大学数学公式

1\克莱姆法则: 对线性方程组的系数行列式D ≠0，则该方程组有惟一解，且

式中Dj 是D 中第j 列以右端b=[b1,b2,···,bn]T 代换后的行列式。 2\定理：n 元齐次线形方程组有非零解的充要条件是其系数行列式D=0

3\有 A A-1 = A-1 A=E

4\若方阵A 的行列式|A|=0，称A 为奇异矩阵；若|A|≠0，称A 是非奇异矩阵。 5\n 阶方阵A 可逆充要条件是A 非奇异，或|A| ≠ 0。此时

6\对于方阵A ，|A|≠0 可逆矩阵 非奇异矩阵 满秩矩阵

7\设α1,α2, ···,αm ，是m 个n 维向量，若存在m 个不全为0 的数k1, k2, ···, km ，使得k 1α1 +k 2α2 +··· +k m αm = θ’，则称α1,α2, ···,αm 线性相关，否则称线性无关。 1）利用定义：由k 1α1 +k 2α2 +··· +k m αm = θ，解得 k 1=k 2= ···k m = 0 为惟一一组解。 2）充要条件：设α1,α2, ···,αm 是一组n 维向量，若相关则其中至少有一个向量可用其余向量线性表示。

3）一个向量线性相关只有α=θ，含有θ的向量组线性相关。

4）设α1,α2, ···,αm 是一组线性相关的n 维向量，则任一包含α1,α2, ···,αm n 维向量组也一定线性相关。

5）若设α1,α2, ···,αm 是一组线性无关向量，则从中取出任意若干个向量均线性无关。 6）n 维向量α1=(a 11,a 12, ···,a 1n ), α2=(a 21,a 22, ···,a 2n ), ···, αm = (a m 1,a m 2, ··· a mn ) 线性无关的充要条件是r (A )=m ，其中♠当m >n 时，必相关；

♠当m =n 时，|A |≠0是α1,α2, ···,αm 线性无关充要条件。 8\※一般，极大无关组不惟一，但含有向量个数相同。 ※极大无关组含有向量个数称为向量族（组）的秩

9\（1） ，方程有且只有惟一一组解； （2） ，方程有无穷多组解； （3）

，方程组无解。

10\齐次线性方程组AX = θ

11\若α1,α2, ···,αl 是齐次线性方程组AX =θ的解，则其线性组合c 1α1+c 2α2+···+c l αl 也是该齐次

线性方程组的解。其中，c 1,c 2, ···,c l 为任意l 个常数。 12\设η1,η2, ···, ηs 是齐次线性方程组AX =θ的一组解向量，且满足 1）η1,η2, ···, ηs 线性无关；

2）AX =θ的任意一个解向量都可以表示成η1,η2, ···, ηs 的线性组合，则η1,η2, ···, ηs 被称为AX =θ的基础解系。η1,η2, ···, ηs 就是AX =θ解向量族的极大线性无关组。※若r (A )=r ，则基础解系含有n-r 个解向量

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n n nn 2n21

n12n 2n 2221211n 1n 212111 b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a )

,,2,1(,j j n j D

D x ⋅⋅⋅==

-1

11

21n11222n2

1n

2n

nn 1* * *=A A A A

A A A A A A A A A A =

⋅⋅⋅⎡⎤

⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅

⎢⎥⎣⎦

，

称为A 的伴随矩阵

()()()()()()r A r A n r A r A n r A

r A ===<≠

13\设AX =b 的系数矩阵A 及其增广矩阵的秩都为r ，其导出组AX =θ的基础解系为η1,η2, ···, ηn-r ，而γ是AX =b 的某个特解，则非齐次线性方程组的所有解都可以表示为 c 1 η1+c 2 η 2+ ···+c n-r η n-r + γ其中，c 1, c 2 ,···,c n-r 为任意常数。 14\非齐次线性方程组求解思路： 1）求对应齐次线性方程组基础解系

2）求一个特解

3）利用基础解系的线性组合及特解表示非齐次的一般解

15\设A 是一个n 阶方阵，若存在一个数λ以及一个非零的n 维向量X ，使得AX =λX ，则称λ是A 的一个特征值，向量X 称为矩阵A 相应于λ的特征向量，简称为A 的特征向量。 16\由于AX =λX ⇒ (λE n －A )X =θ，依齐次方程解原理，当该齐次方程存在非零解时，应有| λE n －A |=0，这是关于λ的一元n 次方程，称为A 的特征方程，故特征值λ又称为特征根。 17\步骤：

1）构造特征方程| λE n －A |=0 ； 2）求特征根；

3）将特征根代入(λE n －A )X =θ，求基础解系；

4）作基础解系的非0线性组合，求得全部特征向量；

18若一个随机试验①样本空间Ω含n 个（有限个）基本事件②每一基本事件发生的可能性相等，若事件A 包含其中m 个基本事件，则p (A ) = ，称为事件A 的概率（古典概率）。 1．加法原理

若完成一件事有n 类办法，第i 类办法中有m i 种不同方法，那么完成这件事就有m 1+m 2+···+m n 种不同方法。 2．乘法原理

做一件事有n 个步骤，第i 个步骤有m i 种不同方法，那么完成这件事共有m 1·m 2· ··· ·m n 种不同方法。

3\排列数：从n 个不同元素中任取出m (m ≤n )个不同元素按一定顺序排成一列，能得到的所有排列的个数，称排列数，记为。

4\组合数：从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个不同元素组成一组，可形成的组合个数称为组

合数，记

19\条件概率:在“事件B 已发生条件下(P (B )>0) 事件A 发生”的概率，称为A 对B 的条件概

率。记为P (A |B )

20\全概率公式与贝叶斯公式（逆概率）:设n 个两两互斥事件A 1,A 2,·····,A n ，P (A i >0)，且满

足 则对任一事件B ，有 ——全概率公式 对任一事件B （P (B ) >0），逆概率公式 !(1)(1)()!

!(1)321m

n n n n p n n n m n m p n n n =--+=-==-⋅⋅ (1)(1)!!!()!m

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n n m m P n n n m n C P m m n m --+===

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