《理论力学》第一章力的分解与力的投影
高中物理必修一-力的分解
力的分解知识集结知识元力的分解知识讲解力的分解一、力的分解1．力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解.2．分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平形四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力.3．力的分解方法：根据力F产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力F1和F2的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小二、力的分解的解的问题1．已知两分力方向（1）两分力方向在一条直线上时当两力与合力同向时，无论是同向还是反向，均有无数组解．（2）两分力不在一条直线上时要使问题有解，合力必夹在两分力之间，仅有一组解．2．已知一个分力的大小和方向合力与一个确定的分力已经确定了三角形的三个顶点（三力在一条直线上的情况可看成是压扁的三角形），由三角形定则知，解是唯一的．3．已知两个分力的大小要使问题有解，两个分力的代数和不能小于合力的大小；差的绝对值不能大于合力的大小．在这个前提下讨论，可以做图得到结果．（1）当时在平面内有两解，在空间中有无数解．（如图所示）（2）当时，有唯一解（3）当时，有唯一解4．已知其中一分力F1的方向和另一分力F2的大小时（1）已知方向的分力与合力成锐角时（2）已知方向的分力与合力成直角或钝角时当时，无解．当时，有唯一解．按力的效果进行分解一、按效果分在实际问题中一个力究竟该分解成怎样的两个力，要看力的实际作用效果二、分解方法：1．根据力的实际作用效果确定两个分力的方向2．根据两个分力的方向做平行四边形3．根据平行四边形和相关的数学知识，求出两个分力的大小和方向．正交分解法正交分解法是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法，其步骤如下：1．正确选定直角坐标系.通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴方向的选择则应根据实际问题来确定，原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即：使向两坐标轴投影分解的力尽可能少.在处理静力学问题时，通常是选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其他方向较为简便时也可选用.2．分别将各个力投影到坐标轴上，分别求出x轴和y轴上各力的投影的合力F x和F y：F x=F1x+F2x+F3x+……；F y=F1y+F2y+F3y+……（式中的F1x和F1y是F1在x轴和y轴上的两个分量，其余类推.）这样，共点力的合力大小为：F=.3．设合力的方向与x轴正方向之间的夹角为α，因为tanα=，所以，通过查数学用表，可得α数值，即得出合力F的方向.特别的：若F=0，则可推得F x=0，F y=0.这是处理多个力作用下物体平衡问题的常用的好办法.例题精讲力的分解例1.关于力的分解，下列说法中不正确的是（）A．一个力可以分解成两个比它大的分力B．一个力可分解成两个大小跟它相等的力C．如果一个力和它的一个分力的大小方向确定，那么另一个分力就是唯一的D．如果一个力以及它的一个分力大小和另一个分力的方向确定，这两个分力就完全确定了例2.如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则（）A．当F1>F sinα时，一定有两解B．当F1=F sinα时，有唯一解C．当F1<F sinα时，无解D．当F sinα<F1<F时，一定有两解例3.如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成53°角时，物块也恰好做匀速直线运动．则物块与桌面间的动摩擦因数为（不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（）A．B．C．D．当堂练习单选题练习1.在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如甲图用斧子把木桩劈开的图，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由乙图可得下列关系正确的是（）A．B．C．D．练习2.如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ．下列说法正确的是（）A．当m一定时，θ越大，轻杆受力越小B．当m一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大C．当θ一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大D．当θ一定时，M越小，可悬挂重物C的质量m越大练习3.将一个有确定方向的力F=10N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6N，则在分解时（）A．有无数组解B．有两组解C．有唯一解D．无解练习4.为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是（）A．减小上山车辆受到的摩擦力B．减小上山车辆的重力C．减小上山车辆对路面的压力D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力练习5.关于力的分解，下列说法中不正确的是（）A．一个力可以分解成两个比它大的分力B．一个力可分解成两个大小跟它相等的力C．如果一个力和它的一个分力的大小方向确定，那么另一个分力就是唯一的D．如果一个力以及它的一个分力大小和另一个分力的方向确定，这两个分力就完全确定了练习6.已知两个共点力F的合力为2N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为N．则（）A．F2的方向是唯一的B．F2有无数个可能的方向C．F1的大小是唯一的D．F1的大小可取N练习7.如图中按力的作用效果分解正确的是（）B．C．D．A．练习8.如图所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球．若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的（）A．1和4 B．3和4 C．2和4 D．3和2练习9.如图，研究物体沿斜面下滑时，常把物体所受的重力分解为（）A．斜面支持力和下滑力B．沿斜面向下的下滑力和垂直在斜面上的压力C．平行于斜面向下的分力和垂直于斜面向下的分力D．下滑力和垂直于斜面向下的分力练习10.如图所示，倾角为θ的斜面上固定有一竖直挡板，重为G的光滑小球静止时对斜面的压力为N，小球的重力按照产生的作用效果可分解为（）A．垂直于斜面的分力和水平方向的分力，且B．垂直于斜面的分力和水平方向的分力，且N=G cosθC．垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，且D．垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，且N=G cosθ练习11.如图所示，倾角为15°的斜面上放着一个木箱，现有一个与水平方向成45°角的拉力F斜向上拉着木箱．分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立坐标系，把F分解为沿着两个坐标轴的分力．则分力F x和F y的大小分别为（）A．F cos15°、F sin15°B．F cos30°、F sin30°C．F cos45°、F sin45°D．F cos60°、F sin60°练习12.如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为m1、m2的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ．在m1左端施加水平拉力F，使m1、m2均处于静止状态，已知m1下表面光滑，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．弹簧可能处于压缩状态B．弹簧弹力的大小为C．地面对m2的支持力可能为零D．地面对m2的摩擦力大小为F练习13.如图所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成53°角时，物块也恰好做匀速直线运动．则物块与桌面间的动摩擦因数为（不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（）A．B．C．D．多选题练习1.如图所示是骨折病人的牵引装置示意图，绳的一端固定，绕过定滑轮和动滑轮后挂着一个重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的脚，整个装置在同一竖直平面内．为了使脚所受的拉力减小，可采取的方法是（）A．只增加绳的长度B．只减小重物的质量C．只将病人的脚向左移动D．只将两定滑轮的间距增大练习2.将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法中正确的是（）A．F1和F2的代数和等于FB．F1和F2两个分力在效果上可以取代力FC．F是F1和F2的合力D．物体受到F1、F2和F三个力的作用练习3.图1为斧子劈开树桩的实例，树桩容易被劈开是因为形的斧锋在砍进木桩时，斧刃两侧会对木桩产生很大的侧向压力，将此过程简化成图2的模型，已知斧子是竖直向下且对木桩施加一个竖直向下的力F，斧子形的夹角为θ，则（）A．斧子对木桩的侧向压力大小为B．斧子对木桩的侧向压力大小为C．斧锋夹角越大，斧子对木桩的侧向压力越大D．斧锋夹角越小，斧子对木桩的侧向压力越大练习4.如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则（）A．当F1>F sinα时，一定有两解B．当F1=F sinα时，有唯一解C．当F1<F sinα时，无解D．当F sinα<F1<F时，一定有两解练习5.将力F分解为两个共点力，已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ，则（）A．若已知另一个分力的方向，就可得到确定的两个分力B．若已知F1的大小，就可以得到确定的两个分力C．若已知另一个分力的大小，一定可以得到确定的两个分力D．另一个分力的最小值为F sinθ练习6.已知两个共点力的合力为60N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为35N，下列说法中正确的有（）A．F1的大小是唯一的B．F1的大小有两个可能的值C．F2有两个可能的方向D．可能任意方向填空题练习1.如图所示，重10N的物体静止在倾斜的长木板上，按照重力的实际作用效果将重力分解为：沿_____________方向的分力和沿____________方向的分力．请准确画出两个分力的图示（要求保留作图痕迹），由图示可读得：F1=______N，F2=______N．（精确到0.1N）按照重力作用的实际效果，可以将重力沿垂直木板方向和平行木板方向进行分解．木板上物体的重力，按效果分解的力图如图．解答题练习1.'已知共点力F1=10N，F2=10N，F3=5（1+）N，方向如图所示．求：（1）F1、F2的合力F合的大小和方向（先在图甲中作图，后求解）；（2）F1、F2、F3的合力F合的大小和方向（先在图乙中作图，后求解）．'练习2.'如图一大人拉着装有货物的木箱匀速前进，用的拉力为200N，车和货物的总重为500N．F与水平线的夹角为37°，（sin37°=0.6、cos37°=0.8）求：（1）F沿水平方向的分力和竖直方向的分力是多少？（2）地面对木箱的摩擦力是多少？方向向哪？（3）地面对木箱的支持力是多少？（4）画出木箱受力图．'练习3.'如图所示，一物块置于水平地面上．当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成60°角的力F2推该物块时，物块仍做匀速直线运动．已知物块与地面间的动摩擦因数为，求F1与F2的大小之比．'练习4.'如图1用水平拉力F刚好能使质量为m的物块在静止水平木板上做匀速直线运动，已知重力加速度为g，求：（1）物块与木板间的动摩擦因数μ是多少？（2）若将水平拉力F改为与水平方向斜向上成θ角度的拉力F1拉物块如图2，仍使物块沿该水平木板做匀速直线运动，则拉力F1为多大？（3）如图3若将木板一端固定，另一端抬高，使木板与水平面成α角度，形成一斜面，现用平行于斜面向上的力F2沿斜面向上拉物块，仍能使物块做匀速直线运动，则拉力F2又是多大？'。
理论力学-力的分解与力的投影以及平面力系中的力矩
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
F R F 1 F 2 L L F nF
F R F x i F y j,F i F x ii F y ij( i 1 ,2 ,L n )
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2Fy217.31N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cos Fx 0 .754
FR
cos F y 0 .656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F2 y
三、力在空间坐标轴上的投影
力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算
直接投影法
z
Fx F cos
F
y
F
cos
F z F c o s
F
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
O
y
x
第一章 静力学的基本公理与受力分析
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素： （1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小； （2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面； （3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。
第一章 静力学的基本公理与受力分析
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
《理论力学》第一章 力的分解与力的投影解析
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
理论力学完整讲义
理论力学一 静力学(平衡问题)01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力 基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。
平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。
集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。
分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。
力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos y F F β=分力(矢量)cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r2)在斜坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos()y F F ϕα=-分力(矢量)(cos sin cot )x F F F i ααϕ=-u u r rsin sin y F F j αβ=u u r r02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。
约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。
约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。
(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。
特点：只能承受拉力，不能承受压力。
约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。
(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。
约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。
特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。
《理论力学》第一章 力的分解与力的投影
n)
Fx i Fy j (Fxi i ) (Fyi j ) ( Fxi )i ( Fyi ) j
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 Fy Fx cosα , cos FR FR
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
Fxy
x
y
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F Fx2 Fy2 Fz2 Fx cos( F , i ) F Fy cos( F , j ) F Fz cos( F , k ) F
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面基本力系
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， F2 y F = 300 N，F = 100 N，F = 250 N。
2 3 4
解：
根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
F1
60
Fx Fxi F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45
例题
平面力系中的力矩
如图所示圆柱直齿轮，受到啮
O r
合力 Fn 的作用。设 Fn=1400 N 。压
h
力角 α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）
的半径 r = 60 mm，试计算力 Fn 对
于轴心O的力矩。
第一章
静力学的基本公理与受力分析
例题
理论力学考试知识点归纳
理论力学考试知识点归纳第二十五讲静力学一、内容提要:本讲主要是讲解静力学的基本概念、力的分解、力的投影、力对点的矩与力对轴的矩、平面汇交力系的合成与平衡、力偶理论等问题。
二、本讲的重点是:静力学公理、常见的约束类型、力对点的矩、平面汇交力系、平面力偶系的合成与平衡本讲的难点是:受力图分析、平面力偶系的合成与平衡三、内容讲解:1、静力学的基本概念:(一)质点、刚体及质点系质点——具有几何位置，不计大小形状而有一定质量的物体。
刚体——形状大小都要考虑的，但在任何受力情况下体内任意两点的距离保持不变的物体。
质点系——由一些相互联系着的质点组成，又称为系统或机械系统。
平衡的概念——平衡是指物体相对于周围物体(惯性参考系)保持其静止或作匀速直线运动的状态。
(二)力力是物体之间的相互作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生变化。
在理力中仅讨论力的运动效应，不讨论变形效应。
力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点三要素，因此力是矢量，它符合矢量运算法则。
经验表明，作用于刚体的力可沿其作用线移动而不致改变其对于刚体的运动效应。
力的这种性质称为力的可传性，所以力是滑动矢量。
(三)静力学公理公理一(二力平衡公理):作用在同一刚体的两个力成平衡的必要与充分条件为等量、反向、共线。
只受两个力作用并处于平衡的物体称为二力体，如果物体是个杆件，也称二力杆。
公理二(加减平衡力系公理):在任一力系中加上或减去一个平衡力系，不改变原力系对刚体的运动效应。
公理三(力的平行四边形法则):作用于同一质点或刚体上同一点的两个力，可以按平行四边形法则合成。
公理四(作用与反作用定律):两物体间相互作用力同时存在，且等量、反向、共线，分别作用在这两个物体上。
此处应注意:虽然作用力与反作用力大小相等，方向相反，但分别作用在两个不同的物体上。
因此决不可认为这两个力相互平衡。
这与公理一有本质区别，不能混同。
公理五(刚化原理):如变形体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此变形体转换成刚体，其平衡状态不变。
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
vj
+
v Fz k
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 二、力系的主矢量
1、力系的主矢量定义
z F1
力系的各个力的矢量和。
Fn O
y
∑ v
FV
=
v F
=
v F1
+
v F2
+⋅⋅⋅+
v Fn
x
F2 Fi
力系的主矢是自由矢量（大小、方向）
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
2、FvFv2力1 ==系XX的21iviv主++矢YY21的vvjj ++计ZZ算12kkvv
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
⎟⎟⎠⎞
F4
O
F1
E x
F3
C
v F2
=
F ⎜⎜⎝⎛ −
z F1
Fn O
y
x
一个复杂的力系（任意F力2 系）两个特征量即主矢、主矩。
二.力系的简化
z
z
F1
Fn O
y＝
MO O
FR y
x
x
F2
一个复杂的力系（任意力系）化简为力—力偶系统。
ch2力矩、力偶、力系的简化
力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO (F )
= ( yFz - zFy )i + ( zFx - xFz ) j + ( xFy - yFx )k
= [ M O ( F )]x i + [ M O ( F )] y j + [ M O ( F )] y k
M x ( F ) = -zFy + yFz
F z = F ⋅ cos γ = F ⋅ sin θ
与平面情形类似
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
Fy F F x cosα = ,cos β = ,cosγ = z F F F
Fz Fy Fx
Fx = Fx , Fy = Fy , Fz = Fz
Fx = Fx i , Fy = Fy j,Fz = Fz k F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
②投影法（解析法） 投影法（解析法） 建立坐标系如图所示， 建立坐标系如图所示， 三个力在坐标轴上的投影分 别为
F1 x = 0
F2 x = 4kN
F1 y = −3kN
F2 y = 0
F3 x = 5cos 30o = 4.33kN
F3 y = 5sin 30o = 2.5kN
合力F 合力 R 在坐标轴上的投影为
= [MO (F )]x i +[MO (F )]y j +[MO (F )]z k
力矩矢的合成
力对点之矩矢服从矢量合成法则。 力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产 矢量合成法则 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。 一个矩矢度量 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。
理论力学-高教出版-刘又文、彭献著-第1章
G
G
示意图 1.5
A
FN
示意图 1.6
FAy
A
FAx
圆柱形铰链
中间铰链(见示意图 1.7)
示意图 1.7
10
方位：沿 x 轴 FAx
指向：待定
A
FAy 方位：沿 y 轴
固定铰支座(见示意图 1.8)
方位：沿 x 轴 FAx 指向：待定 FAy 方位：沿 y 轴
FAx
为什么？
C
D
F
A
EF B
(a)
CC FC
FC
C
C
D
FC'
EF D
EF
F
FC′
A
B
FA
FB
(b)
A
B
FA
FB
(c)
3
D
F A
EF B
D
F A
EF B
(d)
(e)
图 1.2
答：改变外力。因在不改变外力的前提下，力沿其作用线滑移只能在同一静
定刚体上。事实上，力 F 作用在 AC 部分时，BC 为二力杆，AC 为三力平衡构件，
网O
A
q
案 答
F
F 450
B 2F
后
课
C
图 1.3
答：对。对于静定结构，力在同一刚体上可以等效变换，此处力并未传到
AC 上，故是可行的，并可简化求解。
二力平衡条件： F1 = −F2 ，等值、反向、共线 (见示意图 1.2) 。
F2
F2
F1
F1
示意图 1. 2
4
4．曲杆 AB 自重不计，仅在 A、B 两点处受力的作用，若 A 点作用力 FA 沿 曲杆轴线的切线方向，如图 1.4 所示。试问曲杆能否平衡？
理论力学第一章
rB
1-2 力的投影、力矩与力偶 力的投影、
1-2-3 力偶
A
F′
F
B
=
M
=
M
rA
O
rB
力偶矩矢为自由矢
力偶对轴之矩等于该矩矢在该轴上的投影。 1.求力偶M对x,y,z三轴之矩? 1.
a
z
M
a o
n
a
y
x
1-2 力的投影、力矩与力偶 力的投影、
3 Mx = My = Mz = M 3
1-2-3 力偶
第一章 力系的简化
1-2 力的投影、力矩与力偶 力的投影、
第一章 力系的简化
1-2-1 力的投影 1.力在平面上投影是矢量
Fxy =| Fxy |= F⋅ cosϕ
z
α
O
F
ϕ
k
j
θ
y
2.力在轴上投影是标量
Fx
i
Fx = F⋅ cosα Fx = Fcosϕ ⋅ cosθ
(3)力的解析表示
x
F xy
B
A
F = F' = F"
F ′′
M
2.定理: 作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。 仅适应于同一刚体。
1-3 力系的简化
1-3-1 力的平移定理 力F平移可行吗? F
F
M
≠
单手攻丝为何不正确?
F
F′
M
1-3 力系的简化
1-3-2 一般力系向一点简化 选O为简化中心
i
G
C
G
m 当gi相同时，质心与重心重合.
rC
∑m r =
力的投影ppt课件
Y
F2
60°
，
F1
，
F3
60°
F4
X F5
45°
32
试用几何法求以下4个力的合力
33
求出以下4个力的投影
34
例：已知各力均为200N，求其在坐标轴上的投影
F2 F3 60°
y
F1
60° x
F4
①F1x=F1.cos60
F1y=F1.sin60°
② F2x= F2.cos0° F2y= F2.sin0°
37
28
一、知识回顾
平面力系分类（4种）
几何法——求解合力
力的 投影
判断力是哪个象限
投影为代数量投影符号判断
角α代表什么
投影的性质
投影计算公式
29
力的投影的计算思路如下： 1.建立直角坐标系，确定力F所在象限和X轴 的夹角α（ 0°≤ α≤90°）
2.进行力的投影，判断正负号
3.运用计算公式
Fx=±Fcosα Fy=±Fsinα
F2x F2 cos 30o 150N 0.866 = 129.9N
F2y F2 sin 30o 150N0.5 = 75N
F3x F3 cos 90o 0 F3y F3 sin 90o 200N1.0 = 200N
F4x F4 cos 60o 200N 0.5 = 100N
1. 先判断力是第几象限，从而确定投影的正负号
2. 判断力，只看方向，不看位置
21
力在坐标轴上的投影
y
a′
A α
FX
FY
b′
FY
F B
o
a FX b x
注意：
已知F和 α，求投
理论力学第一章物体的受力分析
力偶定义
力偶的性质
两个大小相等、方向相反且不在同一直线 上的力组成的力系称为力偶。
力偶对刚体的转动效应与力矩相同，但力 偶不能与一个单独的力等效，因为它们在 平移时对刚体的作用效果会发生变化。
05
牛顿运动定律
牛顿第一定律
总结词
描述物体不受外力作用时的运动状态 。
详细描述
牛顿第一定律，也被称为惯性定律， 指出一个不受外力作用的物体将保持 静止状态或者匀速直线运动状态不变 。
感谢您的观看
THANKS
理论力学的重要性
理论力学是物理学专业学生的必修课程之一，是后续课程的基础。
理论力学在工程、航空、航天、机械等领域有广泛应用，是解决实际问题的关键工 具。
掌握理论力学的基本原理和方法，有助于提高学生的科学素养和解决实际问题的能 力。
02
物体的受力分析
力的概念
总结词：力的定义
详细描述：力是物体之间的相互作用，是改变物体运动状态的原因。在理论力学 中，力是一个有向线段，表示作用点、大小和方向。
04
力的合成与分解
力的合成
力的合成定义
根据力的平行四边形法则，将两 个或两个以上的力合成一个力的
过程。
力的合成方法
通过力的平行四边形，利用几何学 的方法求得合力的方向和大小。
共线力合成
当两力共线时，它们的合力方向与 两力方向相同或相反，合力的大小 为两力大小之和或差。
力的分解
力的分解定义
正交分解法
力的三要素
总结词
力的三要素
详细描述
力的三要素包括力的作用点、大小和方向。其中，力的作用点决定了力矩的大小和方向，而力的大小和方向则决 定了物体运动状态的变化。
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
第01章(理论力学II)
FC
A
FA
在国际单位制中，力的单位是牛顿 (N) 和千牛顿(KN)。 力矢量的表示：FA
F1
力矢量大小表示：FA
作用力和反作用力
牛顿第三定律描述了力的重要性质之一，即作用的相互性。 任何两个物体间相互作用的一对力总是大小相等，作用线相 同，而指向相反，同时并分别作用在这两个物体上。这两个力互 为作用力和反作用力。 在理论力学体系中，该普适原理也称为静力学第四公理。
力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在相应轴上投 影的代数和。
FRx
F
ix
FRy
F
iy
FRz
F
iz
力系的主矩
空间一般力系中各力对某点O的矩的矢量和称为该力系对矩 心的主矩MO。 n
MO
r F
i i1
i
Fi
A B
F2
力系的主矩MO是位于矩O的定位矢 量，主矩与矩心的位置有关。
Fn
F1
M
A
(Fi )
M
B
(Fi )
主矩的投影
主矩MO在以矩心O为原点的任意直角坐标系Oxyz上的投影表 达式。
M Ox M Oy M Oz
M M M
Ox
Oy
Oz
M (F ) (F ) M (F ) (F ) M (F )
(Fi )
i x i y i i z i
力矩三要素
力矩三要素是大小、方向和矩心。
力矩大小
M O (F ) r F Frsin Fh
为r和F正方向之间的夹角，h为矩心到力作用线的距离，即
力臂(Moment arm)。
力矩方向
MO(F)垂直于r和 F所确定的平面，指向由右手定则确定。
理论力学
题型 空间汇交力系 空间平行力系 传动轴 六力矩式平衡方程
例3 空间支架由三根直杆组成，如图所示，已知W=1kN。α=30° β=60°，φ=45°，试求杆AB、BC、BD所受的力。 解 取B铰为研究对象。
∑ Fz = 0
FBD
∑ Fy = 0
FBD cos α W = 0 W W 2 = = = W = 1.155 kN cos α cos α 3 FBC sin β FBD sin α cos = 0
（2） R ≠0，主矩MO≠0，且 F′ ⊥M ′ FR O，得作用于O’点的一个合力 。 FR
其作用线离简化中心O的距离为： d =
MO FR
。
R R R
R
R
a)
b)
c)
3.空间力系简化为力螺旋的情形 空间力系简化为力螺旋的情形 力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。
R R R
60m m
例 2 如图所示，铅直力F=500N， 作用于曲柄上。试求此力对轴x、y、z 之矩及对原点O之矩。
30 0m m
30°
36 0m m
解：F对x、y、z之矩 分别为：
M x (F ) = F (300+ 60) = 500× 360 = 180×103 N mm = 180N m M y (F ) = F × 360cos30° = 500× 360× = 155.9 N m M z (F ) = 0
4、Mz(F)为零情况 、 为零情况 力的作用线与轴平行（Fxy=0）或相交（h=0）时，力对该轴的矩为零。 即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩为零。
5、力对轴之矩合力矩定理 、 定理： 定理：合力FR对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。 即：M z ( FR ) =
专升本理论力学部分
第一篇静力学本篇介绍力的一般性质、力系的平衡规律及合成法则。
重点是刚体、力、力矩、力偶、力系及其分类、等效、简化、平衡、约束、摩擦等有关概念、静力学公理、受力分析及力的投影、力矩、力系的主矢与主矩等的计算和力系的平衡及简化问题的解法。
难点是约束与约束反力、力系的等效、摩擦角与自锁等概念的建立以及物系（包括具有摩擦时）平衡问题的解法，在反复学习阅读练习中体会理解。
第一章静力学基本概念与公理本章是静力学最基本内容的论述，概念较多。
介绍了刚体、力、力矩、力偶和力系及其分类、等效、平衡等有关概念；静力学公理、力矩关系定理、力系等效定理、力偶性质、合力矩定理等规律；力的投影、力矩、力系的主矢与主矩等的计算；汇交力系与力偶系的合成。
这些都是静力学基本知识，也是整个理论力学的基础，需要认真理解和熟练掌握。
§1-1静力学基本概念本节介绍了静力学研究对象、主要内容、刚体、力和力系及其分类、等效、平衡等有关概念；是静力学基本知识，需要认真理解和熟练掌握。
一、静力学的研究对象：物体的平衡规律、力的一般性质及合成法则。
二、静力学的主要内容：力系简化；力系平衡。
三、力: 物体间的相互作用。
1. 力的效应：⑴力的外效应：力可使物体的运动状态发生变化。
⑵力的内效应：力可使物体的形状发生变化。
理论力学主要研究力的外效应。
力的内效应则由变形体力学如材料力学等来研究。
2.力的三要素：大小、方向、作用点（作用位置）。
力的三要素决定了力对物体的作用效应。
其中，力的大小反映了力的作用强度；力的方向由力的作用线方位和指向联合表示；力的作用点即作用位置，一般作用位置是物体的一部分面积或体积，当作用面积或体积很小时可抽象为点即力的作用点，这时力称为集中力，否则力称为分布力。
既然力有大小、方向，就可由矢量来表示。
3.力的矢量表示：⑴印刷物如书中：黑体英文大写字母表示，如F ；⑵手写如作业和练习中：白体英文大写字母并在其上加一箭头表示，如F ；不加箭头时表示大小，如F 。
理论力学教案
力偶（F
,
F
’），力偶作用面，力偶臂
特殊：最简力系之一：本身不平行，又不与力等效(无合力)，基本量，只有转动效应。
力偶矩矢：
M
rBA
F
度量力偶的效果。
性质：力偶矩矢是自由矢量：
m O
(
F
,
F
)
m O
(
F
)
m O
(F
)
rA
F
rB
F
(rA
rB
)
F
rBA
F
M
任意
所以，
M
与
O
无关。即力偶的等效性：保持
Z 3 F3 sin 30 15 0 N
则
F3
X 3i
Y3 j
Z3k
75
6i
75
6
j
150k
从而
m O
(F3 )
rC
F3
i 3
75 6
j 3 75 6
k 0
150
3i
150
3j
150
力对轴之矩
mx
(
F3
)
150
3 Nm,
m
y
(
F3
)
150
3 Nm,
mz
(
F3
推论 1 力的可传性 对刚体 力的三要素 滑移矢量。
作用与刚体上某一点的力，可沿其作用线移至该刚体上任一点，而不改变力对刚体的作 用效果。
注：一般地，即使对刚体，力仍按定位矢量画而不按滑移矢量画。
推论 2 三力平衡汇交定理 对刚体
刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必共面，且汇交于一点。
理论力学 学习指南
第一章 基本概念及基本原理[学习要求]一、熟悉力、力矩、力偶等基本概念及其基本性质，能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴地矩。
二、熟悉各种常见约束的性质，对单个物体及物体系统，能熟练地取分离体并画出受力图。
三、熟悉将工程实际问题抽象成为力学模型的方法，能将简单的工程问题作成计算简图。
[内容要点]一、力的概念1. 力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变，或使物体产生变形。
在刚体静力学里，力是滑动矢量。
作用于物体的若干个力，总称为力系。
2. 共点的两个力可以合成为一个合力，合力等于这两个力的矢量和。
用矢量方程表示为2F F F 1R += (1-1)3. 一个力可以分解成两个或两个以上的分力。
最常用的是将一个力分解成为沿直角坐标轴z y x ,,的分力。
即k j i F z y x F F F ++= (1-2) 其中k j,i,是沿坐标轴正向的单位矢量，Ｆｘ、Ｆｙ、Ｆｚ分别是力F 在ｘ、ｙ、ｚ轴上的投影。
4. 力在任一轴上的投影。
设有一轴ξ，沿该轴正向的单位矢量为ｎ，则力Ｆ在ξ轴上的投影为ξF ＝Ｆ·ｎ。
(1-3)又设ｎ在坐标系Oxy 中的方向余弦为 1l 、2l 、3l ，则31l F F l F F z y x ++=ε (1-4)二、力矩与力偶1. 力对一点的矩在空间力系问题里，力对一点的矩应作为矢量。
力Ｆ对Ｏ点的矩用矢积Ｍo （Ｆ）=ｒ×Ｆ来表示，即F r F M ⨯=)(0 (1-5)就是说，一个力对于任一点的矩等于该力作用点对于矩心的矢径与该力的矢积。
如过矩心Ｏ取直角坐标系o ｘｙｚ，并设力Ｆ的作用点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ，ｚ），如图 1－1，则式（1－5）可表示为k yF xF j xF zF i zF yF k F j F i F zk yj xi F r F M z y z z y z z y x )()()()()()(0-+-+-=++⨯++=⨯= (1-6)或者用行列式表示为z y xF F F z yx k j iF M =)(0 (1-7)图1－1 力对一点的矩的矢积表示对于平面力系问题，取各力所在平面为ｘｙ面，则任一力的作用点坐标ｚ＝０，力在ｚ轴上的投影Fz ＝０，于是公式（1－6）及（1－7）退化成为只与ｋ相关的一项。