九年级数学上册25.1比例线段导学案新版冀教版

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01-25.1 比例线段九年级上册数学冀教版

解法一由，得. ,， .解法二，，，，， .
11.若,,均不为0，则 ___．
3
【解析】设，则，，，所以．
知识点4 黄金分割
12.新趋势·数学文化[2023广东中考]我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了( )
A
A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数
（1）如果，，，四个数成比例，即，那么，其变形根据是________________.反过来，如果，，，都不等于0 ，可以得出比例式，那么还可以得出其他哪些不同的比例式（直接写出其中三个正确的比例式即可）？
等式的基本性质
，，
【解析】解题思路：观察两个式子，第二个式子是在原等式的左右两边同乘得到的，这是根据等式的基本性质.反过来，则需同除以，即可得到结果.
D
A. B. C. D.
【解析】由,得，，故A,B正确；设,则，，所以，故C正确.
9.如果，且是，的比例中项，那么等于( )
D
A. B. C. D.
【解析】是，的比例中项，，．
10.一题多解教材P60练习T3变式已知，若，则 ( )
B
A.12 B.9 C.6 D.4
13.[2024石家庄四十中期中]已知点是线段的黄金分割点，若，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为点C是线段的黄金分割点，且，所以 .又因为，所以 .
14.新情境[2024济南历下区期中]2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图，若点可看作是
D
A. B. C. D.

冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计

冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.1节《比例线段》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进一步探究线段之间的比例关系。

通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决一些实际问题。

教材通过丰富的实例和活动，引导学生探究比例线段的特点，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对平面几何的概念和性质有一定的了解。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和活动来理解和掌握。

学生的观察能力和逻辑思维能力有待进一步提高，因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生观察、思考和推理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能够运用比例线段解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。

2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提问、引导，激发学生的思考，使学生主动探索比例线段的性质。

2.合作学习：教师学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队合作意识。

3.直观教学：教师利用多媒体课件、实物模型等直观教具，帮助学生形象地理解比例线段的概念。

六. 教学准备1.多媒体课件：教师制作多媒体课件，包括比例线段的定义、性质和实际应用等内容的展示。

2.实物模型：教师准备一些线段模型，用于直观展示比例线段的特点。

3.练习题：教师准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示比例线段的定义和性质，通过实物模型和动画演示，帮助学生形象地理解比例线段的概念。

冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计

冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.1节《比例线段》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进行的一节内容。

本节通过介绍比例线段的定义、性质和应用，使学生掌握比例线段的知识，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。

教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探究比例线段的规律，从而提高学生的数学思维能力和创新能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平面几何的概念和性质有一定的了解。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和练习来理解和掌握。

此外，学生可能对比例线段的性质和应用有一定的困难，需要教师的引导和启发。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法：通过探究比例线段的规律，培养学生的数学思维能力和创新能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。

2.难点：比例线段的性质和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例和练习，引导学生理解和掌握比例线段的概念和性质。

2.问题驱动法：通过提出问题和引导学生思考，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，包括比例线段的定义、性质和应用的实例和练习。

2.练习题：准备一些关于比例线段的练习题，包括不同难度的题目，以满足不同学生的需求。

3.教学道具：准备一些实际的线段模型，以帮助学生更好地理解比例线段的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入比例线段的概念，如两个相似图形之间的对应线段成比例。

引导学生思考：比例线段有什么特点和性质？2.呈现（15分钟）通过PPT展示比例线段的定义、性质和应用的实例。

冀教版25.1比例线段导学案

25.1比例线段导学案学习目标：理解线段的比、成比例线段、比例基本性质、等比性质一、知识回顾1.已知a=2，b=3，则a ：b=2.线段m=4cm,n=6cm,则线段m 与n 的比是_________3.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 3.已知2：3＝4：x ，则x=二、自主学习（一）阅读课本58页，思考并回答下列问题：1、线段的比：一般地，如果选用量得两条线段a 和b 的长度分别为m,n ，那么这两条线段的比就是他们长度的比，记作：或。

注：（1）两条线段的要统一。

（2）在同一单位下线段长度的比与选用的无关。

（3）线段的比是一个没有的数。

跟踪训练：1.已知，线段a=40cm ，线段b=30cm ，则a:b= 。

2.已知，线段AB=50cm ，线段CD=2m ，则AB ：CD= 。

2、比例线段：在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比 c 与d 的比，即，那么这四条线段叫做，简称比例线段。

. 注：（1）组成比例的项是a ，b ，c ，d ，其中比例外项为比例内项为_______。

（2）四条线段a,b,c,d 成比例，有顺序关系。

即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：跟踪训练：1.若线段a=4cm,b=6cm,c=8cm,d=12cm, a ，b ，c ，d ，是比例线段吗？为什么？2.下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a=3，b=6，c=2,d=4B.a=3，b=6，c=2,d=4C.a=3，b=6，c=2,d=4D.a=3，b=6，c=2,d=4a cb d=3.已知，线段a=1cm ，b=2cm ，c=3cm ，且d c b a =，则线段d 等于 3.比例的基本性质思考：（1）如果a ，b ，c ，d 成比例，即dc b a =，那么ad 和bc 相等吗？为什么？（2）如果线段a,b,c,d 满足ad=bc ，那么这四条线段成比例吗？比例基本性质：如果，那么。

九年级数学上册 25.1 比例线段如何判断四条线段成比例素材 (新版)冀教版

如何判断四条线段成比例我们知道，如果线段a 和b 的比等于线段a 和d 的比，那么，线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段．那么，该如何判断四条线段成比例呢？下面，就给大家简单说明一下．四条线段m 、n 、x 、y 不管各线段排在什么位置，只要满足它们构成的比例式，例如，m ∶n=x ∶y ，那么这四条线段叫做成比例线段．比例式还可以写成另外七种形式：m n =xy ；x m = y n ；n y =m x ；y x = n m ；xy = m n ；y n =x m ；m x =n y ，所以，四条线段只要写成这八个比例式之一，就可以判定它们成比例．由上面八个比例式都可以得到等积式my=nx ，所以四条线段假设能写成像前面这样的等积式，也可以判定它们成比例．另外，还要注意四条线段之间假设写出了一个不成比例的关系，例如，n m ≠xy ，我们不能匆忙判定这四条线段不成比例．因为成比例的四条线段有八种排列顺序，而不成比例的排列顺序却有16种，要判定四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列好，分别计算前两线段和后两线段的比，假设比值相等，就可以判定这四条线段成比例，否那么就不成比例；或者分别计算第一、四和第二、三线段的积，等积，那么这四条线段成比例，否那么就不成比例．例如，线段a 、b 、c 、d 的长度分别为：〔1〕2cm ，121cm ，541cm ，7cm; (2) 5cm ，32cm ，23cm ，51cm 验证它们可以组成比例线段，并写出它们组成的一个比例．解：〔1〕先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： b=121cm ，a=2cm ，c=541cm ，d=7cm ，再求第一、二和第三、四两条线段的比： a b =2211=43；d c =7415=43，所以，a b =d c ，b 、a 、c 、d 是成比例的线段，121∶2=541∶7是所组成的一个比例．〔2〕先先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来： d=51cm ，d =32cm ，c=23cm ，a=5 cm ，再求第一、四和第二、三两条对线段的积： d ·a=51×5=1；b ·c=32×23=1所以，d ·a= b ·c ，可以写成：b d =ac ，因此，d 、d 、c 、a 为成比例线段，51∶32=23∶5，四所组成的一个比例．。

冀教版-数学-九年级上册-25.1比例线段教案

（方法与技巧：判断点C为AB的黄金分割点的方法（1）比较线段AC和BC的长短（2）假设BC ,验证是否成立，进而得出结论。）
19.变式训练
已知线段AB及AB上一点P,当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点（）
（1）（2） AP= （3）PB= （4）（5）
设计意图:
通过复习以前学过知识，为本节课学习做好铺垫。
设计意图：
本环节教师可让学生对疑难问题进行研究、讨论和交流，注重多种思维方法的培养、训练以及能力的发展提高，以激活思维，编织知识网络。
三、总结反思
通过本节课的学习，你在知识上学到了什么？在数学思想方法上学到了什么？（不同层次的学生可以畅所欲言）
师生共同归纳总结所学知识、方法，形成知识网络。
当堂测评, 体验成功喜悦．
自主学习, 享受学习乐趣
一、知识回顾
1.线段有______个端点，线段的长度______度量。
2.比较线段的长短的方法有两个，即____和____。
二、自主学习
知识点1：两条线段的比和成比例线段
预习课本58页观察与思考，完成以下各题。
3.如果选用同一度量单位，量得线段和的长度分别是和，我们就把和的比叫做______，记作或。
25.1比例线段
教学目标：（1）理解线段的比和成比例线段的概念，知道两条线段的比与所采用的单位无关；
（2）理解并掌握比例的基本性质，了解比例中项的概念；
（3）理解黄金分割的概念，能利用比例的基本性质解决一些简单的问题。
教学重点：理解并掌握比例的基本性质，了解比例中项的概念。
教学难点：理解黄金分割的概念，能利用比例的基本性质解决一些简单的问题。
（1） =16cm， =8cm， =5cm ， =10cm

九年级数学上册 25.1 比例线段导学案 (新版)冀教版

25.1 比例线段学习目标：1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用.2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值.3.了解黄金分割的意义.学习重点：比例线段的概念及性质.学习难点：黄金分割的运用.一、知识链接1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______.2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？二、新知预习3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得123123;;.===a a ab b b在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例.可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段.三、自学自测1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________自主学习合作探究一、要点探究探究点1：成比例线段例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（）A.3cm，4cm，5cm，6cmB.4cm，8cm，3cm，5c mC.5cm，15cm，2cm，6cmD.8cm，4cm，1cm，3cm【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【针对训练】1.已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.2.在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是m.思路分析：根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解.探究点2：比例的性质（一）比例的基本性质问题1：如果a,b,c,d四个数满足,那么ad和bc相等吗？并说明理由答：________. 理由如下：∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.∴在等式两边同时乘以bd，得____________.即若，则ad=bc.问题2：试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？逆命题是：如果ad=bc,那么_______.请仿照问题1证明：【归纳】比例的基本性质：如果ad=bc,那么________(b,d ≠0). 例2：已知a ＋3b 2b ＝72，求ab的值. 解：解法1：由比例的基本性质，得____________.∴a ＝____b ，∴a b＝____. 解法2：(倒数法)由a ＋3b 2b ＝72，得________＝7， ∴____________，∴a b＝_______.【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. （二）等比的性质（1）我们知道，由.21642321,634221=++++==可以得到（2）试猜想：并证明你的猜想.【针对训练】1.已知a ：b ：c ＝3：4：5，求2a －3b ＋c a ＋b 的值.2.已知a b ＝c d ＝e f ＝2，且b ＋d ＋f ≠0，求a －2c ＋3eb －2d ＋3f的值.3.若a ，b ，c 都是不等于零的数，且a ＋bc ＝b ＋c a ＝c ＋ab＝k ，求k 的值.探究点3：黄金分割问题：1.如图，在五角星图案中，用刻度尺分别测量线段AC 、BC 的程度，然后计算，它们的值相等吗？2.已知线段AB 的长度为1个单位，在线段AB 上找一点C ，使较短的线段BC 与较长的线段AC 的比等于AC 与原线段的比，即使成立，求此时线段AC 的长.3.你能在线段上画出点C 的大概位置吗？这样的点有几个？【归纳】在线段AB 上有一点C ，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC 满足，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 称为线段AB 的黄金分割点，AC/AB 称为黄金分割点. 例3：已知M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5－1，求原线段AB 的长.【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.【针对训练】1.已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：（1）AC－BC；（2）AC·BC.2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？比例线段内容运用策略线段的比在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=我们就把这个四条线段叫做成比例线段，判断四条线段是否成比例，首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.比例的性质①如果a cb d=，那么________;②如果ad=bc，那么________;③等比的性质：____________.把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.黄金分割①一条线段的的黄金分割点有___个；②黄金分割比为__________. 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=______AB，BC=_______AB.1.下列各组数中一定成比例的是( )当堂检测A.2，3，4，5.B.-1，2，-2，4.C.-2, 1, 2，0.D.a ，2b ，c ，2d.2.已知一个比例式的比例外项为m ，n ，比例内项为p ，q ，则下面所给的比例式正确的是( )A. m ：n=p ：qB.m ：p=n ：q.C.m ：q=n ：pD.m ：p=q ：n.3.若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB ＝2，则AC ＝( )A ．5－1B ．3－ 5C ．5－12D ．5－1或3－ 54.已知线段x ＝12cm ，y ＝4cm.线段x 和y 的比例中项为a ，则a ＝________cm.5.已知三条线段的长度分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．6.已知a 3＝b 4＝c 5≠0. (1)若a ＋b ＋c ＝24，求a ，b ，c 的值；(2)求2a －3b ＋c a的值．7..如图，已知线段AB.(1)经过点B 作BD⊥AB，使BD ＝12AB.(2)连结AD ，在DA 上截取DE ＝DB. (3)在AB 上截取AC ＝AE.请你根据以上作法，证明点C 是线段AB 的黄金分割点．当堂检测参考答案： 1.B 2.D 3.D 4.4 3 5.所给的线段长为x cm ，则有①x 1＝22，x ＝22；②1x ＝22，x ＝2；③12＝2x，x ＝2 2. 故再给出的一条线段长应为22cm 或2cm 或22cm. 6.(1)设a 3＝b 4＝c5＝k (k ≠0)，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，所以a ＋b ＋c ＝3k ＋4k ＋5k ＝12k ＝24，解得k ＝2.所以a ＝3k ＝6，b ＝4k ＝8，c ＝5k ＝10. (2)由(1)得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，所以2a －3b ＋c a ＝－k 3k ＝－13.7.设AB ＝2x ，则BD ＝DE ＝x ，根据勾股定理，得AD ＝AB 2＋BD 2＝（2x ）2＋x 2＝5x ，则AC ＝AE ＝5x －x ＝(5－1)x . ∵AC AB ＝5－12， ∴点C 是线段AB 的黄金分割点．。

冀教版九年级数学上册第二十五章25.1 《比例线段》教案

第二十五章图形的相似25.1 比例线段┃教学整体设计┃【教学目标】1.了解比例线段的概念；掌握比例的基本性质，了解黄金分割的意义.2.巩固比例的基本性质，并能熟练运用求比值.【重点难点】重点：比例线段及其性质.难点：应用比例的基本性质进行比例变形.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课1.学生举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形.2.你能看懂比例尺为1∶1000的地图吗？一个长方形的长为6厘米，宽为4厘米，这个长方形的长与宽的比是多少？3.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗？通过这些学生所熟知的例子说明数学在生活中的应用，激发学生的学习兴趣.二、师生互动，探究新知1.两条线段的比的概念.观察下列三幅图，你认为哪两幅的大小不同但形状相同？(1)测量：AB＝______，BC＝______，A1B1＝______，B1C1＝______.计算：ABBC＝______，A1B1B1C1＝______.(2)测量AB＝______，BC＝______，A2B2＝______，B2C2＝______.计算：ABBC＝______，A2B2B2C2＝______.┃教学小结┃【板书设计】比例线段1.两条线段的比例题讲解2.成比例线段例：3.比例的基本性质4.等比性质5.黄金分割【教学反思】整个教学过程力求体现学生自主探索、独立思考、合作交流的学习过程，从中提高学生的数学学习的能力.如要求学生用自己的语言归纳比例的基本性质，重视在练习中发挥教师的指导作用，使练习的针对性更强.巩固练习在层次上由易到难，在形式上由封闭走向开放，让学生的聪明才智、才能得到充分的发挥，真正主动学习，成为学习的主人.。

冀教版-数学-九年级上册- 比例线段导学案

课题：25.1比例线段出示概念，得到新知：阅读课本P60大家谈谈之前，完成下列填空：1、线段的比：可以看出，在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比．一般地：若a、b的长度分别是m、n（单位相同），那么就说这两条线段的比是，或写成，和数的比一样，a叫比的前项，b叫比的后项．从刚才的操作中，回答下列问题：（1）两条线段的比就是它们什么的比？（2）两条线段的比与它们的长度有关吗？对长度单位有何要求?（3）两条线段的比值总是什么数？2、比例线段：在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比 c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段叫做，简称比例线段。

.组成比例的项是a，b，c，d，其中比例外项为a，b，比例内项为b，c，d称为a，b，c的第四比例项。

合作交流：如果a，b，c，d成比例，即a cb d=那么ad和bc相等吗？说说你的理由。

3、比例的基本性质：如果，那么。

特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a:b=b:c.则线段b叫a，c的比例中项.4、黄金分割：如图，已知AB＝m，点C在线段AB上，并且AC BCAB AC=，求线段AC的长。

如点把C线段分成两条线段，使AC BCAB AC=，那么点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么ABABAC618.0215≈-=.5、学以致用：已知(0)a ck b db d==+≠，试说明a ckb d+=+。

课上练习：1.已知点c在线段AB上，且AC:CB=2:3,则AB:AC的比值为。

2.已知线段a=4cm,b=9cm,c是a,b的比例中项，则c= 。

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB=1,则,,AB AB BCAC BC AC的值分别为。

4．如果点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC∶AB= ；有一种矩形，当宽与长的比等于黄金比时，这个矩形叫做黄金矩形，请你设计一个黄金矩形，使这个黄金矩形的长等于10cm，那A B A B么它的宽等于．5、若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝，又x 是6和y 的比例中项，则y ＝6、如果x y ＝73 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋yx ＋y＝7、若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 满足a b ＝cd ，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是（）（A ） a ＋m b ＋m ＝c ＋m d ＋m （B ）a ＋b b ＝c ＋d c（B ）（C ） a c ＝d b （D ）a －b a ＋b ＝c －d c ＋d8、已知5x-8y=0，则x+yx =9、已知x 5 =y 3 =z 4 ，则2x+y-zx+3y+z =作业布置：1、若3x =x4，则x 等于（）(A)12 (B)2 3 (C)- 2 3 (D)±2 32、已知y 是3，6，8的第四比例项，则y 等于（） (A)4 3 (B)16 (C)12 (D)43、若(m+n):n=5:2，则m:n 的值是（） (A)5:2 (B)2:3 (C)3:2 (D)2:54、把m=abc 写成比例式，且使m 为第四比例项 ;5、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是否成比例线段 ;6、已知x y =53 ，则(x+y):(x-y)= ;7、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA= ; PB= ;8、已知线段AB=a ，延长AB 到点C ，使BC=AB 的图形，求,,AB AB BCAC BC AC 的值。

九年级数学上册 25.1 比例线段课堂导学案 (新版)冀教版

25.1 比例线段能力点利用比例性质求值题型导引与比例有关的求值问题是常见的题型，一般有以下两种解题方法： (1)利用比例的基本性质可将比例式转化为等积式，进而解方程求出字母的值； (2)在与比例式有关的求值问题中，用设k 法求解往往比较简单，即设所给比例式的值是一个常数k ，得出所有未知量与这个常数的关系式，再将它们代入求值．【例题】已知x ∶2＝y ∶3＝z ∶4，求3x 2x ＋3y －5z 的值．分析：已知条件给出的是一个连比，而比是一个商，是一个数值．如果我们设两个量a ，b 的比值为k ，由a b＝k 可以得等式a ＝bk ，所以比反映的又是两个量之间的一种关系．解法一：设x 2＝y 3＝z4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，故3x 2x ＋3y －5z ＝6k 4k ＋9k －20k ＝－67. 解法二：∵x 2＝y 3＝z 4，∴x ＝23y ，z ＝43y . ∴3x 2x ＋3y －5z ＝3×23y 2×23y ＋3y －5×43y ＝2y －73y ＝－67. 规律总结两种解法均建立在对“比”的意义的理解上，在解法一中，设辅助元即已知比的比值为k ，分别得x ，y ，z 与k 的关系，代入所求代数式中得到结果，这就是数学中的参数思想的运用；解法二，将已知式子中的两个量分别用第三个量表示，再代入求值，体现了消元思想．变式训练1．已知a ，b ，c 三个数满足ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ca c ＋a ＝15，那么abc ab ＋bc ＋ca 的值为( ) A ．16 B ．112C ．215D ．120 2．已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y ＋3z ＝38，求3x ＋y －2z 的值．分析解答1．解析：注意到a ≠0，b ≠0，c ≠0，那么根据分式基本性质，得abc ca ＋bc ＝13，abc ab ＋ca＝14，abc bc ＋ab ＝15.∴3abc ca ＋bc ＝4abc ab ＋ca ＝5abc bc ＋ab＝1. 根据等比性质，得∴3abc ＋4abc ＋5abc （ca ＋bc ）＋（ab ＋ca ）＋（bc ＋ab ）＝1. 即有12abc 2（ab ＋bc ＋ca ）＝1. 所以abc ab ＋bc ＋ca ＝16. 答案：A2．分析：设辅助元k ，用含k 的代数式表示x ，y ，z ，建立方程求解．解：因为x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，所以可设x 3＝y 5＝z 6＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y ＋3z ＝38，所以6k －5k ＋18k ＝38，即k ＝2.所以3x ＋y －2z ＝9k ＋5k －12k ＝2k ＝4.。

2024年冀教版九年级上册教学设计第25章 25.1 比例线段

课时目标1.经历观察、探究、归纳和概括等数学活动,了解线段的比和比例线段的概念.会求两线段的比,增强学生数学抽象思维的核心素养.2.通过小组活动探究比例式的变形,理解并掌握比例的基本性质,培养学生的计算能力和推理能力.3.通过建筑、艺术中的实例,了解黄金分割,让学生感受黄金分割在现实生活中的作用和价值,培养学生的数学应用意识.学习重点比例线段及性质.学习难点应用比例的基本性质进行比例变形.课时活动设计回顾引入回顾全等三角形都研究了哪些内容?当两个三角形只有形状相同时,这两个三角形的对应边、对应角之间有什么关系呢?设计意图:引导学生回顾全等三角形的研究内容,类比全等研究相似,为学生提供研究方向,帮助学生将头脑中的知识结构化.通过全等引出相似,让学生体会数学知识的研究由特殊到一般的过程.通过提问形状相同的三角形对应边的关系引出对应边的比相等,从而引入比例的学习的必要性,同时也帮助学生搭建本章的知识框架.探究线段的比相关概念观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?图1图2图3设计意图:引导学生两两观察图形,思考形状是否相同?从学生角度,学生能看出图3更“胖”一些,引导学生从数学角度说明图形的“胖”与“瘦”用长与宽的比来描述更确切.通过上述思考引入线段的比的概念,注意:求线段的比要统一单位;比值没有单位.探究成比例线段及基本性质定义:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab =cd,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.思考:(1)如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?(2)如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?(3)由ad=bc你可以变形得出几种不同的比例式?怎样做到不重不漏,说说你的变形方法?(4)对于比例式ab =cd,有特殊情况吗?学生思考并回答以上问题,教师总结出比例的基本性质:如果ab =cd,那么ad=bc.如果ad=bc,那么ab =cd(b,d≠0).特别地,如果ab =bc,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.设计意图:通过对比例式的灵活变形引入比例的基本性质,在等积式化比例式时引导学生由一个等积式可化成多个比例式,在相似三角形的许多问题中都需要用到比例式的灵活变形,所以这个环节要给予足够的重视,要给学生充分的时间.通过比例式的特殊情况引入比例中项的概念,让学生体会数学研究由一般到特殊的研究思路.探究比例的相关性质思考:(1)我们知道,由12=24=36,可以得到1+2+32+4+6=12,你能得到一般性的结论吗?证明这一结论的正确性.引导学生思考并回答以下例题,教师给出证明并总结: 如果a b =cd =…=mn (b +d +…+n ≠0),那么a+c+⋯+m b+d+⋯+n =ab . (2)对于上述结论还能进行推广吗?说明理由.设计意图:引导学生由特例联想一般性的结论,并进行证明,让学生体会数学由特殊到一般的数学思想方法,通过证明培养学生的代数推理能力.引导学生对结论进行变形推广,加深学生对比例性质的深刻理解,发展学生的数学思考能力.探究黄金分割思考:如图,已知线段AB =a ,点C 在线段AB 上.当AC AB =BCAC 时,线段AC 的长是多少? 小组合作,然后小组展评.解:由AC AB =BCAC ,得AC 2=AB ·BC. 设AC =x ,则BC =a -x. ∴x 2=a (a -x ),即x 2+ax -a 2=0. 解得x 1=-1+√52a ,x 2=-1-√52a (不舍题意,舍去).所以AC =-1+√52a ≈0.618a.定义:在线段AB 上有一点C ,如果点C 把线段AB 分成的两条线段AC 和BC 满足AC AB =BCAC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 称为线段AB 的黄金分割点,ACAB 称为黄金比.每条线段上的黄金分割点都有两个,黄金比AC AB =√5-12≈0.618.引入生活中的实例,让学生体会黄金分割在生活中的重要作用.在人的面部,五官的分布越符合黄金分割,看起来就越美.京剧演员经常选择舞台长度的一个黄金分割点作为出场亮相的位置.摄影构图通常运用的三分法就是黄金分割的演变,把长方形画面的长、宽各分成三等分,整个画面呈井字形分割,井字形分割的交叉点便是画面主体(视觉中心)的最佳位置,是最容易诱导人们视觉兴趣的视觉美点.设计意图:通过引导学生对线段进行分割形成比例线段引入黄金分割,通过小组合作计算黄金比,加深学生对黄金比的理解与记忆,通过艺术、建筑等生活中黄金分割的实例,让学生体会黄金分割蕴藏的美学价值,发展学生的数学应用意识.典例精讲如图,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m~118 m,250 m~295 m,335 m~349 m之间,使塔身显得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.的运用.分析:本题考查对黄金比的理解及对√5−12≈0.618,解:∴黄金分割比为√5−12∴468×0.618=289.224(m).∴中球体高度为250m~295m,∴塔身的黄金分割点位于中球体.设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对黄金分割的理解与应用.课堂小结本节课我们研究了比例的相关概念和性质,请同学们带着以下问题进行总结:(1)本节课探究了关于比例的哪些问题?(2)在探寻比例的相关概念及性质时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对比例相关概念及性质的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.反思是数学活动的核心和动力,只有以反思为核心的数学教育,才能使学生真正深入数学学习过程中,才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.课堂8分钟.1.教材第60页A组第1,2题,B组第1题.2.七彩作业.教学反思。

冀教九年级数学上册导学案：25.1 比例线段

25.1 比例线段线段的比，成比例的线段学习目的：1、知道线段的比的概念。

理解成比例线段的概念2、会计算两条线段的比。

3、掌握成比例线段的判定方法。

重点：线段的比与成比例线段的概念。

教学过程：一、练习反馈：⑴什么是相似的图形？形状，大小的两个图形叫做相似形。

二、自主预习（一）阅读课本第58页，思考并回答下列问题：1、一般地，如果选用量得两条线段PQ ，P ＇Q ＇的长度分别为m,n ，那么把长度的比mn 叫做这两条线段PQ 与P ＇Q ＇的比。

记作Q P m n PQ Q P ''=''或,：PQ=n:m 其中，P ＇Q ＇，PQ 分别叫做比的前项、后项，如果mn 的比值为k,那么也可写成PQ k Q P k PQQ P •=''=''或,。

（1）、在比ba 或a ∶b ，a 是，b 是。

⑵、两条线段的要统一。

⑶ 、在同一单位下线段长度的比与选用的无关。

⑷、线段的比是一个没有的数。

（二）比例尺1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。

2、比例尺为1：50000，意思为：。

（三）成比例线段的概念1、一般地，在四条线段中，如果等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

（举例说明）如：2、四条线段成比例，记作：其中a,d 叫比例外项，b,c 叫比例内项。

3、四条线段a,b,c,d 成比例，有顺序关系。

即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：a:b=c:d ；a,b, d,c成比例线段，则比例式为：a:b=d:c4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析：例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。

例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。

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25.2平行线分线段成比例（第一课时）主备人：刘荣格九年级数学2014年10月5日一、教学目标1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.3．已知线的成已知比的作图问题.4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.二、教学设计观察、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具．六、教学步骤【复习提问】找学生叙述平行线等分线段定理．【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理．首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于精品【初中语文试题】精品【初中语文试题】问题：如果，那么是否还与相等呢？教师可带领学生阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简单的形象化的语言 “”.另外，根据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同一直线上，也就是“”，这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个，参见下图.，∴.其中后两种情况，为下一节学习推论作了准备. 例1 已知：如图所示， .求：BC .解：让学生来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证：.有了5.1节例4的教学，学生作此例题不会有困难，建议让学生来完成.精品【初中语文试题】【小结】1．平行线分线段成比例定理正确性的的说明.2．熟练掌握由定理得出的六个比例式.（对照图形，并注意变化）七、布置作业教材P221中3（训练学生克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：…… 4个变式图形（投影仪）板书：形象语言…… 例1．…… 例2．……。

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25.1比例线段教案主备人：刘荣格九年级数学时间：2014年10月5日教学目标：（一）知识目标：1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.回运用比例线段解决简单的实际问题。

（二）能力目标：巩固比和比例线段的概念，并能熟练运用求值。

（三）情感目标：1、激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学习动力。

2、落实新课程“合作学习，主动探究”思想。

教学重点、难点教学重点：比例线段的概念。

教学难点：例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点。

知识要点：1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比。

2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法。

2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离。

教学过程一、复习引入1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项。

2.说出比例的基本性质。

由ad ＝bc 可推出哪些比例式？3.练习：(1)若3x ＝4y ，求x y 、x x －y 、x －2y x ＋y 的值。

(2)若a ＋b a ＝53 ，求a －2b b的值。

(3)x:y:z ＝2:3:4，求x －y ＋z 2x ＋3y －z的值。

(4)已知a:b:c ＝3:4:5，且2a ＋3b －4c ＝－1，求2a －3b ＋4c 的值。

(5)已知线段AB ＝15cm ，CD ＝20cm 。

求AB:CD 的值。

(6)完成P98网格问题。

(问题建立在相似变换基础上，可复习相似变换)二、设置问题，探究新课如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。

记为a ：b 或a b注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。

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29.2比例线段教学目标（一）教学知识点1、知道比例线段的概念。

2、熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用。

（二）能力训练要求3、通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力。

4、通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力。

（三）情感与价值观要求认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习教学的兴趣。

教学重点成比例线段的定义比例的基本性质及运用教学难点自学法教具准备投影片两张教学过程一、设问题情景，引入新课小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？上节学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段。

二、新课讲解a)成比例线段的定义（幻灯）你还记得“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0）的点OA，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的。

(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？(3)在图（2）中，你还能找到比相等其他线段吗？根据上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线段？四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a =dc ,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。

b)比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比。

如果a ，b ，c ，d 四个数满足b a =dc ,那么ad=bc 吗？反过来，如果ad=bc ，那么b a =dc 吗？与同伴交流。

a)线段的比和比例线段的区别和联系线段的比是指两条线段之间的比例关系，比例线段是指四条线段的关系。

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过程与方法：通过观察、测量、画图、推理等方法探索结论，经历发现结论的过程，发展逻辑思维方法。

情感态度价值观：通过了解黄金分割的应用，扩大视野，体会其中的文化价值。

二、比例线段的概念先从这两张相似的地图上研究。

请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A 、B 、C 分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB=＿＿cm ，上海到福州的直线距离，即线段BC=＿＿cm ，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′=＿＿cm ，B′C′=＿＿cm 。

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