定积分求图形的面积和旋转体的

直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积精品文档

...

3a 2
40
8
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） r r( )
如果平面曲线由极坐标给出，如右图：
由 , , rr

所围成的图形称为曲边扇形。
其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
dA 1r2 d （扇形面积近似替换）
2
由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
x y 可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴。 x y 最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示）
由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a< b, f (x)>0)所围成的曲边
梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
y=f (x)
例1 计算由 y 2 x 及 y x 2 所围成的图形的面积。
例2 计算由曲线 y x3 6x 和y x 2 所围成的图形的面积。
例3 计算由 y 2 2 x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解 A A1 A2

2 0

2x (
2 x ) d x
体积元素为
dV y2dx
r h
x

2
dx

o
P(h,r) x x+dx x

大学高等数学2平面图形的面积旋转体的体积计算

示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。
x 可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或 y 轴。 x 最基本的情形是曲边梯形绕轴或 y 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示）
由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a< b, f (x)>0)所围成的曲边
梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
例1 计算由 y2 x 及 y x2 所围成的图形的面积。
例2 计算由 y2 2x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解 A A1 A2
2 0
2x (
2x ) dx
8 2
2x (x 4) dx
18
例3 求椭圆
x2 a2
y2 b2
1 的面积。
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（演示）。

定积分的应用练习题

题型

1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积

2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积

内容

一．微元法及其应用

二．平面图形的面积

1.直角坐标系下图形的面积

2.边界曲线为参数方程的图形面积

3. 极坐标系下平面图形的面积

三．立体的体积

1.已知平行截面的立体体积

2.旋转体的体积

四．平面曲线的弦长

五．旋转体的侧面积

六．定积分的应用

1.定积分在经济上的应用

2.定积分在物理上的应用

题型

题型I微元法的应用

题型II求平面图形的面积

题型III 求立体的体积

题型IV 定积分在经济上的应用题型V 定积分在物理上的应用

自测题六

解答题

4月25日定积分的应用练习题

一．填空题

1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________

2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________

3. 由曲线y x y y x 2,42

2

==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3

3

1x x y -

=

相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2

2

π

θπ

≤

≤-

上的一段弧所围成的图形面积

为． 6.椭圆)0,0(1

sin 1

cos b a t b y t a x ⎩⎨

⎧+=+=所围成的图形的面积为

二．选择题

1. 由曲线2

2

,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（） A ．

31 B ． 32 C ． 21 D ． 2

3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（）

定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积

设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：

弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①

线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②

因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ

绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于

Δ∑＝π(y＋y＋Δy)

＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]

＝2πyds＋o(dx)，

显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有

从而旋转体的侧面积为

相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．

例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．

由⑤式得侧面积为

例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．

故对哪个半圆周都有

代入公式⑤即得所求表面积为

解采用参数坐标较为方便．

令x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π

弧长微分

故表面积为

我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e

习题

29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．求旋转下列曲线所成曲面的面积

33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．

答案

定积分的应用求旋转体积

定积分是微积分学中的一个重要概念，它可以用来求解各种几何问题，其中包括求旋转体积。在本文中，我将介绍如何使用定积分来计算旋

转体积。

首先，我们需要明确什么是旋转体。旋转体是由将一个曲线绕某个轴

线旋转而形成的立体图形。例如，将函数y=f(x)在区间[a,b]上绕x轴

旋转所得到的立体图形就是一个旋转体。

接下来，我们需要确定如何计算旋转体积。假设我们要求函数y=f(x)

在区间[a,b]上绕x轴旋转所得到的立体图形的体积。首先，我们需要

将该曲线划分成n个小段，并且对于每个小段i，在x轴上选择一个代表点xi*。然后，我们可以通过将每个小段i绕x轴旋转而形成的圆柱

体的体积来逼近整个立体图形的体积。具体地说，圆柱体的高度为

f(xi*)-f(xi)，半径为xi-xi-1。因此，第i个圆柱体的体积为：

V(i) = π(f(xi*)-f(xi))^2(xi-xi-1)

然后，我们可以通过对所有圆柱体的体积进行求和来得到整个立体图

形的近似体积。具体地说，我们可以将每个小段i的长度Δx设为(xi-

xi-1)，然后将所有圆柱体的体积相加：

V ≈ ∑(i=1 to n) V(i) = π∑(i=1 to n) (f(xi*)-f(xi))^2(xi-xi-1)

当我们将划分数n无限增大时，这个近似值会越来越接近真实值。因此，我们可以通过取极限来得到旋转体的精确体积。具体地说，我们可以将划分数n设为无穷大，并且让每个小段的长度趋近于0（即

Δx→0）。这样，我们就可以得到旋转体的精确体积公式：

V = ∫(a to b)π(f(x))^2 dx

求曲线y=x2与y=x围成的图形...

求曲线y=x2与y=x围成的图形的⾯积，并求该图形绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体的体积．

考点：⽤定积分求简单⼏何体的体积

专题：导数的综合应⽤

分析：可利⽤定积分分别计算S=∫10(x-x2)dx=13，V=∫10π(x-x4)dx即可．

解答：解：曲线y=x2与y=x围成的图形的⾯积S=∫10(x-x2)dx=13，

设旋转体的体积为V，

则V=∫10π(x-x4)dx=(12x2-15x5)|10=310π．

点评：本⼩题主要考查定积分的应⽤：求曲边梯形的⾯积、旋转体的体积等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．

定积分旋转体面积公式绕x轴和绕y轴的区别

一、公式不同：

绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。

二、含义不同：

是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。

绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。

（1）纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线。

（2）旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线。

（3）任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。

旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的区别如下：

同一个椭圆，绕Y轴与绕X轴旋转所形成的立体球体是不一样的。

把椭圆分成1/4来看：

当它绕X轴旋转时，这部分旋转走过的路径是以短半轴为半径的圆的周长，也低珠就是周长份厚度无限小的组合起来就是旋转体的体积。

同样，绕Y轴时，是以长半轴为半径的圆的周长份，每一部分的厚度是一样的都是无限小，但是份数不同。

三轴椭球体体积是4/3πabc。

绕x轴旋转，体积是4/3πab2。

绕y轴旋转，体积是4/3πa2b。

简介

转轴公式是坐标轴的旋转公式的简称。转轴公式分为平面直角坐标系中的转轴公式和空间直角坐标系中的转轴公式。例如在平面直角坐标系中，不改变原点的位置和坐标轴的长度单位，将两坐标轴按同一方向绕原点旋转同一角度的坐标变换叫做坐标轴的阅王旋转，简称转轴。

设坐标轴的旋转角为θ，P是平面的任意一点，在原坐标系xOy中的坐痕喝粒标为（x，y)，在新坐标系x′Oy′中的坐标为（x′，y′），描述则（x，y)与（x′，y′）之间关系的公式叫做坐标轴的旋转公式，简称转轴公式。

定积分应用旋转体体积公式

在微积分中，定积分可以应用于求解旋转体体积问题。旋转体是指某个曲线绕某个轴线旋转得到的几何体。定积分可以通过对曲线的旋转来计算旋转体的体积。

旋转体体积公式可以表示为：

V = π∫ a^b (f(x))^2 dx

其中，a和b分别是积分的上下限，f(x)是曲线方程。这个公式的意思是，将曲线f(x)绕x轴旋转，所得到的旋转体体积V等于π乘以积分（a到b）f(x)的平方dx。这个公式可以用来计算任意曲线绕x轴旋转所得到的旋转体体积。

例如，当f(x)为常数函数时，旋转体是一个圆柱体，公式可以化简为：

V = πr^2h

其中，r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高度。这个公式可以用来计算圆柱体的体积。

定积分应用旋转体体积公式是微积分中的一个重要应用，可以帮助我们计算各种形状的旋转体的体积。

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2023考研高等数学全考点精讲-第九讲定积分的应用

第九讲定积分的应用

【考试要求】

1.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值（数一、数二）.

2.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题（数三）.

考点：平面图形的面积1.直角坐标

()()[]()()()()()()()()()()(),,,,,;

,;0,0,.

b

a b

a f x g x a

b y f x y g x x a x b a b A f x g x dx f x g x A f x g x dx f x g x A f x dx ====<=-≥=-⎡⎤⎣⎦≥==⎰⎰⎰设在上连续则由曲线及直线（）围成的曲边梯形的面积若则若则2.极坐标

()()[]()()()()()()()()()()1212122

2212

12,,,,1,;2

10,,.2

r r r r r r r r r r A r r d r r r A r d βαβαθθαβθθθθαβαβθθθθθθθθ≤==⎡⎤==<=-⎣⎦===

⎰⎰设在上连续,则由曲线及射线（）围成的曲边扇形的面积若则3.小结

,,,,为正确求出图形的面积首先尽量画出曲线的草图若是曲边梯形状一般选取直角坐标若是曲边扇形状一般选取极坐标然后再根据积分容易进行或少分块积分而确定积分变量,求出曲线交点以确定积分区间.

当然以上计算中还要注意观察或分析图形是否有对称性.

定积分求体积的四个公式

定积分是微积分的一个重要概念，可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质量、重心等各种物理量。在三维空间中，定积分也可以用来计算体积。

以下是四个常用的定积分求体积的公式：

1. 平面图形的旋转体体积公式：

假设有一个平面图形，它绕着某个轴旋转一周形成一个立体图形，那么它的体积可以通过定积分计算得到。

设平面图形为函数 y=f(x)，则旋转体的体积 V 可以表示为：

V = π∫[a, b] f(x)^2 dx

其中，a和b是平面图形上的两个点，π是圆周率。这个公式可

以推广到三维空间中的任意轴。

2. 用截面积求体积公式：

对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，则体积可以通过定积分计算得到。

设截面积函数为 A(x)，则体积 V 可以表示为：

V = ∫[a, b] A(x) dx

这个公式适用于任意形状的截面。

3. 用截面面积与高度的乘积求体积公式：

对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，且高度为 h(x)，则体积可以通过定积分计算得到。

设截面面积函数为 A(x)，高度函数为 h(x)，则体积 V 可以表示为：

V = ∫[a, b] A(x)h(x) dx

这个公式适用于各种不规则形状的图形。

4. 旋转体绕轴的体积壳公式：

对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，且旋转轴到截面的距离为 r(x)，则体积可以通过定积分计算得到。

设截面面积函数为 A(x)，旋转轴到截面的距离函数为 r(x)，则

体积 V 可以表示为：

V = 2π∫[a, b] A(x)r(x) dx

旋转体面积公式

旋转体的表面积计算公式为：S=∫2πf(x)√[1+f'(x)^2]dx，其中f(x)是曲线y=f(x)的函数表达式。这个公式适用于绕x轴旋转的情况。

另外，如果曲线y=f(x)绕y轴旋转，则旋转体的表面积计算公式为：S=∫2πx√[1+(f'(y))^2]dy，其中f(y)是曲线x=f(y)的函数表达式。

定积分求旋转体表面积公式

我们需要明确什么是旋转体。旋转体是由将一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体图形。我们可以通过求解旋转体的表面积来更好地理解这个概念。

假设我们有一个曲线y=f(x)，并将其绕x轴旋转一周，得到一个旋转体。我们的目标是求解旋转体的表面积。

为了求解这个问题，我们可以将旋转体分成无数个薄片，然后计算每个薄片的表面积，最后将所有薄片的表面积相加得到总的表面积。

我们将曲线f(x)在x轴上划分成无数个小区间，每个小区间的长度为Δx。然后，我们取一个小区间的任意一点xi，并计算其对应的函数值f(xi)。接下来，我们将这个小区间绕x轴旋转，形成一个薄片。

这个薄片的宽度为Δx，高度为f(xi)。我们可以将薄片展开成一个矩形，其长为2πf(xi)，矩形的面积为2πf(xi)Δx。

接着，我们将所有的薄片的面积相加。由于薄片的个数趋向于无穷大，我们可以用极限的概念来表示总的表面积。

使用定积分的概念，我们可以得到旋转体的表面积公式：

S = ∫(2πf(x))dx

其中，S表示旋转体的表面积，f(x)表示曲线y=f(x)的函数表达式。

这个公式的意义就是将曲线f(x)在x轴上的每个小区间上的矩形面积相加，然后取所有小区间的面积之和的极限值。

需要注意的是，求解旋转体的表面积时，曲线f(x)在x轴上的取值范围要在积分的区间内。

举个例子来说明一下。假设我们要求解曲线y=x^2在x轴上从0到2的旋转体的表面积。

我们计算曲线y=x^2在x轴上从0到2的表面积公式：

S = ∫(2πx^2)dx

然后，我们根据定积分的定义，将表面积公式拆分成无数个小区间上的矩形面积之和：

经济学微积分定积分的应用求面积体积

解
如图，解方程组
y 1 x2

y ax2
y y 1 x2 y ax2
S1
得交点坐标 ( 1 , a )
S2
1a 1a
1
o
x
而
S1
1a (1 x2 ax2 )dx
0
1 [ x 1 (1 a)x3 ] 1 a
3 0
2 3 1a
再由
y
S(x)
o
a
x
bx
具体求法如下：
1.分割 y
a x0 x1 L xn b
xi xi xi1
|| || m1iaxn {xi }
2.近似求和
o a
Vi S(i )xi
n
n
V Vi S(i )xi
i 1
i 1
3.求极限
Vi
c
d
b
S S1 S2 S3
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
d
f ( x)dx
b
a | f ( x) | dx
由y f ( x), x a, x b及x轴所围图形的面积为
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d

计算旋转体侧面积的积分公式

1、根据定积分公式可得：2π∫(1,t)(t-x)/x^2dx+2π∫(t,2)(x-t)/x^2dx。

2、一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

3、表面积是指所有立体图形的所能触摸到的面积之和。球体表面积计算公式为：S=4πR^2。

4、定积分就是求函数f（X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由

y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

5、定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δ

x2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值。

定积分绕y轴旋转体积公式推导

一、引言

定积分绕y轴旋转体积公式是高等数学中的一个重要知识点，其应用广泛，例如在工程、物理学、化学等领域都有着重要的应用。在本文中，我们将详细介绍定积分绕y轴旋转体积公式的推导过程，并通过实例加深读者对该公式的理解。

二、定积分绕y轴旋转体积公式的概念

首先，我们需要明确定积分绕y轴旋转体积公式的概念。当一个曲线y=f(x)在x轴上的一个区间[a,b]内绕y轴旋转一周时，所得到的旋转体的体积可以通过定积分计算得出，其公式如下：

V = π∫[a,b](f(x))^2dx

其中，π表示圆周率，f(x)为曲线y=f(x)在x轴上的投影长度。

三、定积分绕y轴旋转体积公式的推导

接下来，我们将对定积分绕y轴旋转体积公式的推导过程进行详细介绍。

（1）将曲线y=f(x)绕y轴旋转一周，得到的旋转体可以看作是由无数个圆柱体组成的，每个圆柱体的高度为dx，半径为y=f(x)。

（2）将每个圆柱体的体积计算出来，然后将它们相加，即可得到整个旋转体的体积。圆柱体的体积为：π(y^2)dx。

（3）将每个圆柱体的体积相加，即可得到整个旋转体的体积，其公式为：

V = π∫[a,b](y^2)dx

（4）由于y=f(x)，因此可以将公式中的y用f(x)代替，即得到：

V = π∫[a,b](f(x))^2dx

四、定积分绕y轴旋转体积公式的实例

为了更好地理解定积分绕y轴旋转体积公式，我们可以通过实例进行说明。

例：将曲线y=x^2在x轴上的区间[0,1]内绕y轴旋转一周，求所得到的旋转体的体积。

解：根据定积分绕y轴旋转体积公式，我们可以得到：