高二数学抛物线过焦点弦性质
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。
抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。
其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。
在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。
它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。
最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。
以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。
例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。
抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。
它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。
抛物线焦点弦的性质及应用
抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。
抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。
2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。
3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。
4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。
5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。
例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。
在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。
抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。
类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。
在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。
例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。
另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。
三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。
综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。
深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。
抛物线的焦点弦二级结论
抛物线的焦点弦二级结论
抛物线是一种非常经典的数学曲线，其具有许多重要的性质和特征，其中一个重要的性质便是抛物线的焦点弦二级结论。
焦点弦二级结论是指在抛物线上，焦点到直线的距离与焦点至该直线所垂直的切线在焦点上方的垂线段的乘积等于常数。
这个结论在解决许多几何问题中非常有用，同时也是研究抛物线性质的基础。
具体来说，当焦点到直线的距离为x，焦点至该直线所垂直的切线在焦点上方的垂线段为y时，焦点弦二级结论可以表示为y²=4ax。
其中，a为抛物线的焦点到准线的距离，也就是抛物线的常数项。
这个公式说明了，对于任何一条直线，它与抛物线的交点到抛物线的焦点的距离和焦点与准线的距离的乘积是一个常数，也就是抛物线的焦距2a的值。
这个结论的应用非常广泛，例如在光学领域中，我们可以将抛物面镜作为光学系统的参数进行分析和设计。
此时焦点弦二级结论有助于我们计算抛物面镜的光学特性，例如焦距、成像质量等等，从而优化抛物面镜的设计和使用。
同样的，这个结论在建筑设计中也非常有用，可以帮助我们更好地设计建筑结构和使用建筑材料。
总之，抛物线的焦点弦二级结论是一个非常重要而有用的数学工具，不仅广泛应用于数学、物理、光学、建筑设计等领域，同时也是理性思维和数学能力的良好锻炼方式。
我们应当认真学习和掌握这个
结论，将其应用到实际的问题中，从而更好地为人类的进步和发展做出贡献。
高二数学抛物线焦点弦的性质
2p 焦点弦长 | AB | sin2
(其中为直线AB与对称轴的夹角）
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和 抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1y2=-p2是 直线PQ过抛物线焦点的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
抛物线焦点弦的性质
目标
1.巩固抛物线的标准方程、几何性质等有关知识;
2.会用二次方程根的判别式,根与系数的关系判定直 线与抛物线的关系; 3.掌握处理直线与抛物线焦点弦有关的问题（坐标， 角度，长度，综合问题）的处理方法，进一步熟悉
焦点弦的性质。
一、复习 ⒈焦点弦的定义 ⒉焦半径公式 若M ( x0 , y0 )在焦点为F的抛物线 y 2 2 px ( p 0) 上， ⒊通径
2
p l AB : y ( x ) tan 2
p2 x1 x2 4
2p 2 p2 tan 2 1 2 p | AB | 1 tan ( p ) 4 2p 2 sin 2 tan 4 tan 2
AB为抛物线y =2px(p>0)的焦点弦, A、B在准线 上的射影分别为C、D， C、D的中点为M
1、过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两 点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M， 求证直线MQ平行于抛物线的对称轴。(课本137-6）
2、过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两 点， 过Q作QM⊥准线L垂足为M,则M、O、P三点共线. (2000年高考题) 3、抛物线 的一条弦PQ，过Q作QM⊥准线L垂足为M， 若 M、O、P三点共线，则弦PQ过焦点. (201x年高考题)
抛物线的焦点弦的性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：点A、B在抛物线准线上的射影为A1, B1,
∠ A1FB1的大小是多少？
A1
B1
结论6： ∠ A1FB1 =90
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
1 cos
1 cos
FA FB p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：若直线AB与x轴的夹角为，焦点∆AOB的面积如何用表示
结论（4）
SAOB
p2
2sin
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：以线段AB为直径的圆与准线有怎样的位置关系？ 思考：以线段AF为直径的圆与y轴有怎样的位置关系？
例1. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的 直线交C于A,B两点， 则（1）｜AB|=（ ）；（2）S∆AOB=（ ）。
变式：将本题中条件倾斜角30o改为|AF|=3,求S∆AOB。
1.如图，过抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A,B，交其准 线L于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4则线段AB的长为（ ）
2.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于P,Q两个 不同的点，P,Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MF|=4, |NF|=4, 则p=（ ）
抛物线焦点弦的性质所有公式推导
抛物线焦点弦的性质所有公式推导
抛物线焦点弦的性质在数学中是一项十分重要的内容，它涉及抛物线的函数特性和不定积分的求值，可以用来求解空间内特定形状的抛物线面积。
那么，抛物线焦点弦的性质的基本公式有哪些，如何推导呢？
最基本的抛物线焦点弦性质的公式是：抛物线面积S=2a（∫ sin ar+cos ar dr），其中a是焦点到原点距离，r是弦距离（由焦点渐近该弦的最近点）。
其推导方法是：首先设定抛物线函数为y=ax2+bx+c，其中a,b,c均为实数。
将抛物线延长为一直线y=x则可得到对应的抛物线焦点弦的性质以及两点之间的关系：一个点在x轴上，一个点在y轴上，两点之间的垂直距离即为抛物线焦点到原点的距离a，弦距离取负值即为x-c，总之两点之间垂直距离等于x-c。
接着，抛物线两边都可以用极坐标来表示，即r=x-c，θ=arcsin（r/a），令面积s积分，即可得出抛物线焦点弦的性质的基本公式：s=2a（∫sin ar+cos ar dr）。
从上述的推导来看，抛物线焦点弦的性质公式熟练掌握，可以获得任意空间内特定形状的抛物线面积求解，可以给我们的生活和娱乐活动带来更多惊喜和乐趣，可谓是大有裨益。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
过抛物线焦点弦的性质及其应用
过抛物线焦点弦的性质及其应用过抛物线焦点的弦是每年高考的热点内容，能够迅速准确的将其解出，是同学们的共同愿望，本文从课本出发，引入两个重要公式，希望对大家有所帮助。
公式一、设AB 是过抛物线y 2=2px 的焦点的弦，若A （x A ,y A ）,B(x B ,y则｜AB ｜＝x A +x B +p|AF |= x A +2p|BF|= x B +2p 所以｜AB ｜＝｜AF|＋|BF|＝x A +x B +p例1、过抛物线y 2=4x 的焦点F 做直线l 与抛物线交于P （x 1,y 1），Q(x 2，y 2)两点，x 1+x 2=6,则｜PQ ｜＝＿＿＿＿＿（2007年广东高考模拟）解：由题可得p=2 ,代入公式一得｜PQ|=x 1+x 2+p=6+2=8公式二、设AB 是过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦，弦AB的倾斜角为θ，则 （i ）θcos 1p |FA |-=θc o s 1p |FB |+=(ii)|证明：在Rt △AFD ∵||||cos AF FD ==θ∴θθcos 2cos 2pp x x A A +=- 即 θθcos 1)cos 1(2-+=px A∴ϑϑθθcos 1cos 1)cos 1(2}cos 1(22||-=--++=+=p pp p AF x A 同理可得 θcos 1||+=pFBϑϑϑϑϑϑϑϑsin cos 22212)cos 1)(cos 1()cos 1()cos 1(cos 1cos 1||||||p p p p pp FB FA AB =-=-+++-=-++=+=例2、抛物线y 2=4x 焦点弦被焦点分成长是m 和n 两部分，则m 和n 的关系是（ ）A 、m+n=mnB 、m+n=4C 、mn=4D 、无法确定 解：由已知得p=2，代入公式二可得 ϑcos 12-=m ϑcos 12+=n则m+n=ϑsin24mn=ϑϑϑsin 24)cos 1)(cos 1(4=-+ 所以m+n=mn 故选A例3、如图所示 ，设O 为抛物线的顶点，F 为焦点且PQ 为过点F 的弦，已知｜OF ｜＝a ,|PQ|=b ，求△OPQ 的面积。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦的性质及应用
设抛物线的方程为y 2=2px(P ＞0),过焦点F(p 2
,0)作倾斜角为θ的直线，交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).
抛物线的焦点弦具有以下性质:
性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2
. 42
21p x x = 例1 设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 OA ∙OB ＝ .
A 、43
B 、-43
C 、3
D 、-3
性质2：抛物线焦点弦的长度： )(21x x p AB ++==
2p sin 2θ. 性质3：三角形OAB 的面积公式：θ
sin 22p S OAB =∆ 性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
性质5：以抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点弦PQ 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.
性质6：设抛物线y 2=2px(p ＞0),焦点为F ，焦点弦PQ ，则1|FP|+1|FQ|=2p
(定值). 例2.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是 p,q ，则q
p 11+等于（ ） （A ）2a （B ）a 21 （C ）4a （D ）a
4 例5：设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .
性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。
性质8：如图，A 、O 、B
和B 、O 、A 三点分别共线。
抛物线过焦点弦的两个性质
， 对于
２ 性 质 应 用 例 １ （０ ９福建卷理） ２０ 过抛 物线 ｙ ＝ ｐ （ Ｏ 的 ２ ２ ｘ ｐ＞ ）
ａ 采用设而不求的方法 ， 即可解得弦长 Ｉ １ Ａ ． Ｂ
例 ４ （ 图 ８ 设 ０为抛 如 ）
物线的顶点 ， Ｆ为抛 物线 的焦点
＼ ７ ｆ
＞ ． 旦
Ｄ 、
：
．
性质 ２ （ 图 ４ 已知 如 ） Ａ Ｂ是过抛物 线 ｙ ＝２ｘ ｐ＞０ ２ ｐ（ ） 的焦点 的弦 ， Ａ 且 Ｂ与 轴 的夹 角为 ， ０为坐标原点 ， △Ｏ Ｂ 则 Ａ
．
图３
ＩＩ ＋Ｆ Ｘ号＋ 号 ＝ ＩＩ ａ ）（ ） ＝ ＋ Ｂ
综 Ａ 等 上Ｉ Ｉ Ｂ＝
注 （ 如图 ２ 若 Ａ ） Ｂ是过 抛物线 ＝２ｙ ｐ＞ ） ｐ （ ０ 的
为 ＝ 号， 一 譬 ０ 点 Ａ 离 ： （ ） ｙ ＝原 到Ｂ ｙ 一 即 一 ， 距
Ｉ｜｝ 一生 巳
ｄ ＝
＝ ｈ ｃ 号ａ ｏ ｎ ｓ
删ｌ
．
复习 参考 ．
＝
十‘ ７ （０年 １ 高 版 ７ 擞・ ２９ 第 ０ ０ 期・ 中 ）
，
例 ３ （ 图 ７ 若 ０为 坐 如 ） 标原 点 ， 物 线 Ｙ ＝ ｘ与 过 其 抛 ４ 焦点 Ｆ的直 线 交 于 Ａ Ｂ两 点 ， ，
３ ３
Ｐ
。
Ｉｎ Ｉ ＝ ｓ ｉ
在已知直线上 ， 从而可直接利 用性质 １性质 ２去解题 ． 、
’、
ｌ
—
；
ｆ ＿ ｎ÷ 【 ｓ 伽 ４ ， ， ：
Ｐ＝２
・・ຫໍສະໝຸດ ・ 一 Ｄ
２
Ｉ ＿ 雷 ｃ
高考数学抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只与两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只与两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 与04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒与421p x x = 结论2：p x x AB ++=21证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2p AB =证: (1)假设2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆ 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质与抛物线的定义知 222111ABBFAF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM ︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+ 结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oA k p y y pp k =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。
在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。
首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。
我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。
标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。
焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。
现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。
假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。
首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。
根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。
所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。
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抛物线过焦点弦的性 质及应用
孙鑫 2011年1月11号 星期二
萧城一中：
复习回顾抛物线性质：
1，抛物线定义
2，抛物线几何性质
图形
标准方程
2
范围
对称性
关于x 轴 对称，无 对称中心
关于x 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心 关于y 轴 对称，无 对称中心
顶点
离心率 e=1
y 2 px x 0, ( p 0) y R
的两根，故x1+x2=6，所以 ∣AB∣=6+2=8
y
A
O
F B
x
一般的:若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的 直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
AB x1 x2 p
1,∣AB∣有最小值吗？ 若有又为多少？ 2，对于其他标准方程，你能 写出过焦点弦长公式吗？
想 一 想 ？ ？
2 B y 4 x 2 x 6x 1 0 可得 解得 A(3 2 2,2 2 2 ), B(3 2 2,2 2 2 ) 由两点距离公式可得∣AB∣=8
（法二）利用方程，利用弦长公式同样可的 ∣AB∣=8
分析：利用抛物线性质解决 问题 A’ 解(法三)如图可知设 A(x1,y1),B(x2,y2) ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣ =x1+1+x2+1 =x1+x2+1+1 B ’ 由上知x1，x2是方程 x 2 6 x 1 0
D
C
F A B
x
分析：解此题的关键是把四边形面积表示出来
解：如图设直线AC的斜率为k则k≠0 由条件可知直线AC方程为y=kx+1 联立方程组 y kx 1 2 D x 4 y 可得 x 2 4kx 4 0 故xA+xC=4k A 所以︱AC︱=yA+yC+2=k(xA+xC)+4 =4k2+4 同理可得︱BD︱=4（1/k2+1) 1 1 1 2 2 故 SABCD= 2 AC BD 8(k 1)( k 2 1) 8(k k 2 2) 2=1时取=) ( 当且仅当 k 8(2 2) 32
2 p 证明： x1x2=
4
F
y 1y 2=
p
2
B4x的
焦点作倾斜角为45度的 直线交抛物线与A，B O 两点，求∣AB∣
y
A
F B
x
分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离 公式可得∣AB∣ y 解（法一）由条件可得F（1，0） A 则直线的方程为：y=x-1 由 y x 1 x O F
9 4 解:①x1x2=_____ y1y2=_____ 9 9 ② x1x2=_____ 4 9 y y =______ 1 2 上面结
果是巧 合吗？
y A
F B x
心动
不如行动
已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点， 过焦点任作直线交抛物线与 y A(x1,y1),B(x2,y2)两点 A
通径：通过焦点且垂直对称轴
的直线，与抛物线相交于两点， 连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。 通径的长度为 ：2p 此是 2p的几何意义。
y
A
O
F B
x
例3：设F是抛物线G：x2=4y的焦点，A，B为 G上异于原点的两点，且满足 FA FB 0 的两点，延长AF，BF分别交抛物线G与C， D ，求 四边形ABCD面积的最小值
C
F B
咱来试一试
1，长为8的线段AB两端点在抛物线 y2=6x上运动，求AB中点M到抛物线准 线的最近距离。（ 4 ） 2，过抛物线焦点F的直线交抛物线 y 于A,B两点，通过点A和抛物线顶点 A 的直线交抛物线的 准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物 O F 线的对称轴。 D B
x
小结： 1，过抛物线焦点弦与抛物线交点 坐标关系 2，过抛物线交点弦的弦长问题 及应用
作 业
P76，7，9，10
;
/
熔炼炉
svc70svt
乡人永铭记，造福乡人永铭记！若我丹心感动天，多磨难，佑我爹爹尚活在人间；若我丹心感动天，再艰辛，佑我兄妹 创业有明天；若我丹心感动天，十年后，佑我父子殊途同日归家园；若我丹心感动天，待他日，佑我爹爹的梦想早日圆！ 演唱到这里，耿正兄妹三人的情感，已经不知不觉地完全融入到了词曲之中：往日与爹爹在一起的开心、快乐、艰辛与 磨难；失去爹爹后的痛苦、挣扎，思念和奋发全都交织在了一起他们不知道自己身在演唱台上，看不见眼前的众人，忘 记了赌约酒店内外的众人也忘记了鼓掌与喝彩，一起随着他们的感动而感动，随着他们的悲伤而悲伤！已经忘记一切的 耿正，随着自己心中悲喜情怀的迸发，兴手拉出的乐曲更加激昂！耿直奋力敲击的竹板声更加响亮，耿英演唱的歌声更 加高亢荡气回肠一曲唱，只为铭志告苍天；只要三寸气还在，我兄妹三人哪，不实现遗愿誓不甘，不实现遗愿我们誓不 甘！我们告苍天啊，告大地，各位仁人贤士啊，请听我言：景德镇胸襟开阔海纳四方人，让我们一起共创瓷都更繁荣， 让我们共创瓷都啊，更繁荣！激昂的二胡声、有力的竹板声、喷发的演唱声，在同一时刻戛然而止！大厅内外一片寂静， 所有的人鸦雀无声，完全沉寂其中少顷，那位在当地特别德高望重的，作为证人的老先生首先激动地站起来，眼含热泪 大声叫好并拼命鼓掌！沉醉的众人终于被惊醒了，雷鸣一般的掌声和欢呼声经久不息耿正兄妹三人一起走上前台，并排 向全场深深鞠躬更响亮的掌声和欢呼声一浪刚落，一浪又起阔佬及其狐朋狗友们的嚣张气焰彻底熄灭了！良久，掌声和 欢呼声终于渐渐平息了。酒店老板眼含热泪走上演唱台，对耿正兄妹三人深深鞠躬，激动得有点儿语无伦次：“谢，谢 了，多，多谢，谢谢你们啊！你们挽救了酒店，也给我上了一课。我代表酒店里所有的伙计们谢谢你们，谢谢你们啦！” 说完了，再次连连鞠躬。耿正兄妹三人赶快还礼。耿正说：“也谢谢您，谢谢那位老先生，谢谢在场的各位！我们都上 了一课，我们都上了一课啊！”再看看那个适才还蛮横无比的阔佬，此时已经是霜打的茄子了。他明知，即使自己再强 词夺理，狐朋狗友们再以势压人，也已经不可能扭转眼下的局面了，只好站起来装模作样地对演唱台上的酒店老板拱拱 手，嗓子干巴地说一声：“老板，得罪了！”看到全场人对自己的这一举动并无一点儿反应，他又对耿正兄妹三人拱拱 手，说：“后生可畏，后生可畏啊！我吴某和弟兄们得罪了，也见教了！区区九十两纹银的小费，请三位笑纳！”等一 等，看全场人依然没有反应，他又转身向一直端坐在一旁的老者拱拱手，说：“三日之内，我定将‘景德镇第一酒店’ 的烫金牌匾亲自带人挂在酒店的门楼上！”此时，讥笑声和口哨声东一串西
y
这就是抛 物线的焦 半径公式!
O F
． ．
M
x
过焦点弦与抛物线交点坐标关系 例1：已知F是抛物线y2=6x的焦点， 过焦点任作直线交抛物线与 A(x1,y1),B(x2,y2)两点 ①当直线的斜率k=1时，求 x1x2, y1y2的值 ②当直线的斜率k=2时，求 x1x2, y1y2的值
分析：关键是联立方程组，利 用根与系数的关系求解。
y 2 px x 0, ( p 0) y R
2
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
• 练习1,M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点， 若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离 是:( X) 0+p/2