专题一 集合与简易逻辑

高考综合复习专题1集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.二．高考考点1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4．充分条件与必要条件的判定与应用.三．知识要点（一）集合1.集合的基本概念认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.②认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：;；;，其中M=｛0，1｝.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R) 点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故B=｛y|y≥－1｝.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2．集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若x∈A x∈B,则A B（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φ A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即A A.（II）集合的相等：若A B且B A，则A=B.（III）真子集定义：若A B且A≠B；则A B（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义：I是一个集合，A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作A，即A=｛x|x∈I,且x A｝.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：φ=U；U=φ；（A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x∈A,且x∈B｝;②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x∈A,或x∈B｝.（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且x B；x∈B且x A；x∈A且x∈B.（III）基本运算性质①“交”的运算性质：A∩B=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩ A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C②“并”的运算性质：A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B∪C）= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=A A∪（A∩B）=A（IV ）重要性质①A∩B=A A B；A∪B=B A B；②A∩B=（A∪B）；A∪B=（A∩B）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：A∪B=｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q” p或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：（II）四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题便是的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若p q则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：①关注前后顺序：若p q则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1．判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;（2）设P=｛x|y=x2｝,Q=｛(x,y)|y=x2｝,则p Q;（3）设，则M N；（4）设，，则集合等于M∪N；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而－1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知M N，故命题正确.（4）不正确：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠－3且x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.且，，则有例2．设集合A=｛x|x2+4x=0｝,B=｛x|x2+2(a+1)x+a2－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；（2）若A∪B=B，求a的值.解：集合A=｛－4，0｝（1）A∩B=B B A即B｛－4，0｝由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0∈B，则有a2－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=－1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2=0x=0此时B=｛0｝符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a2－1=0a2－8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或a=7当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0 x=－12或x=－4此时B=｛－12，－4｝ A.（III）注意到B A，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）2－4(a2－1)<0a<－1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.（2）集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若A B，试求实数a的取值范围.解：A=｛x|1<x<3｝=(1,3)注意A B，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立.（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3①（2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤－1②∴将①.②联立得－4≤a≤－1.∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：（2）当f(x)在给定区间上没有最值时：a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界；a≥f(x)恒成立a≥f(x)的上确界例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,则由是q的必要而不充分条件得B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2）B.[2,＋∞]C.[-2,2]D.(-2,2)分析：（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2∴P: －2＜a＜2①又不等式恒成立a小于的最小值②＋≥＝2③∴由②、③得a﹤2即Q: a﹤2（ⅱ）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2⑤于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是a≤－2例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1即q p ③另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q④于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是想一想：错在哪里？你能举出反例吗？注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1．（2005·全国卷A）设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是（）A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1（S2∩S3）C．S1∩S2∩S3=φ D. S1（S2∪S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，∴S1∩S2∩S3=（S1∪S2∪S3）=I=φ，故选C解法二（特取法）：令S1=｛1，2｝，S2=｛2，3｝，S3=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S1=｛3｝S2=｛1｝S3=｛2｝由此否定A、B；又令S1=S2=S3=｛a｝，则I=｛a｝，S2=S3=φ，由此否定D.故本题应选C2．（2004·安徽春招卷）：已知向量集合，则M∩N等于（）A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y+2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.B)的充要条件是（）A．m>-1,n<5B m<-1,n<5C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈B（※）又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A4．（2004·江苏卷）设函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N=｛y|y=f(x),x∈M｝,则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析.∴当x>0时，f(x)<0;当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)>0.由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5．（2004·北京卷）函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=｛y|y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P∩M≠φ，则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有（）A．1个B2个C3个D4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0｝,M=｛x|x<0｝,则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M, (※),易知x0f(P)当x0f(M)时，有x0f(P)∪f(M)；当x0∈f(M)时，则易知－x0∈M.注意到这里－x0≠0，所以－x0P，从而－x0f(P).又∵x0M，∴－x0f(M)，∴－x0f(P)∪f(M)（※※）∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.6．（2004·辽宁卷）设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.（2）从确定A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结为不等式（组）的求解问题.解：（1）原不等式|x－1|>1－a当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;当1－a>0，即a<1时，原不等式x－1<a－1或x－1>1－a x<a或x>2－a于是综合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集为（－∞，a）∪（2－a,+ ∞）（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝注意到==∴∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2－a]的右端点的限制)(对A=[a,2－a]的左端点的限制)故得－1<a≤0,点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条件的等价不等式组.简易逻辑一、逻辑联系书上介绍了“或、且、非”三个联结词.这三个联结词的使用构成了命题之间的运算.我们称之为三种基本逻辑运算. “或”就是“或A”，“或B”，“或A与B”三者的总和！与集合求“并”一致；“且”就是“既A且B”等同于集合求“交”；而“非”与集合求“补”更是一样.可见，“或、且、非”是三种运算，且可以用集合的三种运算来描述，如让集合A与命A Bq例1．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：(1)p：是有理数，q：是无理数(2)p：方程x2+x-1=0的两根符号不同，q：方程x2+x-1=0的两根绝对值不同本例主要训练学生对逻辑联结词“或、且、非”的的应用，加深对逻辑联结词的理解.解：(1)p或q：是有理数或无理数，p且q：是有理数且是无理数，非p：不是有理数(2)p或q：方程x2+x-1=0的两根符号不同或绝对值不同.p且q：方程x2+x-1=0的两根符号不同且绝对值不同.非p：方程x2+x-1=0的两根符号相同.例2．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)x=2或x=3是方程x2-5x+6=0的根(2)p既大于3又是无理数(3)直角不等于90° (4) x+1≥x-3.(5)垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧本全主要考查对逻辑联结词“或、且、非”的理解.解：(1)这个命题是p或q的形式，其中p:x=2是方程x2-5x+6=0的根.q：x=3是方程x2-5x+6=0的根.(2)这个命题是p且q的形式，其中p：p大于3，q：p是无理数(3)这个命题是非p的形式，其中p：直角等于90°(4)这个命题是p且q的形式，其中p：x+1>x+3,q：x+1=x-3(5)这个命题是p且q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧说明：有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中.字面上未出现“或”与“且”字，如此例中的(2)与(4).此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式，一般，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并理的为“或”.例3．分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假.(1) p:4∈{2,3}, q:2∈{2,3}.(2) p:1是奇数，q:1是质数(3)p:0∈, q：{x|x2-3x-5<0, x∈R}(4)p:5≤5, q:27不是质数(5)p:不等式x2+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2}，q:不等式x2+2x-8<0的解集是{x|x<-4或x>2}.解：(1)因为p假，q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.(3)p或q：0∈或{x|x-3x-5<0, x∈R }p且q：0∈且{x|x-3x-5<0, x∈R }非p:0.因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.(4) p或q：5≤5或27不是质数，p且q：5≤5且27不是质数，非p:5>5.因为p为5<5或5=5，而5=5为真，故p为真，又q也为真，所以，“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.(5) p或q：不等式x2+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2}或是{x|x<-4或x>2}.p且q：不等式x2+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2}且是{x|x<-4或x>2}.非p：不等式x2+2x-8<0的解集不是{x|-4<x<2}.因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.说明：注意复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结命题是p与q.而不能用“或”与“且”去联结命题p与q中的条件.又非p是对p的否定，命题中的“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定.二、四种命题：逆否命题考察下面命题：(1) 如果两角是对顶角，那么这两角相等(2) 如果两角不相等，那么这两角不是对顶角可以发现，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定. 这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题.一个命题和它的逆否命题要么同时为真，要么同时为不真，我们可用下面的命题来检验这个结论：a. 如果一个整数能够被2整除，那么它是一个偶数例1．写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题(1) 在ΔABC中，若a>b, 则∠A>∠B.(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(3)当c>0时，若a>b, 则ac>bc.分析：由原命题写出逆命题，否命题和逆否命题时注意以规律：①交换原命题的条件和结论.所得命题就是逆命题.②同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题.③交换原命题的条件和结论并且同时否定.所得命题就是逆否命题.解答：(1)逆命题：在ΔABC中，若∠A>∠B，则a>b.否命题：在ΔABC中，若a≤b,则∠A≤∠B. 逆否命题：在ΔABC中，若∠A≤∠B则a≤b.(2)逆命题：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方.那么这个三角形为直角三角形.否命题：若一个三角形不是直角三角形.那么该三角形任何边的平方和不等于第三边的平方.逆否命题：如果一个三角形任两边的平方和不等于第三边的平方，那么这个三角形不是直角三角形.(3)逆命题：当c>0时，若ac>bc,则a>b.否命题：当c>0时，若a≤b,则ac≤bc.逆否命题：当c>0时，若ac≤bc,则a≤b.说明：某些命题存在大前提，写其它命题时应注意保留.例2．已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.分析：判断原命题，逆命题，否命题，逆否命题的真假时，只要判断原命题与逆命题的真假，就可知道其它两个命题的真假，不必一一判断.解答：逆命题：如果关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集.那么,|a|≤1.否命题：如果|a|>1,那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不是空集.逆否命题：如果关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不是空集，那么|a|>1.①先判断原命题的真假.当|a|≤1时a2-4<0,Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5a2+4a-12=5(a+)2--12≤5(1+)2--12<0,故(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为，故原命题为真，则逆否命题亦真.②对于逆命题，当(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解为空集时，先研究a2-4=0得a=-2，满足题意，这样a=-2与|a|≤1矛盾，故命题为假，而否命题与逆命题互为逆否命题，故否命题亦为假.三、充要条件考察命题：“若两角是对顶角，则此两角相等”，显然，它是一个真实的命题.它正确地揭示了条件“两角是对顶角”与结论“两角相等”之间必然的逻辑联系.容易看出，如果“两角是对顶角”这个条件成立，就可以充分保证“两有相等”这个结论也成立，我们记：p：两角是对顶角；q：两角相等即假言命题“p→q”是真命题，此时可以说p经过推理可得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作：p q.如果把上述命题改为它等价的逆否命题：“若两角不相等，则两角不是对顶角”那么，不难看出，要使“两角是对顶角”成立，“两角相等”是必不可少的，即.为了便于说明条件和结论之间的联系.我们称“两角是对顶角”是“两角相等”的充分条件，而“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件.一般地，如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果由p推不出q，命题为假，记作p q.例1．设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么A、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C、甲是乙的充要条件D、甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件分析：本题研究的是命题甲与乙之间的“”关系，不等式|x-2|<3的解是-1<x<5.显然，当x满足0<x<5时一定满足-1<x<5，反之亦然，如x=-0.5满足-1<x<5，但不满足0<x<5，即甲乙，乙甲，故甲是乙的充分不必要条件.答案：A.例2．下列各小题中，p是q的什么条件？（在“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）(1) p：|x-2|≤3，q：x≥-1或x≤5.(2) p：-2<a<0, 0<b<1.q：关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的正根.分析：先简化条件p或q，注意正面推导与反面验证，通过考察即可得出它们的关系.解答：(1)p：-1≤x≤5，q：x≥-1或x≤5. 由于{x|-1≤x≤5}{x|x≥-1或x≤5}.所以p q，但q p，所以p是q的充分非必要条件.(2)若-2<a<0, 0<b<1, 不妨取a=1, b=,则Δ=a2-4b=1-<0.关于x的方程x2+ax+b=0无实根，所以p q.右关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的正根，设0<x1≤x2<1，则x1+x2=-a, x1x2=b, 所以0<-a<2, 0<b<1,即-2<a<0, 0<b<1，即q p.故p是q的必要而不充分条件.说明：由于新教材的原因，原旧教材中的符号一律被取代，同学们在时候的时候千万以新教材的为准！在线测试选择题1．如图U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）.A、(M∩P)∩SB、(M∩P)∪SC、(M∩P)∩(C U S)D、(M∩P)∪(C U S)2．已知复合命题“p或q”为真，“非p”为假，则（）.A、p真，q假B、p假，q真C、p假，q可能真，也可能假D、p真，q可能真，也可能假3．在一个“若p则q”形式的命题中，已知p：两个实数a,b满足|a-b|<2；q：两个实数a, b满足|a-|<1, 且|b-|<1.那么（）.A、p是q的充分但不必要条件B、p是q的必要但不充分条件C、p是q的充要条件D、p不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．设U={1,2,3,4,5}, A∩B={2},(C U A)∩B={4}, (C U A)∩(C U B)={1,5}，则（）A、3∈A，且3∈BB、3A，但3∈BC、3A，且3 BD、3∈A，但3 B5．集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0}.若A∪B=R，A∩B={x|3<x≤4},则（）A、a=2,b=3B、a=-3,b=-4C、a=1,b=2D、a=-3, b=4答案与解析答案：1、C 2、D 3、B 4、D 5、B解析：1．阴影包含在M∩P中，但不含S中的元素. 答案：C2．由“非p”假知p真，此时，不论q真假如何，“p或q”都真. 答案：D3．由q成立，有|a-b|=|a-+-b|≤|a-|+|b-|<2，即p成立. 反过来不行.答案：B4．3A∩B，假设3A,由 (C U A)∩B={4},3B,这与(C U A)∩(C U B)={1,5}矛盾，从而3∈A，3 B.答案：D 5．A=(-∞,-1)∪(3,+∞)，由A∪B可知B包含[-1,3]，又A∩B=(3,4)，可知B=[-1,4].于是a=-(-1+4)=-3, b=(-1)×4=-4.答案：B谈“简易逻辑”的学习数学课也学逻辑，这对许多高一新同学来说，似乎有些突破：语文课学逻辑，政治课讲逻辑，为什么数学课也学逻辑？且此逻辑与彼逻辑是何关系？！其实数学中的逻辑学知识与语文文法和哲学中的逻辑从本质上讲是一个东西，都叫形式逻辑.它是人们思维的方法与工具.数学领域内充满了逻辑，数学思维就是一种逻辑思维，不研究逻辑，就无法研究数学，就无法真正进入数学.我们在高中一年级接触的逻辑，称为“简易逻辑”.之所以说“简易”，是因为它仅涉及逻辑学中最基本、最简单的部分知识，是逻辑学的起步.但同学们不要因其浅显而小看，它正是你可以进入逻辑学大门的钥匙.没有对它的接受与认识，你就休想进入逻辑世界，因而你的数学思维也会显得残缺不全.这就是说，每一个进入高一的学生都要认识它，接受它，从而掌握它，应用它.下面我们逐一认识一下简易逻辑中的一些基本知识．整个“简易逻辑”包含两个部分：一是逻辑基本概念与运算，二是初步的逻辑判断．打开课本，首先映入眼帘的是“命题”．课本上定义为“可以判断真假的语句”．顾名思义，不能断定真假的语句就不是命题．比如“12＞5”与“0.5是整数”就是命题．而“x＞5”则不是命题．但“若x＝6，则x＞5”却成了一个命题，因为其可以断定真假了．由此，诸如“12＞5”之类的命题称之无条件型命题，或称绝对命题；而“若x＝6，则x＞5”则叫条件型命题．书上没有给出这种分类，但书上有“若A则B”型命题，不就是这类命题吗?课本上介绍了“或、且、非”三个联结词，但在做复合命题时没有指出这是逻辑运算，也没有指出除此之外是否还有逻辑联结词，因此需要对这三个字认识一下．首先，这三个联结词的使用构成了命题之间的运算，我们称之为三种基本逻辑运算．探求一下它们的内涵，不就与集合运算中的“并、交、补”,“或”就是“或A”、“或B”、“或A与B”三者的总和！与集合求“并”一致；“且”就是“既A且B”，等同于集合求“交”；而“非”与集合求“补”更是一样．可见，“或、且、非”是三种运算，且可以用集合的三种运算来描述．另一个问题是，是否仅有这三个联结词．仅就逻辑用语而言，逻辑联结词应当还有不少，比如“若…则”，“因为…所以…”，这些联结词也构建命题与命题之间的逻辑关系．只是“或、且、非”是三种最基本联结词，且定义最基本的三种运算，而课本中只研究介绍这些内容而已．在接触“非”运算之后，有三个地方需要进一步明确，其一是不要把所有命题都看成另一命题的否定．诚然，“12＞5”是“12≤5”的否定，这在逻辑上是没有问题的．但如果对所有命题都如此而论，就无法确定评价尺度与标准了，而且这种正、反否定的思维必然造成思维无果，又累及人身．因此，把一些命题称之为元命题(即基本元)，由此去构建其他命题或评判其他命题就尤其有必要，因此课本上只把带“非”的命题称为命题否定，而不带“非”的元命题称为简单命题．其二，对简单复合命题取“非”有何法则，也需了解，不然就会乱套．如对“A或B”取非，遵循“非A且非B”法则；对“A且B”取非，遵循“非A或非B”法则；就与集合运算中的德摩根法则一样，掌握了这个法则，则课本上的相关例、习题就不难接受了．其三是否命题与命题的否定．否命题应当有“若非A则非B”形式，用于求原命题的否命题．命题的否定应当遵循“若A且非B”，通常用于反证法的否定．对于命题“若A则B”，同学们作出它的真值表并不难，但初学的同学将它们用于逻辑判断却不一定能得心应手．。