已知两直线方程分别为 l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，础诊断
考点突破
课堂总结
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ___（__x_2－__x_1_）__2_＋__（__y2_－__y_1_）__2 _. 特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝___x_2＋__y_2__.
高二下学期数学第九章复习(1)
高二下学期数学第九章复习（1）高二下学期数学第九章复习〔1〕直线与平面的位置关系〔1〕一、复习目标：1．把握平面的差不多性质，并会运用平面的差不多性质证明点共线和线共面；2．把握空间两直线的位置关系，异面直线的判定方法以及异面直线所成角的概念和求法。
二、知识要点：1．平面的差不多性质：公理1：AABBααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭；公理2：lPP lPlαβαβ=⎧∈⎫⎪⇒∈⎬⎨∈⎭⎪⎩是唯一；公理3：A B CA B CA B Cααββ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线重合，，，，与，，．推论1：；推论2：；推论3：．2．空间两直线的位置关系有．异面直线的判定定理为；两异面直线所成角的范畴是；3．求两异面直线所成角的一样步骤为：〔1〕选择合适的点；〔2〕平移一条或两条直线；〔3〕找出所求异面直线所成的角；〔4〕将该角放入三角形中解三角形求角〔常用余弦定理〕。
4．学习空间向量的坐标表示以后，能够得到：cos,a ba ba b<>=，应该注意的是，两个向量所成的角的范畴与两条异面直线所成的角的范畴不同。
三、基础训练：1．空间两直线平行是指它们〔B 〕A．无交点B．共面无交点C．和同一条直线垂直D．和同一条直线所成角相等2．通过正方体的四个顶点的平面个数为〔D 〕A．6 B．8 C．9 D．123．有以下四个命题：(1)假设a与b异面, b与c异面,那么a与c异面; (2)假设a与b共面, b与c共面,那么a与c共面(3)假设a与b平行,b与c平行,那么a与c平行; (4)假设a与b相交,b与c相交,那么aNMAC 11A 1γβαba m与c 相交;其中正确命题的个数为 〔 B 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，所有各面的对角线中与AB 1成60°角的异面直线的条数 〔 B 〕 A ．2条 B ．4条 C ．5条 D ．6条5．如图A B C '''∆是用斜二测法所画ABC ∆水平放置的直观图,由图判定原三角形中〔 C 〕A ．AB AD AC >> B ．AB AC ⊥C ．AB AD AC << D ．AD ⊥6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，,P Q 分不是1AA 和1CC 的中点，那么四边形1PDQB 是 菱 形。
高二下学期数学第九章复习(2)
E1A CA 高二下学期数学第九章复习（2）高二下学期数学第九章复习〔2〕直线与平面的位置关系〔2〕一、复习目标：1．把握直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会熟练应用； 2．把握三垂线定理及其逆定理，并会利用三垂线定理及其逆定明白得决有关线线垂直咨询题．二、知识要点：1．直线和平面平行与平面和平面平行〔1〕直线与平面的位置关系有〔2〕线面平行的判定定理：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒〔线线平行⇒线面平行〕 〔3〕线面平行的性质定理：//,,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒〔线面平行⇒线线平行〕〔4〕面面平行的判定定理：,//,,//,//a a b b a b P αβαβαβ⊂⊂=⇒〔线面平行⇒面面平行〕 〔5〕面面平行的性质定理：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒〔面面平行⇒线线平行〕2．直线与平面垂直〔1〕判定定理：,,,,a b a b p l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥ 〔2〕性质定理：,//a b a b αα⊥⊥⇒3．三垂线定理及其逆定理的内容为．三、基础训练：1．a ,b ,c ,d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，那么〔 C 〕 A ．a ∥d ⇒a ∥b B ．a ⊥b ⇒c ⊥d C ．a ∥b ⇒c ∥d D ．c ⊥d ⇒a ⊥b 2．设,αβ是不重合的两个平面，l 和m 是不重合的两条直线，那么//αβ的一个充分条件是〔 C 〕 A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B ．l ⊂α，m ⊂β，且l ∥m C ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m D ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m 3．以下命题中错误的命题的序号为 ⑴、⑵、⑷ ⑴,a b 是异面直线，一定存在过a 且垂直于b 的平面；⑵互相平行的两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线或一条直线或一个点；⑶假设不与平面相交的直线和那个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直； ⑷假设一条直线垂直于一个平面的一条垂线，那么此直线平行于那个平面．4．四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，4,3,1AB cm BC cm PD cm ===，那么点P 到直线AC的距离为135．5．异面直线,a b 所成的角为050，P 为空间的一个定点，那么过点P 且与,a b 所成的角差不多上030的直线有 2条。
高中数学高考复习：第九章第1讲
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
法二：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种 颜色都用，这时 A 有 4 种涂法，B 有 3 种涂法，C 有 2 种涂 法，D 有 1 种涂法，共有 4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用 3 种颜色，这时 A，B，C 的涂法有 4×3×2＝24(种)，D 只要 不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法，所以不同的涂法共有 24＋24×2＝72(种)．
D．9
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每 人至多参加一项，则共有___1_2_0___种不同的报名方法． 【解析】 (1)由题意可知 E→F 共有 6 种走法，F→G 共有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有 6×3＝18 种走法，故选 B． (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人， 第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项 目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方 法共有 6×5×4＝120(种)．
栏目 导引
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则两位数 的个数为__4_5_____． [解析] 分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由 本例(2)知共有 36 个；另一类：个位数字与十位数字相同的 有 11，22，33，44，55，66，77，88，99，共 9 个．由分类 加法计数原理知，共有 36＋9＝45(个)．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
知识点
考纲下载
1.能用计数原理证明二项式定理． 二项式
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问 定理
高中数学第9章复习与小结苏教版选择性必修第二册
课堂练习
1．“使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”某机构调查
了 1152 位成年人对这种说法的态度，以下是调查对象回答情况的列联表：
回答情况 同意
不置可否 不同意
男性 346 87 83
女性 306 139 191
数学应用
例 1 考察人的高血压是否与食盐摄入量有关，对某地区人群进行跟踪调
查，得到以下数据：
患高血压 未患高血压 合 计
喜欢较咸食物
34
喜欢清淡食物
26
合
计
60
220
254
1353
1379
1573
1633
有多大把握认为高血压病与食盐摄入量有关？
数学应用
解：由公式得 2＝ 1633 （34 1353－26 220）2 ≈80.1549＞10.828，
（1）进行相关性检验；
（2）如果 x 与 y 之间具有线性相关关系，求出线性回归方程，并预测当腐
蚀时间为 75s 时，腐蚀深度为多少μm？
数学应用
解：（1）计算得| r |＝0.9836＞r0.05＝0.632， 则 x 与 y 具有线性相关关系． （2）求得 aˆ ＝4.93，bˆ ＝0.32， ∴线性回归方程为 yˆ＝0.32x＋4.93 ．
第9章 复习与小结
复习回顾
1．2×2 列联表． 2．独立性检验与相关性检验（见下表）．
含义 所用统计量 步骤
独立性检验
2
相关性检验
r
相同点
不同点
都是统计学中 的常用方法， 且步骤相似， 思想一致
所用的统计 量不同，临 界值不同
高中数学必修二第九章统计知识点汇总(带答案)
高中数学必修二第九章统计知识点汇总单选题1、为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1200名学生是总体B．每个学生是个体C．样本容量是100D．抽取的100名学生是样本答案：C分析：根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.根据题意，总体是1200名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；样本容量是100，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.故选：C.2、根据2021年《第七次全国人口普查公报》，就我国2020年每十万人中拥有的各类受教育程度的人口情况，绘制了如图所示的扇形统计图，则（）A．每十万人中拥有高中（含中专）文化程度的人数最少B．每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数少于2万C．每十万人中拥有小学文化程度的人数最多D．每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度的人数占比不到50%答案：B分析：根据扇形图的比例数据，结合各选项的描述直接判断正误即可.A：每十万人中其他文化程度的人数最少，占比为10%，错误；B：每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数为10×15%=1.5万，正确.C：每十万人中拥有初中文化程度的人数最多，占比为35%，错误；D：每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度的人数占比为50%，错误.故选：B.3、某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（）A．12B．20C．24D．28答案：A分析：根据题意，结合分层抽样的计算方法，即可求解.根据题意，设抽取的样本人数为n，=16，所以n=28，因此女职工抽取的人数为28−16=12（人）.因男职工抽取的人数为56n56+42故选：A.4、下表是某校校级联欢晚会比赛中12个班级的得分情况，则得分的30百分位数是（）答案：D分析：根据百分位数的定义求解即可.12×30%=3.6，把12个班级的得分按照从小到大排序为7，7，8，9，9，10，10，10，11，13，13，14，可得30百分位数是第4个得分数，即9.故选：D5、每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（）A．20家B．10家C．15家D．25家答案：A分析：确定抽样比，即可得到结果.解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×100=20（家）.20+100+15故选：A.6、下列调查方式合适的是（）.A．为了了解一批头盔的抗压能力，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式答案：C分析：根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对于选项A，采用普查的方式测试头盔的抗压能力，成本较高，不适合，故A错误；对于选项B，采用普查的方式测试玉米种子的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故B错误；对于选项C，采用抽查的方式了解河流的水质，适合，故C正确；对于选项D，为了了解5个人每周体育锻炼的时间，适合采用普查的方式，故D错误．故选：C．7、2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A．40B．39C．38D．37答案：C分析：利用中位数左右两边的小矩形的面积都等于0.5即可求解.年龄位于[18,24)的频率为0.013×6=0.078，年龄位于[24,30)的频率为0.023×6=0.138，年龄位于[30,36)的频率为0.034×6=0.204，年龄位于[36,42)的频率为0.040×6=0.240，因为0.078+0.138+0.204=0.42<0.5，而0.078+0.138+0.204+0.240=0.42=0.66>0.5，所以中位数位于[36,42)，设中位数为x，则0.078+0.138+0.204+(x−36)×0.04=0.5，解得：x=38，故选：C.8、从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（）A．50名学生是总体B．每个被调查的学生是个体C．抽取的6名学生的视力是一个样本D．抽取的6名学生的视力是样本容量答案：C分析：根据总体、样本、个体、样本容量的概念判断.从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，则50个学生的视力状况是总体，抽取的6名学生的视力是一个样本，每个被调查的学生的视力状况是个体，样本容量是6，结合所给的选项，只有C正确.故选：C．多选题9、小陈为学校动漫社制作了宣传片，邀请全班同学进行观看并给出评分（0-10分）．由于小陈不太好意思直接询问同学意见，因此他制作了包含如下两个问题的调查问卷：①你的学号是否为奇数；②你对视频的评分是否在5分以上（含5分）．每位同学完成问卷后不需要填写答案，只需要填写回答“是”的个数．最后经统计，有40％的同学回答了两个“是”，则下列说法正确的有（）．A．全班约有60％的同学对视频的评分在5分以上B．全班约有80％的同学对视频的评分在5分以上C．记全班同学评分的均值为x̅，则可估计x̅在4到9分之间D．记全班同学评分的均值为x̅，则可估计x̅在3到8分之间答案：BC分析：由有40％的同学回答了两个“是”可推出对视频的评分是在5分以上同学的比例，再由此确定平均分的估计值.全班约有一半的同学学号为奇数，由于学号是否为奇数与对视频的评分无关，因此40％的同学回答了两个“是”意味着约有80%的同学对视频的评分在5分以上，A选项错误，B选项正确；由此可以估计x̅满足0×0.2+5×0.8≤x̅<5×0.2+10×0.8，即4≤x̅<9，x̅大致在4分到9分之间，C选项正确，D选项错误．故选：BC.10、成立时间少于10年.估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业.2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛､覆盖居民生活的各个方面.如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业数量共同占比达到69%.下列说法正确的是（）A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注B．这12个行业TOP200榜单中独角兽企业数量的中位数是17C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业超过130家D ．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通､企业服务､文化娱乐的企业数量共同占比超过40% 答案：ABC分析：结合图表对选项进行分析，由此确定正确选项.A 选项，由图可知，汽车交通行业独角兽企业TOP200榜单中数量最多，是由A 选项正确.B 选项，数据为8,8,12,13,16,17,17,18,18,19,25,29，中位数为17+172=17，B 选项正确.C 选项，200×69%=138>130，所以C 选项正确.D 选项，汽车交通､企业服务､文化娱乐占比29+25+19200×100%=36.5%<40%，D 选项错误.故选：ABC11、甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 答案：ABC解析：根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数≥150个的人数分析即可.甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A 正确；s 甲2=191>110=s 乙2，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B 正确.甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D 错误. 故选：ABC小提示：本题主要考查了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题,属于基础题型. 填空题12、一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：答案：0.52分析：根据图表，样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52，根据频率公式即可得解.样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52.＝0.52.则样本数据落在[10，40)上的频率为52100所以答案是：0.5213、某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取__________________.答案：210分析：根据总体数和要抽取的样本数，得到每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以A区的人数，得到A区要抽取的人数.解：由题意知A区在样本中的比例为700020000∴A区应抽取的人数是7000×600=210.20000所以答案是：210．14、下表是13~17岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm）．______女性同龄人．答案：13.5万分析：根据身高163cm的百分位数计算．=13.5（万）．小丽身高为164cm，身高163cm的百分位数是75，18×75100所以答案是：13.5万．解答题15、从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲78686591074乙9578768677(1)分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数：(2)选派谁去参赛更好？请说明理由.答案：(1)甲乙的平均数均为7；(2)选派乙，理由见解析.分析：（1）应用平均数的求法求甲乙平均数；（2）由（1）知甲乙平均数相同，求出甲乙的方差并比较大小，即可确定选派方法.（1）由题设，甲的平均数为x̅1=7+8+6+8+6+5+9+10+7+410=7，乙的平均数为x̅2=9+5+7+8+7+6+8+6+7+710=7.（2）甲的方差为s12=110∑(x i−x̅1)210i=1=0+1+1+1+1+4+4+9+0+910=3，乙的方差为s22=110∑(x i−x̅2)210i=1=4+4+0+1+0+1+1+1+0+010=1.2.由（1）知：x̅1=x̅2，而s12>s22，所以选派乙去参赛更好.。
高二数学第九章小结与复习一
高二数学第九章小结与复习一2、在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用、3、在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力、4、通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力、4、在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质、使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力、授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识纲要㈠空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途、⑵斜二测画法、⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线、⑴公理四（平行线的传递性）、等角定理、⑵异面直线的判定：判定定理、反证法、⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围、⒊直线和平面平行于平面和平面平行⑴直线与平面平行：直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质、⑵平行平面：两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质、⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理、⑵三垂线定理及逆定理、㈡空间向量⒌空间向量及其运算⑴空间向量及其加减与数乘运算（几何方法）、⑵共线向量定理与共面向量定理、⑶空间向量基本定理、⑷两个向量的数量积：定义、几何意义、⒍空间向量的坐标运算⑴空间直角坐标系：坐标向量、点的坐标、向量的坐标表示、⑵向量的直角坐标运算、⑶夹角和距离公式、㈢夹角与距离⒎直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角、⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角、②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理、⒏距离⑴点到平面的距离、⑵直线到与它平行平面的距离、⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段、⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段、㈣简单多面体与球⒐棱柱与棱锥⑴多面体、⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质、⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质、⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质、⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法、⒑多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式、⑵正多面体、⒒球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离、⑵球的体积公式和表面积公式、二、方法总结⒈解立体几何问题的基本思路：化立体几何问题为平面几何问题、⒉熟练掌握所学习的定义、定理，掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的相互位置关系的内在联系，灵活的进行互相转化是解立体几何证明题的基础、⒊关于空间的角和距离的计算问题，要依据定义转化为平面概念，然后灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量方法进行计算、要严格按照“一作、二证、三计算”，即先构造、再定性、后定量的程序进行、⒋空间向量是解决立体几何问题的有力工具、要熟练掌握向量的各种运算的定义、几何意义，恰当的引入向量运算，化几何证明、逻辑推理为简单的代数运算，以降低解题难度、三、讲解范例：例1 如图，P是⊿ABC所在平面外一点，M，N 分别是PA和AB的中点，试过点M，N做平行于AC的平面，要求：（1）画出平面分别与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线；（2）试对你的画法给出证明、解：（1）过N点作NE//AC交BC于E，过M点作MF//AC交PC于F，连结EF，则平面MNEF为平行于AC的平面，NE，EF，MF分别是平面与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线、（2）∵NE//AC，MF//AC，∴NE//MF、∴直线NE与MF共面，NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线、∵NE//AC，NE平面MNEF，∴AC//平面MNEF、∴平面MNEF为所求的平面、例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线证明：设A1B1的中点G，连EG、FG、A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B，∵A1D1⊥平面A1B，∴FG⊥平面A1B，∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1，由三垂线的逆定理，得EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC分析二：选基底，利用向量的计算来证明证明：设＝a，＝b，＝c，则＝(－a＋b＋c)/2＝a＋b＝(－a＋b＋c)/2•(a＋b)＝(b2－a2＋c•a＋c•b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，，即EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩B1C ＝B1，∴EF⊥平面B1AC例3 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30（PD和其在底面上的射影所成的角）⑴若AE⊥PD，垂足为E，求证：BE⊥PD；⑵求异面直线AE与CD 所成角的大小解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz，由题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0)证明⑴：∵PD在底面上的射影是DA，且PD与底面成30，∴∠PDA＝30，∵AE⊥PD，，即BE⊥PD解⑵：由⑴知又，∴异面直线AE与CD所成角的大小为arccos例4 已知空间四边形OABC中，，、求证：、证明：＝＝－、∵，，∴，，，、∴，、∴＝，＝0、∴四、小结：点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时、有向线段终点的坐标与向量的坐标相同、这一点务必向学生讲清楚、；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质掌握运用向量求角、距离的方法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
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9.9 棱柱及其性质
目标展示 基础复习 例题赏析 练习反馈 课堂小结 布置作业 1 2 3 4 （习题课）一步理解棱柱的定义， ）进一步理解棱柱的定义， 掌握斜棱柱、直棱柱、 掌握斜棱柱、直棱柱、正棱柱的 区别与联系。 区别与联系。 （2）会借助棱柱的性质解题 ）
问题： 问题：
（1）什么叫棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱，它们有何区 什么叫棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱， 别与联系？ 别与联系？ 如果一个多面体有两个面互相平行， 如果一个多面体有两个面互相平行，而其余两个面的交线互 相平行，这样的多面体叫做棱柱；侧棱不垂直于底面的棱柱 相平行，这样的多面体叫做棱柱； 叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱； 叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；底面是正多边 形的直棱柱叫正棱柱。棱柱可分为斜棱柱和直棱柱， 形的直棱柱叫正棱柱。棱柱可分为斜棱柱和直棱柱，直棱柱 又可分为正棱柱与其它直棱柱。 又可分为正棱柱与其它直棱柱。 （2）棱柱具有哪些性质？ 棱柱具有哪些性质？ 侧棱都互相平行且相等；侧面都是平行四边形， 侧棱都互相平行且相等；侧面都是平行四边形，上下底 是全等的正多边形；平行于底面的截面与底面全等； 是全等的正多边形；平行于底面的截面与底面全等；过 不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱 与高相等； 与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截 面均为矩形。 面均为矩形。
例题： 1.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且A1B=A1D, (1)求证：对角面AA1C1C垂直于截面A1BD (2)对角面D1DBB1是矩形。