[整理]一阶常微分方程习题(一).

合集下载

常微分方程第一、二、三次作业参考答案

1、给定一阶微分方程

2dy

x dx

=：（1）求出它的通解；

解：由原式变形得：

2dy xdx =.

两边同时积分得

2y x C =+.

（2）求通过点（2，3）的特解；

解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：

1C =-

即通过点（2,3）的特解为：

21y x =-.

（3）求出与直线23y x =+相切的解；

解：依题意联立方程组：

223y x C

y x ⎧=+⎨

=+⎩

故有：2230x x C --+=。由相切的条件可知：

0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=

解得4C =

故2

4y x =+为所求。

（4）求出满足条件3

3ydx =⎰的解。

解：将 2

y x C =+代入3

dy =⎰，可得

2C =-

故2

2y x =-为所求。

2、求下列方程的解。

１）

3x y dy

-= 2）

233331

dy x y dx x y -+=--

解：依题意联立方程组：

2330

3310

x y x y -+=⎧⎨

-+=⎩ 解得：2x =，73y =

。则令2X x =-，73

Y y =-。故原式可变成：

2333dY x y

dX x y

-. 令Y

u X =

，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dx

du u u x

-=-+.

两边同时积分，可得

(263)||u u C X --+= .

将7

y u x -

-，2X x =-代入上式可得： 1

227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛

⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪

⎝⎭

即上式为所求。

3、求解下列方程:

整理常微分方程试题模拟试题一

文件编号________ 常

微

分

方

程

试

题

模

拟

试

题

一

20 年月日

常微分方程试题模拟试题（一）

一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．方程满足初值解的存在且惟一性的区域是．

2．方程所有常数解是．

3．线性方程的基本解组是．

4．有界是保证方程初值解惟一的条件．

5．向量函数组在区间I上的朗斯基行列式是它们线性相关的条件．

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．积分方程的解是（）．

（A）（B）（C）（D）

7.一阶线性微分方程的积分因子是（）．

（A）（B）（C）（D）

8．方程在xoy平面上任一点的解（）．

（A）都不是惟一的（B）都是惟一的

（C）都与x轴相交（D）都与x轴相切

9．平面系统的奇点类型是（）．

（A）不稳定结点（B）稳定焦点（C）不稳定焦点（D）鞍点

10．方程的任一非零解在平面的轴上任意有限区间内（）零点．（A）无（B）只有一个（C）至多只有有限个（D）有无限个

三、计算题（每小题8分，共40分）

求下列方程的通解或通积分：

11.

12.

13.

14．

15．

四、计算题（本题15分）

16．

五、证明题（本题15分）

17．设函数在上连续且有界，求证：对任意的，方程满足的解在上有界．

题型训练(五)初高衔接专题

一、填空题

1．如图T5－14甲所示是A、B两物体的s－t图像，其中物体A做________直线运动，物体A的速度________(选填“大于”或“等于”)物体B的速度；图乙所示的s－t图像表示该物体______；图丙是C、D、E三物体的v－t图像，物体______做匀速直线运动，物体C的速度随着时间的增加而________，做变速运动；物体E做______(选填“减速”或“加速”)直线运动。

常微分方程练习题

§1 一阶常微分方程

1．求下列微分方程的通解：

（1）)(22y y y x y '+='-；

（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；

（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；

（4）x

y x y y x tan =-'；（5）2122⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++='y x y y ；（6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；

（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；

（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；

（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；

（10）22x xe xy y -=+'；

（11）x x e x y y x 1

22-=-'；

（12）02)6(2=+'-y y x y ；

（13）x

y y y y y -+='ln 2；（14）0)(24=-+dy x y xydx ；

（15）x y x x y y =-+'1

2；（16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；

（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；

（18）212

22sin 22sin 1x e y x y y x ++='+；（19）02)1(322=+'-xy y y x ；

（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：

（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；

（2）x y x y y tan +='，6

一阶微分方程典型例题

例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .

解由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有

)(x N kx dt

dx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNt

kNt

ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0

0x N x c −= 例2 求2

sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02

sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22

sin −=, 积分之，得通积分 2

sin 44tan ln x c y −=. 对应于02

sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin

≠y ，故所求通解中可能会失去使 02

sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y

的特解.

解法1 把原方程改写为x e y x

y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠

典型的一阶微分方程1常微分方程

P(x, y)dx,
x0
u( x, y) C ;
例1 求方程( x3 3xy2 )dx ( y3 3x2 y)dy 0 的通解.
解 P 6 xy Q , 是全微分方程,
y
x
u(
x,
y)
x
0
(
x3
3 xy 2
)d
x
y
0
y 3dy
x4 3 x2 y2 y4 ,
42
4
原方程的通解为
x4 3 x2 y2 y4 C.
dY
f(
aX
b求Y解. )
dX
a1 X b1Y
得通解，代回
X x h, Y y k，
b 0,
b1
ax by c 0, a1x b1 y c1 0,
若上述方程组的系数行列式 a a1
b 0,
b1
则方程组中x,y的系数对应成比例，设比例系数为λ，此时方程可写成
dy dx
x
dx
dx
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
3 2
u
1
2
1 2
1 u
u
1 1
du
dx x
,
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2

一阶微分方程习题答案

f
(
z z

c c1
).
可分离变量.
河海大学理学院《高等数学》
例求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
例求解微分方程 ( x 2sin y 3)dx (2x 4sin y 3)cos ydy 0
例
求解微分方程
y
2 3
x3 x2
3xy2 y 2y3
线性的;
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
河海大学理学院《高等数学》
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程
dy P( x) y 0. dx
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

dy y

P(
x
)dx,
ln y P( x)dx ln C1,

y
,
即
y

xu,
dy

u
x
du
,
x
代入原式
u
x du

f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
河海大学理学院《高等数学》
du f (u) u .
当

常微分方程习题答案

常微分方程习题是数学学科中的重要内容之一。通过解答这些习题，可以帮助学生巩固和加深对常微分方程的理解和应用能力。下面将通过几个实例来展示常微分方程习题的解答过程。

第一个习题是求解一阶线性常微分方程。考虑方程dy/dx + y = x。首先将方程改写为dy/dx = x - y。这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。设y = uv，其中u和v是关于x的函数。将y = uv代入方程，得到

u(dv/dx) + v(du/dx) + uv = x。整理后得到du/dx = (x - v)/u。将等式两边分别关于x求导，得到d^2u/dx^2 = (du/dx - v)/u。将方程du/dx = (x - v)/u带入，得到d^2u/dx^2 = (x - v)/u。这是一个二阶常微分方程，可以通过适当的变量代换和求解方法得到解析解。最后再将u和v代入y = uv，即可得到原方程的解。

第二个习题是求解一阶非线性常微分方程。考虑方程dy/dx = y^2 + x。这是一个一阶非线性常微分方程，可以使用分离变量法求解。将方程改写为dy/(y^2 + x) = dx。对方程两边同时积分，得到∫dy/(y^2 + x) = ∫dx。对左边的积分进行变量代换，令u = y^2 + x，得到1/2∫du/u = x + C。对等式两边积分，得到

1/2ln|u| = x + C。再将u代回，得到1/2ln|y^2 + x| = x + C。整理后得到ln|y^2 + x| = 2x + 2C。最后再对等式两边取指数，得到|y^2 + x| = e^(2x + 2C)。由于指数函数的定义域为正实数，所以可以去掉绝对值符号，得到y^2 + x = e^(2x + 2C)。这就是原方程的解。

常微分方程练习题

在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的

微分方程。常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物

理学、经济学、工程学等。本文将通过一些常见的常微分方程练习题

来帮助读者巩固对这一概念的理解。

练习题一：一阶线性常微分方程

求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。

解答：

根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为

$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =

2x$。

首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。

接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。

最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。

练习题二：二阶齐次常微分方程

求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。

解答：

首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。解这个二次方程得到重根 $r = 2$。

(整理)一阶常微分方程习题(一).

一阶常微分方程习题（一）

1．dx

dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y

dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= e

2x .

2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1

1+x dx 两边积分: -y

1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e

特解：y=|

)1(|ln 1+x c 3．dx dy =y

x xy y 32

1++ 解：原方程为：dx

dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3

1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为： y y -1dy=-x

x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dx dy =-y

x y x +- 令

y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu

即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg

2x y . 6. x dx

dy -y+22y x -=0 解：原方程为：

常微分方程习题 (1)

习题 2.5

1. 求解下列方程的解

（1） ysinx+

dy cosx=1 解：移项得，dx

dy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )

(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）

y=cosx(2)cos 1(⎰

x dx+c) y=cosx(⎰2sec xdx+c)

y=cosx(tanx+c)

所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解

(2)ydx-xdy=x 2ydy

解：两边同除x 2得，2

x xdy ydx -=ydy 则d （x y -）=d （2

y ）所以，x

y y +22=c 为方程的通解。（3）

dy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy

=4sinx-e y 所以dx

e d y )

(=4sinx-e y 令u=e y 得，

u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)

u=e -x (⎰

x xe sin 4dx+c) 又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰

x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰

x xe sin dx

求下列一阶常微分方程的通解

4. 三步和四步 Adams 显式公式分别是几阶的？局部截断误差主项分别是多少？
5. 证明线性二步法
yn+2
+ (b − 1)yn+1
− byn
=
h 4
(b + 3) fn+2
+ (3b + 1) fn
当 b −1 时是二阶的，当 b = −1 时是三阶的。
6. 求参数 α 的值，使 3 步显式方法
1
习题 9.1
1. 求下列一阶常微分方程的通解：
(1) y = x2 + x − y;
(2)
dy dx
=
1
3y +
x
;
(3)
dy dx
=
y
−
2x y
;
(4)
dy dx
=
2x − 3y x + 2y
.
2. 求解下列一阶常微分方程初值问题：
(1) y = |x| + y, y(−1) = 1;
(2)
dy dx
7. 试分析改进 Euler 方法的收敛性，并给出其整体截断误差的估计式。
8. 用例 2.2 中的表 2.2 的结果，若要求该初值问题在 x = 0.05 的近似解，有如下几种方法，试将所得结果与准确解进行比较，哪种方法最好？ (1) 以 x = 0.2 为初值，取步长 h = 0.25，用改进 Euler 法计算一步; (2) 用 x = 0.2 和 x = 0.4 处的数值解作线性插值； (3) 用 x = 0.2 和 x = 0.4 处的数值解和导数值（导数值如何计算才合理），作三次 Hermite 插值。

求下列一阶常微分方程通解

习题9.1

1.求下列一阶常微分方程的通解：(1)y =x 2+x −y ;(2)dy dx =3y 1+x ;(3)dy dx =y −2x y ;(4)dy dx =2x −3y x +2y .

2.求解下列一阶常微分方程初值问题：(1)y =|x |+y ,y (−1)=1;(2)dy dx =1x +cos y

,y (0)=0.3.求解差分方程y n +1=(1+h )y n +2−h (n ≥0),y 0=1,其中h 为正的常数。

4.求解二阶差分方程y n +1=y n +y n −1,y 0=y 1=1.

5.试利用解的存在唯一性定理说明y =sin x 不可能是微分方程y =p (x )arctan y ,x ∈

[0,1]的解，其中p (x )是区间[0,1]上的连续函数。

6.试确定下列函数的利普希茨常数：(1)f (x )=(x 3−2)27

17x 2+4

;(2)f (x ,y )=x −y 2,|y |≤10.7.试证明初值问题y =sin y ,y (x 0)=s 在包含x 0的任意区间内有唯一解。

习题9.2

1.用Euler 法解初值问题

y =x 2+10y ,y (0)=0.

取步长h =0.1,0.05,0.025,0.001，分别计算y (0.3)的近似值，并通过求误差观察收敛性。

2.利用常微分方程初值问题的数值方法可以求定积分的近似值。例如求 10e x 2dx .众所周知，e x 2的原函数是无法用初等函数表示出来的，因此定积分 10e x 2dx 的精确值没法通过Newton-Leibnitz 公式求出。将定积分 10e x 2dx 看成变上限积分函数y (x )= x 0e t 2dt 在点x =1的函数值，而函数y (x )满足微分方程y =e x 2和初始条件

（整理）常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案

一填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程

21y dx

-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程

y x dx

/-=的解是( ). 13已知(0)()32

=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.

=+=0

)0(22y y

x dx

dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652

=+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ).

常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)

一、是非题

第十二章常微分方程

(A)

1. 任意微分方程都有通解。(

)

2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。(

)

3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。(

)

4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。(

)

5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是(

)

y =

(ln x )

+ C 2

( C 为任意常数)。

6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。(

)

7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。(

)

8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。( ) 9． dy

= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。(

)

二、填空题

1. 在横线上填上方程的名称

① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是。 ② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是。

③ x dy = y ⋅ l n y 是

。 dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是

。

⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是

。

2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含

个独立常数。

3. y ' = e -2x 的通解是

。

4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是

。

5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是

常微分方程练习题

常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。

下面，我们来看一些常微分方程的练习题。

1. 求解一阶线性常微分方程

y' + 2xy = x

解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。首先，求出齐次方程的通解：

y' + 2xy = 0

齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。

然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x

简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：

u'(x) = x

对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。

将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。

因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和

C1 为常数。

2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程

y'' + 4y' + 4y = 0

解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：

常微分方程习题 (1)

习题 2.5

1. 求解下列方程的解

（1） ysinx+

dy cosx=1 解：移项得，dx

dy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )

(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）

y=cosx(2)cos 1(⎰x

dx+c) y=cosx(⎰

2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)

所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解

(2)ydx-xdy=x 2ydy

解：两边同除x 2得，2x

xdy ydx -=ydy 则d （x

y -）=d （22y ）所以，x

y y +22=c 为方程的通解。（3）

dy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy

=4sinx-e y 所以dx

e d y )

(=4sinx-e y 令u=e y 得，

u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)

u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c)

又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰

x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰

x xe sin dx

[整理]一阶常微分方程习题(一).

常微分方程第一、二、三次作业参考答案

整理常微分方程试题模拟试题一

常微分方程练习题

一阶微分方程典型例题

典型的一阶微分方程1常微分方程

一阶微分方程习题答案

常微分方程习题答案

常微分方程练习题

(整理)一阶常微分方程习题(一).

常微分方程习题 (1)

求下列一阶常微分方程的通解

求下列一阶常微分方程通解

（整理）常微分方程自学练习题

常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)

常微分方程 练习题

常微分方程习题 (1)

常微分方程练习题