您的位置：360文档中心› 上海市上海师范大学附属中学-学年上学期高三期中考试数学试卷

上海市上海师范大学附属中学-学年上学期高三期中考试数学试卷

合集下载

2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷

2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷

2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷 一、填空题1. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 ． 【答案】4π2.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π3.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】 2log 3x =4. 抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】 （0，14） 5. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cos αβγ++= ．【答案】 16. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 【答案】17-7. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）． 【答案】 12π8. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．【答案】2-9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()n n a a a a +⋅⋅⋅++=∞→542lim ，则q = ．【答案】21-510. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是 ．【答案】 1x =-或12x =11. 给出下列函数：①1y x x=+；①x x y +=2；①2x y =；①23y x =；①x y tan =；①()sin arccos y x =；①(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】3712. 已知非零向量OP 、不共线，设m m OP m OM 111+++=，定义点集 }|||||{FQ FP F A ==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为▲________． 【答案】 34二．选择题12. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，1s 、2s 、…、k s 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{},i i i s a b =，{},j j j s a b =(i j ≠且{})1,2,3,,i j k ⋅∈…，都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭{}(min ,x y 表示x 、y 中较小)，则k 的最大值是（）【A 】.10 【B 】．11【C 】．12【D 】．13【答案】B14.设0ab >且c da b>，则下列各式中，恒成立的是（ ） 【A 】ad bc <【B 】.ad bc > 【C 】.d b c a > 【D 】. d b c a <【答案】B15.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ）【A 】.4； 【B 】 5； 【C 】 7； 【D 】 8. 【答案】B16．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ） 【A 】不存在．．．a 和n 使得2015n S = 【B 】不存在．．．a 和n 使得2016n S =【C 】不存在．．．a 和n 使得2017n S = 【D 】不存在．．．a 和n 使得2018n S = 【答案】A三．解答题18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和向量()1,()b f x =，而且a ①b 。

上海师大附中高三数学上学期期中试卷理(含解析)

上海师大附中高三数学上学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．不等式log x≥2的解集为__________．2．已知复数z=，则z=__________．3．已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=__________．4．若，则行列式=__________．5．函数f（x）=x+的值域__________．6．设g（x）=，则g（g（））=__________．7．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，则不等式f（2x+1）＞f（2﹣x）的解集__________．8．函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于y轴对称，若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则y=f﹣1（x2﹣2x）的单调递增区间是__________．9．将函数y=log2x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m（m＞0）倍，得到图象C，若将y=log2x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m=__________．10．如果，那么函数f（x）=cos2x+sinx的最小值是__________．11．函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象交点恰为3个，则实数k=__________．12．数列{a n}满足（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{a n}是常数数列；②“数列{a n}中存在某一项”是“数列{a n}为有穷数列”的充要条件；③若{a n}为单调递增数列，则a1的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）；④只要，其中k∈N*，则一定存在；其中正确命题的序号为__________．13．已知函数f（x）=，x∈，函数g（x）=ax+2，x∈．若对任意x1∈，总存在x2∈，使f （x1）=g（x2）成立．则实数a的取值范围是__________．14．设表示不超过x的最大整数，如=1，=﹣2．若函数（a＞0，a≠1），则g （x）=+的值域为__________．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是( )A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x17．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=( ) A．B．C．﹣D．018．若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）*，则得到一个新数列{（a n）*}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，a n=n2，则（（a n）*）*=( ) A．2n B．2n2C．n D．n2三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值．20．（14分）设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．21．（14分）已知复数z0满足|2z0+15|=|+10|，（1）求证：|z0|为定值；（2）设x=，z n=z0x n，若a n=|z n﹣z n﹣1|，n∈N*，求（a1+a2+…+a n）．22．（16分）已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数．若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在上有解，求m的取值范围；（3）若f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，求t的取值范围．23．（18分）已知函数f（x）=kx+m，当x∈时，f（x）的值域为，当x∈时，f（x）的值域为，依此类推，一般地，当x∈时，f（x）的值域为，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．（1）若k=1，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b n}满足b n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若k＜0，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求（T1+T2+…+T2014）﹣（S1+S2+…+S2014）．2015-2016学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．不等式log x≥2的解集为（0，]．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式两边化为同底数，然后利用对数函数的性质得答案．【解答】解：由log x≥2，得log x≥，∴0．∴不等式log x≥2的解集为（0，]．故答案为：（0，]．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题．2．已知复数z=，则z=﹣1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘除法运用，即可得出结论．【解答】解：复数z====﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．【点评】本题考查复数的乘除法运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后把cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．若，则行列式=．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】根据行列式的运算法则可得式=cosθ2﹣sinθ2，再利用二倍角的余弦公式化为 1﹣2sin2θ，运算得结果．【解答】解：则行列式=cosθ2﹣sinθ2=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为．【点评】本题考查行列式的运算，二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为1﹣2sin2θ，是解题的关键．5．函数f（x）=x+的值域（﹣∞，﹣3]∪∪上为增函数，则不等式f（2x+1）＞f（2﹣x）的解集（﹣3，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，∴f（x）在【考点】正弦函数的定义域和值域；二次函数的性质；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合x的范围，求出sinx的范围，然后求出函数的最小值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+，因为，所以sinx∈，当sinx=时，函数取得最小值：．故答案为：．【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，常考题型．11．函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象交点恰为3个，则实数k=1或．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作出函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象，由图象求实数k的值．【解答】解：作出函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象如下图：当过点（﹣1，0）时，成立，此时，k=﹣1；当x∈（﹣1，1）时，y=1﹣x2，y'=﹣2x=1，解得x=﹣，此时，切点为（﹣，），=+k，则k=．故答案为：1或．【点评】本题考查了学生的作图能力，属于基础题．12．数列{a n}满足（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{a n}是常数数列；②“数列{a n}中存在某一项”是“数列{a n}为有穷数列”的充要条件；③若{a n}为单调递增数列，则a1的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）；④只要，其中k∈N*，则一定存在；其中正确命题的序号为①④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列{a n}满足（n∈N*）．举出正例a1=1或a1=2，可判断①；举出反例a1=，可判断②；举出反例a1=﹣2，可判断③；构造数列b n=，结合已知可证得数列{b n}是以为公比的等比数列，进而可判断④．【解答】解：当a1=1时，a n=1恒成立，当a1=2时，a n=2恒成立，故①正确；当a1=时，a2=﹣1，数列{a n}为有穷数列，但不存在某一项，故②错误；当a1=﹣2时，a1∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2），此时a2=10 a3=，数列不存在单调递增性，故③错误；∵∴=…①且=…②①÷②得：=•令b n=，则数列{b n}是以为公比的等比数列则b n=∴a n==2+当时，2+的极限为2，否则式子无意义，故④正确故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题13．已知函数f（x）=，x∈，函数g（x）=ax+2，x∈．若对任意x1∈，总存在x2∈，使f （x1）=g（x2）成立．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪，总存在x2∈，使f（x1）=g（x2）成立”，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可．【解答】解：若对任意的x1∈，总存在x2∈，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．f（x）=，x∈的值域为，下求g（x）=ax+2的值域．①当a=0时，g（x）=2为常数，不符合题意舍去；②当a＞0时，g（x）的值域为，要使⊆，得2﹣a≤0且4≤2+8a，解得a≥2；③当a＜0时，g（x）的值域为，要使⊆，得2+8a≤0且4≤2﹣a，解得a≤﹣2；综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪∪表示不超过x的最大整数，如=1，=﹣2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=+的值域为{0，﹣1}．【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】先求出函数f（x）的值域，然后求出的值，再求出f（﹣x）的值域，然后求出的值，最后求出g（x）=+的值域即可．【解答】解：=∈（0，1）∴f（x）﹣∈（﹣，）=0 或﹣1∵f（﹣x）=∈（0，1）∴f（﹣x）﹣∈（，）则=﹣1或0∴g（x）=+的值域为{0，﹣1}故答案为：{0，﹣1}【点评】本题主要考查了函数的值域，同时考查分类讨论的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a 的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i （其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选B．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．16．如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是( )A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】证明题．【分析】先将已知条件转化为函数性质，如条件（2）反映函数的奇偶性，条件（3）反映函数的单调性，再利用性质进行排除即可【解答】解：由条件（1）定义域为R，排除D；由条件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0，即任意x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数，排除B由条件（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．即x+t＞x时，总有f（x+t）＞f（x），即函数f（x）为R上的单调增函数，排除A故选 C【点评】本题考查了抽象函数表达式反映函数性质的判断方法，基本初等函数的单调性和奇偶性，排除法解选择题17．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f= ( ) A．B．C．﹣D．0【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果．【解答】解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6个一循环2015÷6=370余5f=f（5）=．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．18．若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）*，则得到一个新数列{（a n）*}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，a n=n2，则（（a n）*）*=( ) A．2n B．2n2C．n D．n2【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】对任意的n∈N*，a n=n2，可得=0，=1==，=…=，…，可得=1，=4，=9，…，即可猜想出．【解答】解：对任意的n∈N*，a n=n2，则=0，=1==，=…=，=3=…=，…，∴=1，=4，=9，…，猜想（（a n）*）*=n2．故选：D．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题．三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理得到=，将a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，将a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A及cos2A的值，将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=，sinC=2sinA，∴根据正弦定理=得：c=a=2a=2；（Ⅱ）∵a=，b=3，c=2，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=cos2A﹣sin2A=，则sin（2A﹣）=sin2Acos﹣cos2Asin=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（14分）设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．【考点】交集及其运算；并集及其运算；幂函数的性质；不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据幂函数的性质得到幂函数为增函数时，指数大于0，求出解集即可得到P；因为不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x﹣1|+|x﹣2c|的最小值即可求出c的范围得到Q，然后求出P∩Q；（2）根据（1）求出的P∩Q，可以举例为解集为P∩Q的一个不等式即可．【解答】解：（1）∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴c2﹣5c+6＞0，即P=（﹣∞，2）∪（3，+∞），又不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立，∴|2c﹣1|＞1，即Q=（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴P∩Q=（﹣∞，0）∪（1，2）∪（3，+∞）．（2）一个解集为P∩Q的不等式可以是 x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．【点评】考查学生掌握幂函数的增减性，理解函数恒成立时所取的条件，以及会求集合并集的运算．本题第二问是开放性题目，答案不唯一，考查学生发散思维的能力．21．（14分）已知复数z0满足|2z0+15|=|+10|，（1）求证：|z0|为定值；（2）设x=，z n=z0x n，若a n=|z n﹣z n﹣1|，n∈N*，求（a1+a2+…+a n）．【考点】复数求模；极限及其运算．【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】（1）设z0=x+yi（x，y∈R），利用|2z0+15|=|+10|，可得x2+y2=75，即可证明：|z0|为定值；（2）a n=|z n﹣z n﹣1|=，再求极限．【解答】（1）证明：设z0=x+yi（x，y∈R），则∵|2z0+15|=|+10|，∴|2x+15+2yi|=|x+10﹣yi|，∴（2x+15）2+（2y）2=3（x+10）2+3y2，∴x2+y2=75，∴|z0|=5；（2）解：∵x=，z n=z0x n，∴a n=|z n﹣z n﹣1|=，∴（a1+a2+…+a n）=5•=5．【点评】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数．若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在上有解，求m的取值范围；（3）若f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，求t的取值范围．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位；（2）先求得反函数f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域；（3）原不等式转化为2x+t+1＞22x，x∈恒成立，解得即可．【解答】解：（1）任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x1+1）﹣log2（2x2+1）=log2，∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，∴0＜＜1，log2＜0∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增（2）∵f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）=log2=log2（1﹣）当1≤x≤2时，≤≤，∴≤1﹣≤∴m的取值范围是．（3）∵f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，∴log2（2x+t+1）＞2x=log222x，∴2x+t+1＞22x，x∈恒成立∴22+t+1＞24，解得t＞log2．故t的取值范围为（log2，+∞）．【点评】本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．23．（18分）已知函数f（x）=kx+m，当x∈时，f（x）的值域为，当x∈时，f（x）的值域为，依此类推，一般地，当x∈时，f（x）的值域为，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．（1）若k=1，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b n}满足b n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若k＜0，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求（T1+T2+…+T2014）﹣（S1+S2+…+S2014）．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）由f（x）递增，可得值域，进而得到a n=a n﹣1+m，b n=b n﹣1+m（n≥2），由等差数列的通项公式，即可得到所求；（2）由单调性求得f（x）的值域，m=2，则b n=kb n﹣1+2（n≥2），再由b n+=k（b n﹣1+）（n≥2），运用等比数列的定义和通项公式，即可得到结论；（3）运用函数的单调性，可得f（x）的值域，由作差，运用等比数列的定义和通项公式，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．【解答】解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈时，f（x）为递增函数，所以其值域为，于是a n=a n﹣1+m，b n=b n﹣1+m（n≥2），又a1=0，b1=1，则a n=（n﹣1）m，b n=1+（n﹣1）m；（2）因为f（x）=kx+m，（k＞0），当x∈时，f（x）单调递增，所以f（x）的值域为，由m=2，则b n=kb n﹣1+2（n≥2）；法一：假设存在常数k＞0，使得数列{b n}，得4=4k+2，则k=符合．法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b n}满足b n=4，当k=1不符合．当k≠1时，b n=kb n﹣1+2，n≥2⇔b n+=k（b n﹣1+）（n≥2），则b n=（1+）k n﹣1﹣，当0＜k＜1时，b n==4，解得k=符合，（3）因为k＜0，当x∈时，f（x）为递减函数，所以f（x）的值域为，于是a n=kb n﹣1+m，b n=ka n﹣1+m，n≥2，则b n﹣a n=﹣k（b n﹣1﹣a n﹣1），因此{b n﹣a n}是以﹣k为公比的等比数列，又b1﹣a1=1则有T i﹣S i=，进而有（T1+T2+…+T2014）﹣（S1+S2+…+S2014）=．【点评】本题考查等差（比）数列的定义和通项公式的运用，考查存在性问题的解法，注意无穷递缩等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．。

上海师范大学附属中学2024届高三上学期期中数学试题

上海师范大学附属中学2024届高三上学期期中数学试题

f
(x)
x2 2x x 2
x x
a a
，若存在实数
x0
，使得对于任意的实数
x
都有
f (x) f x0 成立，则实数 a 的取值范围是
.
11．已知函数 f x x³ 3x a ，若存在三个互不相等的实数 m, n, p ，使得
f m f n f p 2024 ，则实数 a 的取值范围是
与
b
的夹角为
π 4
.
正确的个数是 （ ）
A．4 个
B．3 个C．2 个源自D．1 个三、解答题
uuur
uuur
17．已知 O 为坐标原点， OA 2 cos x, 3 ， OB sin x 3 cos x, 1 ，若
uuur uuur
f x OAOB 2 .
(1)求函数 f x 的最小正周期；
四、应用题
试卷第 2页，共 3页
19．某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加
工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本 10 万元，每加工 x 万件玩具，需要流动成
本 C(x) 万元.当年加工量不足 15 万件时，C(x) 12x 12 ln(x 1) ；当年加工量不低于 15
3 （结果精确到个位）.
8．正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 和 F 分别是边 BC 和 AD 上的动点，且 CE AF ，
则 AE BF 的最大值为
9．在数列{an}中，a1 4，an1 3an 2，若对于任意的正整数 n，kan 9n 恒成立，则实
数 k 的最大值为
10．已知函数
a R, a 0) ，记 cn an an 1 n N,n 1 ．

2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷含详解

2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷含详解

华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．3.设252i1i i z +=++，则z =________．4.钝角ABC中，3,60a b A ===，则ABC 的面积是__________.5.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M+∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<< B.4231r r r r <<< C.4213r r r r <<< D.2413r r r r <<<15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.2122⎡-⎢⎣ D.22,122+⎣⎦16.已知曲线:1(0,)nnx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C .①不成立②成立D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=-⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】334【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是1sin 24bc A =.故答案为：45.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】3【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】12+-【分析】据题意设(,)b x y =，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b += ，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即12t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b 在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：122+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n nn⎛⎫-⎪⎝⎭到直线2y x=-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y+-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a=>，在y轴正半轴上存在一点P，使过P的任意直线交抛物线于M N、，都有2211||||MP NP+为定值，则点P的坐标为________．【答案】10,2a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设直线MN的解析式为y kx m=+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．【详解】设(0,)P m．设直线MN的解析式为y kx m=+，联立2(0)y ax a=>得到：22ax kx m ax m kx=+-=，，整理，得20ax kx m--=，则1212,k mx x x xa a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax则()()222222222222111222()1,()1PM x m ax k x PN x m ax k x=+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x xMP NP k x x++=⨯+()2121222212211,x x x xk x x+-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或331cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当331cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：3318．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x yx y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣⎦D.,122+⎣⎦【答案】C【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin 12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为212⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,2m n m n m n⋅===，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=，又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：322S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫-⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。

上海市上海师范大学附属中学高三上学期期中数学试题

上海市上海师范大学附属中学高三上学期期中数学试题

上师大附中高三期中数学试卷一.填空题1. 方程3log log 32x x +=的解是x =________.2. 已知等差数列{}n a ，若1594a a a π++=，则()28sin a a +=______.3. 若tan α=cos α，则1αsin +cos 4α=_____ 4. 若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.5. 若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____.6. 把函数43sin()13y x π=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位，使得点(,1)2π-成为图像的一个对称中心，则θ的最小值是________7. 已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为______．8. 设()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则不等式()6f x <的解集为______. 9. 函数tan()42y x ππ=-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅= .10. 5G 技术数学原理之一便是著名的香农公式：21S C Wlog N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W ，而将信噪比从1000提升至2000，则C 大约增加了____%.（参考数值lg 20.301≈）.11. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 12. 设平面向量a ，b 满足12a ≤≤，23b ≤≤，则a b a b++-取值范围是________.二、选择题13. 已知0a >，0b >，则“220log a log b +>”是“()20log a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. ABC ∆，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断15. 已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A ()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. ()(),21,-∞-⋃+∞C. ()(),12,-∞-+∞D. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭16. 下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①sin y arc x =的反函数是y sinx =；②y cosx =，[],0x π∈-的反函数是y arccosx =-，[]1,1x ∈-； ③y tanx =，,23x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的反函数是y arctanx =，(x ∈-∞； ④已知函数()()|1|f x arctan x =-，若存在1x ，[]2,x a b ∈，且12x x <，使()()12f x f x 成立，则1a <. A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三、解答题17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.18. 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”的的.（1）已知函数()23f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”，并说明理由； （2）设()1423xx f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围19. 某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放(14,)m m m R ≤≤∈且个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中16048(){154102x xf x x x ≤≤-=-<≤，，，．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．20. 设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n n S na n -=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若0n a >且数列也为等差数列，试求102lim n n nS a +→∞=的的值； （3）设1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立，求证：存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立. 21. 已知函数()2f x ax bx c =++.（1）当1a =，2b =时，若存在1x ，[]()2122,0x x x ∈-≠，使得()()||21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；（2）若二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有()2224245x x f x x x -+-+成立，且()527f =，求()11f )的值；（3）是否存在一个二次函数()f x ，使得对任意正整数k ，当5555x k =个时，都有25()555k f x =个成立，请给出结论，并加以证明.上师大附中高三期中数学试卷一.填空题1. 方程3log log 32x x +=的解是x =________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据换底公式，将方程化为lg lg 32lg 3lg +=x x，求出lg x ，即可得出结果. 【详解】因为3log log 32x x +=， 所以lg lg 32lg 3lg +=x x，即()()22lg 2lg3lg lg30-⋅+=x x ， 即()2lg lg30-=x ，所以lg lg3=x ，解得3x =. 故答案为3【点睛】本题主要考查含对数的方程，熟记对数的运算性质，以及换底公式即可，属于常考题型. 2. 已知等差数列{}n a ，若1594a a a π++=，则()28sin a a +=______.【答案】2【解析】 【分析】根据已知条件，利用等差中项性质可得5a ，进而得到28a a +的值，然后利用诱导公式，即和特殊角的三角函数值计算. 【详解】1595=34a a a a π++=，∴543a π=，∴28582sin()sin 2si 3n sin 3a a a ππ+====，【点睛】本题考查等差数列的性质，诱导公式，三角函数的化简求值，考查逻辑推理能力、运算求解能力.属小综合题,难度较易. 3. 若tan α=cos α，则1αsin +cos 4α=_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由sin α=cos 2α，对41in s s co αα+进行化简即可得出结果. 【详解】因为tan α=cos α，sin cos cos ααα∴=，∴sin α=cos 2α， 1αsin ∴+cos 4α=22αααsin cos sin ++cos 4α=sin α+2ααcos sin +cos 4α =sin α+ααsin sin +sin 2α=sin 2α+sin α+1=sin 2α+cos 2α+1=1+1=2. 故答案为：2【点睛】本题考查了同角三角函数关系，考查了计算能力，属于基础题目. 4. 若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.【答案】(]1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先计算当0y =和3y =时x 的值，然后分析原函数的图象性质，根据函数的图象性质判断定义域．【详解】令2101x y x -==-得12x =，令2131x y x -==-得2x =，函数2122112111x x y x x x --+===+---，则原函数在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上递减，画出函数211x y x -=-的图象如图所示：由函数211x y x -=-图象可知，当值域为()[),03,-∞+∞时，定义域应为(]1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭． 故答案为：(]1,11,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭．【点睛】解答本题时，要先根据函数值域的端点求出自变量的值，然后通过原函数的图象及性质分析自变量的取值情况，其中将原函数解析式化为121y x =+-，结合反比例函数的图象性质分析211x y x -=-的性质是关键．5. 若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____. 【答案】0 【解析】 【分析】利用()()f x f x π=+来求解. 【详解】因为函数()f x 最小正周期为π，所以x R ∀∈，都有()()f x f x π=+成立，故()2cos 2cos 2cos a x a x a x π+=++=-，则0a =. 故答案为：0. 6. 把函数43sin()13y x π=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位，使得点(,1)2π-成为图像的一个对称中心，则θ的最小值是________ 【答案】56π【解析】 【分析】的根据平移变换可得平移后的解析式为43sin()13y x πθ=-+-，将点(,1)2π-的坐标代入该解析式可得116k πθπ=-+，k Z ∈，从而可得θ的最小值为56π. 【详解】把函数43sin()13y x π=+-的图像向右平移θ（0θ>）个单位， 可得43sin()13y x πθ=-+-， 依题意可得点(,1)2π-在函数43sin()13y x πθ=-+-的图象上， 所以413sin()123ππθ-=-+-，即4sin()023ππθ-+=， 所以423k ππθπ-+=，k Z ∈， 即116k πθπ=-+，k Z ∈，因为0θ>，所以1k =时，θ取得最小值56π. 故答案为：56π【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题.7. 已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为______．【答案】1 【解析】 【分析】利用代入消元法可将问题转化为求解239223y y y --+-的最小值问题，根据0x >且0y >求得302y <<，采用换元的方式将问题转化为求解9281227t t-+++，99,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭的最小值，利用基本不等式求得结果. 【详解】由23x y +=得：32x y =-，由0x >得：320y -> 302y ∴<<()()()222222223239323349939232323223y y y y y xy y y y xy y yy y y y y y ---+-++-+-====-+----∴ 令39y t -=，由302y <<得：99392y -<-<-，即99,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 93t y +∴=2223992228122781992272333x y tt xyt t t t t t+=-+=-+=-+++++⎛⎫++⨯-⨯ ⎪⎝⎭∴ 当99,2t ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，818122t t t t ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭ 当且仅当812t t -=-，即t =8122727t t∴++≤-922181227t t∴-+≥-=++即231x yxy +≥2min31x y xy ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够将问题转化为分式型函数的最值求解问题，通过换元将问题转化为符合基本不等式的形式，从而利用基本不等式求解出函数的最值；易错点是在换元时没有准确求解新参数的取值范围，从而造成求解错误.8. 设()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则不等式()6f x <的解集为______. 【答案】{}04x x << 【解析】【详解】由题设，存在正常数c ，使得()4f c =，且对任意的()0,x ∈+∞，有()22log f x x c -=. 当x c =时，有()22log 4f c c c =+=，由单调性知此方程只有唯一解2c =.所以()22log 2f x x =+.不等式()6f x <，即22log 26x +<，解得04x <<.故不等式的解集为{}04x x <<. 9. 函数tan()42y x ππ=-的部分图象如右图所示，则()OA OB AB +⋅= .【答案】6 【解析】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴ ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=. 考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan()42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.10. 5G 技术数学原理之一便是著名的香农公式：21S C Wlog N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W ，而将信噪比从1000提升至2000，则C 大约增加了____%.（参考数值lg 20.301≈） 【答案】10 【解析】 【分析】将信噪比SN 从1000提升至2000时，C 大约增加了222(12000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++，利用对数的运算法则计算得答案．【详解】解：将信噪比SN从1000提升至2000时， C 大约增加了222(12000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++222200010002001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈的210%3lg =≈， C ∴大约增加了10%．故答案为：10．11. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 【答案】1078 【解析】 【分析】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），分别令2,3,4,5n =，求得{}n a 的前5项，观察得到最小值12310m =++++，最大值291222M =++++，计算可得M m +的值.【详解】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ）， 可得211a a a -=，解得2122a a ==，又3212{,}a a a a -∈，可得3213a a a =+=或3224a a ==， 又43123{,,}a a a a a -∈，可得4314a a a =+=或5； 4325a a a =+=或6；4326a a ==或8；又541234{,,,}a a a a a a -∈，可得5415a a a =+=或6或7；5426a a a =+=或7或8；5437a a a =+=或8或9或10或12；5328a a ==或9或10或12或16，综上所示可得10S 的最大值为()10291121222102312M ⨯-=++++==-，最小值为()1101012310552m +⨯=++++==，所以1023551078M m +=+=. 故答案为：1078【点睛】本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题.12. 设平面向量a ，b 满足12a ≤≤，23b ≤≤，则a b a b ++-的取值范围是________.【答案】⎡⎣【解析】 【分析】设t a b a b =++-，利用绝对值三角不等式得到24t b =≥，然后两边平分结合基本不等式求解. 【详解】设t a b a b =++-，()24t a b a b a b a b b =++-≥+--=≥()222222222?222t a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++⋅++-++-=+++- 当|a b a b +=-∣时，()22222||2a b a b a b a b a b +-≤++-=+∴()()222224423413max t a b=+=+=⨯，所以max t =，综上所述，a b a b ++-的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及绝对值三角不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题13. 已知0a >，0b >，则“220log a log b +>”是“()20log a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：0a >，0b >，则222log log 0log ()01a b ab ab +>⇔>⇔>； 2log ()01a b a b +>⇔+>当1ab >时，221a b ab +>>．故1a b +>成立；反之不成立，例如取2a =，14b =，则1214a b +=>，但112ab =<．故当0a >，0b >时，11ab a b >⇒+>，1a b +>推不出1ab >；因此0a >，0b >，则“22log log 0a b +>”是“2log ()0a b +>”的的充分不必要条件． 故选：A ．14. ABC ∆，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断【答案】A 【解析】，222x y z +=，()22x y z +>0>.则ABC ∆的形状为锐角三角形. 本题选择A 选项.点睛：判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 15. 已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A. ()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. ()(),21,-∞-⋃+∞C. ()(),12,-∞-+∞D. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】将条件变形为21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可求出答案. 【详解】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以120x x y y ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-. 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质和解二次型不等式，变形是关键，属于中档题. 16. 下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①sin y arc x =的反函数是y sinx =；②y cosx =，[],0x π∈-的反函数是y arccosx =-，[]1,1x ∈-；③y tanx =，,23x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的反函数是y arctanx =，(x ∈-∞； ④已知函数()()|1|f x arctan x =-，若存在1x ，[]2,x a b ∈，且12x x <，使()()12f x f x 成立，则1a <. A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D 【解析】 【分析】直接利用函数的性质和反函数的应用判定①②③④的结论． 【详解】解：①arcsin (11)y x x =-的反函数是sin ()22y x xππ=-，故①错误；②cos y x =，[x π∈-，0]的反函数是arccos y x =-，[1x ∈-，1]，故②正确；③tan y x =，(2x π∈-，)3π则函数y 的值域为(y ∈-∞，所以函数的反函数是arctan y x =，(x ∈-∞，故③正确；④已知函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由|arctan |y x =的图象向右平移1个单位得到的，所以函数在(-∞，1]上单调递减，函数在[1，)+∞上单调递增，若存在1x ，2[x a ∈，]b ，且12x x <，使12()()f x f x 成立，所以1b ，故④错误． 故选：C ．三、解答题17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【答案】（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC⋅=和1cos3B=，得ac=6由余弦定理，得2213a c+=.解，即可求出a，c；（2）在ABC∆中，利用同角基本关系得22sin.B=由正弦定理，得sin sin9cC Bb==，又因为a b c=>，所以C为锐角，因此7cos9C==，利用cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+，即可求出结果.（1）由2BA BC⋅=得，，又1cos3B=，所以ac=6.由余弦定理，得2222cosa cb ac B+=+.又b=3，所以2292213a c+=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC∆中，sin3B===由正弦定理，得2sin sin3cC Bb===a b c=>，所以C为锐角，因此7cos9C===.于是cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+=1723393927⋅+⋅=.考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.18. 对于函数()f x，若在定义域内存在实数x，满足()()00f x f x-=-，则称()f x为“M类函数”（1）已知函数()23f x cos xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，试判断()f x否为“M类函数”，并说明理由；（2）设()1423x xf x m+=-⋅-是定义域R上的“M类函数”，求实数m的取值范围【答案】（1）是；答案见解析；（2）1m-.【解析】.【分析】（1）特殊值验证使得()()f x f x -=-即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解．【详解】解：（1）因为()2cos()2cos()2(22323f πππππ-=--=+=⨯=()2cos()2223f πππ=-==()()22f f ππ-=-， 所以存在02=x π使得函数()f x 为“M 类函数”；（2）由已知函数1()423x x f x m +=--满足：()()f x f x -=-， 则化简可得：442(22)60x x x x m --+-+-=⋯① 令222x x t -=+，则2442x x t -+=-，所以①可化为：2280t mt --=在区间[2，)+∞上有解可使得函数()f x 为“M 类函数”，即18()2m t t=-在[2，)+∞有解，而函数18()2t t -在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，有最小值为18(2)122-=-，所以1m -，故实数m 的取值范围为：[1-，)+∞．【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．19. 某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放(14,)m m m R ≤≤∈且个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中16048(){154102x xf x x x ≤≤-=-<≤，，，．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．【答案】（Ⅰ）有效治污的时间可达8天； （Ⅱ）m 的最小值为1 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由4m =可得在水中释放的浓度64(04){8202(410)x y x x x ≤≤=--<≤再分别分段求出水中药剂的浓度不低于4（克/升）时的天数，从而得出有效治污的时间可达8天； （Ⅱ）先得出模型当610x ≤≤时，11616162(5)[]1014428(6)1414m my x m x x x x x=⨯-+=-+=-+-----，然后由基本不等式知44y ≥=，再由44≥，解得1m ≥，即m 的最小值为1 .试题解析：（I ）∵4m = ∴64(04){8202(410)x y x x x ≤≤=--<≤． 2分当04x ≤≤时，由6448x≥-，解得8x ≥-，此时04x ≤≤； 当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤． 4分综上，得08x ≤≤．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．6分 （II ）当610x ≤≤时，11616162(5)[]1014428(6)1414m m y x m x x x x x=⨯-+=-+=-+-----，9分 又14[4,8]x -∈ ， [1,4]m ∈，则44y ≥=． 当且仅当161414mx x-=-，即14[4,8]x -=时取等号.令44≥，解得1m ≥ ，故所求m 的最小值为1 ． 14分 考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式的应用 20. 设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n n S na n -=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若0n a >且数列也为等差数列，试求102lim n n nS a +→∞=的的值；（3）设1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立，求证：存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立. 【答案】（1）证明见解析；（2）14；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）令1n =求得首项1，当2n 时，将n 换为1n -，两式相减可得1(2)(1)1n n n a n a --+-=，再将n 换为1n +，两式相减，结合等差数列的中项性质，即可得证；（2）设数列{}n a 的公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的极限公式，计算可得所求值；（3）由12n n n a b a ++<，可得n 的不等式组，解不等式即可判断存在性． 【详解】解：（1）证明：当1n =时，1121S a -=，即1121a a -=，即11a =， 当2n 时，112(1)1n n S n a n ----=-，又2n n S na n -=， 两式相减可得1(2)(1)1n n n a n a --+-=，①将上式中的n 换为1n +，可得1(1)1n n n a na +-+=，② ①-②可得112n n n a a a -+=+，(2)n ， 所以数列{}n a 为首项为1的等差数列；（2）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11(1)2n S na n n d =+-，由于数列也为等差数列，可得=即1=+2d =，则21n a n =-，2n S n =，则2210222(10)201001lim lim lim (21)4414n n n n nS n n n a n n n +→∞→∞→∞+++===--+； （3）证明：由1n n S b n+=，且1n n a a +>恒成立， 又12n n n a b a ++<，可得2(1)2123n n n n+++，整理可得221010n n n n ⎧--⎨+->⎩51n+<，1-=0>， 因此存在唯一的正整数n ，使得不等式12n n n a b a ++<成立．【点睛】本题考查数列的递推式的运用、等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，以及数列极限的求法和存在性问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力． 21. 已知函数()2f x ax bx c =++.（1）当1a =，2b =时，若存在1x ，[]()2122,0x x x ∈-≠，使得()()||21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；（2）若二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有()2224245x x f x x x -+-+成立，且()527f =，求()11f )的值；（3）是否存在一个二次函数()f x ，使得对任意正整数k ，当5555x k =个时，都有25()555k f x =个成立，请给出结论，并加以证明.【答案】（1）[)[)2,12,3c ∈--⋃；（2）()11153f =；（3）存在，()2925f x x x =+；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a =，2b =时，2()(1)1f x x c =++-，由题意可得关于c 的不等式，解得即可，（2）利用二次函数求出两个函数值相等时，x 的值，利用函数的对称性设出函数的解析式，求出函数然后求解函数值；（3）先假设存在这样的二次函数，设出二次函数的解析式，根据所给的三对数值，写出关于a ，b ，c 的方程组，利用待定系数法得到结果，后面进行证明． 【详解】解：（1）当1a =，2b =时，2()(1)1f x x c =++-由题意可知，()2f x =在[2-，0]上有两个不等实根，或()2f x =-在[2-，0]上有两个不等实根，则(1)2(0)2f f -<⎧⎨⎩或(1)2(0)2f f -<-⎧⎨-⎩，解得23c <或21c -<-即实数c 的取值范围是21c -<-或23c <．（2）二次函数()y f x =对一切x ∈R 恒有2224()245x x f x x x -+-+成立， 可得2224245x x x x -+=-+，解得1x =，f （1）3=， 函数的对称轴为1x =， 设函数2()(2)f x a x x b =-+， 由f （1）3=，f （5）27=， 可得3-+=a b ，1527a b +=， 解得32a =，92b =， 239()(2)22f x x x =-+，239(11)(11211)15322f =-⨯+=．（3）存在符合条件的二次函数．设2()f x ax bx c =++，则当1k =，2，3时有：f （5）25555a b c =++=①；(55)3025555555f a a c =++=②；(555)308025555555555f a b c =++=③．联立①、②、③，解得95a =，2b =，0c ． 于是，29()25f x x x =+．下面证明二次函数29()25f x x x =+符合条件．因为()()1555555110100101019k kk -⋯=++++=-个，同理：()2555551019kk ⋯=-个； ()()()55955555101101221019599k k k f f k ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪⋯=-=-+⨯- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭个 ()()()()2255555(101)21011011011015559999k k k k k k =-+⨯-=-+=-=⋯个， ∴所求的二次函数29()25f x x x =+符合条件．【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的对称性，函数的解析式的求法，恒成立条件的应用，考查利用待定系数法求函数的解析式，注意在解题过程中所给的数据虽然大，但是规律性很强，注意应用．。

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月练习数学试卷

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月练习数学试卷

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月练习数学试卷一、填空题1．函数tan 2y x =的最小正周期为．2．已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =≤，则A =3．函数()2log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为4．函数2sin 2cos y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭值域是.5．若实数x ，y 满足xy 1=，则222x y +的最小值为．6．已知()()||f x x a x a =+⋅+在R 上为严格增函数，则实数a 的取值范围是7．已知函数()sin (0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>>≤<的图像与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，则ϕ=.8．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=，且(3)e f =，则(2024)(2025)(2026)f f f ++=9．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是2cos3y x =，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是sin()y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2），则ϕ=10．若函数cos y x ω=(0)>ω在3π[,π]4上严格减，则正实数ω的取值范围是 11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x =+，且当[)1,0x ∈-时，()()1f x x x =-+.若对任意[),x λ∈+∞，不等式()34f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是. 12．设9(0,)2ω∈，若在区间[π,2π)上存在唯一的a 和唯一的b ，使a b <且sin()cos()2a b ωω+=成立，则ω的取值范围是二、单选题13．函数πtan(3)6y x =-+的单调减区间是（ ）A ．ππ[π,π]33k k -+（k ∈Z ）B ．π2π(π,π)99k k -+（k ∈Z ）C ．πππ2π[,]3939k k -+（k ∈Z ） D ．πππ2π(,)3939k k -+（k ∈Z ） 14．设()f x 在0x 处可导，下列式子与()0f x '相等的是（ ）A ．()()000limx f x f x x x∆→-+∆∆B ．()()000lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002lim x f x x f x x ∆→+∆-∆D ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆-∆15．已知函数()()3f x cos x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，则（ ）A ．函数()1f x -一定是奇函数B ．函数()1f x +一定是奇函数C ．函数()1f x -一定是偶函数D ．函数()1f x +一定是偶函数16．已知0a >，sin y x =在[,2]a a 上的最小值为1S ，最大值为2S ，sin y x =在[2,3]a a 上的最小值为1T ，最大值为2T ，有以下两个命题：①11S T =且22S T =的充要条件是42k a ππ=+，k ∈N ；②存在0a >，使120S T +=且210S T +≠；下列选项正确的是（ ）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误三、解答题17．已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． (1)求()f x 的最小正周期和单调区间；(2)已知π3π[,]44x ∈，求()f x 的最值，并写出取得最值时x 的值．18．已知函数()log a f x x =，其中0a >且1a ≠．(1)若函数()y f x =的图象过点()4,2，求不等式()()22f x f x -<的解集； (2)若存在实数x ，使得()()()122f x f x f ax +++=，求a 的取值范围；19．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本102p +万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 20．已知函数()()ln af x x a R x=+∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）令()()52a k g a a--=，若对任意的0x >，0a >，恒有()()f x g a ≥成立，求实数k的最大整数．21．设()()s i n f x x ωϕ=+()0,0πωϕ><<，函数()y f x =的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴． (1)求函数()y f x =的表达式；(2)函数()1122x g x x f ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在[]0,2π上的值域； (3)将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后得到函数()y h x =的图象，设R λ∈，n 为正整数，且函数()()y f x h x λ=+在区间()0,πn 内恰有2023个零点，求λ与n 的值．。

上海市上海师范大学附属中学2017-2018学年上学期高三期中考试数学试卷

上海市上海师范大学附属中学2017-2018学年上学期高三期中考试数学试卷

上师大附中2017学年第一学期期中考试高三年级 数学学科一 填空题 1、已知集合2{|12},{|,}A x xB y y x x A =-≤≤==∈，则A B ⋂=.2、函数()f x =的定义域为 .3、化简：()()5sin tan 2cos 2cot 2ππααππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭= .4、函数()22,0,1,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则f ⎛⎫= .5、等比数列{}na 的各项均为实数，其前n项的和为nS ，已知374S =，6634S =，则8a =．6、如果函数()y f x =的反函数为()113x f x -+=，那么()1f =.7、已知{}na 是等差数列，若2412a a =，158a a +=，则6a 的值是 .8、已知33(3)(12)a a ---<+，则实数a的取值范围是 . 9、若函数21()2x xf x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x的取值范围是 . 10、已知a ∈R，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a的取值范围是 .11、如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km ，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇。

假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h，步行的速度是5/km h，用t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离。

经过计算将船停在海岸处某地，可使从小岛到城镇所 花时间最短，则这个最短时间是h．12、设是定义在且周期为的函数，在区间上，．其中集合，()f xR1[)0,1则方程的解的个数是 ． 二．选择题 13、函数1a r csin2y x =的值域是（ ）.A. ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14 ．若a b c<<,则函数()()()()()()(f x x a x b x b x c x c xa=--+--+--的两个零点分别位于区间( ) .A. ()a b ，和()b c ，内B. ()a -∞，和()a b ，内C.()b c ，和()c +∞，内D.()a -∞，和()c +∞，内15、已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）.A.是奇函数，且在上是增函数B.是偶函数，且在上是增函数C.是奇函数，且在上是减函数D.是偶函数，且在上是减函数16、已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，则不等式f (x)>1的解集是( ) .A.⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π6，kπ＋56π，k ∈Z ()f x RRRRB.⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π12，kπ＋56π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π6，kπ＋π4，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π12，kπ＋π4，k ∈Z 三.解答题 17、已知二次函数32)(2--=x mx x f ，若不等式)(<x f 的解集为(1,)n -．（1）求解关于x的不等式：228(1)5x x n m x -+>+-； （2）若0a >且1a ≠ ， 求()x y f a = []），（21∈x 的最小值．18、在ABC△中，D 是BC上的点，AD 平分BAC∠，ABD△是ADC△面积的2倍．(1)求 sin sin B C； (2)若1,AD DC ==，求BD 和AC的长．19、设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式； （2）试确定的值，使得数列为等差数列．20、已知()y f x =是定义在R上的奇函数．（1）当0x >时，()236f x x x =-+，若当[]3,1x ∈--时，()n f x m≤≤恒成立，求m n-的最小值；（2）若()f x的图像关于3x =对称，且12a =qq33a 18a 5a *,t R n N ∈∈t(3,0)x ∈-时，()31x f x x =-+，求当(9,6)x ∈--时，()f x的解析式；（3）当0x ≥时，()2f x x =．若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，求实数t的取值范围．21、我们称满足：()1*2(1)()k n n n a k a a n +-=--∈N 的数列{}n a 为“k级梦数列”．（1）若{}na 是“1级梦数列”且12a =，求：234311111111a a a a ------和的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=,求201814a a -的最小值；（3）若{}na 是“0级梦数列”且112a =，设数列{}2na 的前n项和为nS . 证明()*112(2)2(1)n S n n n n ≤≤+∈+N .参考答案一. 填空题 1.[]0,2 2.(0,10]3.cot α-4. 25. 326. 1- 7. 210-或 8.1(,4)(,3)2-∞-- 9.(01)， 10.(],4.5-∞11. 4415h 12.二. 选择题13. B 14. A 15. A 16. D8三. 解答题 17. (1) (),1(4,)-∞⋃+∞ (2)2min 23m a a =--18.（1）sin 1sin 2B C =；（2）BD =1AC =.19.（1）2nn a =；（2）3t =.20.（1）m n-的最小值为94；（2）当(9,6)x ∈--时，()()61235x f x f x x +=+=-++；（3）t ≥21.（1）2343111111,113117a a a a -=-=----；（2）72-；（3）略.。

2022届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)

2022届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)

2022届上海市上海师范大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则A B =____. 【答案】{1,2}【解析】根据交集定义的运算即可． 【详解】解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}A B =． 故答案为：{1,2}．【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．函数()f x =__． 【答案】(0,1]．【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =(0,1]． 故答案为：(0,1]3．若矩阵sin cos m A nθθ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin cos mB n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭，且A B =，则22m n +=___________. 【答案】1【分析】由矩阵相等可得sin ,cos m n θθ==，进而可得结果. 【详解】因为A B =，所以sin ,cos m n θθ==， 所以2222sin cos 1m n θθ+=+=， 故答案为：1. 4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 【答案】79-【解析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79-5．函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3，则实数m =______. 【答案】2【分析】由反函数的图象经过点()1,3，得原函数的图象经过点()3,1，代入解出答案即可. 【详解】解：因为函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3 所以函数()2log 1y x m =-+的图象经过点()3,1 所以()21log 31m =-+，解得2m = 故答案为2.【点睛】本题考查了函数与反函数图像的关系，属于基础题.6．已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(3,)+∞【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围 【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ， {}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆， 所以3a >， 故答案为：(3,)+∞7．在ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c 2201c a B+=，则角A =____.【答案】56π 【解析】利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．【详解】在ABC 中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c 2201c a B+=，22cos c a B +=，由正弦定理可得3sin 2sin 2sin cos B C A B +=， 即()3sin 2sin 2sin cos B A B A B ++=，可得3cos 2A =-， 因为(0,)A π∈,所以56A π=． 故答案为：56π． 8．设偶函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x+-< 的解集是_______________． 【答案】(,2)(0,2)-∞-⋃【详解】作出满足条件的函数f(x)的草图如下：由图象可得，()()0f x f x x+-<⇔2()0f x x<⇔()0xf x < 0()0x f x <⎧⎨>⎩ 或0()0x f x >⎧⎨<⎩ ⇔x ＜－2或0＜x ＜2， 解集为{x|x ＜－2或0＜x ＜2}点晴：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生对数形结合思想的应用，在本题中首先根据函数的奇偶性，单调性以及()20f =，作出函数y=f (x )的草图，然后对所求不等式结合奇偶性以及符号法测进行化简，由图象即可求得不等式解集．9．当2x >时，函数14x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒在函数34y x =-的图象下方，则a 的取值范围为_______. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意，得当2x >时不等式1434x a x -<-恒成立，即1314x a x -<-，令()1x f x a -=，3()14g x x =-，分类讨论1a >和01a <<两种情况，并在在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a 的不等式，解不等式得解【详解】由题意，得当2x >时不等式1434x a x -<-恒成立，即1314x ax -<-，令()1x f x a -=，3()14g x x =-，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象， 当1a >时，如图所示，由图可知，x ∀∈R ，1314x ax ->-恒成立，故不满足题意； 当01a <<时，如图所示，由图可知，要2x ∀>，1314x a x -<-恒成立， 需()()22f g ≤，即213214a -≤⨯-，解得12a ≤，故102a <≤ 综上可知： a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.10．函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________. 【答案】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】先画出211()1,22f x x x =--≤≤的图象，在旋转过程依据函数的定义可得θ可取值的集合.【详解】()f x 的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：221x y +=，其中132A ⎛- ⎝⎭，132B ⎛ ⎝⎭. 在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（1）的位置旋转到()1,0，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故03πθ≤≤.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（2）的()1,0位置旋转到x 轴下方，而A 在x 轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象， 故233ππθ<<不符合. 在图象绕原点旋转的过程中， A 在x 轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故23πθπ≤≤符合. 故答案为：20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键. 11．函数11y x=-的图象与函数[]()2sin 2,4,y x x k k k Z π=∈--+∈的图象所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k 的值是______. 【答案】1006或1007. 【分析】由题意可得函数11y x=-的图象与函数2sin y x =π的图象所有交点成对出现， 且每一对关于点()10，对称，结合所有横坐标之和等于2020即可得到k 的值. 【详解】函数11y x=-的图象关于点()10，对称，函数2sin y x =π的图象也关于点()10，对称，如图所示，故函数11y x=-的图象与函数2sin y x =π的图象所有交点成对出现，且每一对关于点()10，对称，每一对交点的横坐标之和为2，又因为两个图象的所有交点的横坐标之和等于2020，所以它们共有1010对交点， 所以41010k +=或41011k +=，解得1006k =或1007k =. 故答案为：1006或1007.12．设2()22021x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,N a b ∈，x ∈R ，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为__． 【答案】(0,0)或(1,0)．【分析】由题意有()f x x =，有2222021022021x xx a x b x a x b x ⎧+⋅+⋅=⎨+⋅+⋅=⎩，解得0x =，可得0b =，再结合函数解析式分类讨论函数()y f x =与函数(())y f f x =有相同零点的条件，求出a 的值. 【详解】函数()y f x =的零点为方程2220210x x a x b +⋅+⋅=的根，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =的零点完全相同，则()f x x =，即222021x x a x b x +⋅+⋅=， 方程222021x x a x b x +⋅+⋅=的根就是函数()y f x =与函数(())y f f x =的零点，则有2222021022021x xx a x b x a x b x ⎧+⋅+⋅=⎨+⋅+⋅=⎩，解得0x =， 即2220210x x a x b +⋅+⋅=的1个根为0x =，所以0b =，则2()2f x x ax =+， 当0a =时，2()f x x =，4(())=f f x x ，有唯一零点0x =，符合；当0a ≠时，2()20f x x ax =+=，解得10x =或22x a =-，(())()[()2]0f f x f x f x a =+=，所以()0f x =或()2f x a =-，因为()0f x =已满足有两个相同的零点10x =或22x a =-， 所以()2f x a =-无解，即2220x ax a ++=无解，2480a a ∆=-<，02a <<，所以1a =，则(,)a b 为(0,0)或(1,0)． 故答案为：(0,0)或(1,0)二、单选题13．已知,a b R ∈，则“a b =”是“2a bab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】当2a bab +=时，可得2()4a b ab +=，整理得到2()0a b -=，即a b =， 当1a b ==-时，12a b +=-，1ab =，此时2a bab +≠， 所以“a b =”是“2a bab +=”的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，方法如下：（1）当2a bab +=时，可以推出a b =成立，满足必要性； （2）当a b =时，对,a b 赋值，令1a b ==-，可以判断2a bab +=不成立，不满足充分性； （3）对不满足条件的，可以举反例. 14．函数()ln cos sin x x f x x x⋅=+在[)(]π,00,π-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，可判断A ；取特殊值，根据特殊值的函数值可判断B,C,D ,可得答案. 【详解】由题意函数()ln cos sin x x f x x x⋅=+，[)(]π,00,πx ∈-⋃，则()ln cos()()sin()x x f x f x x x -⋅--==--+-，故()ln cos sin x x f x x x⋅=+为奇函数，其图像关于原点对称，故A 错误；又因为(1)(1)0f f =-=，ππ()()022f f =-=,可判断B 错误，1lnln 23πππ3()0,(π)=0π3πf f ⋅->+=<，故C 错误， 只有D 中图像符合题意，故D 正确， 故选：D15．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A 223-B 223+ C 261- D 261+【答案】D【解析】本题首先可根据终边交单位圆于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭得出1223P ⎛- ⎝⎭，然后根据1223P ⎛- ⎝⎭得出22sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭以及1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】因为锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22113y ，22y =22（舍去），1223P ⎛- ⎝⎭， 则22sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 故sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查根据角的终边经过的点的坐标求角的正弦值和余弦值，考查两角差的正弦公式，求出点P 坐标、sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.16．设函数,()1,x x Pf x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠； （3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=. 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【详解】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确； 对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==， 显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立， 根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确； 对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当 P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确. 故选：B三、解答题17．（1）若关于x 的不等式2320ax x ++>的解集为(,1)b ，求实数,a b 的值； （2）若0a >，解关于x 的不等式2321ax x ax ++>--.【答案】（1）25,5=-=-a b ；（2）答案见解析【分析】（1）由二次不等式的解集，利用韦达定理求解系数； （2）分类讨论二次不等式的解.【详解】（1）由题意得2320ax x ++=的两根为b 和1，所以3121b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得25,5=-=-a b ；（2）由2321ax x ax ++>--得2(3)30ax a x +++>，即(3)(1)0ax x ++>， 当(0,3)a ∈时，解集为()3,1,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；当3a =时，解集为()(),11,-∞--+∞；当(3,)a ∈+∞时，解集为()3,1,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.18．已知函数21()cos cos (R)2f x x x x x =--∈．(1)当π5π[,]1212x ∈-时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； (2)设ABC 的内角A，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，且a =6b =，12A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求ABC的面积ABCS．【答案】(1)最大值0，此时π3x =；最小值1-，此时π12x =-；(2)【分析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简，由定义区间求最大值和最小值时x 的值；（2）由函数值求得角A ，余弦定理求得c 边，由面积公式计算面积.【详解】（1）211cos21()cos cos 2222x f x x x xx +=----， 12cos 212x x =--πsin(2)16x =--，因为π5π[,]1212x ∈-，有ππ2π2[,]633x -∈-，所以πsin(2)16x ≤-≤，π()sin(2)16f x x =--的最大值0，此时π3x =，π()sin(2)16f x x =--的最小值1-π12x =-； （2）πsin 1126A f A ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 06A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由A 为三角形内角得π6A =，因为a =6b =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得212360c =+-=，解得c =c =由13sin 22ABC bc A c S ==，得ABC S =ABC S =△19．勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1,2,3,,12)n n =个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ≤≤⎧=⎨-+-≤≤⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量.（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【答案】（1）前7个月每月该食材都够用；（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【解析】（1）由题意知6460n n S -≥恒成立，讨论16n ≤≤、7n =确定不等式是否成立即可. （2）保证全年每一个月该食材都够用有n pn S ≥恒成立，即max ()n S p n≥，可求p 的最小值． 【详解】（1）当16n ≤≤时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用； 当7n =时，因为()7646764676497747618160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用． 所以，前7个月每月该食材都够用（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S ≥对1,2,,12n =恒成立．当16n ≤≤时，635pn n ≥恒成立，可得635p ≥；当712n ≤≤时，26774618pn n n ≥-+-恒成立，即1037746()p n n ≥-+恒成立，而当10n =时，1037746()n n -+的最大值为652.2 综上，可得652.2p ≥．∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．已知函数22,?10,()=1,? 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()f x -；(2)试问:函数()f x 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足: 123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．【答案】（1）1,? 0<2,2?10.x x x ⎧-≤⎪-≤≤；（2）存在点1,2(12)A B -关于原点对称；（3）【详解】试题分析：(1)根据分段函数的反函数的求法求出函数()f x 的反函数()1f x -；(2)设点()()00000,(01),A x y x B x y <≤--、是函数图象上关于原点对称的点，则()()000f x f x +-=，即200120x x -+=， 解方程求出0x ，即可说明：函数图象上存在两点关于原点对称.(3) 根据函数()y f x =与函数y =的图象，可得当1x -≤≤时，2 +2x a =-，且 02a ≤≤.；当1x <≤时， 24=0+4a x x a =-，，于是，123224,,024a x x x a a =-=-=++. 由()32212x x x x -=-，解得a =02a <=，满足条件.因此，所求实数a =. 试题解析：(1) ()22,10,=1,0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩ ∴当10x -≤<时，()()2,02f x x f x =-<≤.由2y x =-，得12x y =-，互换,x y ，可得()11(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，()()21,10f x x f x =--≤≤.由21y x =-，得x ,x y ，可得())110f x x --≤≤.()11,0<2,210.x x f x x -⎧-≤⎪∴=-≤≤ (2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.设点()()00000,(01),A x y x B x y <≤--、是函数图象上关于原点对称的点，则()()000f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,x x ==舍去），且满足01x <≤ .因此，函数图象上存在点()1,2,12A B -关于原点对称. (3) 考察函数()y f x =与函数y =的图象，可得当1x -≤≤时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得 2+2x a =-，且由21+2a -≤-≤02a ≤≤.当1x <≤时，有()f x <240ax -=，化简得 ()22440a x ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，(当02a ≤≤时，2404a a <-<+). 于是，123224,,024a x x x a a =-=-=++. 由()32212x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得a =因为1a =<-，故a =02a <=<，满足条件.因此，所求实数a =. 21．若定义城R 的函数()f x 满足：①()()()121212,0x x R x x f x f x ∀∈--⎡⎤⎣⎦≥，②()()0,1T x R f x T f x ∃∀∈+=+＞，.则称函数()f x 满足性质()P T .（1）判断函数()2f x x =与()g sin x x =是否满足性质()P T ，若满足，求出T 的值；（2）若函数()f x 满足性质()2P 判断是否存在实数a ，使得对任意x R ∈，都有()()2021f x a f x +-=，并说明理由；（3）若函数()f x 满足性质()4P ，且()20f -=.对任意的()2,2x ∈-，都有()()f x f x -=-，求函数()()()4tg t f t f t f t =⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域. 【答案】（1）不满足；（2）存在，理由见解析；（3）(){1}(2,6].g t ∈.【分析】（1）分别验证两个函数是否满足条件①和②；（2）由②计算可得()()2f x n f x n +-=，令2021n =，求得a 的值；（3）根据已知可得任意的[)42,42x k k ∈-+，Z k ∈，有()f x k =，由()0f t ≠，可得[)2,2t ∉-，分2t =和2t >两种情况分别求出()g t 的值域，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）函数()2f x x =满足性质1()2P . 显然函数()2f x x =满足①，对于②，由, ()()1x f x T f x ∀∈+=+R 有，2()21x T x +=+，所以21T =，即12T =. 函数()sin g x x =显然不满足①，所以不满足性质()P T .（Ⅱ）存在.理由如下：由, (2)()1x f x f x ∀∈+=+R ，可得*(2)(22)1(24)2(26)3()()f x n f x n f x n f x n f x n n +=+-+=+-+=+-+==+∈N . 即(2)()f x n f x n +-=.令2021n =，得24042a n ==.（Ⅲ）依题意，对任意的(2,2)-有()()f x f x -=-，所以(0)0f =. 因为函数()f x 满足性质(4)P ， 由①可得， 在区间[2,0]-上有(2)()(0)f f x f -≤≤，又因为(2)0f -=，所以0()0f x ≤≤. 可得 [2,0],()0x f x ∀∈-=. 又因为对任意的(2,2)-有()()f x f x -=-，所以[)()2,2,0x f x ∈-=. 递推可得[42,42), , ().x k k k f x k ∀∈-+∈=Z 有 函数()4()(()+1)tg t f t f t=， 因为()0, f t ≠所以[2,2).t ∉-由②及(2)0f -=可得(2)1f =， 所以当22 (2)11(11)t g ===⨯+时，. 易知当||2t >时，4(2,2)t ∈-，所以4()0f t=. 即2t >时，()()t g t f t =.所以当[42,42)(, 0, 2)t k k k k t ∈-+∈≠≠Z 时，()t g t k=.当1k ≥时， 424222()[,)[4,4).k k g t k k k k -+∈=-+ （但1k =时， ()2g t ≠，需要排除） 显然， 此时2k随k 的增大而减小， 所以2222[4,4)[4,4)+1+1k k k k -+-+. 所以求值域时， 只需取1k =， 得22()(4,4)(2,6)11g t ∈-+=.当0k <时， 424222()(,](4,4].k k g t k k k k +-∈=+- 显然， 此时2k随k 的增大而减小， 2222(4,4](4,4]11k k k k +-+---. 只需取1k =-， 得22()(4+,4](2,6]11g t ∈-=--. 综上， 函数值域为(){1}(2,6].g t ∈【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理能力，属于难题.。

2020-2021学年上海师大附中高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海师大附中高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）方程log3x+log x3=2的解是x=___ ．2.（填空题.3分）已知等差数列{a n}.若a1+a5+a9=4π.则sin（a2+a8）=___ ．3.（填空题.3分）若tanα=cosα.则 $\frac{1}{sinα}$ +cos4α=___ ．4.（填空题.3分）函数h（x）= $\frac{2x-1}{x-1}$ 的值域是（-∞.0]∪[3.+∞）.则其定义域是___ ．5.（填空题.3分）若函数f（x）=|a+2cosx|的最小正周期为π.则实数a的值为___ ．6.（填空题.3分）把函数 $y=3sin(x+\frac{4π}{3})-1$ 的图象向右平移θ（θ＞0）个单位.使得点 $(\frac{π}{2}.-1)$ 成为图象的一个对称中心.则θ的最小值是___ ．7.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+2y=3.则xy的最大值为___ . $\frac{{x^2}+3y}{xy}$ 的最小值为___ ．8.（填空题.3分）设f（x）是定义在（0.+∞）上的单调函数.若对任意的x∈（0.+∞）.都有f[f （x）-2log2x]=4.则不等式f（x）＜6的解集为___ ．9.（填空题.3分）函数y=tan（ $\frac{π}{4}$ x- $\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示.则（ $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ ）• $\overrightarrow{AB}$ =___ ．10.（填空题.3分）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2（1+$\frac{S}{N}$ ）.它表示：在受噪声干扰的信道中.最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.按照香农公式.若不改变宽带W.而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至2000.则C大约增加了___ %．11.（填空题.3分）已知数列{a n}满足：a1=1.a n+1-a n∈{a1.a2.….a n}（n∈N*）.记数列{a n}的前n项和为S n.若对所有满足条件的{a n}.S10的最大值为M.最小值为m.则M+m=___ ．12.（填空题.3分）设平面向量 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 满足1≤|$\overrightarrow{a}$ |≤2.2≤| $\overrightarrow{b}$ |≤3.则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ |+| $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ |的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）已知a＞0.b＞0.则“log2a+log2b＞0”是“log2（a+b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）△ABC中.三边长分别为 $\sqrt{x}$ 、 $\sqrt{y}$ 、 $\sqrt{z}$ .且x2+y2=z2.则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断15.（单选题.3分）已知（x+y）（x-2y）=1且y≠0.则 $\frac{x}{y}$ 的取值范围为（）A.（-∞.-1）∪（2.+∞）B.（-∞.-2）∪（1.+∞）C. $({-∞.-\frac{1}{2}})∪({2.+∞})$D. $({-∞.\frac{1}{2}})∪({2.+∞})$16.（单选题.3分）下列命题中.正确命题的个数是（）① y=arcsinx的反函数是y=sinx；② y=cosx.x∈[-π.0]的反函数是y=-arccosx.x∈[-1.1]；③ y=tanx.x∈（- $\frac{π}{2}$ . $\frac{π}{3}$）的反函数是y=arctanx.x∈（-∞. $\sqrt{3}$ ）；④ 已知函数f（x）=|arctan（x-1）|.若存在x1.x2∈[a.b].且x1＜x2.使f（x1）≥f（x2）成立.则a＜1．A.0个B.1个C.2个D.3个17.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且a＞c．已知$\overrightarrow{BA}$ • $\overrightarrow{BC}$ =2.cosB= $\frac{1}{3}$ .b=3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B-C）的值．18.（问答题.0分）对于函数f（x）.若在定义域内存在实数x0.满足f（-x0）=-f（x0）.则称f （x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）=2cos（x- $\frac{π}{3}$）.试判断f（x）是否为“M类函数”.并说明理由；（2）设f（x）=4x-m•2x+1-3是定义域R上的“M类函数”.求实数m的取值范围．19.（问答题.0分）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污.他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（1≤m≤4.且m∈R）个单位的药剂.它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=m•f（x）.其中f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}.0≤x≤4}\\{5-\frac{1}{2}x.4＜x≤10}\end{array}\right.$ 若多次投放.则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验.当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时.它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂.则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂.6天后再投放m个单位的药剂.要使接下来的4天中能够持续有效治污.试求m的最小值．20.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和是S n.且2S n-na n=n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若a n＞0且数列{ $\sqrt{{S}_{n}}$ }也为等差数列.试求$\underset{n→∞}{lim}$ $\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$ 的值；（3）设b n= $\frac{{S}_{n+1}}{n}$ .且a n+1＞a n恒成立.求证：存在唯一的正整数n.使得不等式a n+1≤b n＜a n+2成立．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=ax2+bx+c．（1）当a=1.b=2时.若存在x1.x2∈[-2.0]（x1≠x2）.使得|f（x i）|=2（i=1.2）.求实数c的取值范围；（2）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2-2x+4≤f（x）≤2x2-4x+5成立.且f（5）=27.求f（11）的值；（3）是否存在一个二次函数f（x）.使得对任意正整数k.当x= $\underbrace{55\ldots 5}_{k 个5}$ 时.都有f（x）= $\underbrace{55\ldots 5}_{2k个5}$ 成立.请给出结论.并加以证明．2020-2021学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）方程log3x+log x3=2的解是x=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：解关于对数的方程.求出x的值即可．【解答】：解：∵log3x+log x3=2.∴log3x+ $\frac{1}{{log}_{3}x}$ =2.∴（log3x-1）2=0.解得：x=3.故答案为：3．【点评】：本题考查了解对数的运算.考查解对数方程问题.是一道基础题．2.（填空题.3分）已知等差数列{a n}.若a1+a5+a9=4π.则sin（a2+a8）=___ ．【正确答案】：[1] $\frac{\sqrt{3}}{2}$【解析】：a1+a5+a9=4π.利用等差数列的性质可得：3a5=4π.a5.可得sin（a2+a8）=sin（2a5）．【解答】：解：a1+a5+a9=4π.∴3a5=4π.a5= $\frac{4π}{3}$ .则sin（a2+a8）=sin（2a5）=sin $\frac{8π}{3}$=sin $\frac{2π}{3}$= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．故答案为： $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．【点评】：本题考查了等差数列的性质、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3.（填空题.3分）若tanα=cosα.则 $\frac{1}{sinα}$ +cos4α=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：把已知等式变形.化为关于sinα的一元二次方程.求得sinα.再由$\frac{1}{sinα}$ +cos4α= $\frac{1}{sinα}+si{n}^{2}$α求解．【解答】：解：由tanα=cosα.得 $\frac{sinα}{cosα}=cosα$ .即sinα=cos2α=1-sin2α.则sin2α+sinα-1=0.解得sinα= $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或sinα= $\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$ （舍）．∴ $\frac{1}{sinα}$ +cos4α= $\frac{1}{sinα}+si{n}^{2}$α= $\frac{2}{\sqrt{5}-1}+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}$ = $\frac{\sqrt{5}+1}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=2$ ．故答案为：2．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查同角三角函数基本关系式的应用.考查函数与方程思想的应用.是中档题．4.（填空题.3分）函数h（x）= $\frac{2x-1}{x-1}$ 的值域是（-∞.0]∪[3.+∞）.则其定义域是___ ．【正确答案】：[1][ $\frac{1}{2}$ .1）∪（1.2]【解析】：由题设知y≤0.或y≥3．当y≤0时. $\frac{2x-1}{x-1}≤0$ .解得： $\frac{1}{2}≤$ x＜1．当y≥3时. $\frac{2x-1}{x-1}-3≥0$ .解得：1＜x≤2．【解答】：解：∵函数 $h(x)=\frac{2x-1}{x-1}$ 的值域是（-∞.0]∪[3.+∞）.∴y≤0.y≥3．当y＜0时.$\frac{2x-1}{x-1}≤0$ .解得： $\frac{1}{2}≤$ x＜1．当y≥3时.$\frac{2x-1}{x-1}-3≥0$ .解得：1＜x≤2．所以定义域为：[ $\frac{1}{2}$ .1）∪（1.2]．故答案为：[ $\frac{1}{2}$ .1）∪（1.2]．【点评】：本题考查函数值的求法.解题时要认真审题.注意不等式性质的合理运用．5.（填空题.3分）若函数f（x）=|a+2cosx|的最小正周期为π.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：本题等价于|cosx+ $\frac{a}{2}$ |的周期为π.可得|cosx+ $\frac{a}{2}$ |=|cos（π+x）+ $\frac{a}{2}$ |=|cosx- $\frac{a}{2}$ |.两边平方.整理可得2acosx=0.从而求得a的值．【解答】：解：函数f（x）=|a+2cosx|的最小正周期为π.等价于|cosx+ $\frac{a}{2}$ |的周期为π.∴|cosx+ $\frac{a}{2}$ |=|cos（π+x）+ $\frac{a}{2}$ |=|-cosx+ $\frac{a}{2}$ |=|cosx-$\frac{a}{2}$ |.两边平方.整理可得2acosx=0.∴a=0.故答案为：0．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性.诱导公式的应用.属于中档题．6.（填空题.3分）把函数 $y=3sin(x+\frac{4π}{3})-1$ 的图象向右平移θ（θ＞0）个单位.使得点 $(\frac{π}{2}.-1)$ 成为图象的一个对称中心.则θ的最小值是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{5π}{6}$【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.得出结论．【解答】：解：把函数 $y=3sin(x+\frac{4π}{3})-1$ 的图象向右平移θ（θ＞0）个单位.可得y=3sin（x-θ+ $\frac{4π}{3}$）-1的图象.使得点 $(\frac{π}{2}.-1)$ 成为图象的一个对称中心.则3sin（ $\frac{π}{2}$ -θ+ $\frac{4π}{3}$）=0.∴ $\frac{π}{2}$ -θ+ $\frac{4π}{3}$=kπ.k∈Z．故当k=1时.得到θ的最小正值为 $\frac{5π}{6}$ .故答案为： $\frac{5π}{6}$．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.属于基础题7.（填空题.3分）已知正实数x.y满足x+2y=3.则xy的最大值为___ . $\frac{{x^2}+3y}{xy}$ 的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{9}{8}$ ; [2]2 $\sqrt{2}+1$【解析】：由x+2y≥2 $\sqrt{2xy}$ .可求xy的最大值；$\frac{{x^2}+3y}{xy}$ = $\frac{{x}^{2}+(x+2y)y}{xy}$ = $\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+1$ .利用基本不等式可求最值．【解答】：解：正实数x.y满足x+2y=3.由基本不等式可得.3=x+2y≥2 $\sqrt{2xy}$ .当且仅当x=2y时取等号.则xy $≤\frac{9}{8}$ .即最大值 $\frac{9}{8}$ ；∵ $\frac{{x^2}+3y}{xy}$ = $\frac{{x}^{2}+(x+2y)y}{xy}$ =$\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+1$ $≥2\sqrt{\frac{x}{y}\bullet \frac{2y}{x}}+1$ =2 $\sqrt{2}+1$ . 故答案为： $\frac{9}{8}；2\sqrt{2}+1$【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是应用条件的配凑．8.（填空题.3分）设f（x）是定义在（0.+∞）上的单调函数.若对任意的x∈（0.+∞）.都有f[f （x）-2log2x]=4.则不等式f（x）＜6的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0.4）【解析】：设f（x0）=4.于是f（x）=2log2x+x0.根据f（x0）=4.列方程解出x0．得出f（x）的解析式.根据f（x）的单调性列出不等式.求出不等式的解集即可．【解答】：解：设f（x0）=4.则f（x）-2log2x=x0.∴f（x）=2log2x+x0.∵f（x0）=4.∴2log2x0+x0=4.解得x0=2．∴f（x）=2log2x+2.∴f（x）是增函数.f（x）＜6.即2log2x+2＜6.即log2x＜2.解得：0＜x＜4.故答案为：（0.4）．【点评】：本题考查了函数解析式的解法.函数的单调性应用.属于中档题．9.（填空题.3分）函数y=tan（ $\frac{π}{4}$ x- $\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示.则（ $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ ）• $\overrightarrow{AB}$ =___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标.再求出向量 $\overrightarrow{OA}$ 、$\overrightarrow{OB}$ 和 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标.根据向量数量积的坐标运算求出结果．【解答】：解：由图象得.令 $y=tan({\frac{π}{4}x-\frac{π}{2}})$ =0.即 $\frac{π}{4}x-\frac{π}{2}=kπ$ .k=0时解得x=2.令 $y=tan({\frac{π}{4}x-\frac{π}{2}})$ =1.即 $\frac{π}{4}x-\frac{π}{2}=\frac{π}{4}$ .解得x=3.∴A（2.0）.B（3.1）.∴ $\overrightarrow{OA}$ =（2.0）. $\overrightarrow{OB}$ =（3.1）.$\overrightarrow{AB}$ =（1.1）.∴ $({\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}})\bullet \overrightarrow{AB}$ =（5.1）•（1.1）=5+1=6．故答案为：6．【点评】：本题考查了正切函数的图象和向量数量积的坐标运算.根据图象求出对应点的横坐标.再由向量的坐标运算求出结果．10.（填空题.3分）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2（1+$\frac{S}{N}$ ）.它表示：在受噪声干扰的信道中.最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.按照香农公式.若不改变宽带W.而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至2000.则C大约增加了___ %．【正确答案】：[1]10【解析】：将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至2000时.C大约增加了$\frac{Wlo{g}_{2}(1+2000)-Wlo{g}_{2}(1+1000)}{Wlo{g}_{2}(1+1000)}$ .利用对数的运算法则计算得答案．【解答】：解：将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至2000时.C大约增加了 $\frac{Wlo{g}_{2}(1+2000)-Wlo{g}_{2}(1+1000)}{Wlo{g}_{2}(1+1000)}$= $\frac{lo{g}_{2}2001-lo{g}_{2}1001}{lo{g}_{2}1001}$ ≈ $\frac{\frac{lg2000}{lg2}-\frac{lg1000}{lg2}}{\frac{lg1000}{lg2}}$= $\frac{lg2}{3}$ ≈10%.∴C大约增加了10%．故答案为：10．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用以及对数的运算性质.是基础题．11.（填空题.3分）已知数列{a n}满足：a1=1.a n+1-a n∈{a1.a2.….a n}（n∈N*）.记数列{a n}的前n项和为S n.若对所有满足条件的{a n}.S10的最大值为M.最小值为m.则M+m=___ ．【正确答案】：[1]1078【解析】：根据数列的递推关系.求出数列的前四项的最大.最小值.得出何时和最大.何时和最小.进而求得结论．【解答】：解：因为数列{a n}满足：a1=1.a n+1-a n∈{a1.a2.….a n}（n∈N*）.∴a2-a1∈{a1}⇒a2-a1=a1=1⇒a2=2；a3-a2∈{a1.a2}⇒a3-a2=1或者a3-a2=2⇒a3=3或者a3=4；a4-a3∈{a1.a2.a3}⇒a4-a3=1.a4-a3=2.a4-a3=3.a4-a3=4⇒a4最小为4.a4最大为8；所以.数列S10的最大值为M时是首项为1.公比为2的等比数列的前十项和；M=$\frac{1×(1{-2}^{10})}{1-2}$ =1023；S10取最小值m时.是首项为1.公差为1的等差数列的前十项和；m=10×1+ $\frac{10×(10-1)}{2}×1$ =55；∴M+m=1078．故答案为：1078．【点评】：本题考查了数列的递推关系式.等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．12.（填空题.3分）设平面向量 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 满足1≤|$\overrightarrow{a}$ |≤2.2≤| $\overrightarrow{b}$ |≤3.则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ |+| $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ |的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][4.2 $\sqrt{13}$ ]．【解析】：本题应从相关向量式的结构中发现其余已知条件的联系．最小值由三角不等式得到.最大值由基本不等式得到．【解答】：解： $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^{2}=2(|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2})$ .由基本不等式得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^{2}⩾\frac{(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|)^{2}}{2}$ .又$|\overrightarrow{a}|∈[1.2].|\overrightarrow{b}|∈[2.3]$ .则 $(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|)^{2}⩽4(|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2})⩽52$ .即 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|⩽2\sqrt{13}$ ．又由三角不等式有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|⩾|(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})±(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})|$ .即 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|⩾2|\overrightarrow{a}|$ .$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|⩾2|\overrightarrow{b}|$ .故 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|⩾4$ . 综上.有 $4⩽|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|⩽2\sqrt{13}$ ．故答案为：[4.2 $\sqrt{13}$ ]．【点评】：考查向量数量积的运算和向量模长的计算．13.（单选题.3分）已知a＞0.b＞0.则“log2a+log2b＞0”是“log2（a+b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：a＞0.b＞0.利用对数运算性质与基本不等式的性质可得.log2a+log2b＞0⇔ab＞1.log2（a+b）＞0⇔a+b＞1.ab＞1⇒a+b＞1；反之不成立.例如取a=2.b= $\frac{1}{4}$ .即可判断出结论．【解答】：解：a＞0.b＞0.则log2a+log2b＞0⇔log2（ab）＞0⇔ab＞1；log2（a+b）＞0⇔a+b＞1当ab＞1时.∵a+b≥2 $\sqrt{ab}$ ＞2＞1．故a+b＞1成立；反之不成立.例如取a=2.b= $\frac{1}{4}$ .则a+b=2 $\frac{1}{4}$ ＞1.但ab= $\frac{1}{2}$ ＜1．故当a＞0.b＞0时.ab＞1⇒a+b＞1.a+b＞1推不出ab＞1；因此a＞0.b＞0.则“log2a+log2b＞0”是“log2（a+b）＞0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了对数运算性质与基本不等式的性质、充要条件的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（单选题.3分）△ABC中.三边长分别为 $\sqrt{x}$ 、 $\sqrt{y}$ 、 $\sqrt{z}$ .且x2+y2=z2.则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【正确答案】：A【解析】：由已知可得 $\sqrt{z}$ 为三角形最大边.设 $\sqrt{z}$ 所对的最大角为θ.由于（x+y）2＞x2+y2=z2.可得x+y＞z.由余弦定理可求cosθ＞0.可得θ为锐角.即可得解．【解答】：解：由已知可得 $\sqrt{z}$ 为三角形最大边.设 $\sqrt{z}$ 所对的最大角为θ.∵x＞0.y＞0.z＞0.可得：（x+y）2＞x2+y2=z2.∴x+y＞z.∴由余弦定理可得：cosθ= $\frac{x+y-z}{2\sqrt{xy}}$ ＞0.∴θ为锐角．故选：A．【点评】：本题主要考查了基本不等式.余弦定理在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于基础题．15.（单选题.3分）已知（x+y）（x-2y）=1且y≠0.则 $\frac{x}{y}$ 的取值范围为（）A.（-∞.-1）∪（2.+∞）B.（-∞.-2）∪（1.+∞）C. $({-∞.-\frac{1}{2}})∪({2.+∞})$D. $({-∞.\frac{1}{2}})∪({2.+∞})$【正确答案】：A【解析】：令 $\frac{x}{y}$ =t.则x=ty.代入（x+y）（x-2y）=1.得 ${y}^{2}=\frac{1}{{t}^{2}-t-2}$ ＞0.可得t2-t-2＞0.求解关于t的一元二次不等式得答案．【解答】：解：令 $\frac{x}{y}$ =t.则x=ty.由（x+y）（x-2y）=1.得（t+1）y•（t-2）y=1.即（t2-t-2）y2-1=0.则 ${y}^{2}=\frac{1}{{t}^{2}-t-2}$ ＞0.即t2-t-2＞0.解得t＜-1或t＞2．∴ $\frac{x}{y}$ 的取值范围为（-∞.-1）∪（2.+∞）．故选：A．【点评】：本题考查曲线与方程.训练了利用换元法求解变量的取值范围.考查化归与转化思想方法.是中档题．16.（单选题.3分）下列命题中.正确命题的个数是（）① y=arcsinx的反函数是y=sinx；② y=cosx.x∈[-π.0]的反函数是y=-arccosx.x∈[-1.1]；③ y=tanx.x∈（- $\frac{π}{2}$ . $\frac{π}{3}$）的反函数是y=arctanx.x∈（-∞. $\sqrt{3}$ ）；④ 已知函数f（x）=|arctan（x-1）|.若存在x1.x2∈[a.b].且x1＜x2.使f（x1）≥f（x2）成立.则a＜1．A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：直接利用函数的性质和反函数的应用判定① ② ③ ④ 的结论．【解答】：解：① y=arcsinx（-1≤x≤1）的反函数是y=sinx（-$\frac{π}{2}≤x≤\frac{π}{2}$）.故① 错误；② y=cosx.x∈[-π.0]的反函数是y=-arccosx.x∈[-1.1].故② 正确；③ y=tanx.x∈（- $\frac{π}{2}$ . $\frac{π}{3}$）则函数y的值域为y $∈(-∞.\sqrt{3})$ .所以函数的反函数是y=arctanx.x∈（-∞. $\sqrt{3}$ ）.故$③\正确$ 正确；④ 已知函数f（x）=|arctan（x-1）|的图象可有y=|arctanx|的图象向右平移1个单位得到的.所以函数在（-∞.1]上单调递减.函数在[1.+∞）上单调递增.若存在x1.x2∈[a.b].且x1＜x2.使f（x1）≥f（x2）成立.所以b≤1.故④ 错误．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式和反函数的应用.函数的单调性的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．17.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且a＞c．已知$\overrightarrow{BA}$ • $\overrightarrow{BC}$ =2.cosB= $\frac{1}{3}$ .b=3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B-C）的值．【正确答案】：【解析】：（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理.解方程即可得到所求a.c；（2）由余弦定理可得cosC.求得sinC.sinB.运用两角差的余弦公式.计算即可得到所求值．【解答】：解：（1） $\overrightarrow{BA}$ • $\overrightarrow{BC}$ =2.cosB=$\frac{1}{3}$ .b=3.可得cacosB=2.即为ac=6；b2=a2+c2-2accosB.即为a2+c2=13.解得a=2.c=3或a=3.c=2.由a＞c.可得a=3.c=2；（2）由余弦定理可得cosC= $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ = $\frac{9+9-4}{2×3×3}$ = $\frac{7}{9}$ . sinC= $\sqrt{1-\frac{49}{81}}$ = $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ .sinB= $\sqrt{1-\frac{1}{9}}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .则cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC= $\frac{1}{3}$ × $\frac{7}{9}$ + $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ × $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ = $\frac{23}{27}$ ．【点评】：本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义.以及三角函数的恒等变换公式.考查运算能力.属于中档题．18.（问答题.0分）对于函数f（x）.若在定义域内存在实数x0.满足f（-x0）=-f（x0）.则称f （x）为“M类函数”．（1）已知函数f（x）=2cos（x- $\frac{π}{3}$）.试判断f（x）是否为“M类函数”.并说明理由；（2）设f（x）=4x-m•2x+1-3是定义域R上的“M类函数”.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）特殊值验证使得f（-x）=-f（x）即可；（2）因为函数满足新定义.则问题由存在问题转化为求函数值域问题.进而可以求解．【解答】：解：（1）因为f（- $\frac{π}{2}$）=2cos（- $\frac{π}{2}$ - $\frac{π}{3}$）=2cos（ $\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）=2× $(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ =- $\sqrt{3}$ .f（ $\frac{π}{2}$）=2cos（ $\frac{π}{2}-\frac{π}{3}$）=2× $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =$\sqrt{3}$ .即f（- $\frac{π}{2}$）=-f（ $\frac{π}{2}$）.所以存在x0= $\frac{π}{2}$使得函数f（x）为“M类函数”；（2）由已知函数f（x）=4x-m•2x+1-3满足：f（-x）=-f（x）.则化简可得：4x+4-x-2m（2x+2-x）-6=0… ①令t=2x+2-x≥2.则4x+4-x=t2-2.所以① 可化为：t2-2mt-8=0在区间[2.+∞）上有解可使得函数f（x）为“M类函数”.即m= $\frac{1}{2}$ （ $t-\frac{8}{t}$ ）在[2.+∞）有解.而函数 $\frac{1}{2}$ （t- $\frac{8}{t}$ ）在[2.+∞）上单调递增.所以当t=2时.有最小值为$\frac{1}{2}$ （2- $\frac{8}{2}$ ）=-1.所以m≥-1.故实数m的取值范围为：[-1.+∞）．【点评】：本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题.涉及到求函数的值域问题.属于中档题19.（问答题.0分）某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污.他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（1≤m≤4.且m∈R）个单位的药剂.它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=m•f（x）.其中f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}.0≤x≤4}\\{5-\frac{1}{2}x.4＜x≤10}\end{array}\right.$ 若多次投放.则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验.当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时.它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂.则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂.6天后再投放m个单位的药剂.要使接下来的4天中能够持续有效治污.试求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（I）根据一次投放4个单位的药剂.结合分段函数.建立不等式.即可求出有效治污时间；（Ⅱ）根据第一次投放2个单位的药剂.6天后再投放m个单位的药剂.要使接下来的4天中能够持续有效治污.建立函数解析式.利用基本不等式可得结论．【解答】：解：（I）∵m=4.∴ $y=\left\{\begin{array}{l}\frac{64}{8-x}(0≤x≤4)\\ 20-2x(4＜x≤10)\end{array}\right.$ ．…（2分）当0≤x≤4时.由 $\frac{64}{8-x}≥4$ .解得x≥-8.此时0≤x≤4；当4＜x≤10时.由20-2x≥4.解得x≤8.此时4＜x≤8．…（4分）综上.得0≤x≤8．故若一次投放4个单位的药剂.则有效治污的时间可达8天．…（6分）（II）当6≤x≤10时. $y=2×(5-\frac{1}{2}x)+m[\frac{16}{8-(x-6)}]=10-x+\frac{16m}{14-x}=14-x+\frac{16m}{14-x}-4$ .…（9分）又14-x∈[4.8].m∈[1.4].则$y≥2\sqrt{16m}-4=8\sqrt{m}-4$ ．当且仅当 $14-x=\frac{16m}{14-x}$ .即 $14-x=4\sqrt{m}∈[4.8]$ 时取等号．令 $8\sqrt{m}-4≥4$ .解得m≥1.故所求m的最小值为1．…（14分）【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题.考查分段函数的运用.考查基本不等式的运用.确定函数解析式是关键．20.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和是S n.且2S n-na n=n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若a n＞0且数列{ $\sqrt{{S}_{n}}$ }也为等差数列.试求$\underset{n→∞}{lim}$ $\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$ 的值；（3）设b n= $\frac{{S}_{n+1}}{n}$ .且a n+1＞a n恒成立.求证：存在唯一的正整数n.使得不等式a n+1≤b n＜a n+2成立．【正确答案】：【解析】：（1）令n=1求得首项1.当n≥2时.将n换为n-1.两式相减可得（2-n）a n+（n-1）a n-1=1.再将n换为n+1.两式相减.结合等差数列的中项性质.即可得证；（2）设数列{a n}的公差为d.运用等差数列的通项公式和求和公式.以及数列的极限公式.计算可得所求值；（3）由a n+1≤b n＜a n+2.可得n的不等式组.解不等式即可判断存在性．【解答】：解：（1）证明：当n=1时.2S1-a1=1.即2a1-a1=1.即a1=1.当n≥2时.2S n-1-（n-1）a n-1=n-1.又2S n-na n=n.两式相减可得（2-n）a n+（n-1）a n-1=1. ①将上式中的n换为n+1.可得（1-n）a n+1+na n=1. ②① - ② 可得2a n=a n-1+a n+1.（n≥2）.所以数列{a n}为首项为1的等差数列；（2）设数列{a n}的公差为d.则a n=a1+（n-1）d.S n=na1+ $\frac{1}{2}$ n（n-1）d.由于数列{ $\sqrt{{S}_{n}}$ }也为等差数列.可得2 $\sqrt{{S}_{2}}$ = $\sqrt{{S}_{1}}$ +$\sqrt{{S}_{3}}$ .即2 $\sqrt{2+d}$ =1+ $\sqrt{3+3d}$ .解得d=2.则a n=2n-1.S n=n2.则 $\underset{n→∞}{lim}$ $\frac{{S}_{n+10}}{{{a}_{n}}^{2}}$ =$\underset{n→∞}{lim}$ $\frac{(n+10)^{2}}{(2n-1)^{2}}$ =$\underset{n→∞}{lim}$ $\frac{{n}^{2}+20n+100}{4{n}^{2}-4n+1}$ = $\frac{1}{4}$ ；（3）证明：由b n= $\frac{{S}_{n+1}}{n}$ .且a n+1＞a n恒成立.又a n+1≤b n＜a n+2.可得2n+1≤ $\frac{(n+1)^{2}}{n}$ ≤2n+3.整理可得 $\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-n-1≤0}\\{{n}^{2}+n-1＞0}\end{array}\right.$ .解得 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ＜n≤ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ .由于 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ - $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ =1.且 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ＞0.因此存在唯一的正整数n.使得不等式a n+1≤b n＜a n+2成立．【点评】：本题考查数列的递推式的运用、等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用.以及数列极限的求法和存在性问题解法.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=ax2+bx+c．（1）当a=1.b=2时.若存在x1.x2∈[-2.0]（x1≠x2）.使得|f（x i）|=2（i=1.2）.求实数c的取值范围；（2）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2-2x+4≤f（x）≤2x2-4x+5成立.且f（5）=27.求f（11）的值；（3）是否存在一个二次函数f（x）.使得对任意正整数k.当x= $\underbrace{55\ldots 5}_{k 个5}$ 时.都有f（x）= $\underbrace{55\ldots 5}_{2k个5}$ 成立.请给出结论.并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1.b=2时.f（x）=（x+1）2+c-1.由题意可得关于c的不等式.解得即可. （2）利用二次函数求出两个函数值相等时.x的值.利用函数的对称性设出函数的解析式.求出函数然后求解函数值；（3）先假设存在这样的二次函数.设出二次函数的解析式.根据所给的三对数值.写出关于a.b.c 的方程组.利用待定系数法得到结果.后面进行证明．【解答】：解：（1）当a=1.b=2时.f（x）=（x+1）2+c-1由题意可知.f（x）=2在[-2.0]上有两个不等实根.或f（x）=-2在[-2.0]上有两个不等实根.则 $\left\{\begin{array}{l}{f(-1)＜2}\\{f(0)≥2}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{f(-1)＜-2}\\{f(0)≥-2}\end{array}\right.$ .解得2≤c＜3或-2≤c＜-1即实数c的取值范围是-2≤c＜-1或2≤c＜3．（2）二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2-2x+4≤f（x）≤2x2-4x+5成立.可得x2-2x+4=2x2-4x+5.解得x=1.f（1）=3.函数的对称轴为x=1.设函数f（x）=a（x2-2x）+b.由f（1）=3.f（5）=27.可得-a+b=3.15a+b=27.解得a= $\frac{3}{2}$ .b= $\frac{9}{2}$ .f（x）= $\frac{3}{2}$ （x2-2x）+ $\frac{9}{2}$ .f（11）= $\frac{3}{2}$ （112-2×11）+ $\frac{9}{2}$ =153．（3）存在符合条件的二次函数．设f（x）=ax2+bx+c.则当k=1.2.3时有：f（5）=25a+5b+c=55 ① ； f（55）=3025a+55a+c=5555 ② ； f（555）=308025a+555b+c=555555 ③ ．联立① 、② 、③ .解得a= $\frac{9}{5}$ .b=2.c=0．于是.f（x）= $\frac{9}{5}$ x2+2x．下面证明二次函数f（x）= $\frac{9}{5}$ x2+2x符合条件．因为 $\underbrace{55\ldots 5}_{k个5}$ =5（1+10+100++10k-1）= $\frac{5}{9}$ （10k-1）. 同理： $\underbrace{55\ldots 5}_{k个5}$ = $\frac{5}{9}$ （102k-1）；f（ $\underbrace{55\ldots 5}_{k个5}$ ）=f（ $\frac{5}{9}$ （10k-1））=$\frac{9}{5}$ [ $\frac{5}{9}$ （10k-1）]2+2× $\frac{5}{9}$ （10k-1）= $\frac{5}{9}$ （10k-1）2+2× $\frac{5}{9}$ （10k-1）= $\frac{5}{9}$ （10k-1）（10k+1）= $\frac{5}{9}$ （102k-1）= $\underbrace{55\ldots 5}_{k个5}$ .∴所求的二次函数 f（x）= $\frac{9}{5}$ x2+2x符合条件．【点评】：本题考查函数与方程的应用.二次函数的对称性.函数的解析式的求法.恒成立条件的应用.考查利用待定系数法求函数的解析式.注意在解题过程中所给的数据虽然大.但是规律性很强.注意应用．。

上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=．2．若(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部是．3．直线50x +=的倾斜角是．4．已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为．5．已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21024a a +=，且36a =，则8S =．7．若关于x 的不等式20x x m -+<的解集是∅，则实数m 的取值范围是．8．若函数()e xf x ax =-在区间()0,1上有极值点，则实数a 的取值范围是.9．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：34.64cm AB =，π10cm,14cm,6AD BE A B ====，则,D E 两点间距离为cm.（精确到1cm ）10．设1A ，2A ，3A ，L ，7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是．11．若函数=的表达式为()()21,2,ax x af x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，且存在最小值，则a 的取值范围为．12．已知等差数列12:,,,,n A a a a ，若存在有穷等比数列12:,,,N B b b b ，其中11b =，公比为q ，满足11k k k b a b --≤≤，其中2,3,,k N = ，则称数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”．数列A 的通项公式为n a n =，数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”，则N 的最大值为．二、单选题13．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．若a 、b ∈R ，且0ab >，则下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a b +≥+B ．a b +≥C ．2b aa b+≥D ．224a b ab+≥15．若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m .若围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中最接近MN的是（）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109316．已知平面向量a 、b 、c满足2b = ，1a b += ，c a b λμ=+r r r ，且21λμ+=．若对每一个确定的向量a，记c 的最小值为m ．现有如下两个命题命题:P 当a变化时，m 的最大值为23；命题Q ：当a变化时，m 可以取到最小值0；则下列选项中，正确的是（）A ．P 为真命题，Q 为假命题B ．P 为假命题，Q 为真命题C ．P 、Q 都为真命题D ．P 、Q 都为假命题三、解答题17．已知()()sin 0f x x ωω=>.(1)函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；(2)已知1ω=，2π()()()()2g x f x x f x =--，求函数()y g x =，π[0,]4x ∈的值域.18．某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为1a ，2a ，3a ，…….(1)写出2a 和3a ，并求出1n a +与n a 之间的递推关系式；(2)求证：数列{}40n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式.19．记代数式()31268log 219,(1)(4)a M x a x a N x x =-+-+-=--++.(1)当2a =时，求使代数式M 有意义的实数x 的集合；(2)若存在实数x 使得代数式M N +有意义，求实数a 的取值范围.20．过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．(1)已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．(2)在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．(3)已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．21．设函数()y f x =的定义域为开区间I ，若存在0x I ∈，使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点，则称()y f x =为“L 函数”，切线l 为一条“L 切线”．(1)判断1y x =-是否是函数ln y x =的一条“L 切线”，并说明理由；(2)设()2e 6xg x x =-，求证：()y g x =存在无穷多条“L 切线”；(3)设()()3210f x x ax x c =++<<，求证：对任意实数a 和正数()c y f x =，都是“L 函数”。

2022-2022年上册高三期中考试数学(上海市上海师范大学附属中学)

2022-2022年上册高三期中考试数学(上海市上海师范大学附属中学)

2022－2022年上册高三期中考试数学（上海市上海师范大学附属中学）选择题已知函数的图象与y轴交于点，在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为，则不等式的解集是() .A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】由题意可知，又图象过，可得，因为，所以，又，求得，所以，解即，解得，，故选D.选择题已知函数，则（）.A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】因为函数，所以函数是R上的增函数，又，所以函数是奇函数，故选A.填空题已知是等差数列，若，，则的值是_________.【答案】【解析】因为是等差数列，，所以，又，解得：或，当时，，，当时，，，所以填.填空题函数则=_________.【答案】【解析】因为，所以填.选择题函数的值域是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，故选B.填空题化简：=_________.【答案】【解析】因为，所以填.解答题我们称满足：（）的数列为“级梦数列”.（1）若是“级梦数列”且.求：和的值；（2）若是“级梦数列”且满足，，求的最小值；（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为.证明：（）.【答案】(1) , ;（2）；(3)见解析。

【解析】试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过，利用累加法求出，通过两边同除可得，累加求的范围，从而得出结论.试题解析：（1）是“1级梦数列”,所以，当n=2,3,4,时，代入可求得；（2）由条件可得：，∴解得∴当且仅当时取等号.（3）根据，可得①又由得累加得：，所以②由①②得解答题已知是定义在上的奇函数．（1）当时，，若当时，恒成立，求的最小值；（2）若的图像关于对称，且时，，求当时，的解析式；（3）当时，．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）的最小值为；（2）当时，；（3）.【解析】试题分析：（1）根据解析式求出时值域，再根据奇函数得到对称区间上的值域，从而得到的最小值；（2）利用对称性先求出对称区间上的解析式，再根据函数是奇函数求上的解析式即可；（3）根据函数的单调性可以得到自变量的关系，然后分离参数，转化后求解即可.试题解析：（1）时，，根据函数是奇函数，时，，所以；（2）根据对称性及函数的奇偶性可得：当时，；（3）∵是上的奇函数，∴当时，∴∴在上是增函数，∵对任意的，不等式恒成立,∴,即∵，∴即可，解得.解答题设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意列出方程，解方程即可求出公比，进而写出通项公式；（2）先根据前三项为等差数列求t的值，再证明t取此值时数列是等差数列即可.试题解析：（1）由是与的等差中项，得，因为为正整数，，所以.（2），当，由数列为等差数列得，且，得，此时可证数列是等差数列，故.解答题在中，是上的点，平分，是面积的2倍．(1)求；(2)若，求和的长．【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析:（1）根据正弦定理及面积之间的关系即可求解；（2）在两个有公共边且有等角的三角形中使用余弦定理，且注意到两边长为2倍关系，即可解出.试题解析：（1）∵是面积的2倍∴由正弦定理可知：（2）由（1）知，，∵是面积的2倍∴设，由余弦定理得：，解得.解答题已知二次函数，若不等式的解集为．（1）求解关于的不等式：；（2）若且，求的最小值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据不等式解的端点就是对应方程的根，即可求解；（2）换元后利用二次函数求最值即可.试题解析：因为二次函数的解集为，所以且解得，（1）由原不等式得，解得或所以不等式的解是（2）令，当时，，则，当时，当时，，当时，，综上函数最小值.填空题已知，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】因为是R上的增函数，所以，解得或，故填.选择题若,则函数的两个零点分别位于区间() .A. 和内B. 和内C. 和内D. 和内【答案】A【解析】因为，所以，，，由函数零点存在性定理知：在区间内分别存在一个零点，又函数是二次函数，最多有两个零点，因此函数的两个零点分别位于区间内，故选A.填空题如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇。

上海师大附中第一学期高三期中考试

上海师大附中第一学期高三期中考试

20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX-2021学年度上海师大附中第一学期高三期中考试化学试题本卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Ca-40一、选择题（本题共10分，每小题2分，只有一个正确选项）1．食品检验是保证食品安全的重要措施，下列不属于食品安全检测指标的是（）A．二氧化硫的含量B．蛋白质的含量C．亚硝酸盐的含量D．三聚氰胺的含量2．下列化学用语表示正确的是（）A．羟基的电子式B．S2—的最外层电子排布式3s23p4C．乙炔的最简式CH≡CH D．乙烯的结构简式CH2－CH23．“乙醇汽油”就是在汽油里加入适量乙醇混合而成的一种燃料。

有关叙述正确的是（）A．用淀粉发酵可以制得乙醇B．乙醇汽油是一种新的化合物C．工业上常用裂化的方法获得乙醇汽油D．乙醇汽油是多种烃的混合物4．同种元素的不同微粒，它们的（）A．质量数一定相同B．核外电子数一定相同C．中子数一定不同D．电子层数可能不同5．类推的思维方式在化学学习与研究中经常采用，但类推出的结论是否正确最终要经过实践的验证。

以下类推的结论正确的是（）A．由甲酸可以发生银镜反应可推出其余的羧酸也均能发生银镜反应B．CO2与SiO2化学式相似，故CO2与SiO2的晶体结构也相似C．Na、K具有强还原性，Na常温下与水剧烈反应，故K常温下也能与水剧烈反应D．由“2Fe + 3Cl2→2FeCl3”反应可推出“2Fe + 3I2→2FeI3”反应也能发生二、选择题（本题共36分，每小题3分，只有一个正确选项）6．下图所示：2个甲分子反应生成1个丙分子和3个乙分子，对此下列判断不正确的是（）A．根据阿伏伽德罗定律可推知，1个乙分子中含有2个A原子B．该反应类型是分解反应C．反应生成的丙物质属于单质D．化学反应中分子的种类发生了改变7．有关下图装置，描述正确的是（）A．电流从锌电极经金属导线流向铜电极B．锌为阴极，铜为阳极C．负极的电极反应式为：Zn – 2e→Zn2+D．一段时间后，溶液中阳离子浓度增大．阴离子浓度不变8．下列除去杂质的实验方法正确的是（）A．除去溴苯中的少量Br2：加入KI溶液，充分反应后，弃去水溶液B．除去苯酚中的少量甲苯：加入酸性高锰酸钾溶液，充分反应后，弃去水溶液C．除去FeSO4溶液中少量的Fe2（SO4）3：加入足量铁屑，充分反应后，过滤D．除去CO中少量的CO2：通过盛有饱和NaHCO3溶液的洗气瓶9．珍爱生命，远离毒品。

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

上师大附中高二期中数学试卷2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.直线过点，法向量为，则的一般式方程为______.2.顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______.3.已知直线：，：，若，则实数______.4.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.5.经过点且与圆相切的直线方程为______.6.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则抛物线的焦点到准线的距离为______cm.图1图27.已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点的坐标为，且为钝角，则的取值范围为______.8.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______.9.过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB 的中点，且OP 的斜率为，则椭圆的标准方程为______.10.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为______.11.已知是抛物线：的焦点，双曲线：（，）的渐近线与抛物线交于抛物线、两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为______.l (1,2)(1,2)n = l x (2,4)M --1l 10x ay +-=2l 10ax y +-=12//l l a =l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭(5,4)-2225x y +=221167x y +=1F 2F P (),P P x y 12F PF ∠P x A 22(2)9x y ++=B 22(2)1x y -+=C A B C C 22221(0)x y a b a b+=>>F l 20x y --=C A B P 12-C 1F 2F C 22221(0)x y a b a b+=>>1F C P Q 121::6:3:2PF PF FQ =C F C 22(0)y px p =>E 22221x y a b -=0a >0b >C A B 120AFB ︒∠=12.已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为______.二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.方程表示椭圆的充要条件是（ ）A. B. C. D.或14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.4 B.6 C.8 D.1015.所表示的曲线为（ ）A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线16.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廊为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）图1图2三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知三边所在直线方程为AB ：，BC ：，CA ：.（1）求AC 边上的高所在的直线方程；（2）求直线AB 与直线CA 的夹角.18.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，为线段PQ 的中点.（1）求椭圆的方程；22114425x y -=1F 2F P M 1F P 12F F 2F P 22PM PF PF ⋅ 2214x y m+=0m >0m <4m >04m <<4m >22143x y +=1F 2F P 12PF F △3+-O O AB BC ==CD ABC △34120x y ++=43160x y -+=220x y +-=C 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12A C 12AF =1260F AF ︒∠=2F l C P Q N C（2）已知点，且，求线段MN 所在的直线方程.19.如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km ，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN 段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km ，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km ，线路NP 段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求道路的曲线方程；（2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标）20.已知圆：和圆：.（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求实数的值；（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，求所有满足条件的点的坐标.21.已知双曲线：（，）的渐近线方程为，、分别为双曲线的顶点，且.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线交于、两点，且，求的值；（3）设动点，其中，直线AM 、BM 与双曲线分别交于、两点，求证：直线CD 过定点.10,8M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN PQ ⊥A B O C O M N P --A B M O O x M N P --M N P --Q Q C Q Q 1C 226260x y x y ++-+=2C 222810410(0)x y x y r r +--+-=>1C 2C r l 1y kx =+1C P Q 4OP OQ ⋅= k 2r =P P 1l 2l 1C 2C 1l 1C 2l 2C P E 22221x y a b-=0a >0b >20x y ±=A B E 4AB =E 1y kx =-E P Q POQ S =△2k (1,)M m m ∈R E C D参考答案一.填空题1. 2. 3. 4.5.或6.7.8.9.12.二.选择题13.D14.B 15.A 16.B 三.解答题17.（1）；（2）18.（1）；（2）或19.（1）（，），；（2），20.（1；（23）或21.（1）；（2）或；（3）250x y +-=28y x =-1-(,(1,)-∞+∞ 5x =9402050x y --=278⎛ ⎝221(1)3y x x -=>22184x y +={}1240x y -+=1arctan 222143x y +=16810x y +-=162430x y +-=22144x y -=2x ≤≤06y ≤≤224(0)x y y +=≤53,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭min CQ =22r -<<+51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭2214x y -=116514(4,0)。

上师大附中高三2021学年第一学期期中考试

上师大附中高三2021学年第一学期期中考试

上海师范大学附属中学2021－2021学年第一学期高三数学期中考试试题一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、函数2log 2-=x y 的定义域是________________.2、函数2)1()(+-=x x f )1(-≤x 的反函数是__________.3、不等式11<-x ax 的解集是),2()1,(+∞⋃-∞，则a =___________. 4、集合{}*,7x x N x ∈<含元素1，但不含元素5的真子集的个数为 .5、若{}{}0,02)2(,0622>≤---=<+=a a x a x x B x x x A ，{},56≤<-=⋃x x B A 则=a .6、若α为第三象限角，且满足1tan 171tan 7αα+=-，则αsin =_________. 7、已知函数2()cos ,2f x x π=则使()()f x c f x +=恒成立的最小正数c = .8、在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos ． 9、已知正整数b a ,满足430a b +＝，则ba 11+的最小值是 . 10、已知01a <<，定义运算m ※n =()()m m n n m n ≤⎧⎨>⎩，若2x a ※()61x a +>，则实数x 的取值范围是 . 11、若函数)(x f 的定义域与值域都为同一区间D ，则称函数)(x f 为区间D 上的“同势”函数.已知函数2()21f x x x =-+是区间D 上的“同势”函数，则此区间可以是 .（只要写出一个你认为正确的区间即可）12、定义()g x 表示如下函数：若()1122m x m m Z -<≤+∈，则()g x m =．给出下列关于函数()()f x x g x =-的四个命题：（1）函数()y f x =的定义域是R ，值域是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）函数()y f x =是R 上的奇函数；（3）函数()y f x =是周期函数，最小正周期是1；（4）函数()y f x =的图像关于直线()2k x k Z =∈对称． 其中正确命题的序号是_____________________.(把你认为正确的命题序号都填上)二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ≠⊂是()U C A B U ⋃=的（ ）（A ）充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14、下列命题中正确的是（ ）（A ）奇函数的图象一定过坐标原点 （B ）函数]4,4((,12-∈+=x x y ）是偶函数 （C ）函数|1||1|--+=x x y 是奇函数 （D ）函数12--=x x x y 是奇函数 15、下列函数既是在区间]2,0[π上递减且以π为最小正周期的是 （ ） （A ）x x y 44cos sin += （B ）x x y 22sin cos -=（C ）|sin |x y = （D ）x y cos =16、设集合01234{,}S a a =，a ，a ，a ，在S 上定义运算⊕为：i j k a a a ⊕=，其中k 为i j +被5除的余数，0123,4i j =，，，，，则满足关系式：20()x x a a ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1三、解答题（本大题共6题，共86分）17、（本题满分12分）（文）解不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+223123x x ．（理）已知，且1,0,0=+>>b a b a 求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18、（本题满分12分）已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22.(1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时,求()f x 的值域.19、（本题满分14分）记函数()272++-=x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ．（1）求A ；（2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围．20、（本题满分14分）在世博会后，昆明世博园作为一个旅游景点吸引四方宾客．按规定旅游收入除上缴25%的税收外，其余自负盈亏．目前世博园工作人员维持在400人，每天运营成本20万（不含工作人员工资），旅游人数x 与人均消费额t （元）的关系是：⎩⎨⎧∈≤<+-∈≤≤+-=)20050(1300060)5010(1225002250N t t t N t t t x ，　， ，， ． （1）若游客在1000人到4000人之间[](1000,4000)x ∈，按人均消费额计算，求当天的旅游收入范围；（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于50元且维持每天正常运营（不负债），每天的游客应不少于多少人？21、（本题满分16分）对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且． （1）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式； （2）求问题（1）中函数()h x 的值域；（3）若()()g x f x α=+，其中α是常数，且[]0,απ∈，请设计一个定义域为R 的函数()y f x =，及一个α的值，使得()cos 4h x x =，并予以证明．22、（本题满分18分）若函数)(x f A 的定义域为12)1()(),,[2+--+==ab x b a x x f b a A A 且，其中a 、b 为任意正实数，且a<b ．（1）当A=[1,4)时，研究)(x f A 的单调区间，并证明；（2）写出)(x f A 的单调区间（不必证明），并求函数)(x f A 的最小值、最大值；（3）若),)2(,)1[(),)1(,[2212221++=∈+=∈+k k I x k k I x k k 其中k 是正整数，对一切正整数k, 都有满足不等式112()()I I f x f x m ++<k k 的实数1x 、2x 存在，求m 的取值范围．上师大附中第一学期高三数学期中试题参考答案一、填空题（本大题满分48分）1、[)4,+∞2、1(0)y x x =---≤3、124、165、56、513-7、28、7259、31010、(),0-∞ 11、[]35350,0122⎡⎤⎡⎫+++∞⎪⎢⎥⎢⎪⎣⎦⎣⎭或，或，等 12、（1）（3）（4） 二、选择题（本大题满分16分）13、____A______ 14、_____C_____ 15、___B_ __ 16、___D_____三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本题满分12分）（文）解：由1022232x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-≤-≤⎩得：211522x x -<≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩， 所以不等式组的解集是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷带讲解

2022-2023学年上海师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷带讲解
A.充分不必要条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要条件的判断即可求解.
【详解】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分性不一定成立，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件．
故选:B．
14.若 ，且 ，则下列各式中，恒成立 是（）
【详解】由阴影部分可得，其表示的元素为满足性质：
在集合 中或在集合 中，但不在集合 中，
所以元素在集合 中，不在集合 中，
所以可以表示 ： ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有应用韦恩图表示集合，根据图形中阴影的特征，判断元素与集合的关系，正确表示集合，属于基础题目.
【详解】∵ ，则 ，解得 ，故不Biblioteka 式 的解集为 .故答案为： .
4.已知幂函数 的图象过点 ，则 _____________．
【答案】 ##
【分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解．
【详解】设 ，由已知得 ，所以 ， ．
故答案为： ．
5.已知方程 的两个根为 ､ ，则 ___________.
【答案】
则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查集合的交运算，属简单题.
2.不等式 的解集为__________．
【答案】 或
【分析】十字相乘法因式分解可解得结果.
【详解】由 得 ，得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或
3.不等式 的解集为__________.
【答案】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，并结合一元二次不等式 解法运算求解，注意分母不能为0.
A. B. C. D.

2024届上海大学附属嘉定高级中学高三上学期期中数学试卷

2024届上海大学附属嘉定高级中学高三上学期期中数学试卷

2024届上海大学附属嘉定高级中学高三上学期期中数学试卷一、填空题1. 已知集合，，则 __________ ．2. 已知复数满足，则 __________ ．3. 若，则 ________ .4. 若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 _____ ．5. 曲线在点处的切线方程为 __________ ．6. 已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是 __________ ．7. 若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成角的大小为，则该圆锥的体积为 __________ ．8. 在的二项展开式中任取一项，则该项系数为无理数的概率为__________ ．9. 在中，若，，，则 __________ ．10. 已知、且，则的最小值是 __________ ．11. 已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则 __________ ．12. 已知函数，其中，若方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围 _____________ ．二、单选题13. “”是“”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要14. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3B．-2C．2D．315. 在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．16. 在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．(1)甲乙两人同时命中目标的概率；(2)甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 在中，角A、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角A；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．19. 已知函数，．(1)求函数的严格减区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长．21. 已知函数．(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)证明：当时，．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

上师大附中2０１7学年第一学期期中考试
高三年级 数学学科
一 填空题
1、已知集合2
{|12},{|,}A x x B y y x x A =-≤≤==∈,则A B ⋂= . ２、函数()1lg f x x =-的定义域为 .
3、化简：()()5sin tan 2cos 2cot 2ππααππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭
= . 4、函数()22,0,1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则(3)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭= .
5、等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ,已知374S =
,6634S =，则8a = ． 6、如果函数()y f x =的反函数为()113x f x -+=，那么()1f =
． 7、已知{}n a 是等差数列，若2412a a =,158a a +=，则6a 的值是 ．
8、已知33(3)
(12)a a ---<+，则实数a 的取值范围是 . 9、若函数21()2x x f x a
+=-是奇函数,则使()3f x >成立的x 的取值范围是 . 10、已知a ∈R ,函数()4f x x a a x
=+-+在区间[]14，上的最大值是5,则a 的取值范围是 ． 11、如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ,从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇。

假设一 个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ,用t (单位:h ）表示他从小岛到城镇的时间, x （单位:km )表示此人将船停在海岸处距P 点的距离。

经过计算将船停在海岸处某地,可使从小岛到城镇所 花时间最短，则这个最短时间是 h .
12、设是定义在且周期为的函数，在区间上,
．其中集合,
则方程
的解的个数是 ．
二.选择题 ()f x R 1[)0,1
１3、函数1arcsin 2y x =的值域是 ( ）． A. ,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭ B. ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C. ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
１4 ．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ） . A. ()a b ，和()b c ，内 B. ()a -∞，和()a b ，
内 C. ()b c ，和()c +∞，内 D ． ()a -∞，和()c +∞，
内 １5、已知函数()133x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则( ）. Ａ.是奇函数,且在上是增函数 B.是偶函数，且在上是增函数
Ｃ.是奇函数,且在上是减函数 ﻩ D.是偶函数，且在上是减函数
16、已知函数f （x)=Asin(ωx ＋φ)错误!未定义书签。

的图象与y 轴交于点(0,错误!),在y 轴右边到y 轴最近的最高
点坐标为错误!,则不等式ｆ（x ）>1的解集是( ) .
A.错误!，ｋ∈Ｚ Ｂ．错误!,k ∈Z
Ｃ.错误!，k ∈Z Ｄ.错误!未定义书签。

,k ∈Z
三.解答题
17、已知二次函数32)(2
--=x mx x f ，若不等式0)(<x f 的解集为(1,)n -．
（1)求解关于x 的不等式:228(1)5x x n m x -+>+-； (2)若0a >且1a ≠ , 求()x
y f a = []），（21∈x 的最小值.
18、在ABC △中,D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △是ADC △面积的２倍．
(1)求 sin sin B C
； （2)若1,AD DC ==
2 ,求BD 和AC 的长．
()f x R R R R
19、设等比数列
的首项为,公比为(为正整数）,且满足是与的等差中项；数列 满足
()． (１）求数列的通项公式；
(2）试确定的值,使得数列
为等差数列．
20、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数.
(1)当0x >时,()2
36f x x x =-+，若当[]3,1x ∈--时，()n f x m ≤≤恒成立，求m n -的最小值; （２)若()f x 的图像关于3x =对称，且(3,0)x ∈-时，()31x
f x x =-+,求当(9,6)x ∈--时,()f x 的解析式； （3)当0x ≥时，()2
f x x =.若对任意的[],2x t t ∈+,不等式()()2f x t f x +≥恒成立,求实数t 的取值范围．
12a =q q 33a 18a 5a *,t R n N ∈∈t
２1、我们称满足:()1*2(1)()k n n n a k a a n +-=--∈N 的数列{}n a 为“k 级梦数列”．
（１)若{}n a 是“１级梦数列”且12a =,求:234311111111a a a a ------和的值；
（2)若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<,1220171112a a a +++=，求201814a a -的最小值; (3）若{}n a 是“0级梦数列”且112
a =
，设数列{}2n a 的前n 项和为n S . 证明()*112(2)2(1)n S n n n n ≤≤+∈+N .
参考答案
一. 填空题
1. []0,2 ２. (0,10] ３. cot α-
4.
2
5. 32
6. 1-
7. 210-或 ８. 1(,4)(,3)2-∞-- 9. (01)， 10． (],4.5-∞ １1. 4415h 1２.
8
二. 选择题
13. B 1４. A 15. A １6． D
三. 解答题
１７． (１） (),1(4,)-∞⋃+∞ (2） 2min 23m a a =--
18.（1）sin 1sin 2B C =;(2
）BD =1AC =．
１9.(１)2n n a =；（２)3t =.
２0．（1)m n -的最小值为94
;（2)当(9,6)x ∈--时, ()()61235x f x f x x +=+=-++；(3
）t ≥2１．(1）2343111111,113117a a a a -=-=----;(2)72
-；(３）略.。

相关文档
最新文档