高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
高考数学一轮复习第九章解析几何4直线与圆圆与圆的位置关系课件新人教A版理
-19考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)直线y=kx+3被圆(x-2)2 +(y-3)2=4截得的弦长为2 √3 ,
则直线的倾斜角为( A )
π
5π
6
6
A. 或
π
π
3
3
B.- 或
π
π
6
6
C.- 或
π
D.
6
1
(2)(2020 全国Ⅲ,理 10)若直线 l 与曲线 y=√和圆 x2+y2= 都相切,
9 .4
直线与圆、圆与圆的位置关系
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
1.直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的
一元二次方程的判别式为Δ.
位置关系
几何法
代数法
相交
d < r
|-2+1-3|
由题意知
2 +1
=2,
3
4
解得 k= .
∴圆的切线方程为
3
y-1=4(x-3),
即3x-4y-5=0.
故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
-17考点1
考点2
考点3
|-2+4|
(2)由题意得
√ 2 +1
4
=2,
解得 a=0 或 a= .
3
(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为
-14考点1
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-9直线与圆圆与圆的位置关系课件文
[解析] 画出图形可知 y 轴是 y2＝4x 的一条切线，与 y2＝4x 仅有一个公共点，设 y＝kx＋1，与 y2＝4x 联立，得 k2x2＋(2k－4)x ＋1＝0，当 k＝0 时，y＝1 与 y2＝4x 只有一个交点．当 k≠0 时， 由 Δ＝(2k－4)2－4k2＝0 得 k＝1，k＝1 时直线和抛物线只有一个 交点，故选 C.
[答案] C
2．(2017·东北三校联考)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F， 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2＝x1＋x3， 则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
3．非焦点弦性质 已知直线 l 与抛物线 y2＝2px(p>0)交于 A、B 两点，若 OA⊥ OB，则直线 l 过定点(2p,0)，反之亦成立．
[小题速练] 1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点， 这样的直线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
线 E：x2＝2py 的焦点为 M. (1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线
l 的方程； (2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求△OAB 的面积．
与抛物线联立，消去 [ 思 路 引 导 ] (1) 设直线l的方程 → y，得关于x的方程 → 对二次项系数分类讨论 → 求出直线方程 (2)S△OAB 以 OF 为底，|y1－y2|为高，只需求出|y1－y2|即可．
[温馨提示] 直线与抛物线相切，则直线与抛物线只有一个 交点．反之，则不一定成立．如小题速练 1 题．
2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,
高考数学一轮复习第九章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课件理.ppt
[听前试做] 由题意得圆心 C(1,2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上． 又 kPC＝2－2＋21－－21＝－1，∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝1×[x－( 2＋ 1)]，即 x－y＋1－2 2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点 M 在圆 C 外部． 当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝3，即 x－3 ＝0.
解析：由题意可知线段 AB 的中点m＋2 1，2在直线 x－y ＋2c＝0 上，代入得 m＋c＝3.
答案：3
[典题 1] (1)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2
＝5 的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
(2)若直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2恰有一个公共点，则
b 的取值范围是( )
A．b∈(－1,1]
B．b＝－ 2
C．b＝± 2
D．b∈(－1,1]或 b＝－ 2
(3)(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴
反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的
斜率为( )
A．－53或－35
B．－32或－23
C．－54或－45
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下 方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的 关系式等．
第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
变式训练 2 已知点 A(1，a)，圆 x2＋y2＝4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及切线方程； (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求 a 的 值及切线方程．
解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12＋a2＝4，∴a＝± 3.
(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长
AB＝ 1＋k2|x1－x2|
＝2 8－14＋k＋k211k2＝2
11－41k＋＋k32 ，
令 t＝41k＋＋k32，则 tk2－4k＋(t－3)＝0，
当 t＝0 时，k＝－34，当 t≠0 时，因为 k∈R，
∴d＝
22r，即|m5|＝
2 2·
5，
解得 m＝±522.
故当 m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
探究提高
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用 直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来 判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法； (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率 k1·k2＝－1.
要点梳理
忆一忆知识要点
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算． (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB＝ 1＋k2|xA－xB|＝ (1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
变式训练 1 已知直线 l：y＝kx＋1，圆 C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课件
1
PART ONE
基础知识整合
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r)
相离
相切
相交
图形
方程观点 Δ □01 < 0 Δ □02 ＝ 0 Δ □03 > 0 量化
几何观点 d □04 > r d □05 ＝ r d □06 < r
2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2 的半径分别为 r1，r2，d＝|O1O2|)
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
答案 B
解析 易得圆 C1 的圆心为 C1(－2,2)，半径 r1＝2，圆 C2 的圆心为 C2(2,5)，
半径 r2＝4，圆心距|C1C2|＝ [2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r1＋r2，又
|C1C2|>4－2，所以两圆相交．
5．圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦所在的直线方 程为___x_－__y_＋__2_＝_0___．
所以圆心到直线 AB 的距离为 d＝ 2 32－ 32＝3，又由点到直线的
距离公式可得
|3m－ 3| d＝ m2＋1 ＝3，解得
m＝－
33，所以直线
l
的斜率
k＝－m
＝ 33，即直线 l 的倾斜角为 30°.如图，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为 H，所以
|CH|＝2 3，在 Rt△CHD 中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝co2s330°＝4.
2．直线与圆的位置关系的常用结论 (1)当直线与圆相交时，弦心距(圆心到直线的距离)，半弦长及半径构成 一个直角三角形． (2)弦长公式|AB|＝ 1＋k2|xA－xB| ＝ 1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].
2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系跟踪检测文含解析
第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。
高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程圆与圆的位置关系课件
要不充分条件，Δ<0 是两圆外离(内含)的必要不充分条件.
5 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × ) (4)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；
第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两
圆公共弦长．
(3)两圆位置关系与公切线条数
两圆位置关系
内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数
01234
12 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R，r，R>r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
撬题·对点题 必刷题
13 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
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题型分类
深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O
答案 解析
的位置关系是
A.相切
B.相交
C.相离
不确定
因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2>1，而圆心 O 到直线 ax |a· 0＋b· 0－1| 1 ＋by＝1 的距离 d＝ ＝ 2 2 2 2<1. a ＋b a ＋b 所以直线与圆相交.
2.圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1>0)，
圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2 2(r2>0).
方法 位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2 的关系
代数法：联立两圆方程组 成方程组的解的情况 无解 一组实数解
外离
外切 相交
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
3.(2016· 西安模拟) 若直线x－ y＋ 1＝0 与圆(x－ a)2 ＋ y2＝ 2 有公共点，则 实数a的取值范围是 答案 A.[－3，－1] C.[－3,1]
解析
几何画板展示
B.[－1,3] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，
|a－0＋1| ∴ 2 2≤ 2，即|a＋1|≤2， 1 ＋－1
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系． d<r ⇔相交； d＝r ⇔相切； d>r ⇔相离．
>0⇔ 相交 ； 判别式 (2)代数法：― ― ― ― ― ― ― →＝0⇔ 相切 ； 2 Δ＝b －4ac <0⇔ 相离 .
解得－3≤a≤1.
4.(2016· 黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆
C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上
的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为
A.6－2 2 C. 17－1
答案
解析
几何画板展示
B.5 2－4 D. 17
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华
判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线 与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
(2)(2016· 江西吉安月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0 (t∈R)的位置关系为 A.相离 C.相交
答案 解析
B.相切 D.以上都有可能
直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内.
2.(2016· 全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0 的距离为1，则a等于
答案 解析
4 A.－3
3 B.－4
C. 3
D.2
由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，
|1×a＋4－1| 4 由点到直线的距离公式得 d＝ ＝1，解之得 a＝－3. 2 1＋a
考点自测
1.(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是 A.相切 C.相交过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离
答案 解析
由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离
|2×1－2－5| d＝ ＝ 5< 6且 2×1＋(－2)－5≠0， 2 2 ＋1
所以直线与圆相交但不过圆心.
(4) 过圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ r2 上一点 P(x0 ， y0) 的圆的切线方程是 x0x ＋ y0y ＝ r2.( √ ) (5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A， B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
两组不同的实数解
内切 内含
d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解 无解
知识拓展 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2) 过圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 上一点 P(x0 ， y0) 的圆的切线方程为 (x0 － a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3) 过圆x2＋ y2 ＝ r2外一点 M(x0 ， y0) 作圆的两条切线，则两切点所在直 线方程为x0x＋y0y＝r2.
圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的
圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距
减去两圆的半径，
所以|PM|＋|PN|的最小值为 3－22＋4＋32－1－3＝5 2－4.
5.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则 9 答案 解析 4 ab的最大值为________. 由两圆外切可得圆心 (a ，－ 2) ， ( － b ，－ 2) 之间的距离等于两圆半径 之和， 即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab， 9 所以ab≤ ，当且仅当a＝b时取等号， 4 即ab的最大值是 9 . 4
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条； ③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条. (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所 在直线的方程.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 如 果 两 个 圆 的 方 程 组 成 的 方 程 组 只 有 一 组 实 数 解 ， 则 两 圆 外 切.( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦 所在的直线方程.( × )