数列期末复习

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[高一数学]不等式知识点归纳与总结

授课教案教学标题期末复习（三）教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2）等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；等差数列等比数列定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（*,,0n k N n k ∈>>）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇（4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nna .2 等比数列（1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。

数列练习题

高二期末复习数列练习题1一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 ( )A ．第1006项B ．第1007项C ．第1008项D ．第1009项2．在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于（） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5123．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （） A ． 33 B ． 72 C ． 84 D ． 1894．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或86．在等差数列}{n a 中，前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则其前3n 项的和为（） A ． 130 B ． 170 C ． 210 D ． 2607．在等比数列}{n a 中，10a <，则数列}{n a 是递增数列的充要条件是公比q 满足（） A ． q ＞１ B ． q ＜１ C ．０＜q ＜１ D ． q ＜０8．若一个有穷等差数列前三项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（） A ． 12 B ． 13 C ． 14 (D) 159．在数列}{n a 中，140a =-，13n n a a +=+，则这个数列前30项的绝对值之和为（） A ． 679 B ． 765 C ． 469 (D) 576 10．若数列 123,,,,,n a a a a 是公比不为1的等比数列，且n a ＞０，则下列四个数列：①12lg ,lg ,,lg ,n a a a ②122,2,,2,n a a a ③12231,,,,n n a a a a a a +④12231,,,,n n a a a a a a ++++．其中等比数列的个数为（）A ．０B ．１C ．２D ．３11．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（） A ．)(2*N n a n n ∈= B ． ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a nnC ． )(2*1N n a n n ∈=+D ．以上都不正确12．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij , 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（） A ． k k a a a a a a 2222111211+++++++ B ． 1121112222k k a a a a a a +++++++C ． 2122211211k k a a a a a a +++D ． k k a a a a a a 2122122111+++二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2011a 和2012a 是方程24830x x -+=的两根，则20152016a a +=______________．14．已知数列}{n a ．}{n b 都是等差数列，01=a ，41-=b ，用k S ．k S '分别表示数列}{n a ．}{n b 的前k 项和（k 是正整数），若0='+k k S S ，则k k b a +的值为_______________________．15．对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于,n n A B 两点，则112220052005A B A B A B +++的值为_____________________．16．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝_____________________．高二期末复习数列练习题1一．选择题：二．填空题：13．_____________________ 14．______________ 15．___________ 16．___________三．解答题:本大题共6 个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a19．（12分）设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且112211,()a b b a a b =-=．（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．20．（12分）2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n ． (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S ．21．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．22．（12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．高二期末复习数列练习题1答案一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

x1 x2
y1 y2
z1 z2
C． cos a,b
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ，则
a
为单位向量
10．设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y x称为高斯函数，也叫取整函数，如： 1.5 1 ，1.3 2 ，则下列结论正确的是（）
绝密★启用前
期末复习模拟一
一、单选题
范围：选择性必修一 + 数列
第 I 卷（选择题）
1．若圆 x a2 y b2 1a R, b R 关于直线 y x 1对称的圆的方程是 x 12 y 32 1, 则 a b等于（）
A．4
B．2
C．6
D．8
2．在等比数列 an 中，若 a4 ， a8 是方程 x2 4x 3 0 的两根，则 a6 的值是（）
A． 3
B． 3
C． 3
D． 3
3．平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
AC
与
BD
的交点，若
AB
a
， AD
b
，
AA1 c ，则下列式子中与 D1M 相等的是（）
A．
1
a
1
b
c
22
C．
1
a
1
b
c
22
4．抛物线 y2 x 的准线方程为（）
B．
1
a
1
b
c
22
D．
A． C1C// 平面 OMN
B．平面 A1CD / / 平面 OMN

复习数列的通项及求和综合(教)

数列的通项及求和综合由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法例1 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.答案 n 2＋n ＋22解析由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．又a 1＝2也满足上式，所以a n ＝n 2＋n ＋22.命题点2 累乘法例2 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝nn ＋1a n，则a n ＝________.答案 2n解析 ∵a n ＋1＝nn ＋1a n，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n.又a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(2)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练1 (1)(2019·龙岩质检)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋n －2解析因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝2n ，所以a 2－a 1＝1＋21， a 3－a 2＝1＋22， a 4－a 3＝1＋23， ……a n －a n －1＝1＋2n －1，n ≥2，以上各式相加得a n －a 1＝n －1＋(21＋22＋23＋…＋2n －1)，n ≥2，所以a n ＝2n ＋n －2，n ≥2，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n ＋n －2n .(2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋2a n，求通项公式a n .解由已知得a n ＋1a n ＝nn ＋2，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得n －1个等式累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1，所以a n a 1＝2n (n ＋1)，即n ≥2时，a n ＝43n (n ＋1)，又因为a 1＝23也满足该式，所以a n ＝43n (n ＋1).对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列. (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列.(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ)，得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ，与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝dc －1(c ≠1)，所以a n ＋dc －1＝c ⎝⎛⎭⎫a n －1＋d c －1(n ≥2)，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋d c －1构成以a 1＋dc －1为首项，以c 为公比的等比数列．例3 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.答案 2×3n －1－1解析 a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又因为a 1＋1＝2≠0，所以{a n ＋1}构成以2为首项，以3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，a n ＝2·3n －1－1.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1p n ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例4 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( )A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2nC ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n 答案 B解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1， ∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，又∵a 121＝42＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴a n2n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，故选B.(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．－3×2n －1B ．3×2n －1C ．5n ＋3×2n －1D ．5n －3×2n －1 答案 D解析方法一在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25，所以b n －1＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝⎛⎭⎫25n －1，所以a n 5n ＝1－35×⎝⎛⎭⎫25n －1＝1－3×2n －15n.故a n ＝5n －3×2n －1.方法二设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1，即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n }是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.故选D.构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例5 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．解由a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n 可得，a n ＋2－a n ＋1＝－13(a n ＋1－a n )，所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公比为－13的等比数列，当n ≥2时，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝－13，a 4－a 3＝19，…，a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫－13n －2，将上面的式子相加可得a n －1＝1＋⎝⎛⎭⎫－13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫－13n －2，从而可求得a n ＝2＋⎝⎛⎭⎫－13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫－13n －2，故有a n ＝74＋94×⎝⎛⎭⎫－13n ，n ≥2，又a 1＝1满足上式，所以a n ＝74＋94×⎝⎛⎭⎫－13n . 构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例6 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *).变式训练(1)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2.数列求和考向1 分组转化法求和例7 已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1，a 2，a 3－2成等差数列，得2a 2＝a 1＋a 3－2，即4q ＝2＋2q 2－2，解得q ＝2(q ＝0舍去)，则a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.(2)b n ＝1a n ＋2log 2a n －1＝12n ＋2log 22n －1＝12n ＋2n －1，则数列{b n }的前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋12n (1＋2n －1)＝1－12n ＋n 2.考向2 裂项相消法求和例8 (2020·北京昌平区模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＝8，a 4－a 2＝4. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，若T n >99100，求n 的最小值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，a 1＋3d －a 1－d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)因为1S n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，所以T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 因为T n >99100，即1－1n ＋1>99100，所以n >99，所以n 的最小值为100. 考向3 错位相减法求和例9 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0，且a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1＋S n )，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0及a n >0，得⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2－2×a n ＋1a n －3＝0，解得a n ＋1a n ＝3或a n ＋1a n＝－1(舍)，所以{a n }是等比数列，且公比q ＝3，又a 1＝2，所以a n ＝2·3n －1，n ∈N *.(2)因为S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，所以b n ＝log 3(1＋S n )＝n ，则a n b n ＝2n ·3n －1，所以T n ＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋(2n －2)·3n －2＋2n ·3n －1，①所以3T n ＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋(2n －2)·3n －1＋2n ·3n ，② ①－②，得(1－3)T n ＝2＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2·3n －1－2n ·3n＝2(1－3n )1－3－2n ·3n ＝(1－2n )·3n－1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋12. 规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．(3)错位相减法求和，主要用于求{a n b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列．跟踪演练4 (1)(2020·武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为23的数列{a n }满足2(2n ＋1)a n a n ＋1＋a n ＋1＝a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020等于( ) A.8 0804 041 B.4 0784 040 C.4 0404 041 D.4 0394 040 答案 C解析依题意得a n ≠0，由2(2n ＋1)a n a n ＋1＝a n －a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1可得1a n ＋1－1a n＝4n ＋2，则当n ≥2时，1a n －1a n －1＝4n －2，1a n －1－1a n －2＝4n －6，…，1a 2－1a 1＝6，以上式子左右两边分别相加可得 1a n －1a 1＝(6＋4n －2)(n －1)2，即1a n ＝2n 2－12＝(2n －1)(2n ＋1)2，所以a n ＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，a 1＝23满足上式．故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝1－13＋13－15＋…＋14 039－14 041＝1－14 041＝4 0404 041.(2)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．①求数列{a n }与{b n }的通项公式；②记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 ①由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，又b 22＝b 11，所以b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则λ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫38，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫38，＋∞答案 D解析因为a 1＋12a 2＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，所以 a 1＋12a 2＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)，故1na n ＝2n ，即a n ＝2n 2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12＋1＝2，满足上式，故a n ＝2n 2(n ∈N *)．b n ＝2n ＋14n 2×(n ＋1)2＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2，故T n ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫112－122＋⎝⎛⎭⎫122－132＋…＋1n 2－1(n ＋1)2 ＝14⎣⎡⎦⎤1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n 4(n ＋1)2，故T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立等价于n 2＋2n 4(n ＋1)2<n n ＋1λ，即n ＋24(n ＋1)<λ恒成立，化简，得14＋14(n ＋1)<λ，因为14＋14(n ＋1)≤14＋18＝38，故λ>38.一、选择题1．(2020·聊城模拟)数列1,6,15,28,45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为( )A ．153B ．190C ．231D ．276 答案 B解析由题意知，数列{a n }的各项为1,6,15,28,45，…，所以a 1＝1＝1×1，a 2＝6＝2×3，a 3＝15＝3×5，a 4＝28＝4×7，a 5＝45＝5×9，…，a n ＝n (2n －1)，所以a 10＝10×19＝190. 2．(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15 D ．当且仅当S n <0时，n ≥32 答案 D解析因为等差数列{a n }中，S 10＝S 20，所以a 11＋a 12＋…＋a 19＋a 20＝5(a 15＋a 16)＝0，又a 1>0，所以a 15>0，a 16<0，所以d <0，S n ≤S 15，故ABC 正确；因为S 31＝31(a 1＋a 31)2＝31a 16<0，故D 错误．3．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 020等于( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，……，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 020＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＋a 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3.故选A.4．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，则a nn的最小值为( )A ．4 5B ．45－1C ．8D ．9 答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2n 知，当n ≥2时，a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，…，a n －a n －1＝2(n －1)，相加得，a n －a 1＝n 2－n ，所以a n n ＝n ＋20n －1，又a 1＝20满足上式，所以a n n ＝n ＋20n －1，又n ∈N *，所以n ≤4时，a n n 单调递减，n ≥5时，a nn单调递增，因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8.故选C.5．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830 答案 D解析不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝a 2n －1＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，构成以a 2＝2为首项，4为公差的等差数列，所以{a n }的前60项和为30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1 830.6．已知数列{a n }和{b n }的首项均为1，且a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0，则S 2 021等于( )A ．2 021 B.12 021 C ．4 041 D.14 041答案 D解析由a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n 可得a n ＋1＝a n ，即数列{a n }是常数列，又数列{a n }的首项为1，所以a n ＝1，所以当S n S n ＋1≠0时，2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0可化为2S n S n ＋1＋b n ＋1＝0，因为S n 为数列{b n }的前n 项和，所以2S n S n ＋1＋b n ＋1＝2S n S n ＋1＋(S n ＋1－S n )＝0，所以1S n ＋1－1S n＝2，又1S 1＝1b 1＝1，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，故S n ＝12n －1，即S n S n ＋1≠0.所以S 2 021＝14 041.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.二、填空题8．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝________.答案 99 解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，故前n 项和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S k ＝k ＋1－1＝9，解得k ＝99.9．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和为________．答案 n ＋12 53解析因为a n ＋1a n ＝n ＋2n ＋1，所以a 2a 1＝32，a 3a 2＝43，a 4a 3＝54，…，a n a n －1＝n ＋1n (n ≥2)，把它们左右两边分别相乘，得a n ＝n ＋12(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a n ＝n ＋12(n ∈N *)．所以1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和为4×⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋111－112＝4×⎝⎛⎭⎫12－112＝53. 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．解 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n (n ∈N *)． (2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n－λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，则c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．11．(2020·桂林期末)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和记为S n ，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ＋1，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n (n ≥2)，a n ＋1＝3a n ，又∵a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3，a 2a 1＝3，∴a n ＋1a n＝3(n ∈N *)，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)由(1)可知a n ＝3n －1，则a n ＋1＝3n ，∴b n ＝log 3a n ＋1＝log 33n ＝n ，∴a n ＋b n ＝3n －1＋n 为等比数列与等差数列的和．利用分组转化法求和可得T n ＝(30＋1)＋(31＋2)＋(32＋3)＋…＋(3n －1＋n )＝(30＋31＋32＋…＋3n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1－3n 1－3＋n (1＋n )2＝3n ＋n 2＋n －12.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，且b 1＝1.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝(－1)n －1·4(n ＋1)(3＋2log 2a n )(3＋2log 2a n ＋1)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)，两边同除以n (n ＋1)，得b n ＋1n ＋1－b nn＝1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为首项b 11＝1，公差d ＝1的等差数列，所以b n n ＝n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2(n ∈N *)．当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －1，又a 1＝1≠0，所以a na n －1＝2，从而数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)c n ＝(－1)n －1·⎣⎡⎦⎤4(n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3， T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝13＋15－15－17＋…－14n ＋1－14n ＋3＝13－14n ＋3(n ∈N *)．。

(完整word版)数列知识点复习总结,推荐文档

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ，相加得 12n n a a S n +=，还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

高二理科期末复习数列专题

《数列》专题复习1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n nn S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列3.数列通项公式求法。

4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法等差数列等比数列定义1n n a a d --=（2n ≥）*1()n na q n N a +=∈ 通项d n a a n )1(1-+=，(),()n m a a n m d n m =+->，中项如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．2a bA +=。

等差中项的设法：如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．等比中项的设法：aq，a ，aq 前n 项和 )(21n n a a nS +=，d n n na S n 2)1(1-+= 性质*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若2m p q =+，则若q p n m +=+，则2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有n S 、2n n S S -、32n n S S -为等差数列n S 、2n n S S -、32n n S S -为等比数列函数看数列12221()()22n n a dn a d An Bd d s n a n An Bn=+-=+=+-=+ 111(1)11nn n n n n a a q Aq qa as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法（1）定义法：证明)(*1N n a a n n ∈-+为一个常数；（2）等差中项：证明*11(2N n a a a n n n ∈+=+-，)2≥n （3）通项公式:(,n a kn b k b =+为常数)(*N ∈n )（4）2n s An Bn =+(,A B 为常数)(∈*n N )（1）定义法：证明)(*1N n a a nn ∈+为一个常数（2）中项：证明21nn a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥ （3）通项公式：(,nn a cq c q =均是不为0常数）（4）n n s Aq =A -(,A q为常数，≠≠A 0,q 0,1）5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m S 取最大值.(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。

等差数列

等差数列1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是_2. 在数列－1, 0, 19, 18, ……, n-2n2中，0.08是它的第_ 项3.有穷数列1， 23， 26， 29，…，23n＋6的项数是_4.已知数列{an }满足a1=2，an＋1－an＋1=0，(n∈N)，则此数列的通项an=_5.已知等差数列{an }的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的通项an=_6.在等差数列{an }中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9－a10=_7.在等差数列{an }中，a5=33 , a45=153, 则201是该数列的第 _ 项8.在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_9.数列{ a n }为等差数列，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列的通项a n=__10.若 a、b、c成等差数列，则函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点个数是_11.已知f(x)是一次函数，其图像过点（3，5）,又f(2)、f(5)、15成等差数列，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_12.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b=_13.在1与9之间插入n-1个数b1,b2,…bn-1，使这n+1个数成等差数列，记为An+1,,则数列{An+1}的通项公式为_14.已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为_15.数列{an }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列,若an =bn,则n=_16.等差数列{an }中,am=n,an=m,则am+n= _17.一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为_18.一个凸n边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n=_19.等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为340, 则n= _20.已知数列{an}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，则前80项的和为_ 21.等差数列中，≠0，若ｍ＞1且，，则ｍ＝_22.是等差数列的前n项和，(n≥5，)， =336，则n n1n+1n1220|=25.在等差数列{an }中，Sm=Sn,则Sm+n的值为_26.在等差数列{an }中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为_27.在等差数列{an }中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8=28.等差数列{an }中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7= _29.在等差数列{an }中，已知a3=2,则前5项之和为_ _30.在等差数列{an }中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为_31.等差数列{an }中，若a1＋a3＋a5=－1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5=_________32.等差数列{an }中，若a2+a3+a4+a5=34, a2a5=52, 且a4＞a2, 则a5=________33.设是公差为正数的等差数列，若，则34.在等差数列{an }中，S4=6,S8=20,则S16=35.等差数列共3n项，前n项和为10，后n项和为30，前2n项和为_36.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为_37.数列前n项和为Sn =n2+3n, 则其通项an等于_________38.已知数列{an }的前n项和为Sn=n2+C(C为常数)，求数列{a}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列。

第四章数列期末复习卷高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

期末复习4 数列姓名：分数：一、选择题(共8题)1．在等比数列{}n a 中，251,9a a ==-，则8a =（） A ．27±B ．81±C ．27D ．812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（） A ．12B ．24C ．36D ．483．已知数列{}n a 满足11(1),1n n n a na a ++==，则15=a （） A ．111B ．113C ．115D ．1174．已知数列{}n a ，如果121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =( ) A ．1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11122n⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知等差数列{}n a 满足2584a a a -+=，则数列{}n a 的前9项和9S =（） A ．9B ．18C ．36D ．726．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且225959236a a a a ++=，则其前13项之和为（） A ．21B ．26C ．36D ．397．利用数学归纳法证明不等式11112321nn +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥，n *∈N ）的过程中，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共4题）.9．等差数列{}n a的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A ．100a =B ．1n n a a +<C ．当0n S >时，n 的最小值为20D ．216<S S10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．711.对于公差为1的等差数列{}n a ，11a =，公比为2的等比数列{}n b ，12b =，则下列说法正确的是（） A ．n a n =B ．12n n b -=C ．数列{}ln n b 为等差数列D ．数列{}n n a b 的前n 项和为()1122n n +-+12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足101a <<，2020202110a a ->，20202021101a a -<-，则（）A ．1q >B ．2019202110a a -<C ． 2021T 的值是n T 中最小的D ．使1n T <成立的最大正整数n 的值为4039三、填空题（共4题）13．等差数列{}n a 中，若34a =，公差2d =-，则5a =________. 14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，15921018a a a a a a ++=++_____.15．在正项数列{}n a 中，1238a a a =，且21121log log 2n n a a ++=，令1log log n n n a a b +=则数列{}n b 的前2020项和2020S =___________．16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第41项为 _________．四、解答题(共4题)17.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项的和为2n S n =.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列；(2)设c n =b n .(a n +1)，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2103n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的和n T .19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n =2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和nT .(21n ++-(21n ++-)(322n ++-6+.18．设数列n 的前项和为n S ，已知n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的和n T . 【答案】（1）6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩（2）22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩ 【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解. （1）解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩.（2）解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩.当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-，16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n=2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．【答案】（1）21n a n =-；（2）13(23)2n nT n =-+﹒ 【分析】(1)根据n a 和n S 关系可求{}n a 的通项公式；(2)根据{}n b 通项公式可知，其前n 项和采用错位相减法求解﹒ （1）12n a a +，①当1n =，11a =①2(1)4n n a S +=，211(1)4n n a S --+=(2)n ≥，因此当2n ≥时：2211(1)(1)4n n n n n a a a S S --+-+=-=2211224n n n n a a a a ---+-=，①11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ①10n n a a ->+，①2n ≥时120n n a a ---=，即12n n a a --= ①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-；（2）211=(21)222n n n n n a n b n -==-⋅， 1231111=135(21)2222n nT n ⨯+⨯+⨯+-⨯……① 234111111=135(21)22222n n T n +⨯+⨯+⨯+-⨯……① ①－①得：1231111111=222(21)222222n n n T n ++⨯+⨯+⨯--⨯ 1111(1)1122=(21)12212n n n -+-+--⨯-11111=1(21)222n n n -++---⨯①1131(23)222n n T n +=-+ ∴13(23)2n nT n =-+﹒20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .n c ++1113521n ⎫⎛-++⎪ -⎭⎝。

高三数列专题复习

高三（文科数学）第二轮专题复习数列及其应用一、基本概念：1. 数列的定义及表示方法.2. 数列的项与项数.3. 有穷数列与无穷数列.4. 递增（减）、摆动、循环数列.5. 数列{a n }的通项公式a n .6. 数列的前n 项和公式S n .7. 等差数列、公差d 、等差数列的结构.8. 等比数列、公比q 、等比数列的结构.9. 无穷递缩等比数列的意义及公比q 的取值范围.二、基本公式：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n s s n s a n nn . 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ， a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.3.等差数列的前n 项和公式： (1)d n n na s n 2)1(1-+=, (2)2)(1n n a a n s +=. 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.4.等差中项公式：2b a A +=（有唯一的值）. 5.等比数列的通项公式：（1）a n = a 1 q n-1 , （2）a n = a k q n-k . .(其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0).6.等比数列的前n 项和公式：（1）当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；（2）当q ≠0时，（1）qq a s n n --=1)1(1, (2)q q a a s n n --=11. 7.等比中项公式： ab G ±=(ab>0,有两个值).三、有关等差、等比数列的结论1.等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则 q p n m a a a a +=+.2. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•. 3.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.4.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.5.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n -b n }仍为等差数列.6.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n } 、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1 ，仍为等比数列. 7.等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8.等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d .10.三个数成等比的设法：q a , a, aq ；四个数成等比的错误设法：3qa , q a , aq, aq 3 . 四、数列求和其他方法1.拆项法求数列的和，如a n = 2n+3n ;2.错位相减法求和，如a n = (2n-1) 2n ;3.分裂项法求和，如a n = )1(1 n n ; 4.反序相加法求和，如a n =n n C 100;5.公式法求和;6.观察规律求和.五.数列的综合应用数列的综合应用主要归结为等差、等比和递推数列的应用.主要题型有：产量的增减、价格的升降、细胞的繁植、求利率、增长率等.解决此类问题的关键是数列的建模问题.六、数列实际应用例题1.从盛满a 升(a >1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?例题2.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?( 精确到1平方公里)例题3.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?。

数列高一下学期期末复习

数列数列概念： 1、数列的概念（1）数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，...，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：,..,...,,,321n a a a a 简记作{}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，)(n f a n =表示数列的通项公式； ②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，=-=n n a )1({)(12,12,1Z k k n kn ∈-=-=；③不是每个数列都有通项公式。

例如，,1 ,4.1 ,41.1 ,414.1...（3）数列的函数特征与图像表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集+N （或它的有限子集）的函数)(n f 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值),...,(),...,3(),2(),1(n f f f f 通常用n a 来代替)(n f ，其图像是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

（6）数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系：{11S S S n n n a --=)1()2(=≥n n等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

海门市包场高级中学高中数学学案：等差等比数列期末复习必修五

等差数列、等比数列-----期末复习一、基础知识性质：1．已知,,,m n p q N *∈，且m n p q +=+，①若{}n a 是等差数列，则m n p q a a a a +=+；②若{}n a 是等比数列，则m n p q a a a a ⋅=⋅． 2．设n S 是等差（比）数列的前n 项和，则()2321,,,,m m m m m pm p m S S S S S S S ----()1,3,,m p m p N *>≥∈仍成等差（比）数列．**方法提炼**1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．如等差数列{}n a 的通项n a kn b =+，等比数列{}n a 的通项是nn a k q =⋅等．2．等差（比）数列中，1,,(),,n n a n d q a S “知三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想．等差（比）数列的性质能够起到简化运算的作用．3．求等比数列的前n 项和n S 时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．二、基础训练1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4= 。

2.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432,s a =-2332s a =-,则公比q = 。

3.设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若24,363==S S ,则3a = .4.在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是 .5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n= 。

6．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5331164S a ==，，则5432111111a a a a a ++++= ．三、典例欣赏：例1. （1）}{n a 是等比数列，21551-=-a a ，54-=s ，求4a （2）在等差数列}{n a 中，105,4,a d ==-则______n S =；（3）在等差数列}{n a 中，41,2,440,n n a d S ===则1______a =；（4）}{n a 是等比数列，,661=+n a a ,126,12812==∙-n n s a a 求n 和公比q.例2．已知正数组成的两个数列}{},{n n b a ，若1,+n n a a 是关于x 的方程02122=+-+n n n n b b a x b x 的两根（1）求证：}{n b 为等差数列；（2）已知,6,221==a a 分别求数列}{},{n n b a 的通项公式；（3）求数n nns n b 项和的前}2{。

期末复习-数列测试卷

苍溪中学课改2013级数列复习测试卷第I 卷（选择题共50分）一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求) 1.在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为 ( )A ．4B.32C.169D ．22.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10等于 ( ) A ．45B ．50C ．75D ．603. 设,a b 为正整数，且lg(3)a -与lg(4)b -的等差中项为，则,a b 的值分别为 ( ) ()8,3A a b == ()8,32,9B a b a b ====或()28,3C a b == ()2,9D a b ==4.在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，那么a 11等于 ( )A.13B.12C.23D ．15.设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }前n 项的和最大时n 的值为 ( )A ．10B ．11C ．10或11D ．126.在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为 ( ) A ．16B ．81C ．36D ．27 7.若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为 ( ) A ．2B ．4C ．8D ．168.在等比数列{a n }中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( )A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×299．在等差数列{a n }中，设公差为d ，若前n 项和为S n ＝－n 2，则通项和公差分别为 ( )A ．a n ＝2n －1，d ＝－2B ．a n ＝2n －1，d ＝2C ．a n ＝－2n ＋1，d ＝－2D ．a n ＝－2n ＋1，d ＝2 10.在数列{x n }中，2x n ＝1x n －1＋1x n ＋1(n≥2)，且x 2＝23，x 4＝25，则x 10等于( )A.211B.16C.112D.15第II 卷（非选择题共100分）二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置) 11.若数列{a n }是等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝________. 12.已知等差数列{a n }，公差d≠0，a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 1＋a 5＋a 17a 2＋a 6＋a 18＝________.13.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S 2 011＝________.14.把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．15.已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 三．解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分) 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．17．(本小题满分12分) 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．18.(本小题满分12分) 已知点(1,2)是函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f(n)－1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .19.(本小题满分12分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝312log (3)n a +时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .20.(本小题满分12分) 已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n＋1－a n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．21.(本小题满分14分) 已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1(3)nn a(n∈N*)，S n＝b1＋b2＋…＋b n，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S n>t36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．参考答案1．解析在等比数列{a n }中，a 3，a 6，a 9也成等比数列 ∴a 62＝a 3a 9，∴a 3＝629＝4.答案 A2．解析由已知：a 1＋a 2＋a 3＋a 11＋a 12＋a 13＝150， ∴3(a 1＋a 13)＝150，∴a 1＋a 13＝50. ∵a 4＋a 10＝a 1＋a 13，∴a 4＋a 10＝50.答案 B 3．答案 A4．解析设b n ＝1a n ＋1，则数列{b n }是等差数列，由等差数列的性质可知b 3，b 7，b 11成等差数列，又b 3＝1a 3＋1＝13，b 7＝1a 7＋1＝12，所以b 11＝2b 7－b 3＝23，所以1a 11＋1＝23，解得a 11＝12. 答案 B5．解析令a n ≥0得n 2－10n －11≤0，∴1≤n≤11. 即1≤n≤10时，a n >0，当n≥12时，a n ≤0，而a 11＝0，故前10项和等于前11项和，它们都最大．答案 C6．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝1－a 1a 1q 3＝9－a 1q2⇒∴a 4＋a 5＝14×33＋14×34＝27.答案 D7．解析由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4. ∵a 1a 2＝a 12q ＝16>0，∴q>0，∴q ＝4.答案 B 8D ．3×2－5或3×29解析 ∵a 2＝a 3q ，a 4＝a 3q ，∴a 2＝12q ，a 4＝12q.∴12q ＋12q ＝30，即2q 2－5q ＋2＝0.∴q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 2＝24，∴a 10＝a 2q 8＝24×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝3×2－5；当q ＝2时，a 2＝6，∴a 10＝a 2q 8＝6×28＝3×29.答案 D9．解析 a n ＝S n －S n －1＝－n 2－[－(n －1)2]＝－2n ＋1(n>1，n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1满足上式，显然d ＝－2.答案 C10．解析由已知得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列，设该数列的公差为d ，∴1x 4－1x 2＝2d ＝1，∴d ＝12，∴1x 10＝1x 2＋(10－2)×d＝＝112，∴x 10＝211.答案 A11．解析 ∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 10＝a 5＋a 8. ∵a 3＋a 10＝3，∴a 5＋a 8＝3.答案 312．解析由题意得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)， ∵d≠0，∴a 1＝－4d ，∴a n ＝－4d ＋(n －1)d ，即a n ＝(n －5)d ，∴a 1＋a 5＋a 17a 2＋a 6＋a 18＝－4d ＋12d －3d ＋d ＋13d ＝811.答案 81113．解析 a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝2，…，∴a 2 011＝－1，∴S 2 011＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010)＋a 2 011＝1 005×1＋(－1)＝1 004. 答案 1 00414．解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n≥3)行的最后一个数为－＋n －2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋3. 答案 n 22－n2＋315．解析由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q. ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q. ∴2(1＋q 2)＝5q ，∴2q 2－5q ＋2＝0. ∴q＝2(q ＝12舍)，∴a 1＝2，a n ＝2n.16.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3. 所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1－q n1－q＝4(1－3n)．17． (1)解设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列． 18.解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝a x得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f(n)－1＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n.②由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n，所以T n ＝(n －1)2n＋1. 19. (1)解由已知⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝12S n，a n＝12Sn －1(n≥2)，得a n ＋1＝32a n (n≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2， n≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝n.∴1b n b n ＋1＝1＋＝1n －11＋n .∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝n 1＋n . 20. (1)证明 ∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2.∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－1.21.解 (1)由题意得(a 1＋d)(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2，整理得2a 1d ＝d 2. ∵a 1＝1，解得(d ＝0舍)，d ＝2.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝1n ＋＝1＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n ＋.假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋1＋－n ＋＝1＋＋>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t<9.又∵t ∈N *，∴适合条件的t 的最大值为8.。

1-3数列的极限北京航空航天大学高等数学期末模考复习

即有 a 1 xn a 1. 记 M max{ x1 ,, xN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有 xn M , 故xn有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论无界数列必定发散.
例4 证明数列xn (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1 , 2
则N , 即当n
使得当 N时,
n N时, xn (a
有 1, 2
x a
n a 1),
2
1 成立, 2
区间长度为1.
而x
无休止地反复取
n
1,
1两个数
,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{ xn }是有界的, 但却发散.
3. 数列及其子数列的极限关系
设{an } 是一个数列. 正整数列 n1, n2 , n3 , 满足 n1 n2 n3 , 则称数列 {an1 , an2 , an3 ,} 是数列
n
xn 0.
lim
n
xn
a.
定理 1.3.5 (极限的四则运算) 设 {an },{bn } 是收敛
数列, 则 {an bn },{anbn } 也都是收敛数列,且
(1)
lim(
n
an
bn )
lim
n
an
lim
n
bn;
(2)
lnim(anbn )
(lim n
an
).(lim n
bn );
如果
hn2 ,
由此得 0 hn
2 , 即 0 n n 1
n1
2 n1
(n 1).

必修5 第二章数列期末复习(知识点及题型全)

必修5 第二章《数列》期末复习制卷：王小凤学生姓名【知识梳理】一．等差数列与等比数列二．数列通项公式的求法1．根据n S ，利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩求通项n a 。

注．已知n S 求n a ，应分1=n 及2≥n 两步，最后验证1a 是否满足后面的n a .2．根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项n a ，其要点是：（1）121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L ；（2）321121(2)n n n a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅⋅≥L 3．构造新的等差、等比数列，转化法求通项n a 。

三．数列求和1．利用等差、等比数列的公式求和； 2．分组求和法；3．错位相减求和，适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列； 4．裂项相消求和，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式：（1）1111()()n n k k n n k =-++ （2）11()n k n kn k n =+-++5．倒序相加法求和。

四．n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得mS 取最大值.(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得mS 取最小值。

【考点题型】考点一：通项公式、递推公式的基本应用1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项( ) A ．380 B ．39 C ．35 D ．232．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为( ) A ．6 B ．3- C ．12- D ．6-等差数列等比数列定义1n n a a d --=（2n ≥）通项公式 d n a a n )1(1-+=，(),()n m a a n m d n m =+->，中项如果,,a A b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=．三个数成等差数列的设法：．如果,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且三个数成等比数列的设法：aq，a ，aq 前n 项和 1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+当1q =时：n S = 当1q ≠时：n S =性质若q p n m +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m p q =+，则 *(,,,)p q n m N ∈若q p n m +=+，则2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有n S 、2n n S S -、32n n S S -为等差数列n S 、2n n S S -、32n n S S -为等比数列函数思想看数列12221()()22n n a dn a d An B d ds n a n An Bn =+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq qa as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法（1）定义法：证明)(*1N n a a n n ∈-+为一个常数；（2）等差中项：证明*11(2N n a a a n n n∈+=+-，)2≥n（3）通项公式:(,n a kn b k b =+为常数)(*N∈n )（4）2ns An Bn =+(,A B 为常数)(∈*n N )（1）定义法：证明)(*1N n a a nn ∈+为一个常数（2）中项：证明21nn a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥ （3）通项公式：(,nn a cq c q =均是不为0常数）（4）n ns Aq =A -(,A q 为常数，≠≠A 0,q 0,1）考点二：等差、等比数列的基本运算3．若等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的( ) A ．第1006项B ．第1007项C ．第1008项D ．第1009项4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =( ) A ．138B ．135C ．95D ．235．在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±6．已知,,,a b c d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22= ( ) A ．1 B ．21 C ．41 D ．817．在等比数列{}n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于( ) A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5128．等差数列{}n a 的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1909．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为( )A ．2113B ．1114C ．2110 D ．21910．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A ．5B ．4C ．3D ． 2考点三：等差、等比数列的性质的应用11．已知{}n a 是等差数列，且2381148a a a a +++=，则67a a += ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．2412．已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=L ，则有（） A ．11010a a +> B ．21000a a +< C.3990a a += D ．5151a = 13．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（） A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 14．等差数列{}n a 中，1590S =，则8a = ( )A ．3B ．4C ．6D ．1215．若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) A ．10项 B ．11项 C ．12项 D ．13项16．等比数列{}n a 中,0n a >,965=a a ,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+ 17．等差数列{}n a 中，121015a a a +++=L ，11122020a a a +++=L ，则212230a a a +++=L ( )A ．15B ．25C ．35D ．4518．已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( ) A ．60 B ．70 C ．90 D ．126考点四：等差、等比数列的实际应用19．夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是( )A ．1500B ． 1600C ．1700D ．180020．某种细菌培养过程中，每半小时分裂一次（一次分裂为两个），经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成( )个．A ．64B ．128C ．256D ．51221．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是( )A ．1997B ． 1999C ．2001D ．2003考点五：等差数列前n 项和的最值22．等差数列{n a }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（） A ．5 B ．6 C ．5 或6 D ．6或723．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负． (1)求数列的公差d ； (2)求前n 项和S n 的最大值．考点六：数列的通项公式的求解24．已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，11=a ，求n a ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a ．考点七：等差、等比数列的证明数列求和26．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.27．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（提示：利用等差数列定义证明）（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（提示：错项相减求和）28．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S = 33960b S =．(1)求n a 与n b ； (2)求和：12111nS S S +++L ．（提示：裂项相消求和）（注：将第26—28题解题过程写在试卷背面）。

期末复习等比数列练习题

等比数列练习题一、选择题1、在等比数列{}n a 中，若84-=a ，公比2=q ，则8a等于（）A ．128B ．-128C ．64D ．-64 2、等比数列{}n a 中，5642a a a -=，则公比是（）A ．0B ．1或2C ．-1或2D ．-1或-2 3、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（）A ．41 B ．21 C ．81D ．1 4、等比数列{}n a 中，821=+a a ，1613=-a a ，则3a 等于（）A ．20B ．18C ．10D ．8 5、等差数列{}n a 的公差为1，若1a ，2a ，4a 成等比数列，则3a 等于（）A ．1B ．2C ．-3D ．36、已知等比数列{}n a 中，0>n a ，1a ，99a 为016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（）A ．32B ．64C ．256D ．64±7、等比数列{}n a 中，22=a ，415=a ，则公比=q （） A ．21- B ．2- C ．2 D ．218 ．在各项均为正数的等比数列{}n a 中,31,1,s a a =-=+则2326372a a a a a ++=（）A ．4B ．6C ．8D ．8-9 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知各项均为正数的等比数列{n a }中,1237895,10,a a a a a a ==则456a a a = （）A ．B ．7C ．6D ．1 0．已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a =⋅=,则3a 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．1411、已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（）A ．7B ．5C ．-5D ．-712 ．在等比数列{}n a 中,已知271251=a a a ,那么=84a a（）A ．3B ．6C ．9D ．18二、填空题 13、等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列的公比为________14、若22是b-1，b+1的等比中项，则b=_________15、公差不为0的等差数列第二、三、五项构成等比数列，则公比为________ 16．等比数列}{n a ,2=q ,前n 项和为=24a S S n ，则____________. 三、解答题 17、在等比数列{}n a 中，（1）274=a ，3-=q ，求7a ；（2）182=a ，84=a ，求1a 和q ；（3）45=a ，67=a ，求9a18、在等比数列{}n a 中，已知62=a ，30631=+a a ，求通项公式n a19、有四个数，前三个数依次成等比数列，它们的积为8-，后三个数依次成等差数列，它们的积为80-，求出这四个数20已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +满足12n n n a a ++=,且11a =.求证123⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭n n a 是等比数列并且求数列{}n a 的通项公式n a .21．(1)设函数()f x ax b =+,(其中a≠0)若f(3)=5,且(1),(2),(5)f f f 成等比数列.求()f n ;(2)已知单调递增的等比数列}{n a 满足:28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项.求数列}{n a 的通项公式;22．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）已知{}n a 是等比数列,公比1q >,前n 项和为3427,,4,2n S S a a ==且211{}:,log n n n b b n a +=+数列满足 (Ⅰ)求数列{},{}n n a b 的通项公式;(Ⅱ)设数列1{}n n b b +的前n 项和为n T ,求证11(*).32n T n N ≤<∈。