【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件：6.4基本不等式

(1)“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是
代换的前提,不能盲目变形. (2)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式 或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为 “和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技 巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
2 S 那么当x=y时,xy有最大值 .(简记:“和定积最大”) 4
2.必备结论
教材提炼
记一记
常用的几个重要不等式 (1)a+b≥_____(a>0,b>0). 2 ab
ab 2 ) (2)ab≤______(a,b∈R). 2 (
2 2 a b a b 2 (3) ( (a,b∈R). ) 2 2 b a 2 (4) ＋ ≥__(a,b同号 ). a b
所以
答案：8
【规律方法】利用基本不等式求最值的常用技巧 (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变 形,如构造“1”的代换等. (3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,但
要注意等号成立的条件必须要一致.
【一题多解】解答本题(2)，还有以下解法：
1 1 1 1 1 (1 )(1 )＝＋ 1 ＋ ＋ ， a b a b ab 1 1 1 由1 知，＋ ＋ 8， a b ab 1 1 1 1 1 故(1 )(1 )＝＋ 1 ＋ ＋ 9. a b a b ab
【规律方法】基本不等式的应用技巧
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
3.必用技法
核心总结
看一看
(1)常用方法:根据基本不等式求最值的方法. (2)数学思想:等价转化思想、数形结合思想等.
【小题快练】
1.思考辨析
静心思考
x
判一判
)
(1)函数y=x+ 1 的最小值是2.(
(2)函数f(x)=cosx+
x y
y x 1 (4)若a>0,则a3+ 2 的最小值为2 a .( a
【解析】因为
所以10(x＋y)－(x＋y)2≥16， 即(x＋y)2－10(x＋y)＋16≤0， 所以2≤x＋y≤8，所以x＋y的最大值为8. 答案：8
考点
利用基本不等式证明简单不等式
【典例】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
1 1 ≥8. b ab (2) (1 1 )(1 1 ) 9. a b
【加固训练】1.已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc ＋ ca ＋ ab a＋b＋c.
a b c
【证明】因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以 bc ca bc ca ＋ 2 ＝2c； a b a b
bc ab bc ab ＋ 2 ＝2b； a c a c ca ab ca ab ＋ 2 ＝2a. b c b c bc ca ab 以上三式相加得： 2( ) 2 a＋b＋c ， a b c bc ca ab 即 ＋ ＋ a＋b＋c. a b c
2 因为
【互动探究】把例(1)的条件改为已知正数x，y满足x+2y=1，
则
2 1 的最小值为_______. x y
【解析】因为正数x，y满足x+2y=1,
2 1 2 1 4y x 4y x 4y x ( ) x 2y 2 2 4 42 8， x y x y x y x y x y 当且仅当 4y x , 即x=2y时取等号. x y
x 10 x 2 ) =25,当且仅当x=10-x, 2
3.真题小试
感悟考题
试一试
(1)(2014·重庆高考)若log4(3a+4b)=log2 ab,则a+b的最小值
是( )
A.6+2 3
C.6+4 3
B.7+2 3
D.7+4 3
【解析】选D.log4(3a+4b)=log2 可得3a+4b=ab,且a>0,b>0,
ab 算术平均数 叫做正数a,b的___________, ab 叫做正数a,b的 2 2
几何平均数 ___________.
(3)利用基本不等式求最大、最小值问题: ①如果x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值), x=y 时,x+y有最小值2 P .(简记:“积定和最小”) 那么当____ ②如果x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),
(2)因为a>0，b>0，a＋b＝1，
1 ab b 所以1 ＋ ＝＋ 1 ＝2＋ ， a a a 1 a 同理1 ＋ ＝2＋ ， b b 1 1 b a b a 所以(1 )(1 )＝(2 )(2 )＝5＋2( ) 5＋4＝9. a b a b a b 1 1 1 所以(1 )(1 ) 9(当且仅当a＝b＝ 时等号成立)． a b 2
1 2 即 1, y x
1 2 x 4y x 4y x 2y x 2y ( ) 4 42 8， y x y x y x
当且仅当x=2y时取等号,故选A.
x 1 , 2 x 4 x 4 x 4 4 又x 0时, x 2 x 4, x x 4 当且仅当x ,即x 2时取等号, x 1 1 x 1 所以0 ,即 2 的最大值为 . 4 4 x 4 4 x x 答案：1 4
x y
3 x
4 y
3 x
4 y
3y x
4x 3y 4x ＋7 2 ＋7＝7＋4 3， y x y
即x＝－3＋2 3 ，y＝4－2 3 时等号成立，
3 4 所以 ＋ 的最小值是7＋4 3 . x y
答案:7＋4 3
2.当x>0时，f(x)＝ 2x 的最大值为______． 2
x 1
【解析】因为x>0，
1 x 2y 2 所以xy= 1 (x·2y)≤ ( ) , 2 2 2
又x+2y=xy, 所以x+2y≤ (
1 2 x 2y 2 ) , 2
由x>0,y>0,解得x+2y≥8,当且仅当x=2y时，等号成立, 所以x+2y的最小值为8.
【一题多解】解答本题，还有以下解法： 选A.由x+2y-xy=0,得x+2y=xy,
(2)上述结论是我们用基本不等式求最值的依据,可简述为“和定积最 大,积定和最小”.
3 4 【变式训练】1.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，则 ＋ 的最小值是 x y
________． 【解析】因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，
所以 ＋ ＝ x＋y ( )＝ ＋
当且仅当 3y ＝ 4x 且x＋y＝1，
2.已知a,b,c∈(0,+∞)且a＋b＋c＝1，
求证：( 1 －1)( 1 －1)( 1－1) 8.
a b c
【证明】因为a,b,c∈(0,+≦)且a＋b＋c＝1，
1 a 1 b 1 c 1 1 1 所以( － 1)( － 1)( － 1)＝ a b c abc b c a c a b 2 bc 2 ac 2 ab ＝8. ＝ abc abc 1 当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号． 3
π 4 ,x∈(0, )的最小值等于4.( 2 cos x

)
(3)x>0,y>0是 ＋ ≥2的充要条件.(
) )
【解析】(1)错误,因为x没有确定符号,所以不能说最小值为2. (2)错误,利用基本不等式时,等号不成立.
(3)错误,不是充要条件,当x<0,y<0时也成立.
(4)错误,最小值不是定值,故不正确.
【解析】选C.由容器容积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面 长为x,则宽为 4 ,总造价为W. 由题意,W=(2·x·1+2· 4·1)·10+4×20 =20(x+ 4 )+80≥20×2 4 +80=160, 当x= 4 ,即x=2时取“=”.
x x x x
(3)(2014·上海高考)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值 为 .
第四节 基本不等式
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)重要不等式: 2ab a=b 时等号成立). a2+b2≥____(a,b∈R)(当且仅当 ____ (2)基本不等式 ab a b : a>0,b>0 ①基本不等式成立的条件:________;
a=b 时等号成立; ②等号成立的条件:当且仅当____ ③其中
3a 4b 3 4 1,即 1, ab b a
ab
3 4 3a 4b 3a 4b 所以a b a b ( ) 7 72 7 4 3. b a b a b a 故选D.
(2)(2014·福建高考)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容 器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元, 则该容器的最低总造价是( A.80元 B.120元 ) C.160元 D.240元
答案:(1)× (2)×
(3)×
(4)×
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(必修5P100习题3.4A组T1(2)改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的
最大值为( A.80 ) B.77 C.81 D.82
【解析】选C.xy≤ ( 选C.
x y 2 18 2 ) ＝( ) =81,当且仅当x=y=9时等号成立,故 2 2
(2)(必修5P100习题3.4A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩 形场地,则矩形场地的最大面积是 .