湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科及答案
(完整版)2013年高考理科数学湖北卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12- B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a->-.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z =14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝.在Rt △OCD 中，DE＝·OD CD OC ==则83CE ===，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：将椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)化为标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)，即sin cos 222m ρθθ⎛⋅+⋅= ⎝⎭，则该直线的一般式为y ＋x －m ＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b ，其标准方程为x 2＋y 2＝b 2.∵直线与圆O相切，∴=b，|m .又∵直线l 经过椭圆C 的焦点，∴|m |＝c .∴c =，c 2＝2b 2.∵a 2＝b 2＋c 2＝3b 2，∴22223c e a ==.∴e =.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A－3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值． 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝1224bc bc ⋅==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111m n n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，图1所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β.由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角， 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，QP uuur ＝(－a ，－b ，c )，BF u u u r ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，从而sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅u u u r u u u r m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a m λ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令S L [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有 (1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--， 4444333333(8281)(8382)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜．将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。
2013年湖北省八校第二次联考数学(理科)-含答案
≤≥1鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝 感高中 襄阳四中 襄阳五中 2013届高三第二次联考数学试题（理）命题学校：孝感高中命题人：王国涛审题人：李 冉 蒋志方考试时间：2013年3月28日下午15：00——17：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设x R,∈则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件2．已知命题:,p m n 为直线，α为平面，若//,,m n n ⊂α则//m α; 命题:q 若,>a b 则>ac bc ,则下列命题为真命题的是（ ） A ．p 或q B ．⌝p 或q C ．⌝p 且qD ．p 且q3．设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ） A ．31280-x B ．1280- C ．240 D ．240-4．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流程图输出的结果是（ ）7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4A ．7B ．8C ．9D ．105．若23529++=x y z，则函数μ= ） AB ．C．D6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积为2V ，则12:V V =（ ）湖北省 八校侧视图A ．1:2B ．2:1C ．1:1D ．1:47.已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）8．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b右支上的一点 00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为，且到两条渐近线的距离之积为23,则双曲线的离心率为（ ）ABCD 9．已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．3443,,4532⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1253,,2342⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．1253,,2342⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系。
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学(理)试题(扫描版)
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案 一、DBC B A B BDCD二、 11．－89 12．30613．720 14．230x y -+= 15． 7（3分） 21n -（2分） 三、16．∵数列{a n }为等差数列，∴a 1+a 3=2a 2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3． ∴a 1,a 2,a 3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴a n =2n-4或a n =-2n+4．又{log 3b n }为等差数列，且{log 3b n }的前10项和为45，∴{b n }为等比数列且log 3b 5+log 3b 6=9，即b 5b 6=39．而b 5=81，∴b 6=35，公比q=3，故b n =b 5·3n-5=3n-1．综上：a n =2n-4或a n =-2n+4 , b n =3n-1．(2)由（1）结合条件知a n =2n-4, 当n=1时，|a 1+b 1|=1．当n>=2时，|a n +b n |=a n +b n ，此时，S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+（a n +b n )-2(a 1+b 1)=n 2-3n+312n -+2=n 2-3n+332n +． 综上：221(1)3333323(2)2n n n n S n n n n n =⎧+⎪==-+⎨+-+≥⎪⎩(n ∈N *)． 17． (1)f (x )= 32 sinωx - 12 cosωx +m +12 =sin(ωx -π6 )+m +12∵点(π12 ，1)是f (x )图象的对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x =π3 ，∴f (x )的周期T=(π3 - π12 )×4=π，∴ω=2. 将点(π12 ,1)坐标代入f (x )的解析式得m =12 ，∴f (x )=sin(2x -π6 )+1.将f (x ) =sin(2x -π6)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y =sin(4x - π6 )+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g (x )=2sin(4x - π6 )+1. （2）由余弦定理，2222224131cos ()2444b c a a c a a c A bc ac c a +-+-===+≥⨯， 当且仅当3a c c a=时取等号，即c =时等号成立. 因为A 为三角形的内角，所以π06A <≤. ∴πππ2666A -<-≤，所以π12sin(2)16A -<-≤，所以π02sin(2)126A <-+≤ 故()2A g 的取值范围为(0,2]. 18．解法一：(1)连结OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .(2)假设存在这样的C 点，设OAC α∠=．在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ， 由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，所以OH ⊥平面P AC .又P A ⊂面P AC ，所以P A ⊥OH ．在平面P AO 中，过O 作OG ⊥P A 于G ，连结HG ，则有P A ⊥平面OGH ．从而P A ⊥HG ，故∠OGH 为二面角B －P A －C 的平面角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin α＝sin α.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×sin α2＋sin 2α． 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝ 所以cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝105， 解得21sin 2α=，即sin 2α=，∴045α=，即C 为AB的中点． 故当C 为AB 的中点时，二面角B －P A －C 的余弦值为105. 解法二：(1)同解法一 (1) ． (2)如图所示，以O 为坐标原点，OB ， OP 所在直线分别为x 轴， z 轴，过 O 与AB 垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (cos α, sin α,0)，P (0,0，2)，D .设m ＝(x ，y ，z )是平面PAC 的一个法向量，则由m ·AC →＝0，m ·AP →＝0，得 (cos 1)sin 00x y x αα++=⎧⎪⎨-=⎪⎩即tan 2x y z α⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩取sin 2x α=-，得m ＝sin ,cos ,222ααα⎛⎫-⎪⎝⎭． 因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量为n ＝(0,1,0)． 设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n ·m |n |·|m |＝cosα又二面角B －P A －Ccosα＝105， 解得tan 12α=，∴0452α=，即090α=，即C 为AB 的中点．故当C 为AB 的中点时，二面角B －P A －C 的余弦值为10. ∴99011114851009001000160032016320a E a ξ=-⨯+⨯+⨯=-+． ∴该集团公司收益的期望为18562525100028a E ξ-=-， 由题意185625256187528a -≥，解得a ≤9900． 故特等奖奖金最高可设置成9900元．20． (1)连结QN ，则|QN|=|PQ|．当a >1时，则点N 在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a ，且2a >|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的椭圆，此时曲线C 的方程为222211x y a a +=-． 当a <1时，则点N 在圆外，此时||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2a ，且2a <|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的双曲线，此时曲线C 的方程为222211x y a a -=- ． (2)由（1）知，此时曲线C 为椭圆，其方程为222211x y a a +=-．设直线l 的方程为：x=my+1(m≠0)，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则E(x 2,-y 2). 联立得222214x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去x 得方程： [(a 2-1)m 2+ a 2]y 2+2m(a 2-1)y -a 2(a 2-1)=0 (*)则y 1+y 2=-2m(a 2-1)(a 2-1)m 2+ a 2 ,y 1y 2=a 2(a 2-1)(a 2-1)m 2+ a 2① 设直线AE 与x 轴交于D(n,0)，则k AE =k AD .即121121y y y x x x n+=--, 将x 1=my 1+1,x 2=my 2+1代入并整理得： 2my 1y 2+(1-n)(y 1+y 2)=0 ②把①代入②整理得：222(1)[]0m a n a --=，∴当n=a 2时，恒成立，即直线AE 恒过定点（a 2，0）．.由于点G 为曲线C 上的动点，故当点G 与椭圆的短轴顶点重合时，DGN ∆的面积取最大值，其最大值为3221(1)2a -． 21．（Ⅰ）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，有()ln(1)f x x '=-+，当10x -<<时，()0f x '>时，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<时，()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为(1,0]-，单调递减区间为[0,)+∞. （Ⅱ）设ln(1)()(0)x g x x x+=>，则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)x x x x x x g x x x x -+-+++¢==+. 由（Ⅰ）知，(1)ln(1)x x x -++在(0,)+?单调递减，∴(1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而0n m >>，所以()()g n g m <，得ln(1)ln(1)n m n m ++<， 得ln(1)ln(1)m n n m +<+，故()()11m n n m +<+.（Ⅲ）由1231n x x x x ++++=，及柯西不等式可知，1231111(1)1111n n x x x x ⎛⎫++++- ⎪----⎝⎭[]1231231111(1)(1)(1)(1)1111n n x x x xx x x x ⎛⎫=++++-+-+-++- ⎪----⎝⎭2211n x ≥+=-所以21231111111111111n n n n x x x x n n ++++≥=++>+------， 所以111231111(1)1111nn n n x x x x ⎛⎫++++>+ ⎪----⎝⎭ 又22013n <<，由（Ⅱ）可知()()2013112013n n +>+，即()()112013112013n n +>+，.所以()11120141231111120141111n n n n x x x x ⎛⎫++++>+> ⎪----⎝⎭. 故112013123111120141111n n x x x x ⎛⎫++++> ⎪----⎝⎭.。
湖北省2013届高三最新理科数学(精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题)分类汇编8解析几何
湖北省2013届高三最新理科数学（精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题）分类汇编8：解析几何一、选择题1 ．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b右支上的一点00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为,且到两条渐近线的距离之积为23,则双曲线的离心率为( ) （ ）A B C D 【答案】D2 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）如图,F 1,F 2是双曲线C:)0(12222>>=+b a by a x l 的左、右焦点,过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A,B 两点.若 |AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5,则双曲线的离心率为（ ）A ．13B ．15C ．2D ．3【答案】A3 ．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）抛物线24y x =的焦点为F ,点,A B 在抛物线上,且2π3AFB ∠=,弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为（ ）AB C D【答案】B4 ．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面为m 千米,远地点B 距地面为n 千米,地球半径为R 千米,则飞船运行轨道的短轴长为（ ） A ．))((2R n R m ++ B ．))((R n R m ++C．mnD ．2mn【答案】A5 ．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2.P 是椭圆上一点.∆PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形,当60°<∠PF 1F 2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A ．(1,213-) B ．(21,213-) C ．(1,21) D ．(021,) 【答案】B ．解析:由c PF 21=,2sin22112F PF PF PF ∠=,a PF PF 221=+ 可得 c c a F PF 22sin 21-=∠,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠23,2121F PF 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠23,212sin 21F PF 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈21,213a c 6 ．（2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北）将两个顶点在抛物线22(0)ypx p =>上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n ≥3【答案】C7 ．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）过点A(11,2)作圆22241640x y x y ++--=的弦,其中弦长为整数的共有（ ）A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条【答案】C8 ．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）抛物线28y x =的焦点为F ,O 为坐标原点,若抛物线上一点P满足||:||:2,PF PO POF =∆则的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C9 ．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）如图,P 为椭圆221259x y +=上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A,上顶点B 分别作y 轴,x 轴的平行线,它们相交于点C,过P 引BC ．AC 的平行线交AC 于N,交BC 于M,交AB 于D ．E,记矩形PMCN 的面积为1S ,三角形PDE 的面积为2S ,则12:S S =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．与点P 的坐标有关【答案】A10．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）如右下图,正三角形PA D 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直O 为正方形AB- CD 的中心,M 为正方形ABCD 内一点,且满足MP =MB ,则点M 的轨迹为【答案】B11．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）双曲线22221y x a b-=与抛物线218y x =有一个公共焦点F,双曲线上过点F 则双曲线的离心率等于 （ ）A ．2B C D【答案】B12．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点O 是原点,若|AF| = 3,则 ΔAOB 的面积为 （ ）A ．22B ． 2C ． 223D ．22【答案】C13．（2010年高考（湖北理））若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点,则b 的取值范围是（ ）A ．]221,1[+-B ．]221,221[+-C ．[1-D ．]3,21[-【答案】C ．【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤,即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,依据数形结合,当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b 距离等于2,解得11b b =+=-,因为是下半圆故可得1b =+(舍),当直线过(0,3)时,解得b=3,故13,b -≤≤所以C 正确.14．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）若直线4x -3y -2=0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．-3<a <7B ．-6<a <4C ．-7<a <3D ．-21<a <19【答案】B15．（2009高考(湖北理)）已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是 （ ）A ．11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ B ．11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．K ⎡∈⎢⎣D ．2,,K ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】易得准线方程是2212a xb =±=±=±所以222241c a b b =-=-= 即23b =所以方程是22143x y += 联立 2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0∆≤可解得A16．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系.在平面斜坐标系xOy 中,若12OP xe ye =+(其中12,e e 分别是斜坐标系x 轴,y 轴正方向上的单位向量,,,x y R O ∈为坐标系原点),则有序数对(),x y 称为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系xOy 中,若120,xOy ∠=点C 的斜坐标为()2,3,则以点C 为圆心,2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是 （ ）A ．096422=+--+y x y x B ．096422=++++y x y x C ．03422=+---+xy y x y xD ．034.22=+++++xy y x y x【答案】C17．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）已知抛物线M:y 2=4X ,圆N(x-1)2+y 2=r 2(其中r 为常数,r>0).过点(1,0)的直 线l交圆N 于C,D 两点,交抛物线财于（ ） A ．B两点,若满足丨AC 丨=|BD 丨的直线l 有三 条,则（ ）A ．1,0(∈r 23,1(∈r 2,23(∈r ),0(+∞∈r【答案】D18．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知O 为坐标原点,双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F,以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点（ ） A ．B,若()0AO AF OF +⋅=,则双曲线的离心率e 为 （ ）A ．2B ．3CD【答案】C19．（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线的焦距为,焦点到一条渐,则双曲线的标准方程为（ ）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=或2212x y -=D ．2212x y -=或2212y x -=【答案】答案:C解析:由题易知2c b ==,故1a =,这样的双曲线标准方程有两个.20．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）已知直线l:y=ax+1-a(a∈R).若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|,则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出四条曲线方程:①y=-2 |x-1|;②y=2x ;③(x -1)2+(y-1)2=1;④x 2+3y 2=4;则其中直线l 的“绝对曲线”有 （ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D21．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直,则k =（ ）A ．-3或-1B ．3或1C ．-3或1D ．-1或3【答案】C22．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a 1+c 1=a 2+c 2; ②a 1-c 1=a 2-c 2; ③c 1a 2>a 1c 2; ④11a c <22c a .其中正确式子的序号是 （ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B23．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）已知直线x=2与双曲线14:22=-y y C 的渐近线交于E 1、E 2两点,记2211,e OE e OE ==,任取双曲线C 上的点P,若),(21R b a be ae OP ∈+=,则（ ）A ．1022<+<b a B ．21022<+<b a C ．122≥+b aD ．2122≥+b a 【答案】D24．（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（理）试题）则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C 【答案】C 二、填空题25．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）抛物线=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A 、B 两点,抛物线的准线与x 轴交于点K,则(1)以AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系为____(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB 的面积的最小值为_________.【答案】(1)相切;(2)2p .26．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知椭圆22221(0),(,),(,)x y a b P x y Q x y a b''+=>>是椭圆上两点,有下列三个不等式①222();a b x y +≥+②2221111();x y a b+≥+③221xx yy a b ''+≤.其中不等式恒成立的序号是______.(填所有正确命题的序号)【答案】①②③27．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）过双曲线2222x y a b-=1(a >0,b >0)的左焦点F,作圆2224a x y +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若E 为PF 的中点,则双曲线的离心率为________. .【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符28．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)两点.则:(I) y 1 y 2=______;(Ⅱ)三角形ABF 面积的最小值是______.【答案】(Ⅰ)8-(Ⅱ)29．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则(Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. (二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)【答案】(1);(2)【解析】(1)由图象可知,OB 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =,又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=,a =,整理得()22222c a a c -=,得22c a ac -=.所以210e e --=,解得e =(负值舍去) (2)连结OB ,设BC 与x 轴的交点为G,则1BF =.在直角三角形1OBF 中,有11,OB BF BG OF ⊥⊥, 所以1111122OBF S OB BF FO BG ∆==,得11BF OB ab BG F O c ==. 所以2a OG c ==.所以32242||2||a bS OG GB c=⋅=.而112121||||22SF F B B bc ==, 所以33132122S c e S a ===【点评】本题考查双曲线的离心率,点到直线的距离,四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切,得到圆心到该直线的距离等于半径,这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程,轨迹问题,特别是双曲线的定义的应用.三、解答题30．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知椭圆1,C 抛物线2C 的焦点均在y 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点,O 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(1)求12,C C 的标准方程;(2)设斜率不为0的动直线l 与1C 有且只有一个公共点,P 且与2C 的准线相交于点,Q 试探究:在坐标平面内是否存在定点,M 使得以PQ 为直径的圆恒过点?M 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】31．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）如图所示,过点)1,(m M 作直线AB 交抛物线y x=2于B A ,两点,且MB AM =,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点C .连接,,BC AC 记三角形ABC 的面积为∆S ,记直线AB 与抛物线所围成的阴影区域的面积为弓S . (1)求m 的取值范围; (2)是否存在常数λ,使得λ=∆弓S S ？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)易知直线AB 的斜率存在,设AB 直线方程为()1y k x m =-+代入抛物线方程2x y =得,210x kx mk -+-= (*)设1122(,),(,)A x y B x y 因为M 是AB 的中点,所以1222x x km +==,即2k m = 方程(*)即为:222210x mx m -+-=(**)由224840m m ∆=-+>得11m -<< 所以m 的取值范围是(1,1)-; ......4＇ (2)因为2(,1),(,),M m C m m MC x ⊥轴,所以|MC |=21m -, 由方程(**)得212122,21x x m x x m +==- 所以S ∆=ACM BCM S S +=121||||2x x MC -．||MC ．2(1)m -．=322(1)m -; ...8＇ 常数λ存在且34λ=不妨设12x x < 212=[()1]x x S k x m x dx -+-⎰弓2122=[212]x x mx m x dx +--⎰212231[(12)]|3x x mx m x x =+--222332121211()(12)()()3m x x m x x x x =-+---- 222212122111()[()(12)()]3x x m x x m x x x x =-++--++22212121211()[()(12)(())]3x x m x x m x x x x =-++--+-由方程(**)得212122,21x x m x x m +==-, 代入上式化简得322224(1)(1)33S m m =-=-弓． 由(2)知S ∆=322(1)m -所以322322(1)3=44(1)3S m S m ∆-=-弓 所以常数λ存在且34λ=. 13＇ 32．（2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北）平面内与两定点1(,0)A a -,2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当1m =-时,对应的曲线为1C ;对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C ,设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问:在1C 撒谎个,是否存在点N ,使得△1F N 2F 的面积2||S m a =.若存在,求tan 1F N 2F 的值;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想.解:(I)设动点为M,其坐标为(,)x y ,当x a ≠±时,由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a⋅=⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±,又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意,曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆;当1m =-时,曲线C 的方程为222x y a +=,C 是圆心在原点的圆;当10m -<<时,曲线C 的方程为22221x y a ma +=-,C 是焦点在x 轴上的椭圆;当0m >时,曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. (II)由(I)知,当m=-1时,C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时,C 2的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞,C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =① ②当0,0,a m <≤≤<或0m <≤时, 存在点N,使S=|m|a 2;当,a >即或m >, 不存在满足条件的点N,当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎭⎝时, 由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+--, 可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=,则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得,从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-,于是由2||S m a =, 可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得:当m ⎫∈⎪⎪⎭时,在C 1上,存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当m ⎛∈ ⎝时,在C 1上,存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当15((,)m +-+∞时,在C 1上,不存在满足条件的点N. 33．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1),(0,1)-,且,AC BC 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠.(Ⅰ)求顶点C 的轨迹E 的方程,并判断轨迹E 为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当12m =-时,过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q (M Q、不重合) 试问:直线MQ 与x 轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.【答案】.(Ⅰ)由题知:11y y m x x-+⋅= 化简得:221(0)mx y x -+=≠当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点;当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是1的圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,1)-两点;(Ⅱ)设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,则可设l :1x ty =+,代入221(0)2x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-=12222t y y t -+=+,12212y y t -=+, 又因为M Q 、不重合,则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0)解二:设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,可设l :(1)y k x =-代入221(0)2x y x +=≠整理得:2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k +=+,21222212k x x k-=+, Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-∴直线MQ过定点(2,0)34．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）的直线交椭圆于(I)求橢圆Γ的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q且OP⊥若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.OQ【答案】35．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）已知圆C:=8及点F(1,0),P为圆C 上一动点,在同一坐标平面内的动点M 满足:,││=││.(1)求动点M 的轨迹E 的方程;(2)过点F 作直线l 与(1)中轨迹E 交于不同两点R,S,设=λ,λ∈[-2,-1),求直线l 的纵截距的取值范围. 【答案】36．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）设双曲线C :12222=-by a x (a >0,b >0)的离心率为e ,若准线l 与两条渐近线相交于P 、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形.(1)求双曲线C 的离心率e 的值;(2)若双曲线C 被直线y =ax +b 截得的弦长为ae b 22求双曲线c 的方程.【答案】(2)由(1)得双曲线C 的方程为把132222=-ay a x .把a ax y 3+=代入得0632)3(2222=++-a x a x a .依题意 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-0)3(2412032242,a a a a ∴ 62<a ,且32≠a .∴ 双曲线C 被直线y =ax +b 截得的弦长为]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x a x x a y y x x l -++=-+=-+-=222242)3()1(2412)1(---+=a a a a a ∵ a a c b l 1222==.∴ 224222)3(1272)1(144--+=⋅a a a a a .整理得 010*******=+-a a .∴ 22=a 或13512=a . ∴ 双曲线C 的方程为:16222=-y x 或115313511322=-y x.(2)将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x .由862-=x y 及22≤≤-y ,得234≤≤x .所以方程①在区间34[,2]有两个实根. 设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ,则方程③在34[,2]上有两个不等实根的充要条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 之得34-≤≤-b . ∵ 7232984)]1(32[4)(||222122121--=+--=-+=-⋅b b b x x x x x x ∴ 由弦长公式,得721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10||b d =, ∴71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF ∵ 34-≤≤-b ,∴ 41131-≤≤-b .∴ 当411-=b ,即4-=b 时,35||max =d EF . 37．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）已知P(x 0,y 0)(a x ≠0)是双曲线E:)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点,M,N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM,PN 的斜率之积为51.(I )求双曲线的离心率;(II)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OB OA OC +=λ,求λ的值.【答案】38．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）设点A(3-,0),B(3,0),直线AM 、BM 相交于点M,且它们的斜率之积为32-. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)若直线l 过点F(1,0)且绕F 旋转,l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点,l 与轨迹C 相交于R 、S 两点,若|PQ|],19,4[∈求△F′RS 的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C 的左焦点).【答案】(Ⅰ)设(,)M x y ,则2(3MA MBk k x ⋅==-≠化简22132x y += ∴轨迹C 的方程为221(32x y x +=≠(Ⅱ)设:1l x my =+,O l 到的距离d =||[4,19]PQ ∴=203m ∴≤≤,将1x my =+代入轨迹C 方程并整理得:22(23)440m y my ++-=设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122423m y y m +=-+,122423y y m =-+12||y y ∴-==121||||2S y y FF ∆'∴=-⋅= 设21[1,4]m t +=∈,则1()4[1,4]f t t t =+在上递增,65()[5,]4f t ∴∈S ∆∴==min S ∴=,max S = 39．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=21,以右焦点F 2为圆心,长半轴为半径的圆与直线033=+-y x =O 相切. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,在x 轴上是否存在点 P(m,0)使PM = PN.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】40．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）已知点(1,0),(1,0),(,):||||M N P x y PM PN -+=动点满足(1)求P 的轨迹C 的方程;(2)是否存在过点(1,0)N 的直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,并且曲线C 存在点Q,使四边形OAQB 为平行四边形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)PM PN +=的轨迹是以MN 为焦点,长轴长为32的椭圆所以P 的轨迹C 的方程为22 1.32x y +=(2)设1122(,)(,)A x y B x y 、,由题意知l 的斜率一定不为0,故不妨设:1l x my =+,代入椭圆方程整理得22(23)440m y my ++-=, 显然0.∆> 则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++①, 假设存在点Q ,使得四边形OAQB 为平行四边形,其充要条件为OQ OA OB =+,则点Q 的坐标为1212(,)x x y y ++.由点Q 在椭圆上,即221212()() 1.32x x y y +++= 整理得222211221212232346 6.x y x y x x y y +++++=又A B 、在椭圆上,即2222112223623 6.x y x y +=+=，故1212233x x y y +=-②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++代入由①②解得m = 即直线l 的方程是:1x y =+,即220x ±-= 41．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图,在以点O 为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C 过点P.(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程;(Ⅱ)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F. 若△OEF 的面积不小于．．．,求直线l 斜率的取值范围.【答案】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(Ⅰ)解法1:以O 为原点,AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0),D (0,2),P (1,3),依题意得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |=221321)32(2222＝）（+--++< |AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ,虚半轴长为b ,半焦距为c , 则c =2,2a =22,∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x .解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |<|AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=->0,b >0).则由 .4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理得(1-K 2)x 2-4kx-6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). ② 设E (x 1,y 1),F (x 2, y 2),则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d =212k+,∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥,则有 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1) ∪(1, 2). 解法2:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1-K 2)x 2-4kx -6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). ② 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得|x 1-x 2|=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一支上时(如图1所示),S △OEF =;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时(如图2所示).+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF =,2121x x OD -⋅于是 由|OD |=2及③式,得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,2).42．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）如图,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为,以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T :222(2)(0)x y r r ++=>,设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程;(2)求TM TN ⋅的最小值,并求此时圆T 的方程;(3)设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点,且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ,O 为坐标原点,求证:OR OS ⋅为定值.T SRNMPyxO【答案】解:(1)依题意,得2a =,c e a ==1,322=-==∴c a b c ;故椭圆C 的方程为2214xy += .(2)方法一:点M 与点N 关于x 轴对称,设),(11y x M ,),(11y x N -, 不妨设01>y .由于点M 在椭圆C 上,所以412121xy -=. (*),由已知(2,0)T -,则),2(11y x TM +=,),2(11y x TN -+=,21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x .由于221<<-x ,故当581-=x 时,TM TN ⋅取得最小值为15-. 由(*)式,531=y ,故83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到21325r =.故圆T 的方程为:2213(2)25x y ++=.方法二:点M 与点N 关于x 轴对称,故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-,不妨设sin 0θ>,由已知(2,0)T -,则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ.故当4cos 5θ=-时,TM TN ⋅取得最小值为15-,此时83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到21325r =. 故圆T 的方程为:2213(2)25x y ++=.(3) 方法一:设),(00y x P ,则直线MP 的方程为:)(010100x x x x y y y y ---=-,令0y =,得101001y y y x y x x R --=, 同理:101001y y y x y x x S++=,故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ (**), 又点M 与点P 在椭圆上,故)1(42020y x -=,)1(42121y x -=,代入(**)式,得:4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R .所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值.方法二:设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-,不妨设sin 0θ>,)sin ,cos 2(ααP ,其中θαsin sin ±≠.则直线MP 的方程为:)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ,令0y =,得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ,同理:θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ,故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x . 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值.43．（2010年高考（湖北理））已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(I)求曲线C 的方程;(II)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有?0<⋅FB FA 若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.解:(I)设P(x,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x,y)满足:).0(1)1(22>=-+-x x y x化简得).0(42>=x x y(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A设l 的方程为,0)(16,0444,222>+=∆=--⎩⎨⎧=+=+=m t m ty y xy mty x m ty x 得由 于是⎩⎨⎧-==+my y ty y 442121①又).,1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x FB FA ② 又,42y x =于是不等式②等价于01)44(442221212221<++-+⋅y y y y y y 01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y③由①式,不等式③等价于22416t m m <+-④对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于.223223,0162+<<-<+-m m m 即由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有0<⋅FB FA ,且m 的取值范围是).223,223(+-44．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）在矩形ABCD 中,|AB|=23,|AD|=2,E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点,以HF 、GE 所在直线分别为x ,y 轴建立直角坐标系(如图所示).若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上,且|OF ||OR |=|OF ||CR'|=n1. (Ⅰ)求证:直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω:32x +2y =1上;(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点,且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32,求证:直线MN 过定点;并求△GMN面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)∵1OR CR OF CF n '==,∴R,1)n R n-'又(0,1)G 则直线GR '的方程为1y x =+ ① 又(0,1)E - 则直线ER的方程为1y x =- ②由①②得221)1n P n -+∵2222222214(1)()11(1)n n n n n -+-+==++ ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上(Ⅱ)①当直线MN 的斜率不存在时,设:(MN x t t =<<不妨取((,M t N t ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意②当直线MN 的斜率存在时,设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y联立方程2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(13)6330k x kbx b +++-=则2212(31)0k b ∆=-+>22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+， 又()()()321111212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k GNGM即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=将22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+，代入上式得0322=-+b b 解得3-=b 或1=b (舍) ∴直线过定点(0,3)T -∴||1||212x x k MN -+=,点G 到直线MN 的距离为214kd +=∴2221221213183344)(2||2||21k k x x x x x x d MN S GMN+-⋅=-+=-=⋅=△ 由3-=b 及0>∆知:0832>-k,(0)t t => 即2238k t =+∴211996t t t t==≤++ 当且仅当3t =时,()332max=∆GMN S 45．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为22221(0),x y a b a b +=>>它的离心率为12,一个焦点是(-1,0),过直线4x =上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A 、B.(Ⅰ)求椭圆Ω的方程;(Ⅱ)若在椭圆Ω22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C 的坐标;(Ⅲ)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=⋅恒成立?(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(I)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>的焦点是()1,0-,故1c =,又12c a =,所以2,a b ===,所以所求的椭圆Ω方程为22143x y +=(II)设切点坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 上一点M 的坐标()4,t ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y +=,又两切线均过点M ,即11221,133t tx y x y +=+=,即点A,B 的坐标都适合方程13t x y +=,故直线AB 的方程是13tx y +=,显然直线13t x y +=恒过点(1,0),故直线AB 恒过定点()1,0C(III)将直线AB 的方程13t x y =-+,代入椭圆方程,得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭, 所以121222627,1212t y y y y t t -+==++,不妨设120,0y y ><,1AC y ===,同理2BC y =,所以2112121111y y AC BC y y y y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭43===, 即43AC BC AC BC +=⋅,故存在实数43λ=,使得AC BC AC BC λ+=⋅46．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C 上任意一点M(x,y)满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++.(1) 求曲线C 的方程;(2)动点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)在曲线C 上,曲线C 在点Q 处的切线为l 向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l 与PA,PB 都不相交,交点分别为D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求t 的值.若不存在,说明理由.【答案】【解析】解:(1)依题意可得(2,1),(2,1)MA x y MB x y =---=--,22||(2)(22),()(,)(0,2)2MA MB x y OM OA OB x y y +=-+-⨯+=⨯=,22y =+,化简得曲线C 的方程: 24x y = (2)假设存在点P (0,t )(t <0)满足条件,则直线PA 的方程是12t y x t -=+,直线PB 的方程是12ty x t -=+,曲线C 在点Q 处的切线l 的方程为200,24x x y x =-它与y 轴的交点为20(0,)4x F -,由于022x -<<,因此0112x -<< ①当10t -<<时, 11122t --<<-,存在0(2,2)x ∈-,使得0122x t -=,即l 与直线PA 平行,故当10t -<<时不符合题意②当1t ≤-时,00111,12222x x t t --≤-<≥>,所以l 与直线PA ,PB 一定相交,分别联立方程组2200001122,2424t t y x t y x t x x x x y x y x --⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩, 解得D ,E 的横坐标分别是22000044,2(1)2(1)D E x t x tx x x t x t ++==+-+- 则202204(1)(1)E D x t x x t x t +-=---,又2||4x FP t =--, 有220220(4)11||||28(1)PDE E D x t t SFP x x t x +-=⨯-=⨯--,又2200414(1)242QABx x S -=⨯⨯-= 于是2224222000022422000(4)[(1)][4(1)]4(1)441(4)1816QAB PDES x x t x t x t St x t t x tx t ----+-+-=⨯=⨯-+-++对任意0(2,2)x ∈-,要使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数,只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎪⎨-=⎪⎩,解得t =-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为2,故存在t =-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.47．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)如图1,设(,)M x y ,00(,)A x y ,则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且, 可得0x x =,0||||y m y =,所以0x x =,01||||y y m=. ① 因为A 点在单位圆上运动,所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞,所以当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0),0); 当1m >时,曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-,(0,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,0k ∀>,设11(,)P x kx ,22(,)H x y ,则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx , 直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -,2x ,于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+,即212224m x x m k =+.。
湖北省部分重点中学2013届高三年级第二次阶段性检测数学理试卷-含答案
湖北省部分重点中学2012—2013学年度第二次联考理科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x yi ++的值为 A ．4 B ．4- C ．44i + D ． 2i 2. 不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是 A ．1a <B ．1a ≤C ．01a <<D ．0a <3. 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为A ．B ．C ．D ．4. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是5. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，则=-+87201111tanb b a aA ．1B ．-1C 3D ． 36. 已知xdx N dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π， 由如右程序框图输出的=S A. 1 B. 2πC.4πD. 1-输出S 结束否开始输入M ，NN S =M S =N M >是7. 已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b ca++的值为A ．2B ．12C ．-2D ．-1 8.设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20120≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为A. πππe e e --1)1(1006B. πππ220121)1(ee e -- C. πππ210061)1(e e e -- D. πππe e e --1)1(2012 9.已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心,且A θ∠=，若cos cos =2sin sin B C AB AC mAO C B+u u u r u u u r u u u r ，则m = A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定10.设抛物线21=4y x 的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在准线上的射影为点/M ，则在/MM F ∆的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。
湖北省孝感市2013届高三第二次统一考试数学理 含答案
孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试数学试卷（理科)本试卷满分150分,考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂)在试题卷和答题卡上．2．考生答题时,选择题请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效．3. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1。
已知复数ii z +=12013，则复数z 在复平面内对应的点位于（ )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D 。
第四象限2. “a =1”是“函数()a x x f -=在区间[)+∞,1上为增函数"的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3。
设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为（ ）A.73B 。
53C 。
5D ．34。
在等比数列{}na 中,若4a ，8a 是方程0342=+-x x的两根，则6a 的值是（ ）D.3± 5.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域,则当a 从－2连续变化到1时,动直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为( ） C ． 1 A 。
43 B.47D.56. 已知xdx N dx x M ⎰⎰=-=20102cos ,1π,由如右程序框图输出的=S （ ）A 。
1B 。
2π C 。
4π D.1-7. 已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ）A 。
若αβ⊥，l β⊥,则α//lB 。
若l 上有两个点到α的距离相等,则α//lC.若l α⊥，l ∥β，则βα⊥D.若αβ⊥，αγ⊥,则βγ⊥ 8。
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考理科综合参考答案第Ⅰ卷⑴ 小车和位移传感器（发射器）的质量不变(2分) ⑵ ①在物体质量不变的条件下，其加速度与外力成正比(2分) ②C (2分)23、1） D(1分) E(2分) 2） a ）最左端 (1分)c ）断开电键2K ，调节电阻箱的值(2分)R (1分) 偏大(2分) 24、⑴ 由图可知282/4v a m s t ∆===∆(1分)而2148(4)1002a t ⋅+⨯-=14.5t s =(2分)⑵ 以车胎为研究对象在竖直方向 sin 301002N TF mg T =-⋅︒=-(1分) 0.7(100)2N Tf F μ∴==-(1分)在水平方向加速度 cos30T f ma ⋅︒-= (1分)匀速阶段 cos300T f '⋅︒-=(1分)加速阶段拉力 74.1T N = (2分) 匀速阶段拉力 57.6T N '（有效数字不对扣1分） (2分)⑶以运动员为研究对象加速阶段 cos30F T Ma -⋅︒=74.1602F =+⨯184N(2分)匀速阶段cos3057.649.82F T N '=⋅︒=⨯ (2分)25、1） 在⊥E 方向，匀速运动01cos30L v t ⋅︒=⋅(2分)在E 方向，初速为零的匀加速运动211sin 302L a t ⋅︒=⋅(2分) 由牛顿第二定律得 eEa m=(1分)联解得 2043mv E el=(2分)t =(1分)2） 由几何关系，电子在磁场中做圆周运动，半径为l (2分) 由2mv qvB r =(1分)mv L eB =0mvB eL∴=(2分)3）在磁场中所用时间为26T t =而22m mT qB eBππ==2001263m eL Lt e mv v ππ=⋅⋅=(2分)01203t L t v π∴==(2分)26．（第⑴⑵小题每空2分，第⑶小题每空1分，共14分）⑴①Fe 3+ 、Cl －(2分)；②(2分)③取少量B溶液于洁净试管中，滴加硝酸酸化的AgNO3溶液，若有白色沉淀生成，则说明原溶液中存在Cl－(其它合理答案也给分) (2分)⑵3Fe2++NO3－+4H+＝3Fe3++NO↑+2H2O (2分)AlO2－+CO2+2H2O＝Al(OH)3↓+HCO3－(2分)⑶ (27．（共15分）⑴CH3OH(g)+3/2O2(g)＝CO2(g)+2H2O(l) △H＝－763.9kJ/mol(2分)⑵①C、D、E(3分)②C、D(2分)⑶＜(1分) C (1分)⑷Ⅰ、A．负(1分) CH3OH＋8OH—－6e－＝CO32—＋6H2O (2分)B．①(1分)Ⅱ、CH3OH ＋3CO32—－6e—＝4CO2＋2H2O(2分)。
2013年高考理科数学联考试题(湖北省七市附答案)
2013年高考理科数学联考试题（湖北省七市附答案）秘密★启用前2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试数学（理工类）本科目考试时间：2013年4月18日下午15：00-17：00★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A．-iB．iC．-1D．12．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，则a+b=A．(-2，-1)B．(2，1)C．(3，-1)D．(-3，1)3．下列说法中不正确的个数是①命题“x∈R，≤0”的否定是“∈R，>0”；②若“pq”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件A．OB．1C．2D．34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A．1B．2C．3D．45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是A.112B．80C．72D．646．已知全集U=Z，Z为整数集，如上右图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=-1时，(CuA)B= A．{-3，-1，5}B．{-3，-1，5，7}C．{-3，-1，7}D．{-3，-1，7，9} 7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有A．12种B．18种C．24种D．48种8．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为A．B．C．D．9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是A．68．7C．8D．1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在实数a使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清．模棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若tan=，∈(0，)，则sin(2+)=．12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2，则k=．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I)y1y2=；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3=；(Ⅱ)Ln=．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分.15．(几何证明选讲)如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4，)，曲线C的参数方程为(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)=•．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f(A)=4，求b+c的最大值．18．(本小题满分12分)数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n•bn+1(为常数，且≠1)．(I)求数列{an}的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+++…+与了Sn的大小．19．(本小题满分12分)如图，矩形A1A2A′2A′1，满足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2，A1A′1=，沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱，使A1与A2、A′1与A′2重合后分别记为D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，点M、N分别为D1B和B1C1的中点．(I)证明：MN∥平面DD1C1C；(Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角，求的值．20．(本小题满分12分)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元)赞成人数15,25)825,35)735,45)1045,55)655,65)265,75)1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；(Ⅱ)若从月收入(单位：百元)在15，25)，25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．21．(本小题满分13分)在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且==.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=k•.(I)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)>．2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）参考答案一、选择题：CABABDCBAD二、填空题：11.12.13.（Ⅰ）（Ⅱ）14.（Ⅰ）（Ⅱ）15.16.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）……………3分∴的最小正周期……………4分由得∴的单调递增区间为……………6分（Ⅱ）由得，∵∴∴,……………8分法一：又，∴当时，最大为……………12分法二：即；当且仅当时等号成立。
2013湖北高考(理科)数学试题及答案(完整版)
2013年湖北高考数学试卷（理科)WORD 版绝密 ★ 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学(理科）4．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π 5．已知04πθ<< ,则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点A(-1,1）、B （1,2)、C （—2,1）、D （3，4），则向量AB 和CD 方向上的投影为A ．322 B ．3152 C ．322 D ．31527．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()73(,/)1v t t t s v m s t=-++的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．1+25ln5 B ．118+25ln3C ．4+25ln5D ．4+50ln 2 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别为1234V V V V ，，，，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.DV V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)= A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．7511．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）（2013?湖北）在复平面内，复数「-丄（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）1+i _ _ A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2. (5 分)(2013?湖北)已知全集为R,集合A ，-. ' < ■ 1 I:. | ：■：，则A n?RB=( )A. {x|x O} B . {x|2^X 4} C . {x|0^X V 2 或x > 4} D . {x|0v x 屯或x^4}3. （5分）（2013?湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是甲降落在指定范围” q是乙降落在指定范围”则命题至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）z ? ? ? ? ?A. （p） V（q）B. p V（q）C. （p） A （q） D . p V q4. （5分）（2013?湖北）将函数，二hj：宀—=- 的图象向左平移m （m> 0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）5. （5分）（2013?湖北）已知-'1- ——，则双曲线42 2 2 2 的（）cos f sin f sin 已sin 廿tan fA.实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等6. ( 5 分)(2013?湖北)已知点A (- 1, 1), B ( 1, 2), C (- 2,- 1) , D ( 3, 4),贝U向量AB 在CD 方向上的投影为( )A .B . 1 .C . ；:D . _ Vis227. （5分）（羽3?湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度-'的单位：s, v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（）A . 1l+25ln5B .8+25l n 1 '3C . 4+25 In5D .4+50 In28 （5分）（2013?湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1, V2, V3, V4, 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（正视图 侧视图佣观團A • V i < V 2< V4< V3B . V l < V 3< V 2< V 4C . V 2< V 1 < V 3V V 4D . V 2< V 3V Vi < V49. （ 5分）（2013?湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后,从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，贝U X 的均值E （X ）=（）A. 126125B. 6 1 5 C . 1168 |125D . 7510. （5分）（2013?湖北）已知a 为常数，函数f （x ） =x （Inx -ax ）有两个极值点x1, X 2 ( X 1< X 2)( )A. f (“)>o. f (七)B .. E (x[)<0* f ( xj)C .f ( x|) >0* f 〔 x 2】 D . f Gj) G f (七)二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第 15题作答结果计分.）11. （5分）（2013?湖北）从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（I ）直方图中 x 的值为 _____________________； （n ）在这些用户中，用电量落在区间[100, 250）内的户数为 _____________________ .12. （5分）（2013?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i= _____________13. ______________________________________________________________________________________________ （5 分）（2013?湖北）设x, y, z €R,且满足：吕 + 萝2+忑？二］,z+2y+3z二寸肓，则x+y+z= ___________________________ .14. （5分）（2013?湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1, 3, 6,10,…，第n个三角形数为介5+1〕A J丄口.记第n个k边形数为N （n, k）（k為）,以下列出了部分k边形数中第n个2 2 2数的表达式：三角形数「」.：：；-ri:'二二2正方形数N （n, 4）=n ,五边形数:■：.r : i —丄、-2 2六边形数N （n, 6）=2n2- n,可以推测N （n, k）的表达式，由此计算N （10, 24）= _____________ .15. （5分）（2013?湖北）（选修4 - 1:几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD，则三的值为16. （2013?湖北）（选修4- 4:坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为P_aC0S^ （④为参数，a>b>0）.在极坐标系（与直角坐标系xOy {y=bsin（P 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线I与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与p=b.若直线I经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心4 2率为 _________________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12 分)(2013?湖北)在△ ABC 中，角A, B, C 对应的边分别是a, b, c,已知cos2A - 3cos ( B+C) =1.(I)求角A的大小；(H)若△ ABC 的面积I；■ I' ■，求sinBsinC 的值.18. (12 分)(2013?湖北)已知等比数列｛a n｝满足：|32-a3|=10, a132a3=125.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)是否存在正整数m，使得1 .…，1 I ?若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.a l a219. (12分)(2013?湖北)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A, B的点，直线PC丄平面ABC , E, F 分别是PA, PC的中点.(I)记平面BEF与平面ABC的交线为I，试判断直线I与平面PAC的位置关系，并加以证明；异面直线PQ与EF所成的角为a,二面角E- l - C的大小为3.求证：sin 0=sin asin 3.220. (12分)(2013?湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N ( 800, 50 )的随机变量•记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p o.(I)求P0的值；2(参考数据：若X 〜N (a, O2),有P ( — O< X < + o) =0.6826 , P (厂2(r< X <+2 <r) =0.9544, P (厂3 o< X < 朮3 o)=0.9974.)(n)某客运公司用A, B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A , B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21. (13分)(2013?湖北)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m, 2n (m> n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A, B , C, D , 记工』，△ BDM和厶ABN的面积分别为S1和S2.n(I)当直线I与y轴重合时，若S1=；S2，求入的值；(n)当入变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线I，使得s仁泊2?并说明理由.22. (14分)(2013?湖北)设n是正整数，r为正有理数.(I)求函数f (x) = (1+x) r+1-( r+1) x - 1 (x >- 1)的最小值;(n)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足fi； . | ■:2.记直线PQ与平面ABC所成的角为0,（川）设x€R ,记［x ］为不小于x 的最小整数，例如厂：=「亍| ［_］的值.（参考数据：丨厂-：:■ . 「：-—：.丄 J …：…，：“:（n ）证明:?+i n '^+i'匸「•令2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）考点：复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题.分析：将复数z=…的分母实数化，求得z=1+i，即可求得•，从而可知答案.1+i解答：解：••• z== 」=1+i ,1+i (1+i) tl - i) 2•••「=1 - i.对应的点(1, - 1 )位于第四象限，故选D.点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=幕的分母实数化是关键，属于基础题.1+i2. (5 分)考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：: 利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一兀一次不等式可求得集合B,从而可求得A Q C R B .解答：1龙 1 0解：（2）* （2）,2 2•x为，•A={x|x 为};2又x - 6x+8 O? (x - 2) (x - 4)切，•2$ 詔.•B={x|2 強<4},•- ?R B={x|x V 2 或x> 4},•- A Q?R B={X|0強V 2 或x >4}, 故选C.点评：本题考查指数函数的性质与兀二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题.3. (5 分)考点：复合命题的真假.专题：阅读型.分析：由命题P和命题q写出对应的」p和「q,则命题至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.解答：解：命题p是甲降落在指定范围”则」p是甲没降落在指定范围”q是乙降落在指定范围”则」q是乙没降落在指定范围” 命题至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（「故选A.p) V 厂q).点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题.4. （5 分）考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （®x+ $）的图象变换. 专题：三角函数的图像与性质.分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值.' 解: y= Icosx+sinx=2 ( —cosx+二sinx) =2sin (x+——),2 2 3•••图象向左平移m (m>0)个单位长度得到y=2sin[ (x+m) +H]=2sin (x+m+工),3 3•••所得的图象关于y轴对称，• m+——=k n+——(k €Z),3 2则m的最小值为工.6故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin ( «x+ $)的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键.5. (5 分)考点：. 双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：；根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案.解答：2 2 1解：双曲线：：——务一一一卑~=]的实轴长为2cos 0,虚轴长2sin 焦距2,离心率 --------------------------------- ,1cos2e sin2e 8肌2 2 1双曲线- 口J实干山长丿J U，干山UU11 U,八、'距匕U, | ^离_ [ , J sin20 sin29 tan26 cos 0故它们的离心率相同.故选D.点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题.6. （5 分）考点：平面向量数量积的含义与物理意义.专题：平面向量及应用.分析：先求出向量.「、' 1,根据投影定义即可求得答案.解答：，解：厂；1 J 二匚则向量订二〒方向上的投影为：?cosv〒=> =糾‘ ？打•〔=- ；=一 ',|AB | |CD | |CD | W2 2 故选A.点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键.7. （5 分）考点：定积分.专题：导数的综合应用.分析：, 令v (t) =0,解得t=4，则所求的距离S= | •.「，解出即可.解答：.一2解：令v （t）=7 - 3t+ 1,化为3t - 4t-32=0，又t>0，解得t=4.•由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离2s=：、- … 二」「一=「‘‘十—「」丨二.t 1 7=4+25In5 .故选C.点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题.分析：禾U用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项. 解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记入为V i=丄兀尹二"尹)=空.3 3V2=i2xnx2 nV3=2 >2X2=8V4=_. • m - =_'；3 3• V2V V i v V3V V4 故选C.点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键.9. (5 分)考点：离散型随机变量的期望与方差.专题：压轴题；概率与统计.分析：由题意可知：X所有可能取值为0, 1 , 2, 3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3X12=36个小正方体涂有2面，③ 每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9X5=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125-( 8=36+54 ) =27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出.解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0, 1, 2, 3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，••• P (X=3 )= ;125②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3X12=36个小正方体涂有2面，• P (X=2 )36125'③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9X3=54个小正方体涂有面，• P (X=1 ) =「.125④ 由以上可知：还剩下125-( 8+36+54 )=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，/• P( X=0 ) = _ .故X的分布列为因此E (X ) “ —斗二—:点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.i0. (5 分)考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件. 专题：压轴题；导数的综合应用.分析： 先求出f (x ),令f (x ) =0，由题意可得Inx=2ax - i 有两个解x i , X 2?函数g (x ) =lnx+i - 2ax 有且只有 两个零点？ g' (x )在(0, +a)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.工 亠二.丄工 -=lnx+i - 2ax, (x>0)令f(x ) =0,由题意可得Inx=2ax - i 有两个解x i ,X 2?函数g (x )=lnx+i - 2ax 有且只有两个零点？ g (x )在(0, + a)上的唯一的极值不等于0.f、 1 o 1 - 2ax | .，二 = .解答:解：••• 当a 包)时，g' (x ) 当a >0时，令g0, f (x )单调递增，因此 g (x ) =f (x )至多有一个零点，不符合题意, (x ) =0,解得 x=,2a应舍去.g (x )> 0,函数g (x )单调递增；—壬3时，g (xX0,「x —— 单调递减.• x='是函数g (X )的极大值点，贝y一 I >0,即•2a52a丄函数g (x )••• 0v 2a v i , 即2- '.,, f (x i ) =ln x i +i - 2ax i =0, f12a d且 f (x i ) =x i (Inx i - ax i ) =x i (2ax i - 1 - ax i ) =x if (X 2)=X 2 (lnX 2 - aX 2)=X 2 ( aX 2 - i ) > 1 :讥汽故选D .点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.(2a )v 0,(X2)=lnx 2+1 - 2ax 2=0 .(ax i - i ) ■--- 12a 2a寻-D = (当〉1). 2a 2 2a二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第 15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第 15题作答结果计分.)ii . (5 分)考点：频率分布直方图. 专题：图表型. 分析：(I)根据频率分布直方图中，各组的频率之和为i ,我们易得到一个关于 x的方程，解方程即可得到答案.(II)由已知中的频率分布直方图，利用［i00 , 250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到 ［i00, 250)的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答：解：(I)依题意及频率分布直方图知， 解得 x=0.0044 .(II )样本数据落在［i00 , 样本0.0024 >50+0.0036 X50+0.0060 >50+x >50+0.0024 X50+0.00i2 >50=i ,故在这些用户中，用电量落在区间 故答案为：0.0044; 70 .i50)内的频率为 0.0036>50=0.i8, 内的频率为 0.006拓0=0.3.内的频率为 0.0044 >50=0.22 , [i00 , 250)内的户数为(0.i8+0.30+0.22) >00=70.点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容--频率分布直方图是新高考的重要考点.对于 频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图.「一- .二 | -> 0 ,「• In12. (5 分)考点：程序框图.分析：；框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a-3a+1,否执行路径._-_!，再执行i-i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值.2 1解答：：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4, i=1 .判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行 --—-： , i=1+1=2 ; 2判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3>5+1=16 , i=2+仁3 ;判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行一.；,i=3+1=4 ;2判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行-i=4+1=5 ;2判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5.故答案是5.点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环•是基础题.13. (5 分)考点：般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：；根据柯西不等式，算出(x+2y+3z ) <14 (x +y +z ) =14,从而得到x+2y+3z恰好取到最大值QU ,由不等式的等号成立的条件解出x=—、y= '且z=「\由此即可得到x+y+z的值.14 7 14解答：：解：根据柯西不等式，得2 2 2 2、/ 2 2 2、一/ 2 2 2、(x+2y+3z ) < (1 +2 +3 ) (x+y+z ) =14 (x+y+z )当且仅当. 时，上式的等号成立1 2 32 2 2 2••• x +y +z =1 ,•••( x+2y+3z ) <14,结合•、可得x+2y+3z恰好取到最大值.■-• 一丄-，可得-,丄,z=--1 2 3 14 14 7 14因此，x+y+z= + '亠=—14 7 14 7故答案为：——7点评：本题给出x、y、z的平方和等于1,在x+2y+3z恰好取到最大值T i. 的情况下求x+y+z的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题•抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键.14. (5 分)考点：归纳推理.专题：计算题.分析：1,-9 4-1-观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得■■ ：i, ■ ：' - ' - •，把n=10, k=24代入可得答案.解答： 1 1 3-9 4—3解：原已知式子可化为：：一|二；•+ - ,/ 八 2 4-2 2 4-4 M f八 3 2 1 5-2 2 4-5kt「二m .. ■. + .•,■■•■.•- ,, - - ,, ■,「八n 2 6-2 2 4-6'■——1■--2 2由归纳推理可得■, :>■. 故 / . 111. :J. 1.=1100- 100=1000故答案为：1000点评： 本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题. 15. （5 分） 考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理. 专题：压轴题；选作题. 分析：设圆O 的半径为3x ，根据射影定理，可以求出 OD 2=OE?OC=X 2,CD 2=CE?OC=8x 2,进而得到 '的值.E0解答： 解：设圆O 的半径OA=OB=OC=3x , •/ AB=3AD , /• AD=2x , BD=4x , OD=x 又•••点C 在直径AB 上的射影为D , 在厶ABC 中，由射影定理得： 在厶ODC 中，由射影定理得：2 2 CD =AD?BD=8x ,2 2 2 2 OD =OE?OC=x , CD =CE?OC=8x , 故打=J故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围 …双垂直”.16. (2013?湖北) 考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化. 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：解答: 先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线I 的极坐标方程分别为为非零常4 2数）化成直角坐标方程， 再利用直线I 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，从而得到c= ,又b 2=a 2 - c 2, 消去b 后得到关于a, c 的等式，即可求出椭圆 C 的离心率. 解:直线I 的极坐标方程分别为11-:' ：-|八为非零常数）化成直角坐标方程为 x+y - m=0,42它与x 轴的交点坐标为（m , 0）,由题意知，（m , 0）为椭圆的焦点，故|m|=c , -ml又直线l 与圆O ： p=b 相切，••• ----------V2从而 c= ■:b ,又 b 2=a 2 - c 2,2 2 2、…c =2 (a - c ),c 22 c v6•- 3c =2a , •=.a 3则椭圆C 的离心率为 '. 3故答案为：7点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生 分析问题的能力. 三、解答题：本大题共 6小题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12 分）考点：' 余弦定理；正弦定理. 专题：: 解三角形.分析：t (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出；(II)由三角形的面积公式厂•■•汇•即可得到bc=20 .又b=5，解得c=4 .由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccosA=25+16 - 20=21，即可得出a.又由正弦定理得即可得到--------------- 厂宀即可得出.a a解答：: 解: (I)由cos2A - 3cos (B+C ) =1，得2cos2A+3cosA - 2=0,即(2cosA 1) (cosA+2) =0，解得,21：：•'.(舍去).2因为0V A V n所以职匹.3(n)由S= - = ='、.；%［得到bc=20 .又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccosA=25+16 - 20=21，故「:二=.又由正弦疋理得.丁.「_门| 一：一：| ：卜,._ . 一—• 一 . ,L_ _a a 子21 4 T点评：：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.18. (12 分)考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：(1)设等比数列｛a n｝的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1, q,进而可求通项公式(n)结合(1)可知「是等比数列，结合等比数列的求和公式可求 1 •….，即可判断5 a l a2 a rt解答：解：(I)设等比数列｛a n｝的公比为q，则由已知可得/［冷』- 1=10解得.幻它或1故一• — . 「一■- r .(n)若一二工一一，则1'r ,n3 % 5 3故［―：是首项为.；，公比为一的等比数列，“ 5 3上［1-(丄)\…二1 5 3 」9 _n小2 9八从而；, _ ・1' '.3若一…：• 「；则丄匸「一一：川丄；是首项为,公比为-1的等比数“a n 5J 5列，洼山-1(心+)故£丄V .0, mP2k (k€ N +). 炉 1 a n综上，对任何正整数 m ，总有J ，| .炉1故不存在正整数 m ，使得1 |i 成立.a l a2 a n用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定; 求法.空间位置关系与距离；空间角.（I ） 直线I //平面PAC .连接EF ，利用三角形的中位线定理可得， EF // AC ;禾U 用线面平行的判定定理即可得到EF //平面ABC .由线面平行的性质定理可得 EF // I .再利用线面平行的判定定理即可证明直线I //平面PAC .（II ） 综合法：利用线面垂直的判定定理可证明 I 丄平面PBC •连接BE ,BF ,因为BF?平面PBC ,所以I 丄BC •故 / CBF 就是二面角 E - I - C 的平面角，即/ CBF= 3-已知PC 丄平面ABC ,可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故/ CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即 / CDF= 0.由BD 丄平面PBC ，有BD 丄BF ，知/ BDF= a,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C 为原点，向量：，■■ , 「、所在直线分别为x , y , z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角.解：（I ）直线I //平面PAC ,证明如下： 连接EF ，因为E , F 分别是PA , PC 的中点，所以 EF // AC , 又EF?平面ABC ，且AC?平面ABC ，所以EF //平面 ABC . 而EF?平面BEF ，且平面 BEF D 平面 ABC=I ，所以EF / I . 因为I?平面PAC , EF?平面PAC ，所以直线I //平面PAC .（H ）（综合法）如图1,连接BD ，由（I ）可知交线I 即为直线BD ，且I // AC . 因为AB 是O O 的直径，所以 AC 丄BC ,于是I 丄BC .已知PC 丄平面 ABC ，而I?平面ABC ，所以PC 丄I . 而PCABC=C ，所以I 丄平面PBC .连接BE , BF ，因为BF?平面PBC ，所以I 丄BF . 故/ CBF 就是二面角 E - I - C 的平面角，即/ CBF= 31i1由.-I .',作 DQ // CP ,且 口=「「连接PQ , DF ，因为F 是CP 的中点，CP=2PF ，所以DQ=PF , 从而四边形 DQPF 是平行四边形，PQ // FD .连接CD ，因为PC 丄平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故/ CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即/ CDF= 0 . 又BD 丄平面 PBC ，有BD 丄BF ，知/ BDF= a,于是在 Rt △ DCF , Rt △ FBD , Rt △ BCF 中，分别可得 ■ ■ i.:？-,DF DFBF从而二：门匚匕-二和八 一 =]--「.门二「* 1 *（n ）（向量法）如图 2,由.■ I ：',作 DQ // CP ,且i连接PQ , EF , BE , BF , BD ，由（I ）可知交线 I 即为直线 BD .从而厂一n=l a n点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19 . （12 分）考 占： 八、、♦ 专 题： 分面角的平面角及解 答:】」「「，从而故 ---------------------- :---------------------- ---------------- 二-，即 sin B =sin osin 3,Va 2+b 2+c Z Vb Z +c Z Va Z +b 2+c Z点本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、 线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、评：线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力.20. (12 分)(I)变量服从正态分布 N (800, 502),即服从均值为 800,标准差为50的正态分布，适合 700 v X 电00范 围内取值即在(厂2 q时2 d)内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过 900的概 率为P 0.(II) 设每天应派出 A 型x 辆、B 型车y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数， 画出可行域求解.2解答： 解：(I)由于随机变量 X 服从正态分布 N ( 800, 50 ),故有 尸800 , (=50 , P (700 v X 电00) =0.9544 .由正态分布的对称性，可得 po=(p (X<900)=P(X 詣00)+p (800v X <900)=^+-^P (700<X<；900)=0. 9772(H)设A 型、B 型车辆的数量分别为 x , y 辆，则相应的营运成本为 1600x+2400y .依题意，x , y 还需满足：x+y <21, y<x+7 , P (X <36x+60y )却0.以点C 为原点,向量CA,亍，千所在直线分别为x , y , z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA=a ,CB=b , CP=2c , 则有C (0, O f 0)(a, 0, 0)，B (0, b, 0) f P (0, 0, 2c) , Q (a, b f c) , E (吉並 0, c)--------------- */?2, 1|FE| -|QP |又取平面ABC 的一个法向量为 匸-、：，.，可得三［门，-I m ■ QF | c ____ I nt | • | QP | Va 2+b 2+c 2设平面BEF 的一个法向量为所以由n pFE=0t n-BF=0.可得却口 取;(山s b).-by+cz=O*考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题：不等式的解法及应用；概率与统计. 分析：A.【I , 由（I ）知，p o =p （X 电00）,故 P （X W60x+60y ）却o 等价于 36x+60y 为00.x+y<21y<x+7 36x+60y^900u, y>0, x, y€N且使目标函数 z=1600x+2400y 达到最小值的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5, 12), Q (7, 14), R (15, 6).由图可知，当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时，直线z=1600x+2400y 在y 轴上截距—二最小，即 「 2400 z 取得最小值.故应配备A 型车5辆，B 型车12辆.本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划•本题解题的关键是列出不等式组 (方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可 得到目标函数的最优解.21. （13 分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式. 专题：丿 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：1 1(I)设出两个椭圆的方程，当直线1与y 轴重合时，求出 △ BDM 和厶ABN 的面积&和S 2,直接由面积 比=入列式求入的值；(n)假设存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=x S 2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M 和N 到直线l 的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到- ''，换元后利用非零的k 值存在讨论 入的取值范围.解答：解：以题意可设椭圆 C1和C2的方程分别为2 2 2 2厂 「.1 ,：「. 1 •其中 a > m >n >0,a ma n(I)如图1，若直线I 与y 轴重合，即直线I 的方程为x=0，则■ ： ' II' I- f ■:，在C 1和C 2的方程中分别令 x=0，可得y A =m , y B =n , y D = - m ,于是问题等价于求满足约束条件_ x.,化简得 斤-2入-1=0，由$> 1，解得x =*7^+1 •_ 1故当直线I 与y 轴重合时，若S i = 0,则’.(n)如图2，若存在与坐标轴不重合的直线I ，使得S 仁$2,根据对称性,不妨设直线I : y=kx 点 M (- a , 0) , N等价于 丨-| I -即1「丄，由$>1，解得 当■- - ■ ■ '时，不存在与坐标轴不重合的直线 I ，使得S 1= &; 当’• "i-卜「-时，存在与坐标轴不重合的直线I ，使得S 1=$$2.若…则1 (k > 0),(a , 0)到直线I 的距离分别为d i , d 2,则I - ak- 0|% 二ak|ak- 0|ak--------- --------- ，所以 d i =d 2-又.： = -- ,K I—I I -1，所以「慨「，即 |BD|=开AB| •由对称性可知 |AB|=|CD|，所以 |BC|=|BD| - |AB|=(入-1) |AB| ,|AD|=|BD|+|AB|=(廿1) |AB|，于是 |-将I 的方程分别与 C i 和C 2的方程联立，可求得_ anlB=7?7w根据对称性可知 X C = - x B , X D = - x A ,I ADI RT 胃廿 i BC i Vl+k 2I - X c从而由①和②可得x+l2i 2丄 2一：一 「 ③ a k +n令—/I 、，则由m > n ,可得t 詞，于是由③可得足/ ］衷"y 入(扎 _ 1)a 2(1 -x 2}因为k 旳，所以k 2> 0•于是 ③关于k 有解,当且仅当22. （14 分） 考 导数在最大值、最小值问题中的应用；禾U 用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明.占：八、、♦ 专 压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用. 题： 分 (I)先求出函数f (x )的导函数f'(x ),令f (x ) =0,解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值 析：为 f (0) =0 ;(H)根据(I)知，即(1+x ) r+1》+ (r+1) x ,令*2代入并化简得—,再令n r+1 n得n ----------------------- - ----- ，即结论得到证明；r+1(川)根据(n)的结论，令 -,n 分别取值81, 82, 83,…，125,分别列出不等式，再将各式相加得，3444 4--飞 ：-：| | !：: ：■■ :- --、 :!，再由参考数据和条件进行求解.解 解；(I)由题意得 f (x ) = (r+1) (1+x ) r -( r+1) = (r+1) [ (1+x ) r - 1], 答：令f (x ) =0，解得x=0 .当-1v x v 0 时，f (x )v 0 ,••• f (x )在(-1, 0)内是减函数； 当x >0时，f (x )> 0,「. f (x )在(0, +s)内是增函数. 故函数f (x )在x=0处，取得最小值为f (0) =0.(n)由(I)，当 x € (- 1, + R )时，有 f (x )并(0) =0,r+1即(1+x ) 》+ (r+1) X ,且等号当且仅当 x=0时成立， 故当 x >- 1 且 x 和，有(1+x ) r+1> 1+ (r+1) x ,① 在①中，令厂一(这时x >- 1且x 旳)，得「「讣■-亠-.AB点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考 查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，(n)中判断 入的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.。
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考理科综合参考答案
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考理科综合参考答案物理参考答案141516171819 20 21 BD C B A AD AC BCB22（1）打点计时器接了直流电；重物离打点计时器太远。
（2分）(2) 0.25N （3分）23.（1）I 1R 0（2分）；⑵2.90±0.01（2分）； 4.00±0.05（2分）⑶5.60±0.04Ω（4分）24．（1）小球落到最低点C 下落时间最长，竖直分速度最大水平方向有R= v 0t （2分）竖直方向有R ＝gt 2/2（2分）可解得v 0＝Rg/2（2分）（2）乙正确，设小球垂直击中环，则其速度方向必过圆心，设其与水平方向的夹角为，Rsin ＝gt 2/2（2分）R （1＋cos ）＝v 0t （2分）且tan ＝gt/v 0可解得＝0，但这是不可能的，（3分）其他方法也可以得分25．（19分）（1）（7分）解：与隔板成450角的粒子进入磁场后的轨迹如图所示，设粒子在磁场中的运动半径为R ，则有:Rvm qvB2……①……1分粒子在磁场中运动的周期:vR T2……②……1分由于粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为2700，则粒子在磁场中运动的时间为:T t43……③……1分ks*5由①②③得qBm t23……④……2分ks*5*u到达隔板的位置与小孔0的距离为:qBmv R22……⑤……2分（2）（6分）解：所有通过O 点射入的带电粒子可能经过的区域如图所示，……2分（未画出图不给分）由图知面积为：223R S……⑥……2分代入得：22)(2)(3qB mv S……⑦……2分（3）（6分）解：设OP 间的距离为x ，如图所示，……1分（未画出图不给分）以OP 为弦可画两个半径相同的圆分别表示在P 点相遇的两个粒子的轨道，设θ为两粒子射入方向的夹角，由几何关系知221100Q P Q P ，从O 点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆弧加弧长R θ，粒子2的路程为半个圆弧减弧长R θ粒子1的运动时间为：v R T t 211（其中T 为圆周运动的周期）……⑧……1分粒子2的运动时间为：v R Tt 212……⑨……1分则两粒子射入的时间间隔：vR t t t 2210……⑩而：22cosx R ……⑾……1分由①⑩⑾得，mqBt qBmv x4cos20……⑿……2分33．【物理------选修3-3】（15分）(1) B ；（5分）(2) （10分）设管的横截面积为S ，设水银柱在竖直放置时产生的压强为P h根据理想气体状态方程有：110)()(T SL P P TSL P P h h ……………………3分可得：01111P LT TL L T TL P h……………………2分。
2013届高三第二次联考湖北
2013届高三第二次联考鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 K 39 S 32 Cl 35.5 Cu 64 Ba 137 7．下列说法中正确的是A．近期媒体报道的某白酒中的增塑剂是对人体健康无害的物质B．尽量使用含12C的产品，减少使用含13C或14C的产品符合“促进低碳经济”宗旨C．旧皮鞋、皮带等不应回收提炼其所含蛋白质D．光化学烟雾、酸雨等可能与PM2.5的存在有关8．类比推理的方法在化学学习与研究中有广泛的应用，但有时会得出错误的结论。
以下几种类比推理结论中正确的是A．H2SO4为强酸，推出HClO4为强酸B．Fe3Cl8可以改写为FeCl2·2FeCl3，推出Fe3I8可以改写为FeI2·2FeI3C．NH3的沸点高于PH3，推出CH4沸点高于SiH4D．CO2通入Ba(NO3)2溶液中无沉淀生成，推出SO2通入Ba(NO3)2溶液中无沉淀生成9．下列离子方程式表达正确的是A．氢氧化铁溶于氢碘酸：Fe(OH)3＋3H+＝Fe3+＋3H2OB．小苏打溶液呈碱性的原因：HCO3－＋H2O H3O＋＋CO32－C．溴化亚铁溶液中通入足量氯气：2Fe2＋+ 4Br－+ 3Cl2 = 2Fe3＋+2 Br2 + 6Cl－D．向硫酸铝铵[NH4Al(SO4)2]溶液中滴加少量Ba(OH)2溶液：NH4+＋Al3+＋2SO42－＋2Ba2+＋5OH－＝AlO2－＋2BaSO4↓＋NH3·H2O＋2H2O10．分子式为C9H18O2的有机物A有下列变化关系其中B、C的相对分子质量相等，则A的可能结构简式有A．6种B．7种C．8种D．9种11．下列有关实验装置进行的相应实验，能达到实验目的的是A．图①除去CO2中的HClB．图②装置制备Fe(OH)2并能较长时间观察其颜色C．图③所示装置制取并收集干燥纯净的NH3D．图④证明CH3CH2OH发生消去反应生成了乙烯12．短周期元素X、Y、Z、W在元素周期表中的位置如下图所示，其中X形成化合物种类最多，下列说法正确的是A．W位于第三周期IV族B．Y的气态氢化物的水溶液中只存在两个平衡状态C．X的最高价氧化物的电子式是D．常温下，将Z单质投入到Y的最高价氧化物对应的水化物的浓溶液中，无明显现象13．下列各示意图与对应的表述正确的是A．图①表示一定条件下某化学反应的速率随时间变化的趋势图，该反应一定为放热反应B．图②中曲线表示将氢氧化钠溶液滴加到醋酸溶液浓度的变化趋势图C．图③表示等体积、等物质的量浓度的盐酸和醋酸溶液，分别加入足量镁粉，产生H2的物质的量的变化D．图④为水的电离平衡曲线图，若从A点到C点，可采用在水中加入适量NaOH固体的方法26．（14分）甲醇是重要的化学工业基础原料和清洁液体燃料。
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由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC.
又PA⊂面PAC，所以PA⊥OH．
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，则有PA⊥平面OGH．
从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OA·sin ＝sin .
在Rt△POD中，OH＝＝ ．
在Rt△POA中，OG＝＝＝.
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，∴P(A)= ．
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，一个人参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a．
P(ξ=-100)= ，P(ξ=900)= ，P(ξ=a)= ．
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案
一、DBCBABBDCD
二、11．－12．13．72014． 15．7（3分） （2分）
三、16．∵数列{an}为等差数列，∴a1+a3=2a2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3．
∴a1,a2,a3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴an=2n-4或an=-2n+4．
将f(x) =sin(2x-)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y=sin(4x-)+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g(x)=2sin(4x-)+1.
（2）由余弦定理， ，
当且仅当 时取等号，即 时等号成立.
因为 为三角形的内角，所以 .
∴ ，所以 ，所以
故 的取值范围为 .
18．解法一：(1)连结OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
(2)假设存在这样的C点，设 ．在平面POD中，过得 ，∴ ，即 ，即C为 的中点．
故当C为 的中点时，二面角B－PA－C的余弦值为.
19．（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共16个．
则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(cosα,sinα,0)，P(0,0，)，D.
设m＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由m·＝0，m·＝0，得
即
取 ，得m＝ ．
因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n＝(0,1,0)．
设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝ ，
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝ ．
所以cos∠OGH＝＝ ＝，
解得 ，即 ，∴ ，即C为 的中点．
故当C为 的中点时，二面角B－PA－C的余弦值为.
解法二：(1)同解法一(1)．
(2)如图所示，以O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为x轴，z轴，过O与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．
∴ξ的分布列为
ξ
-100
900
a
P
∴ ．
∴该集团公司收益的期望为 ，
由题意 ，解得a≤9900．
故特等奖奖金最高可设置成9900元．
20．(1)连结QN，则|QN|=|PQ|．当a>1时，则点N在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a，且2a>|MN|,
故Q的轨迹为以M,N为焦点的椭圆，此时曲线C的方程为 ．
当n>=2时，|an+bn|=an+bn，
此时，Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+（an+bn)-2(a1+b1)=n2-3n+ +2=n2-3n+ ．
综上： (n∈N*)．
17．(1)f(x)=sinωx-cosωx+m+=sin(ωx-)+m+
∵点(，1)是f(x)图象的对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x=，∴f(x)的周期T=(-)×4=π，∴ω=2.将点(,1)坐标代入f(x)的解析式得m=，∴f(x)=sin(2x-)+1.
又{log3bn}为等差数列，且{log3bn}的前10项和为45，
∴{bn}为等比数列且log3b5+log3b6=9，即b5b6=39．
而b5=81，∴b6=35，公比q=3，故bn=b5·3n-5=3n-1．
综上：an=2n-4或an=-2n+4, bn=3n-1．
(2)由（1）结合条件知an=2n-4,当n=1时，|a1+b1|=1．