[整理]一阶常微分方程习题(一).
常微分方程练习题
常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。
2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。
求下列一阶常微分方程的通解
并证明当 h → 0 时，它收敛于原初值问题的准确解 y = e− x 。
3 13. 考虑由增量函数 h 1 1 ϕ( x, y, h) = f ( x, y) + g x + h, y + h f ( x, y) 2 3 3 ∂ ∂ 决定的单步方法，其中 g( x, y) = f ( x, y) + f ( x, y) f ( x, y)，研究方法的阶与收敛性。 ∂x ∂y
的局部截断误差。
5 7. 若用 Euler 法求解初值问题 y = e−t − 3y sin t, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ π/3，为保证绝对稳定 性，步长有何限制？ 8. 试分别推导二阶和三阶 RK 方法的绝对稳定区间。 9. 试证明四阶 RK 方法的绝对稳定性条件是 1 1 1 1 + hλ + (hλ)2 + (hλ)3 + (hλ)4 ≤ 1, 2 6 24 并在复平面上绘出绝对稳定域的边界。 习 题 9.5 1. 用二步 Adams 显式法解初值问题 y = − x2 y, y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 0.5，取 h = 0.1，y1 用改 进 Euler 公式。 2. 分别用数值积分法和待定系数法导出四阶 Adams 隐式公式及其局部截断误差主项。 3. 将多步法 h yn+2 + 9yn+1 − 10yn = (13 fn+1 + 9 fn ) 2 y = 0, y(0) = c,
9. 用改进 Euler 法和梯形法解初值问题 y = x2 + x − y, y(0) = 0. 取步长 h = 0.1，计算到 x = 0.5，并与准确解 y = −e− x + x2 − x + 1 相比较。 10. 用梯形法解初值问题 y = ax + b, y(0) = 0, 设步长为 h，求数值解的精确表达式，并证明数值解是准确的。 11. 用梯形法求初值问题 y = ey , 0 ≤ t < 1, y(0) = 0, 在 t = 1/2 的近似解。与精确解 y(1/2) = ln 2 进行比较。注意：步长至少取多小，所 得结果才可靠。 12. 用梯形方法求解初值问题 y + y = 0, y(0) = 1, 证明其近似解为 yn = 2−h n , 2+h
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
(完整版)常微分方程试题库.(最新整理)
常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。
本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。
练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。
解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。
假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。
我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。
2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。
解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。
代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。
练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。
解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。
首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。
接下来求非齐次方程的一个特解。
常微分方程1
常 微 分 方 程试卷（一至十） 试 卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。
2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是 。
3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是 。
4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。
5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。
6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是 。
7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。
8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝ 。
9、方程0=+'+''y y y 的通解是 。
10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是 。
二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。
车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是 。
2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。
常微分方程习题答案
常微分方程习题答案常微分方程习题是数学学科中的重要内容之一。
通过解答这些习题，可以帮助学生巩固和加深对常微分方程的理解和应用能力。
下面将通过几个实例来展示常微分方程习题的解答过程。
第一个习题是求解一阶线性常微分方程。
考虑方程dy/dx + y = x。
首先将方程改写为dy/dx = x - y。
这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
设y = uv，其中u和v是关于x的函数。
将y = uv代入方程，得到u(dv/dx) + v(du/dx) + uv = x。
整理后得到du/dx = (x - v)/u。
将等式两边分别关于x求导，得到d^2u/dx^2 = (du/dx - v)/u。
将方程du/dx = (x - v)/u带入，得到d^2u/dx^2 = (x - v)/u。
这是一个二阶常微分方程，可以通过适当的变量代换和求解方法得到解析解。
最后再将u和v代入y = uv，即可得到原方程的解。
第二个习题是求解一阶非线性常微分方程。
考虑方程dy/dx = y^2 + x。
这是一个一阶非线性常微分方程，可以使用分离变量法求解。
将方程改写为dy/(y^2 + x) = dx。
对方程两边同时积分，得到∫dy/(y^2 + x) = ∫dx。
对左边的积分进行变量代换，令u = y^2 + x，得到1/2∫du/u = x + C。
对等式两边积分，得到1/2ln|u| = x + C。
再将u代回，得到1/2ln|y^2 + x| = x + C。
整理后得到ln|y^2 + x| = 2x + 2C。
最后再对等式两边取指数，得到|y^2 + x| = e^(2x + 2C)。
由于指数函数的定义域为正实数，所以可以去掉绝对值符号，得到y^2 + x = e^(2x + 2C)。
这就是原方程的解。
通过以上两个习题的解答过程，我们可以看到常微分方程习题的解答方法多种多样，需要根据具体的方程形式选择合适的方法进行求解。
微分方程复习题(1)
常微分方程复习题、填空题1．微分方程 (dy )n dyy 2 x 20的阶数是 _______________ dx dx答：12． 形如 _的方程称为齐次方程答： d dyx g( x y) dx x 3．方程 y 4y 0 的基本解组是答： cos 2 x, sin 2 x .1. 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x), y 2(x) 为方程的基本解组充分必要条件 是．答： 线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)2. 方程 y 2y y 0 的基本解组是3. 若 (t)和 (t)都是 X A(t)X 的基解矩阵，则 (t)和 (t) 具有的关系4.一阶微分方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0 是全微分方程的充分必 要条件5. 方 程 M(x,y)dx N(x, y)dy 0 有 只 含 x 的 积 分 因 子 的 充 要 条件 是 。
有只含 y 的积分因子的充要条件是 。
6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点 x,y 处 的切线斜率为 2x y ，则曲线方程 为。
7.称为 n 阶齐线性微分方程。
8. 常系数非齐线性方程 y (n)a 1y (n 1)a n 1y a n y e xP m (x)(其中 P m (x) 是 m 次多项式 )中，则方程有形如 的特解。
9. 二阶常系数线性微分方程 y 3y 2y e x有一个形如的特解。
答：xxe , xe10. 微分方程y 4y 21y 0的一般解为。
9. 微分方程xy 2y 3y4 0 的阶数为。
10. 若x i (t)(i 0,1,2, ,n)为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.11. 设x(t) 为非齐次线性方程的一个特解, x i (t)(i 0,1,2, ,n)是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为.12. 若x i(t)(i 0,1,2, , n)是齐次线性方程y(n) a1(x) y( n 1) a n 1(x)ya(x)y 0 的n个解，w(t) 为其朗斯基行列式，则w(t) 满足一阶线性方程。
常微分方程练习题
常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。
常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。
常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。
本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。
练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。
解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。
首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。
解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。
接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。
首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。
最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。
练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。
解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。
解这个二次方程得到重根 $r = 2$。
因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。
练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。
解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。
微分方程相关习题和答案
微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。
微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。
在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。
下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。
1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。
解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。
然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。
通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。
接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。
将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。
因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。
最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。
2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。
首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。
由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。
如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。
例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)
专升本高等数学(一)-常微分方程(一)(总分：91.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)1.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A. (y')2+2y=x∙ B. y'+2y2=x∙ C. y'+y=x∙ D. y"+y'=x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查微分方程的有关概念．一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂．(答案为C)2.微分方程的通解是______ A. B. C. D. 其中C为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 [*]．(答案为D)．3.微分方程y"=y的通解是______∙ A. y=C1+C2e x∙ B. y=e x+e-x∙ C. y=C1e x+C2e-x∙ D. y=Ce x+Ce-x(其中C，C1，C2为任意常数)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知微分方程y"=y为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数C1，C2．选项B、D中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项B、D是错误的，应筛去．选项A中，y=C1+C2e x中含有两个任意常数，通过求导可得y'=C2e x，y"=C2e x，代入微分方程y"=y，等式关系不成立，因此y=C1+C2e x不是微分方程y"=y的通解．选项C中，y=C1e x+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得y'=C1e x-C2e-x，y"=C1e x+C2e-x，代入微分方程y"=y，等式关系成立，因此y=C1e x+C2e-x是微分方程y"=y的通解．(答案为C)4.y|x=1=1的特解是______∙ A. y=e x∙ B. y=e-x∙ C. y=e x-1∙ D. y=e1-x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法，分离变量[*]，两边积分，得lny=-x+C1，即原方程的通解为y=Ce-x(其中[*])．将初始条件y|x=1代入通解，得C=e，所求特解为y=e·e-x=e1-x．(答案为D)5.微分方程y"=y'的通解为______∙ A. y=C1+C2e2x∙ B. y=C1+C2e x∙ C. y=C1+C2x∙ D. y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的特征方程为r2-r=0，特征根r1=0，r2=1，故原方程的通解为y=C1+C2e x．(答案为B)6.下列方程为一阶线性微分方程的是______∙ A.y'+xy3=x∙ B.xy'+y=x3∙ C.y·y'+xy=sinx∙ D.y"+5y'-6y=xe-x（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：7.微分方程y'=的通解是______ A． B． C． D其中C为任意常数) （分数：2.00）A.B. √C.D.解析：8.微分方程y'+xy=0的通解是______ A． B． C． D．其中C为任意常数) （分数：2.00）A. √B.C.D.解析：9.微分方程ylnxdx=xlnydy满足初始条件y|x=1=1的特解是______∙ A.ln2x+ln2y=0∙ B.ln2x+ln2y=1∙ C.ln2x-ln2y=0∙ D.ln2x-ln2y=1（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：10.微分方程y"+4y'-5y=0的通解是______∙ A.y=C1e x+C2e5x∙ B.y=C1e-x+C2e5x∙ C.y=C1e x+C2e-5x∙ D.y=C1e-x+C2e-5x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：11.对于微分方程y"+4y'+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是______∙ A.y*=Ae-2x∙ B.y*=(Ax+B)e-2x∙ C.y*=Axe-2x∙ D.y*=Ax2e-2x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：12.已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是y=C1e-2x+C2e3x，则此方程为______∙ A.y"-y'+6y=0∙ B.y"-y'-6y=0∙ C.y"+y'-6y=0∙ D.y"+y'+6y=0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：13.已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是y1=1与y2=e2x，则此方程为______∙ A.y"-2y'=0∙ B.y"+2y'=0∙ C.y"-3y'+2y=0∙ D.y"+3y'+2y=0（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)14.微分方程xy'=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x|+C）解析：[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法． [*] y=ln|x|+C．15.微分方程y'=x的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量微分方程． [*]，即dy=xdx，则[*]16.y|x=2=4的特解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=20）解析：[解析] 本题主要考查求解可分离变量方程微分方程，分离变量ydy=-xdx，两边积分[*]，即方程的通解为x2+y2=C(其中C=2C1)．将初始条件y|x=2=4代入通解，得C=20，所求的特解为x2+y2=20．17.微分方程y'-y=1的通解为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce x-1）解析：[解析] 本题给定方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性微分方程．解法Ⅰ [*]，ln(y+1)=x+C1，y+1=Ce x(其中[*])，即通解为y=Ce x-1．解法Ⅱ p(x)=-1，q(x)=1．y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]-e∫dx[∫e∫dx dx+C]=e x[∫e-x dx+C]=e x[-e-x+C]=Ce x-1．18.微分方程xyy'=1-x2的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2+y2=2lnx+C）解析：19. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-y=e-x+C）解析：20.微分方程y'-3y=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=Ce3x）解析：21.设y1(x)，y2(x)是二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1y1(x)+C2y2(x)）解析：22.微分方程y"-3y'+2y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1e x+C2e2x）解析：23.微分方程y"-6y'+9y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=(C1+C2x)e3x）解析：24.微分方程y"+2y'+5y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：44.00)设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为，（分数：4.00）(1).求函数y=f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]， [*]．由[*]知C=0，故[*]．)解析：(2).求由曲线y=f(x)，y=0，x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：设函数y=f(x)（分数：35.98）(1).求函数y=f(x)的表达式（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可化为[*]，则[*]．将初始条件y|x=1=0代入得C=-1，故[*]．)解析：(2).讨论函数y=f(x)在(0，+∞)内的单调性（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因[*]，故[*]在(0，+∞)内单调增加．)解析：(3).求连续函数f(x)，使其满足．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(对关系式两边求导，得f'(x)+2f(x)=2x.这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x．其通解为y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e-∫p(x)dx dx+C]=e-∫2dx[∫2x·e2dx dx+C]=e-2x·[∫2x·e2x dx+C]=e-2x·[xe2x-∫e2x dx+C]=e-2x[*]，由关系式[*]，令x=0，得f(0)=0代入通解，得[*]，所以所求函数为[*]．)解析：(4).设y=e x是微分方程xy'+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将解y=e x代入给定的微分方程，有xe x+g(x)e x=x，解得g(x)=x(e-x-1)．代入原方程，得y'+(e-x-1)y=1．这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解[*]．将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得[*]，所以所求的特解为[*])解析：(5).求解下列微分方程．求微分方程y-y'=1+xy'的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y-1=C(x+1))解析：(6).求解下列微分方程．满足初始条件y|x=0=0的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(7).求解下列微分方程． 2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(8).求解下列微分方程．求微分方程cosx·y'-sinx·y=cos2x满足初始条件y|x=π=1的特解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(9).设f(x)f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]，xf(x)=f'(x)+2x，整理为一阶线性微分方程的标准形式y'-xy=-2x，其中p(x)=-x，q(x)=-2x，y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx dx+C]=e∫xdx[∫-2xe-∫xdx dx+C][*]把x=0代入[*]，得f(0)=0．把初始条件f(0)=0代入方程的通解[*]，得C=-2，所求的函数为[*]．)解析：(10).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+y'-2y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(11).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"+6y'+5y=e-x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'+y=e x的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(13).求解二阶常系数线性非齐次微分方程．求微分方程y"-2y'-3y=x+1的通解．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(14).设f(x)为连续函数，求f(x)．（分数：2.57）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．[*]对于上式左右两边再对x求导，有f"(x)=6x+f(x)，即f"(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程．为了求解需先确定初始条件：取x=0代入f(x)=x3+1+[*]，得f(0)=03+1+[*]，即得f(0)=1．取x=0代入关系式f'(x)=3x2+[*]，得[*]，即得f'(0)=0．原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f'(0)=0下的特解．其对应的齐次方程为f"(x)-f(x)=0．特征方程为r2-1=0，特征根为r=±1，齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e x．自由项f(x)=6x，其中P m(x)=6x，m=1，α=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y*'=A，y*"=0代入微分方程f"(x)-f(x)=6x，得A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x．所以微分方程f"(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-6x，将初始条件f(0)=1，且f'(0)=0代入得[*]．所以[*]．)解析：已知可导函数y=f(x)满足关系式y"+y'=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线x-y=1平行．（分数：4.00）(1).求f(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由题意可知本题实际上是求二阶常系数齐次线性微分方程y"+y'=0在一定初始条件下的特解．二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1，齐次方程的通解为y=C1+C2e-x．y'=-C2e-x，y'(0)=-C2．由题意有y(0)=C1+C2=0，已知直线x-y=1的斜率k=1．由平行条件可知y'(0)=-C2=1，解得C1=1，C2=-1，所求函数y=f(x)=1-e-x．)解析：(2).求曲线y=f(x)，与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积S.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。
求下列一阶常微分方程的通解
7. 用以下四阶 RK 方法
yn+1
=
yn
+
h 8
(K1
+
3K2
+
3K3
+
K4),
K1 = f (xn, yn),
K2 K3
= =
f (xn f (xn
+ +
h 23 3
,hy, nyn+−h33hKK1)1,
+
hK2),
K4 = f (xn + h, yn + hK1 − hK2 + hK3).
2
5. 试推导向后 Euler 法的局部截断误差主项，并证明其收敛性。
6. 用向后 Euler 法求解
y = 1 + (t − y)2, 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1.
取步长 h = 0.1，将所得结果与准确解 y = t + 1/(1 − t) 进行比较。注意：需要采用适 当的方法求解非线性方程。
3. 试证明：对于初值问题 y = −y + t + 1, y(0) = 1, 0 ≤ t ≤ 1，无论步长 h 取何值，用改 进的 Euler 法和中点法计算所得数值结果都相同。
4. 求改进 Euler 法的绝对稳定域和绝对稳定区间。
5. 求显式中点公式 的绝对稳定区间。
yn+1 = yn + h f (xn + h/2, yn + h f (xn, yn)/2)
求解初值问题
y = 3y/(1 + x), y(0) = 1,
取步长 h = 0.1 求 y(1)，并与精确解比较。
8. 求隐式中点公式 的局部截断误差。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。
通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。
在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。
下面，我们来看一些常微分方程的练习题。
1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。
首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。
然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。
将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。
因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。
2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。
首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。
3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。
常微分方程习题 (1)
习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+dxdy cosx=1 解：移项得，dxdy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）y=cosx(2)cos 1(⎰xdx+c) y=cosx(⎰2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解(2)ydx-xdy=x 2ydy解：两边同除x 2得，2xxdy ydx -=ydy 则d （xy -）=d （22y ） 所以，xy y +22=c 为方程的通解。
（3）dxdy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy=4sinx-e y 所以dxe d y )(=4sinx-e y 令u=e y 得，u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c)又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰x xe sin dx所以dx xe x ⎰sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法） 即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。
（4）dx dy =xyx y - 解：分子分母同除x 得，x yxydx dy -=1令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=uu -1 化简得，xdx du =uu u -1 当u u ≠0时，du uu u -1=x 1dx （dx x du uu u 1)11=- （dx xdu u u 1)123=-- c x u u+=--ln ln 21 1ln ln 2c u x u++=- )21(ln 2111c y u-+-= 令-c c =121 则c y u +-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 21c y + 经验证，y=0也是方程的解。
一阶常微分方程习题
一阶常微分方程习题（一）1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydx=-(x+1)dy 2ydy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =yy 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y2e 2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e解：原方程为：dx dy =ee e=ce 11 dxdy =(x+y) 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y-y)-dx+x=cxy-y+y-x-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y+2y)-d(21x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u+3 dxdu =4 u+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+xy)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
(整理)微分方程的例题分析及解法
微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程)(xy f y =' 令xy u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。
三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）)(x f y =''，直接积分；（2）),(y x f y '=''，令p y ='，（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dydp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程02=++q p λλ求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点)()(x P e x f m x μ=和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~cos )()(+= 设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
常微分方程习题及答案.[1]
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第十二章常微分方程(A)、是非题任意微分方程都有通解。
（）6. y sin y是一阶线性微分方程。
（)7. ■ y x y xy不是一阶线性微分方程。
()8. ■ y 2y 5y 0的特征方程为r2 2r 5 0。
( )9. dy 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（)dx填空题1. .在横线上填上方程的名称①y 3 In xdx xdy 0 是。
②xv 2 xdx y x2y dy 0是。
③X鱼ylnY是。
dx x④xy y x2 si nx 是。
⑤y y 2y 0 是。
2. .y sin xy x cosx的通解中应含个独立常数。
3. .y e 2x的通解是。
4. .y sin 2x cos x的通解是。
5. .xy 2x2y 2 x3y x4 1 是阶微分方程。
6. ■微分方程y y y 60是一阶微分方程。
2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。
3. 函数y 3sinx 4cosx是微分方程y 0的解。
（）4. 函数y x2 e x是微分方程y 2y 0的解。
（）5. 微分方程xy In x 0的通解是y 1一InxC （C为任意常数）。
（）A.通解B .特解C .是方程所有的解D .上述都不对D . y 3 e xa cosx7. 8. 1丄所满足的微分方程是x空的通解为 ________x9.dxdy0的通解为 x10.dy dx 空 x 1 2，其对应的齐次方程的通解为 x 111. 方程xy 1 x 2 0的通解为 12. 3阶微分方程 x 3 *的通解为、选择题1.微分方程 xyy0的阶数是（）2 .微分方程 x 5 6 7 8 1的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dcosx其中C 1, C 2为任意常数。
A. y 2y 0y xy 3y 2 0C. 5y 4x 0y 2y 1A. y 1 B . y x C . y sin x D . y e x12 .过点1,3且切线斜率为2x 的曲线方程y y x 应满足的关系是（）A . y 2xB . y2x C . y2x , y 13 D .y2x , y 1 313 .卜列微分方程中， 可分离变量的是 （） 。
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一阶常微分方程习题（一）
1．dx
dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y
dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1
特解为y= e
2x .
2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1
1+x dx 两边积分: -y
1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e
特解：y=|
)1(|ln 1+x c 3．dx dy =y
x xy y 32
1++ 解：原方程为：dx
dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3
1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
解：原方程为： y y -1dy=-x
x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +- 令
x
y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu
即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg
2x y . 6. x dx
dy -y+22y x -=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x
y =u dx dy =u+ x dx du 2
11
u - du=sgnx x 1dx arcsin x
y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x
c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y
e x
y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y
e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为：dx dy =x y ln x
y
令
x
y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x
dx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
x y =cy. 10. dx
dy =e y x - 解：原方程为：
dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dx
dy =(x+y)2 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx
du -1=u 2 2
11u +du=dx arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2
)(1y x + 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx du -1=21u
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1
212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx
xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2-y)-dx 2
+x=c
xy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =2
5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
dxy-d(21y 2+2y)-d(2
1x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:
dx
dy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx
dy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1 41dx du -4
1=u 2+3 dx
du =4 u 2+13 u=2
3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程
y x dx
dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）
2） y(1+x 2y 2)dx=xdy 3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y
+
证明： 令xy=u,则x
dx dy +y=dx
du 则
dx dy =x 1dx du -2x
u ，有： u x dx du =f(u)+1
)1)((1+u f u du=x
1dx
所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2
x u (1) 原方程可化为：dx dy =x
y [1+（xy ）2] (2)
将1代入2式有：
x 1dx du -2x u =x
u (1+u 2) u=22+u +cx 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y
则与x 轴，y 轴交点分别为：
x= x 0 -
'0y y y= y 0 - x 0 y’
则 x=2 x 0 = x 0 - '
0y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4π 。
解：由题意得：y ’=
x y y 1dy=x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx.
α =4
π 则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx
则：y=kx 2
+c 即为所求。