(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
同济大学线性代数试卷题库 (3)
同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期
课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计
分）
一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)
1、 设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则行列式312
123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），
31312221
112233+3a a a a a a a a a a --=，311
222131
23-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为6
2、 已知4阶行列式3
4
222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余
子式，则4
41
j
j A
==∑__0_________.
解：根据代数余子式性质4
41
3
0402222
00700
1
1
11
j j A ==
=-∑.(这是代数余子式经常出的一种形
式的习题)
3、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为
123-6-6-6
3262-9212-3
λλλ=
++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）
4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__1
同济大学线性代数期末试卷1
同济大学线性代数期末试卷 1
《线性代数》期终试卷1
（2学时）
本试卷共七大题
一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：
1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为,,,的属于的特征
向量是,则的属于的两个线性无关的特征向量是
()；
2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,,其中是的伴随矩阵,则的行列式()；
3.(4分)设,,则
()；
4.(4分)已知维列向量组
所生成
的向量空间为,则的维数dim()；
5.(3分)二次型经过正交变换可化为
同济大学线性代数B期末试卷-含参考答案
同济大学课程考核试卷（B 卷）
2009—2010学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名：
课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分）
1．已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,B αααβ=, 且 4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 。
2. 设行列式1131
100021034512
D =
，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .
3. 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，伴随矩阵0≠*A ，且0=*
x A 有非零解，则 C .
(A) 2=a ； （B ） 2=a 或4-=a ； (C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .
4. 向量组s ααα，，，
21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B
(A) 向量组s βββ，，，
21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，
2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，
21与向量组s βββ，，， 21等价. 5. 已知3阶矩阵A 与B 相似且010100001A -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭, 则201222B A -=300030001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案
试卷1
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只
有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
B.
100
1
2
00
1
3
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
C.
1
3
00
010
00
1
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
D.
1
2
00
1
3
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
同济大学线性代数习题集
第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．
=0
00100100
1001000
( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5.
=0
1
10000
0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6．在函数1
003232
1
1112)(x x x x x f ----=
中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若
a a a a a =22
21
1211，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案
一、单项选择题<每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，<
）不是初等矩阵。
<A ）001010100 (B>100000010 (C>
1000200
1
(D>
1000120
1
2．设向量组1
2
3
,
,
线性无关，则下列向量组中线性无关的是
<
）。
<A ）1
2
23
31
,
,
<B ）1
2
31
,
,
<C ）
1
2
1
2
,
,2
3
<D
）
2
3
23
,
,2
3．设A 为n 阶方阵，且2
50A
A E
。则1
(2)A E <
）
(A> A E (B>
E
A (C>
1
()
3
A E (D>
1
()
3
A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<
）。
<A ）若n m
，则b Ax 有无穷多解；
<B ）若n m
，则0Ax 有非零解，且基础解系含有
m n
个线性无关解向量；
<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax
仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有
n 个线性无关的特征向量，则
< ）
<A ）A 与B 相似<B ）A
B ，但|A-B|=0
<C ）A=B
<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|
二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分>
1．A 是n 阶方阵，
R ，则有
A A
。 < ）
2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则1
11
)
(A B AB 。 < ）
3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。( >
《线性代数》期末考试试卷附答案
《线性代数》期末考试试卷附答案
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33
32
31
232221
13
1211
222222222a a a a a a a a a 。 2.设2
3
2
6219321862
131-=
D ，则=+++42322212A A A A 。
3.设1
,,4321,0121-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。
4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则
=a 。
5.A 、B 均为5阶矩阵，2,2
1
==
B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则
*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题4分，共20分）
1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=λ++=+λ+=++λ0
00321
321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）
同济大学 线性代数--期末试题重点解析题目
|A |=-(a+b+c+d-x)x3, 所以x=0或x=a+b+c+d时A不可逆.
1 −1 0 2-2x x +x x +3x 2的矩阵是( −1 0 1 3.二次型ƒ(x1,x2,x3)=x1 2 ). 1 2 2 3 3 0 1 3 2
x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 0 4.方程组 的一个基础解系是( ). x2 + x3 − x4 = 0 2 − 2 x1 = 2x3 − 2x4 −1， = 1 等价方程 ,基础解系可取 1 = ξ 2 ξ 1 0 x2 = −x3 + x4 0 1
6 − 4 − 1 1 3 , α = − 2 , α = 3 , α = 2 , 3.向量组 α 1 = 2 3 4 的一个最 0 1 1 2 − 2 0 1 3
=-λ(2-λ)2
所以 A的特征值为λ1=λ2=2, λ3=0
对λ1=λ2=2, 解方程(A-2E)x=0, 因为
−1 0 1 1 0 −1 A − 2E = 0 0 0 ~ 0 0 0 1 0 −1 0 0 0
12 0 得特征向量: e1 = 1 ,e2 = 0 1 0 2
同济大学线性代数习题
xn 1
n i 1
a xi
用递推法计算 例 计算
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
a x1 a
a
a
a
a x2
a
a
Dn
a
a
a xn1 a
a
a
a
a
a x1 a
a
0
a
a x2
a
0
.
a
a
x1 x2
xn
评注 本题是利用行列式的性质把所给的n阶
行列式 Dn 用同样形式的 n 1阶行列式表示出来, 建立了Dn 与n 1阶行列式Dn1之间的递推关系.有 时，还可以把给定的n阶行列式Dn 用同样形式的 比 n 1阶更低阶的行列式表示，建立比n 1阶行 列式更低阶行列式之间的递推关系.
• [(a b)2 (b c)2 (c a)2] 0.
因为三条直线互不相同,所以a,b, c也不全相
同,故a b c 0.
充分性 如果a b c 0,将方程组
ax by c, bx cy a,
（１）
cx ay b
的第一、二两个方程加到第三个方程，得
ax by c, bx cy a, 0 0.
(完整word版)线性代数习题
第一章 行列式
4。计算下列各行列式：
(1）⎥⎥⎥⎥
⎦⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢71
10
025*********
4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26
52321121314
1
2； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4)⎥⎥⎥⎥⎦
⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢---d c b a
1
110011001
解
（1）
7
1
10
025*******
214
34327c c c c --0
10
014
23102
02110
214---=34)1(1431022
11014+-⨯---=14
31022110
14-- 3
21132c c c c ++14
171720010
99-=0
（2)
260
5232112131
412-24c c -2605032122130
412-24r r -0412032122130
412- 14r r -0
000032122130412-=0
(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1
111111
11---adfbce =abcdef 4
(4）
d c b a 100
110011001---21ar r +d
c b a ab 1001
100
110
10---+=12)1)(1(+--d
c a ab 1011
1--+
2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad
a a
b =23)1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5。证明： (1)1
11222
同济大学线性代数习题集
第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．
=0
00100100
1001000
( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5.
=0
1
10000
0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6．在函数1
003232
1
1112)(x x x x x f ----=
中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若
a a a a a =22
21
1211，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)(word文档良
线性代数习题和答案
第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有
一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
B.
100
1
2
00
1
3
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
C.
1
3
00
010
00
1
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
D.
1
2
00
1
3
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
同济大学线性代数期末考试试题(多套)
⎜⎝ 2 2 a ⎟⎠
(A) a = 2 ； (C) a = −4 ；
(B) a = 2 或 a = −4 ； (D) a ≠ 2 且 a ≠ −4 .
4、 向量组α 1 ，α
2 ，L，α
s
(s
≥2)
线性无关，且可由向量组 β 1 ，β
2 ，L，β
线性表示，
s
则以下结论中不能成立的是 B .
(A) 向量组 β 1 ，β 2 ，L，β s 线性无关；
-12 .
2、
设分块矩阵 C
=
⎛ ⎜ ⎝
A O
O B
⎞ ⎟ ⎠
,
A, B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为
4
.
(A).若 A, B 均可逆, 则 C 也可逆.
(B).若 A, B 均为对称阵, 则 C 也为对称阵.
(C).若 A, B 均为正交阵, 则 C 也为正交阵. (D).若 A, B 均可对角化, 则 C 也可对角化.
R( A*) =
.
3、 设实二次型 f (x1, x2 , x3 ) = kx12 + x22 + kx32 + 2x1x3 为正定二次型，则 k 的取值范围
是
.
⎛ −2 0 k ⎞
4、
设矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
k 1
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？
A. 线性无关
B. 可以表示空间中的任何向量
C. 可以线性组合出空间中的任何向量
D. 以上都是
2. 矩阵的秩是指：
A. 矩阵中非零行的最大数目
B. 矩阵中非零列的最大数目
C. 矩阵的行向量组的秩
D. 矩阵的列向量组的秩
3. 线性变换的核是指：
A. 变换后为零的向量集合
B. 变换后为单位向量的向量集合
C. 变换后保持不变的向量集合
D. 变换后向量长度为1的向量集合
4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：
A. 变换后保持不变
B. 变换后与原向量成比例
C. 变换后与原向量垂直
D. 变换后与原向量正交
5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？
B. A的伴随矩阵
C. A的行列式
D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵
6. 行列式的性质不包括：
A. 行列式与矩阵的转置相等
B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关
C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关
D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关
7. 线性方程组有唯一解的条件是：
A. 方程组的系数矩阵是可逆的
B. 方程组的系数矩阵是方阵
C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数
8. 矩阵的迹是指：
A. 矩阵的对角线元素之和
B. 矩阵的行向量长度之和
C. 矩阵的列向量长度之和
D. 矩阵的行列式
9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：
A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）
一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）
1、四阶行列式
44
434241343332312423222114
131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________
2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________
3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则
t =_________
4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且
2B 1, ==A ，则=- 2B A _________
5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，
当i ≠j 时，)2
1 ,31
(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()
n
n ij
a ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子
式，则（ ） (A)
0111
=∑=n
i i i A a
(B)
0111
≠∑=n
i i i A a
(C)
n A a
n
i i i =∑=1
11
(D)
n A a
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《线性代数》期终试卷1
（ 2学时）
本试卷共七大题
一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：
1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是
, 则的属于的两个线性无关的特征向量是
()；
2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随
矩阵, 则的行列式()；
3.(4分)设, , 则
()；
4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()；
5.(3分)二次型经过正交变换可化为
标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()；
7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个
解向量, 其中, , 则该方程组的通解是
()。
二、计算行列
式：
(满分10分)
三、设, , 求。
(满分10分)
四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分)
五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组
, , 也线性无关。
(满分10分)
六、已知二次型，
(1)写出二次型的矩阵表达式；
(2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型；
(3)是什么类型的二次曲面?
(满分15分)
七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）：
1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量
不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。
2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组
必有非零解。
《线性代数》期终试卷2
（ 2学时）
本试卷共八大题
一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：
1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵
。（）
2.若矩阵和矩阵满足，则
。（）
3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交
阵。（）
4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本
身。（）
5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有
。（）
6.若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等
价。（）
7.若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。（）
8.是矩阵，则
。
（）
9.非齐次线性方程组有唯一解，则
。（）10.正交阵的特征值一定是实
数。
（）
二、设阶行列
式：
试建立递推关系，并求。
(满分10分)
三、设，，并且，求
(满分10分)
四、设，矩阵满足，其中是的伴随
阵，求。
(满分10分)
五、讨论线性方程组的解的情况，在有解时求出通解。
(满分12分)
六、求一个正交变换，将二次型
化为标准形。
(满分14分)
七、已知，由它们生成的向量空间记为，为所有3维列向量构成的向量空间，问：
1．取何值时，但，为什么？
2．取何值时，，为什么？
( 满分 12 分 )
八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）：
1．若2阶方阵满足，证明可与对角阵相似。
2. 若是正定阵，则其伴随阵也是正定阵。
《线性代数》期终试卷3
（ 3学时）
一、填空题(15’) ：
1 ．设向量组, 它的秩是( ) ，一个最大线性无关组是
( ).
2 ．已知矩阵和相似 , 则x =
( ).
3 ．设是秩为的矩阵 , 是矩阵 , 且, 则的秩的取值范围是
(
).
二、计算题：
1 ．(7’) 计算行列式.
2 ．(8’) 设, 求.
3 ．(10’) 已知维向量空间的两个基分别为;
, 向量. 求由基到基
的过渡矩阵; 并求向量在这两个基下的坐标.
4 ．(15’) 讨论下述线性方程组的解的情况；若有无穷多解，则必须求出通解 .
5．(15’)已知有一个特征值为, 求正交阵, 使得
为对角阵 .
6 ．(10’) 在次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间中定义
线性变换?为?= , 求线性变换?在基
下的矩阵.
三、证明题：
1．(10’) 已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵
与也合同.
2 ．(10’) 设是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于特征值, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 与是否正交 , 为什么 ?
《线性代数》期终试卷4
（ 3学时）
本试卷共九大题
一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：
1．若阶方阵均可逆，，则
(A) (B) (C) (D)
答( )
2．设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为
(A) (B) (C) (D)
答( )
3．设是维列向量，则=
(A) (B) (C) (D)
答( )
4．若向量组可由另一向量组线性表示，则
(A)
；
(B) ；
(C) 的秩的秩；(D) 的秩的秩. 答( )
二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：
1. 若，则。
2. 设，，，则
3. 设4 阶方阵的秩为2 ，则其伴随阵的秩为。
4. 设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值
是。
三、计算行列式
，（）