(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

《线性代数》期终试卷1

（ 2学时）

本试卷共七大题

一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：

1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是

, 则的属于的两个线性无关的特征向量是

()；

2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随

矩阵, 则的行列式()；

3.(4分)设, , 则

()；

4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()；

5.(3分)二次型经过正交变换可化为

标准型,则()；

6.(3分)行列式中的系数是()；

7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个

解向量, 其中, , 则该方程组的通解是

()。

二、计算行列

式：

(满分10分)

三、设, , 求。

(满分10分)

四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)

五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组

, , 也线性无关。

(满分10分)

六、已知二次型，

(1)写出二次型的矩阵表达式；

(2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型；

(3)是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）：

1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量

不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。

2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。

《线性代数》期终试卷2

（ 2学时）

本试卷共八大题

一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：

1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵

。（）

2.若矩阵和矩阵满足，则

。（）

3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交

阵。（）

4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本

身。（）

5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有

。（）

6.若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等

价。（）

7.若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。（）

8.是矩阵，则

。

（）

9.非齐次线性方程组有唯一解，则

。（）10.正交阵的特征值一定是实

数。

（）

二、设阶行列

式：

试建立递推关系，并求。

(满分10分)

三、设，，并且，求

(满分10分)

四、设，矩阵满足，其中是的伴随

阵，求。

(满分10分)

五、讨论线性方程组的解的情况，在有解时求出通解。

(满分12分)

六、求一个正交变换，将二次型

化为标准形。

(满分14分)

七、已知，由它们生成的向量空间记为，为所有3维列向量构成的向量空间，问：

1．取何值时，但，为什么？

2．取何值时，，为什么？

( 满分 12 分 )

八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）：

1．若2阶方阵满足，证明可与对角阵相似。

2. 若是正定阵，则其伴随阵也是正定阵。

《线性代数》期终试卷3

（ 3学时）

一、填空题(15’) ：

1 ．设向量组, 它的秩是( ) ，一个最大线性无关组是

( ).

2 ．已知矩阵和相似 , 则x =

( ).

3 ．设是秩为的矩阵 , 是矩阵 , 且, 则的秩的取值范围是

(

).

二、计算题：

1 ．(7’) 计算行列式.

2 ．(8’) 设, 求.

3 ．(10’) 已知维向量空间的两个基分别为;

, 向量. 求由基到基

的过渡矩阵; 并求向量在这两个基下的坐标.

4 ．(15’) 讨论下述线性方程组的解的情况；若有无穷多解，则必须求出通解 .

5．(15’)已知有一个特征值为, 求正交阵, 使得

为对角阵 .

6 ．(10’) 在次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间中定义

线性变换?为?= , 求线性变换?在基

下的矩阵.

三、证明题：

1．(10’) 已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵

与也合同.

2 ．(10’) 设是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于特征值, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 与是否正交 , 为什么 ?

《线性代数》期终试卷4

（ 3学时）

本试卷共九大题

一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：

1．若阶方阵均可逆，，则

(A) (B) (C) (D)

答( )

2．设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为

(A) (B) (C) (D)

答( )

3．设是维列向量，则=

(A) (B) (C) (D)

答( )

4．若向量组可由另一向量组线性表示，则

(A)

；

(B) ；

(C) 的秩的秩；(D) 的秩的秩. 答( )

二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：

1. 若，则。

2. 设，，，则

3. 设4 阶方阵的秩为2 ，则其伴随阵的秩为。

4. 设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值

是。

三、计算行列式

，（）