第3章 动量传递方程的若干解

因
uz = 0 , Z = 0
同理， 方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2方程式(2 同理， z 方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2-45c)
∂uz ∂uz ∂uz ∂uz Duz 1 ∂p ∂ 2uz ∂ 2uz ∂ 2uz = ux + uy + uz + =Z− +ν 2 + 2 + 2 ρ ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂θ ∂y ∂z Dθ ..........2 − 45c
由式(3-10)得到，范宁(Fanning)摩擦因数 的定义式 由式(3-10)得到，范宁(Fanning)摩擦因数 (3 得到 (Fanning) 2τ f = s2 .......... ...... 3 − 11 ρu
b
将式(3-10)代入式(3-9),得 将式(3-10)代入式(3-9),得 (3 代入式(3 ρu b2 L ∆p f = 4 f .......... ... 3 − 12 D 2 )公式。 式(3-12)称为计算管内摩擦压降的达西(Darcy)公式。 (3-12)称为计算管内摩擦压降的达西( 称为计算管内摩擦压降的达西 由式(3 12)可知 (3可知， 由式(3-12)可知，管内流动摩擦压降的求解最终归结于动量传 的求解。 递系数或范宁摩擦因数 f 的求解。
• 当压力在物体表面均匀分布时,只存在摩擦曳力,而无形体曳力, 当压力在物体表面均匀分布时,只存在摩擦曳力,而无形体曳力, 流体在平壁面上的流动、流体平行流过导管壁面。 如，流体在平壁面上的流动、流体平行流过导管壁面。 (2- 相同， 此时式(3 1)与 的一般定义式(2 6)相同 (3此时式(3-1)与CD的一般定义式(2-6)相同，即
2 ∂u x ∂p = µ 2 ...........3 − 16a ∂y ∂x
的函数， 的函数，若式( 16a)成立， a)成立 左侧仅是 x 的函数，右侧仅是 y 的函数，若式(3-16a)成立，必有
2 d u x 1 ∂p = = 常数 .......... ....3 − 18 2 dy µ ∂x 上式也可通过动压力表示的运动方程得到， 上式也可通过动压力表示的运动方程得到，即 2 du x 1 dpd = = 常数 .......... ....3 − 19 2 dy µ dx 18)或式( 19)为二阶线性常微分方程， 式(3-18)或式(3-19)为二阶线性常微分方程，满足的边界条件为
可简化为
∂p = 0.......... .......... 3 − 16b ∂z
因
u y = 0 , uz = 0 , Y = − g
同理， 方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2方程式(2 同理， y 方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2-45b)
Du y
∂2u y ∂2u y ∂2uy 1 ∂p = ux + uy + uz + =Y − +ν + 2 + 2 2 ρ ∂y ∂x Dθ ∂x ∂y ∂z ∂θ ∂y ∂z .......... − 45b 2
所以， 方向不可压缩流体奈维 斯托克斯方程式(2方向不可压缩流体奈维方程式(2 所以，x方向不可压缩流体奈维-斯托克斯方程式(2-45a)
∂ux ∂ux ∂ux Dux ∂ux 1 ∂p ∂2ux ∂2ux ∂2ux = ux + uy + uz + =X− +ν 2 + 2 + 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂θ Dθ ∂x
可简化为
2 ∂u x ∂p = µ 2 ...........3 − 16a ∂y ∂x 该式为一个二阶线性偏微分方程。 该式为一个二阶线性偏微分方程。
.......... − 45a 2
2 ∂u x ∂ux ∂ux = 0, = 0 ,所以式(2-16a)的右侧 µ 2 仅是 y 的函数， 所以式(2 16a)的右侧 (2的函数， 因 ∂x ∂z ∂y 2 2 ∂u x du x 所以有 µ 2 = µ 2 。 ∂y dy
Fd = Fdf + Fds ......................3 − 1a
由式( 由式(3-1) ,得
2 Fd CD = .......... ...... 3 − 2 2 ρu 0 A
总曳力系数( 该式即为总曳力系数 平均曳力系数)的定义式。 该式即为总曳力系数(平均曳力系数)的定义式。
第三章 动量传递方程的若干解
本章重点讨论流体层流状况下连续性方 程与奈维-斯托克斯方程的求解问题。 程与奈维-斯托克斯方程的求解问题。 奈维
第一节 曳力系数与范宁摩擦因数
实际流体按流动方式可分为两类： 实际流体按流动方式可分为两类： • 流体在封闭通道内的流动，如化工管路中的流体流动； 流体在封闭通道内的流动，如化工管路中的流体流动； • 流体围绕浸没物体的流动(绕流)，如流体在平板壁面上的流动， 流体围绕浸没物体的流动(绕流) 如流体在平板壁面上的流动， 流体与固体粒子之间的相对运动，流体在填充床内的流动， 流体与固体粒子之间的相对运动，流体在填充床内的流动，等。 黏性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时， 黏性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，由于流体 的黏性以及壁面对流动的阻滞作用， 的黏性以及壁面对流动的阻滞作用，流体的速度分布与压力分布发 生变化，在流体与壁面之间发生动量传递作用，亦即相界面或壁面 生变化，在流体与壁面之间发生动量传递作用， 对流体流动产生阻力。流体会受到来自壁面的阻力， 对流体流动产生阻力。流体会受到来自壁面的阻力，也称流体对壁 面施加的曳力(drag force)。流体与壁面之间的动量通量为 面施加的曳力 。
A...............3 −1
形体曳力 Fdf (form drag) ： 压力在物体表面上分布不均所引起的形体曳力。 压力在物体表面上分布不均所引起的形体曳力。 摩擦曳力 Fds(skin drag) ： 物体表面上剪应力所引起的摩擦曳力。 物体表面上剪应力所引起的摩擦曳力。 总曳力F 组成， 总曳力 d由形体曳力 Fdf和摩擦曳力 Fds组成，即
τ ⋅ 2 π rL
在稳态下，流体不被加速，推动力与摩擦阻力在数值上相等， 在稳态下，流体不被加速，推动力与摩擦阻力在数值上相等，即 ( p1 − p 2 )π r 2 = τ ⋅ 2π rL 令 ∆ p = p 2 − p1 代入上式得 ∆p τ =− r .......... ..... 3 − 5 在壁面处， 在壁面处，r = ri = d/2,上式为 ,
∂u y
∂u y
∂u y
∂uy
可简化为
∂p = ρY = − ρg ..................3 − 16c ∂y
• 偏微分方程式(3-16a) ～式(3-16c)的求解 偏微分方程式( 16a) 16c)的求解 c) 由式( 16b)可知， 将式( 16c) 由式(3-16b)可知，p = p ( x , y ) ，将式(3-16c) b)可知 ∂p = ρY = − ρg..................3 − 16c ∂y 积分， 对 y 积分，得
第二节 平壁间与平壁面上的稳态层流
一、两平壁间的稳态层流
特点：平壁的宽度远远大于平壁间的距离，认为平壁为无限宽， 特点：平壁的宽度远远大于平壁间的距离，认为平壁为无限宽，流 体在平壁间的流动为一维稳态层流。 体在平壁间的流动为一维稳态层流。 流体为不可压缩，且所考察的部位远离流道进、 设：流体为不可压缩，且所考察的部位远离流道进、出口 。 因 ρ = const , u y = 0 , u z = 0 所以，不可压缩流体连续性方程式(2所以，不可压缩流体连续性方程式(2-20) 连续性方程式(2
ρu 2 Fds 0 = CD .......... ..3 − 3 τs = A 2
• 如式中 τs 随壁面位置变化，则称其为动量通量的局部值，以 τsx 随壁面位置变化，则称其为动量通量的局部值， 表示，相应的曳力系数称为局部曳力系数， 表示， 表示，相应的曳力系数称为局部曳力系数，以 CDx 表示，此时式 (3-3)变为 (3-3)变为
τ sx = Байду номын сангаас Dx
ρu 2
0
2
.......... ..3 − 4
• 绕流流动的曳力的最终归结为动量传递系数或曳力系数 D的求 绕流流动的曳力的最终归结为动量传递系数或曳力系数C 解。
二、封闭管道内的流动
流体在管道内的流动阻力表现为流体沿程的压降。 流体在管道内的流动阻力表现为流体沿程的压降。以黏性流体 在一水平直圆管内做稳态流动为例。 在一水平直圆管内做稳态流动为例。 任取一长为L 半径为r的流体元： 任取一长为L、半径为r的流体元： 推动力 ( p1 − p 2 )π r 2 摩擦阻力
∂u x ∂u y ∂ u z + + = 0......... ..2 − 2 0 ∂x ∂y ∂z
可简化为
∂u x = 0.............3 − 13 ∂x
因
∂ux ∂u ∂u = 0 , u y = 0 , uz = 0 , x = 0 , x = 0 , X = 0 ∂θ ∂x ∂z
CD τ s = CD = u 0 (ρu 0 − ρu s ).......... .....2 − 6 2 2 该式是阻力系数C 的一般定义是。 该式是阻力系数 D的一般定义是。
0
ρu 2
一、绕流流动
以黏性流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动为例进行讨论。 以黏性流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动为例进行讨论。 流体对物体所施加的曳力用牛顿阻力平方定律 牛顿阻力平方定律表示 流体对物体所施加的曳力用牛顿阻力平方定律表示