高考数学专题 古典概型[理科]

高考数学专题 古典概型[理科]课下练兵场1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是 ( ) A ．一定不会淋雨 B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14解析：基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.答案：D2．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励. 假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( ) A.16 B.14 C.13 D.12解析：“20”，“08”，“北京”三字块的排法共有“2008北京”、“20北京08”、“0820北京”、“08北京20”、“北京2008”、“北京0820”6种情况，而得到奖励的情况有2种，故婴儿能得到奖励的概率为26＝13.答案：C3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e＞32的概率是 ( ) A.118 B.536 C.16 D.13解析：e ＝1－b 2a 2＞32⇒b a ＜12⇒a ＞2b ，符合a ＞2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝ 3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．则概率为66×6＝16. 答案：C4．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是 ( )A.512B.12C.712D.56 解析：cos θ＝m －n m 2＋n 2·2，∵θ∈(0，π2]，∴m ≥n .满足条件m ＝n 的概率为636＝16，m ＞n 的概率为12×56＝512.∴θ∈(0，π2]的概率为16＋512＝712.答案：C5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为 ( ) A.16 B.536 C.112 D.12解析：由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对， ∴概率为336＝112.答案：C6．[理]电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 ( ) A.1180 B.1288 C.1360 D.1480 解析：电子钟显示时刻可设为AB ∶CD ，其中A ＝0,1,2，B ＝0,1,2,3，…，9，C ＝0,1,2,3，…，5，D ＝0,1,2,3，…，9. (1)当A ＝0时，B ，C ，D 可分别为9、5、9一种情况；(2)当A ＝1时，B ，C ，D 可分别为9、4、9或9、5、8或8、5、9三种情况； (3)当A ＝2时，不存在．∴符合题意的只有4种， 显示的所有数字和数为： A ＝0时，10×6×10＝600； A ＝1时，10×6×10＝600； A ＝2时，4×6×10＝240. ∴P ＝41 440＝1360. 答案：C[文]已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线互相平行的概率是 ( ) A.112 B.760 C.625 D.516解析：抛物线只有4×4＝16(条)，从中任取两条有120(种)不同取法，∵y ′＝ax ＋b 在x ＝1处的斜率为a ＋b .故符合a ＋b ＝3，只有0对，a ＋b ＝5共有1对，a ＋b ＝7有3对，a ＋b ＝9有6对，a ＋b ＝11有3对，a ＋b ＝13只有1对，∴共有14对，P ＝14120＝760. 答案：B 二、填空题7．在5个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)． 答案：3108．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为__________． 解析：将3人排序共包含6个基本事件， 由古典概型得P ＝16.答案：169．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是__________．解析：∵26＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1 024， ∴满足条件的正整数只有27,28,29三个，900300答案：1 300三、解答题10．[理]某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，两道自然科学类题，三道社科类题中任选两道回答，且该生答对每一道数学、自然科学、社科类试题的概率依次为0.6、0.7、0.8.(1)求该考生恰好抽到两道社科类试题的概率；(2)求该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率．解：(1)P＝C23C26＝315＝15.(2)该考生抽到一道数学题，一道自然科学类题的概率为P1＝C12C26＝215；该考生抽到一道数学题，一道社科类试题的概率为P2＝C13C26＝315；该考生抽到一道自然科学类题，一道社科类试题的概率为P3＝C12·C13C26＝615.故该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率为P＝215×0.6×0.7＋315×0.6×0.8＋615×0.7×0.8＝0.376.[文]为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．1511．(2010·银川模拟)把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率． 解：事件(a ，b )的基本事件有36个．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3.(1)方程组只有一个解，需满足2a －b ≠0，即b ≠2a ，而b ＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，所以方程组只有一个解的概率 为P 1＝1－336＝1112. (2)方程组只有正数解，需2a －b ≠0且 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞ba ＞32b ＜3或 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜b ，a ＜32，b ＞3.其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)， (6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)． 因此所求的概率为1336.12．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋1，设集合P ＝{1，2,3}，Q ＝{－1,1,2,3,4，}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b . (1)求函数y ＝f (x )有零点的概率；(2)求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(a ，b )共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),15种情况． (1)若函数y ＝f (x )有零点，则需Δ＝b 2－4a ≥0. 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4),6种情况， 所以函数y ＝f (x )有零点的概率为615＝25. (2)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，需对称轴x ＝b2a≤1. 有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),13种情况．13所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为15.。