第4章_投资组合选择方法

pt pt1
1
目前在大多数的金融计算中都采用几何收益率. 在 实践中通常假设资产收益率服从正态分布, 但算术 收益率的范围在-100%—+无穷大之间，这与正态分 布的假设相矛盾,而几何收益率却不存在这个问题.
几何收益率和算术收益率之间的关系
P 0 , Pt 表示资产在期初和期末的价格
r g t 表示几何收益率, r a t 表示算术收益率
i1
如果还要求 xi0,i1,2, ,n表明市场不允许卖空.
否则为允许卖空.
一个资产组合的收益和风险是x的函数,它取决 于对不同资产的具体投资比例.
组合的期望收益
n
E r x x 1 E r 1 x 2 E r 2 x n E r n x iE r i i 1
月份
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均值
资产价格
36.00 34.89 33.05 35.25 38.12 37.88 39.08 40.16 42.00 43.84 45.00 46.75 45.90 39.84
几何收益率（％） 算术收益率（％）
-3.13 -5.42 6.44 7.83 -0.63 3.12 2.73 4.48 4.29 2.61 3.82 -1.84 2.02
资产在未来时间跨度相同的持有期内 的期望收益率
1
这是一种等权加权平均的方法, 权重都为
T
用加权平均的方法来估计资产的预期收益率
T
E rA wtrAt , t 1
要求
T
wt 1
t1
对越有价值(接近)的数据 赋的权重越大.
不同投资期限的收益率的估计值
利用资产已有的历史数据估计资产不同期限 的收益率.
P tP 0ergt P 0(1rgtO (rg 2 t))
Pt P0(1rat)
当收益率很小(期限短,或收益不大)时, 两者的差别很小.
资产收益率的估计方法
资产在投资期末的价格是将来发生的，一般 受很多因素的影响，是一个随机变量，因而 收益率也是一个随机变量，只能预测和估计。
用历史收益率(几何收益率或算术收益率)的平 均值作为期望收益率, 假定资产在未来持有期收益率的概率分布同 它的历史收益率的概率分布相同.
风险资产和资产组 合的收益与风险
1. 单个风险资产的收益与风险 2. 资产组合的收益与风险 3. 方差---协方差矩阵的计算
基准映射方法、 因素模型法、 主成分分析法, 主因子分析法
一. 单个风险资产的收益与风险
用 p t 表示某个风险资产在时刻t的价值,
定义4.1: 定义前后两个时刻的资产价格比的自 然对数为持有期内的投资收益率，即
几何收益率具有时间可加性
算术收益率:
设12个月算术收益率为 ra1,ra2, ,ra12
则有 p 1 2 p 0 ( 1 r a 1 ) ( 1 r a 2 )( 1 r a 1 2 )
由此得年算术收益率为
ra yp 1 2 p 0p 0 (1 ra 1 )(1 ra 2) (1 ra 1 2) 1
rt lnPt /Pt1
这种收益率称为几何收益率或连续复合收益 率,它是一种连续计息的方式. 由上式得
pt pt1ert
如果在资产持有期内企业派发了红利,资产的
几何收益率为
rt ln(P tdt)/P t 1
定义4.2: 资产的算术收益率或离散收益率定义
为
rt
pt
pt1 pt1
(B)股票头寸: 用相应的股票指数表示的等价组 合
(C)固定收益债券: 对于不同期望，不同收益率 的债券可以映射为有限数量、特定到期日的 现金流的组合;
(D)商品头寸: 用标准期货合约作为基准, 映射 为标准期货合约的组合;
（二). 因素模型法
分单因素模型法(又称对角线模型)和多因素 模型法。
(A)单因素模型(对角线模型)法
g Af
f (f1,f2,...f.k),T 市场因子向量
g(g1,g2,..g.s),T 主成分向量
a11 a12 ... a1k
A


a
2
1

a22 ...
... ...
a
2
k

,

系数矩阵

a
s1
as2
...
a
sk

主成分分析法的关键在于确定主成分的个数s 以及系数矩阵A.




.

2 n

估计的参数只有2n+1个 ,对于分散程度好的
投资组合，上述矩阵的第二项非常小，可以
忽略不计,对包含大量资产的投资组合的方差
---协方差矩阵的计算，这种近似非常有用.
(B) 多因素模型 单因素模型只选择一个风险因子，过于简单, 用多因子模型以提高估计的精确性,假定每个 资产的收益率由k个共同的互不相关的风险因
-3.08 -5.27 6.66 8.14 -0.63 3.17 2.76 4.85 4.38 2.65 3.89 -1.82 2.14
某资产月收益率的估计
计算公式
E rA

1 T
T t1
rAt
r 资产A的T个持有期相同的
At t1,2, ,T 历史收益率 (时间跨度要相
同)
E rA
组合的风险
nn
x2
xi xjij
i1 j1
矩阵向量表示
组合的期望收益
Erx xTRR Tx
R

E r1

E

r2




E
r
n


x1
x


x
2



x
n

组合的风险
11 12 1n
x2 xTVx
考察有n个风险资产的组合, 已知
每个资产的期望收益率: Eri,i1,2, ,n
每个资产收益的波动性: i2,i1,2, ,n
每两个资产收益之间的相关程度:
i j,i 1 ,2 ,,n ,j 1 ,2 ,,n ,i j
假设对每个资产的投资比例为
xi,i1,2, ,n
要求
n
xi 1
从月收益率得出年收益率:
几何收益率:
设12个月的几何收益率为 rg1,rg2, ,rg12
则有 p p e e e p e r g 1 r g 2 1 2 0
r g 1 2
r g 1 r g 2 r g 1 2
0
由此得年几何收益率为
r g y l n P 1 2 /P 0 r g 1 r g 2 r g 1 2
这是因为
2 22 22 i i11 i22
22 2 ikk i
2
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i j i 1j 11 i2j22
2 i kj kk
(三) 主成分分析法 通过选择主要成分,略去次要成分来降低方差—
协方差矩阵的维数. 设从K个市场因子中选择s个主成分,则有
设K个市场因子分布间的相关系数矩阵为R, 其 特征值为
12....k0 ,
相应的标准正交的特征向量为
p1,p2,....,pk
可以选择前s个特征向量来构成上述系数矩阵A
AT [P1,P2,....,Ps]
确定主成份的个数s,设α 为事先确定的选择
简化方差—协方差矩阵 降低维数; 降低相关性;
主要方法: 基准映射方法、 因素模型法、 主成分分析法, 主因子分析法
（一）．基准映射方法
选择若干个核心金融工具作为基准，将投资 组合中各种资产的头寸映射成这些核心金融 工具的组合。
核心金融工具的选择 :
(A)外汇头寸: 选择外汇市场上的核心外汇，如 美元作为基准，将其他不同品种的外汇头寸 映射为等价的基准币种的头寸进行组合;
C o v (i,R m ) 0 ,C o v (i,j) 0 ,v a r (i 2 ) 2 i.
i, i 1 ,2 ,....n ,
贝塔系数,他们的估计可参看CAPM模
资产型收益分布的方差
i 2 i 2m 2 2 i,
i 1 ,2 , . . . . ,n .
假定组合中所有资产价值的变化都受一个共 同风险因子—--市场因子的影响,再根据资本 资产定价模型(CAPM),把不同资产的收益表
示为 r i α i i R m i ,i 1 , 2 , . . . . , n ,
R m市场因子的收益,是一个随机变量,
i,i1,2,..n..表示误差, 满足
相关系数的性质
(1) 1AB1
(2) 如果 AB 0 两资产收益率正线性相关
rAt cdrBt,d0
两资产收益率具有相同的变化方向，即资产 A收益率随着资产B收益率的增加而增加，随 着资产B收益率的减小而减小。
(3) 如果 AB 0 两资产收益率负线性相关,
rAt cdrBt,d0
子确定,
r i α i i 1 f 1 i 2 f 2 . . . . i K f k i , i 1 , 2 , . . . . , n
f1, f2,...., fk 相互独立的市场因子
方差---协方差矩阵可以表述为
1 1 T 1 2 22 T2 2 . . . . K K TK 2 D
算术收益率不具有时间可加性，这也是投资 分析时算术收益率不太常用的一个原因
用收益的波动性度量风险
资产的风险是由于资产价格的波动引起的,通 常将资产的风险定义为在未来持有期内资产 价值的不确定性 .
方差或标准差是度量不确定性的一个最常用的 指标.用资产收益率的方差作为资产风险的度 量.
方差的定义: A 2E(rAE(rA)2 )
V 21
22


2n


n1
n2


nn

方差-协方差矩阵
三. 方差---协方差矩阵的计算
基本要求: 避免高维的方差--协方差矩阵; 确保方差--协方差矩阵的半正定性; 有适量的可靠的观测样本数据;
导致非正定的原因: 样本数据太少; 不同资产收益之间的高相关性; (不 要用收益相关程度高的资产进行投资组合,达不到组 合分散投资的效果).
两资产收益率具有相反的变化方向，即资产 A收益率随着资产B收益率的增加而减小， 随着资产B收益率的减小而增加。
(4)如果 AB 0 两资产收益率不相关，
资产A的收益率不受资产B的收益率变化的影 响，它按照自己的规律变化。
方差与协方差的计算
二. 投资组合的收益与风险
投资组合是由多种资产,如证券、债券、股票 等按照一定的比例构成的一个投资搭配. 投资组合的目的在于通过分散投资,降低风险, 确保收益,这是现代投资组合理论的基本点原 理. 怎样确定合适的投资组合,首先要明确投资组 合的收益和风险的计算.
A B c o v r A , r B E [ r A E ( r A ) r B E ( r B ) ]
如果已知两资产在T个相同期限内收益的历史 数据,则它们收益率之间的协方差估计为
A B c o v r A ,r B T 1 1 tT 1r A t E (r A )r B t E (r B )
两资产收益分布间的协方差
i , j ijm 2 , i 1 , 2 , . . . . n , j 1 , 2 , . . . . , n , i j .
方差---协方差矩阵为
Tm 2D
1


2
,

21
D


2 2
n
协方差将应用于资产组合风险的计算. 相关系数
协方差的大小依赖于收益率的单位，为了避 免不同收益率单位带来的影响，通常用与收 益率单位无关的相关系数作为衡量不同资产 收益之间相互影响的程度。
相关系数定义为
ABcoA rA v,BrBA AB B
A
A 2,B
2 B
资产A,B收益的标准差
r A 资产A的收益率，它是一个随机变量.
E ( r A ) 资产A的期望(平均)收益率.
如果已知资产收益的T个(期)历史数据
2 A
1 T Tt1
rAtE(rA) 2
r A t 表示资产A 的第t期收益率
不同资产的价格和收益率之间有相互影响,用 收益率的协方差来度量这种相互影响的程度。 资产A和B的收益率之间的协方差定义为