2018年最新高考数学一二轮复习热点题型精讲精练专题二十九数列的概念与简单表示法

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2018高考数学文科一轮复习讲义 10.1 第一节数列的概念与简单表示法

第十板块必修5 第二章数列【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是高考命题的新趋向.新课标高考数列知识点的客观题多为等差这种数列模型，主要考查等差数列的一些基本数量关系，利用公式求通项公式及公差等,对数列性质的应用为主要考查点. 解答题主要考查了等比数列通公式或与等比数列“复合”的数列递推思想方法求通项公式. 新构造数列的综合性问题仍是高考的一个热点问题,其求和及不等关系的探讨,仍然考查等差与等比两种数列模型的广泛应用，并能利用它们解决一些实际问题,综合性较强,并从离散的角度再次认识函数，提升考生对函数思想的理解水平.命题趋向: 新课标数列试题大致分两类，一类是纯数列知识的基础题，多采用客观题型；另一类是中等以上难度的综合题.1.等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点.这方面的考题一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样.掌握了一定的技巧就可以又快又准地完成它，有利于区分出不层次的考生.2.数列出现在解答题中，通常与函数、方程、不等式、解析几何等综合在一起，或者以应用题的形式出现，一般属于中、高档难度题.3.探索性问题是新课标高考的热点，而探索性问题出现在数列中的频率又最.4.数列中凡与n a a 的关系，一直是高考命题的亮点，构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法.5.数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用立体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查.状元心得:要善于利用函数的思想来解决数列的通项公式、前n 项和公式等，运用方程的思想解等差（比）数列是常见题型，解题时要善于总结基本数学方法，如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用．学科知识体系结构图:第一节数列的概念与简单表示法【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标对数列的概念及简单表示法的要求是：“了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类函数．”由此，高考的重点是数列的通项公式，在选择题、填空题和解答题中都可以考查．根据新课标高考的趋势，求解数列通项公式的主要形式有：求等差、等比数列通项公式；由数列的前n 项和；递推数列；函数迭代等．考点一: 数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项,数列中的第i 项用序号表示，序号为 i 对应的项为第i 项，记作：i a ,第一项记为1a ,数列的第n 项一般简记为n a a .3.数列的分类（1）根据数列的项数的多少分有穷数列:如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列；无穷数列:如数列1,2,3,4,5,6,……是无穷数列． (2)根据数列的项的大小分①递增数列:若从第二项起每一项都比前面一项大，即对所有的*n N ∈,都有1n n a a +>a a ,则称该数列｛n a a ｝为递增数列.如 {}1,2,3,4,5,6, ②递减数列:若从第二项起每一项都比前面一项大，即对所有的*n N ∈,都有1n n a a +<a a ,则称该数列｛n a a ｝为递减数列.如 {}6,5,4,3,2,1, ③常数列:各项相等的数列，即对所有的*n N ∈,都有1n n a a +=a a ,则称该数列｛n a a｝为常数数列.④摆动数列:从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，则称该数列为摆动数列.如0,1,0,1,0,1,…… ；2,-6,12,30,-42,……等都是摆动数列.4.周期性：如果对所有的*n N ∈，都有n k n a a +=a a （k 为常数），则称{}n a a 为以k 为周期的周期数列.5.有界性：如果对所有的*n N ∈，都有||n a M <a 或||n a M ≤a ，则称{}n a a 为有界数列，否则称{}n a a 为无界数列.6.数列的实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集*N （或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值．反过来,对于函数y =()f x ,如果()f i 有意义,那么我们可以得到一个数列(1),(2),f f(3)f ,……,()f n ,…, 数列的项是序号的函数，序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列,这就是数列的实质.考点二: 数列的简单表示方法 1.数列的通项公式：(1)如果数列{n a a }的第n 项n a a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，记作：n a a =()f n .(2)通项公式可以理解为以n 为自变量的函数解析式()n a f n =（定义域为正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n }）；2.数列的列表法表示数列可以看作是用列表未能给出的函数关系,它的定义域为整数集*N (或它的有限子集{1,2,3,,}n ⋅⋅⋅),自变量省略,只列出函数值;我们知道123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a 简记为｛n a a ｝,如2n a n =a ,则列表表示如下:由于数列是一种特殊的函数,那么数列就可以用图象来表示,我们利用函数图象的画法画数列的图形,具体的方法是以项数n 为横坐标,相应的项n a a 为纵坐标,则以(n ,n a a )为坐标在平面直角体坛系中作出点,所得的数列的图形是一群孤立的点,这些点的个数可以是无限的,也可以是无限的.因为横坐标为正整数,所以这些点都在y 轴右侧,而点的个数取决数列的项数,从图象可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势, 如2n a n =a 的图象表示如右图所示. 考点三: 数列的前n 项的和1.数列前n 项和定义：对于数列{}n a a ，我们把12n a a a ++⋅⋅⋅+a a 叫做数列{}n a a 的前n 项和，并记作n S ，即12n n S a a a =++⋅⋅⋅+a a 与.2.n a a 与n S 的关系: 1, (1),,(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1a a a 【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础)写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，……(2),3231,1615,87,43,21…… (3)-1,,63,51,43,31,23--……(4)1337,1126,917,710,1,32---,…… (5)3，33，333，3333，……思路透析:(1)各项减去1后为正偶数，所以a ｎ＝２ｎ＋１．（２）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2１，２２，２３，２４，……，所以a n =nn 212-.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，……；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以a n =(-1)n nn)1(2-+. 也可写为a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为正偶数为正奇数n nn n3 1(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因子(-1)n+1 ,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3２＋１，４２＋１，５２＋１，６２＋１，按照这样的规律第1、2两项可改写为12212,121122+⋅+-++，所以a n =121)1(21++-+n n n . (5)将数列各项改写为：,39999,3999,399,39……分母都是3，而分子分别是10-1,10２－１，１０３－１，１０４－１，……所以a n =)110(31-n .点评:求数列的通项公式时应注意以下几点: ①一个数列的通项公式的表达形式不一定惟一,可以通过代入验证其前几项来检验所列出的不同通项公式是否正确; ②利用解(5)的方法还可以求一些与之类似的数列的通项公式．例2.(基础)已知n a a ＝n -21n +，判断数列｛n a a ｝的单调性.思路透析:利用作商比较相邻两项的大小. ∵211)1(1)1(nn n n a a n n +-++-+=+])1(1)1)[(1)(1()1]()1(1)1][()1(1)1[(222222+++++++-++++++++-+=n n n n n n n n n n n n1)=<，又显然a n ＜0，∴a n +1＞a n .故数列｛a n ｝是递增数列．点评:本题应用函数单调性的方法判断数列的单调性, 分子、分母同乘以它们的有理化因式是变换此类数学式子的常用方法.如果利用作差比较法也可以判断该数列的单调性,但其过程与方法较繁,可以试试去比较一下.例3.(综合)已知数列{a n }中，a 1=1，数列{b n }中b 1=0，当n ≥2时，1123n n n a b a --+=a a ，1123n n n a b b --+=a a ，求a n 与b n思路透析:将条件等式联立递推可得各自的通项公式. 因为a n +b n =11112233n n n n a b a b ----+++a a =a n -1+b n-1.递推得a n +b n =a n -1+b n-1=a n -2+b n-2=a 1+b 1=1. 又a n -b n =1111111221()3333n n n n n n n a b a b a b -------++--==a a a .由上面式子可以得到111313,22n nn n a b --+-==a a . 点评:本题主要是对数列递推关系的应用，根据已知条件得到两个关于a n +b n 的式子，再联立可以得到具体的通项. 解决问题的关键在于表示成首项的结构，然后得到具体通项，依次两项之间的递推是问题的技巧所在.例4.(综合)已知数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有（）①a n =21［1+（－1）n +1］; ②a n =sin 22πn ;（注n 为奇数时，sin 22πn =1;n 为偶数时，sin 22πn =0.）;③a n =21［1+（－1）n +1］+（n －1）（n －2）;④a n =2cos 1π-n ,（n ∈N *）（注：n 为奇数时，cos n π=－1,n 为偶数时，cos n π=1.）;⑤a n =⎩⎨⎧)(0)(1为正奇数为正偶数n nA.1个B.2个C.3个D.4个思路透析:要判别某一公式是不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.对于③，将n =3代入，a 3=3≠1,故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种表示形式.应选C .点评:本题应用了代入法及验证法判断给定的通过项是否符号该数列的前几项问题.进行求解过程中适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类此是探索某些规律的常用方法之一.例5.(创新探究)对于任意函数,),(D x x f ∈可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下:①输入数据,0D x ∈经过数列发生器输出)(01x f x =;②,1D x ∉则数列发生器结束工作;若,1D x ∈则将1x 反馈回输入端,再输出)(12x f x =,并依此规律继续下去.现定义,12)(+=x x f )1000,0(=D ,若输入10=x ,这样,当发生器结束工作时,输出数据的总个数为( )A. 8B. 9C. 10D. 11思路透析:将数列的各项依次写出,即可得出其各项,及其规律性,由此可以得出输出数据的总个数.由题意分析知:输入,10=x 得3)(01==x f x ,输入31=x ,得72=x ;输入32=x 得15)(23==x f x 由此下去得输出数分别为: 3,7,15,31,63,127,255,511,1023….其中3,7,15,31,63,127,255,511)1000,0(∈所以符合条件的数列有8个,故选A. 点评:本题考查新定义的程序设计问题,培养学生分析推理问题能力.数列发生器是近几年高考中出现的新型题,该题型以算法框图为示意图,将数列用函数定义形式给出,旨在考查新定义的程序设计问题,培养学生分析推理问题能力.例 6.(创新探究·2007广东模拟))考虑如下逐步定义的序列:1u a =(a 为任意正数),111n n u u +-=+,1,2,3,n =⋅⋅⋅.问n 取下列哪个值时, n u a = ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18 思路透析:由已知递推关系式可得前几项如下:211111u u a --==++,321111111a u u a a ----===-+++,4311111u a a u a--===--++ .依此类推可得311k u u a +== ,而1631511u u u a ⨯+=== ,故选C .点评:关于递推关系的数列，在研究通项时，往往是先写出几项，再根据具体的规律来解决问题；此数列{n u }是周期数列,其周期为3()k k Z ∈,一般地有31k u a +=,3211k u a +-=+,31k a u a--= .与周期函数的性质研究相类似,通项公式是关于n 的函数，在求解时可以运用函数的有关知识分析.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. (3)“项”与“项数”是不同概念：“项数”是该数列的所有项的个数;(4)不是每一个数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，……； (5)数列的通项公式不唯一，如：数列1,-1,1,-1,1,-1,…其通项公式可以是()11n n a +=-=()os 1c n π-⎡⎤⎣⎦．(6)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项；③反映该数列的共同规律．(7)掌握如下一些基本数列的通项公式:①数列-1,1,-1,1,…的通项公式为:(1)nna =-a ; ②数列1,2,3,4,…的通项公式为:n a n =a ; ③数列1,3,5,7,…的通项公式为:21n a n =-a ; ④数列2,4,6,8,…的通项公式为:2n a n =a ;⑤数列1,2,4,8,…的通项公式为:12n n a -=a ; ⑥数列1,4,9,16,…的通项公式为:2n a n =a .(8)用数列的通项公式表示数列的优点是,函数关系清楚，通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系；代入项数就可求出数列的相应项；便于研究数列的性质.(9)列表法的优点是不必计算，查表可得到每个项数所对应的数列的每一项的值.(10)图象法的优点是直观形象地表示出了n a a 随着n 的变化规律.2.学以致用:(1)如图，是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第9行的实心圆点的个数为( )A. 13B. 22C. 21D. 34(2)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=A. 6EB. 72C. 5FD. B0(3)设5021,,,a a a 是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，若12a a ++ 509a +=，且107)1()1()1(2502221=++++++a a a ，则5021,,,a a a 中数字0的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13 (4)已知数列}{n a 的通项公式*)(9897N n n n a n∈--=,数列}{n a 的前30项中的最大项为最小项为 .答案:(1)C 解析:其规律为一个黑点生长成一个黑点和一个白点,一个白点生长成一个黑点,每一行的黑点的个数是上面两行的黑点的个数之和,由此可得第七行及以后各行的黑点个数分别为:8个(第7行) ,13个(第8行), 21个(第9行).(2)A 解析:A ×B=110=6×16+14=6E .(3)B 解析将所给的表达式展开,对其中的结论进行综合分析,通过150a a ++ 、22150a a ++ 的结论数值分析内因,从而可以找出其内部关系.令Aa a a =++++++2502221)1()1()1( ，则将此平方式展开有10750)(250125021=++++++=a a a a A ，39185010725021=--=++a a ，可见5021,,,a a a 中有113950=-个整数0.故应选B.(4)10a , 9a 解析 97979819897--+=--=n n n a n ,易见当97≥n 时,n a 是n 的减函数,即301110a a a >>> ,且1>n a ,当97<n 时,n a 是n 的减函数, 即921a a a >>> ,且1<n a .故数列}{n a 的最大项为10a ,最小项为9a . 3.易错分析:(1)第n 项n a 与项数n 之间的对应关系搞错；(2)不能正确地应用前n 和公式来求通项公式.注意研究数列的前n 项和，一定首先考虑数列的通项公式的特征；其次是找准变化的规律性.(3)注意函数的图象一般是“连续”的，而数列的图象是“离散”的.(4)注意在应用n a a 与n S a 的关系式时要分1n =和2n ≥两种情况讨论，最后检验两种情形能否合用一个式子表示，若不能，就用分段形式表示.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.已知数列15,11,7,3，…，则53是数列的（）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项2.已知数列{a n}中，a1=1,an+1=22+nnaa（n∈N*）, 则a5等于（）A.52B.31C.32D.213.数列－1，924,715,58-，…的一个通项公式a n是（）A.（－1）n122+nnB.（－1）n1)2(++nnnC.（－1）n)1(21)1(2+-+nnD.（－1）n12)2(++nnn4.在数列{a n}中，a1=1,a2=5,a n+2=a n+1－a n（n∈N*）,则a1000等于（）A.5B.－5C.1D.－15.一给定函数)(xfy=的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a，由关系式)(1nnafa=+得到的数列}{na满足)N(*1∈>+naann，则该函数的图象是Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.6.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1）,按图示在x轴、y轴的平行方向向上来回运动，且每一秒移动一个单位长度，那么，在2005这个粒子所处的位置是A．( 19 , 44 ) B．( 44 , 19 )C．( 19 , 45 ) D．( 45 , 19 )二、填空题:7.设数列a1,a2, ,a n, 满足a1=a2=1,a3=2a n a n+1a n+2a n+3=a n+a n+1+a n+2+a n+3，则a1+a2+ +a8.已知数列}{na满足133,011aaaannn+-==+，则20=9.如图所示，有一列曲线P0，P1，P2，……．已知P0所围成的图形是面积为1的正三角形，P k＋1是对P k进行如下操作得到：将P k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k＝0,1,2,…）. 记S n为曲线P n所围成图形的面积．则数列{S n}的通项公式为．P 0P 1P 2 P 310.设数列}{n a 的通项公式为*)(!2004N n n a nn ∈=,数列}{n a 中的最大项的值为 .三、解答题:11.求出下列各数列的一个通项公式． (1)2，0，2，0，2，…(2)7，77，777，7777，77777，… (3) 7,0,-7,0,7，0，-7，0…12.选取一列整数123,,,a a a ⋅⋅⋅使得对每个n ≥3,都有12n n n a a a --=-.若该数列的前1492项的和等于1985,前1985项的和等于1492,那么前2001项的和是多少?13. 设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…．写出数列{}n a 的前四项,并猜想该数列的通项公式n a a .14.已知实数列{n a a }满足0a =a ,a 为实数,11313---+=n n na a a (n ∈N )，求2008a【能力训练】参考答案一、选择题:1. B2. B3. D4. B5. A6. A 二、填空题:7. 200 8. 3- 9. 223()]3n-⨯ ()n N ∈ 10.200420042004! 三、解答题:11.】解析:（1）法一：2，0，2，0…可看作1+1，1-1，1+1，1-1…故可写为：()111n n a +=+-法二：看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ⎧⎨⎩7(2)77777777777777799⨯ 所给数列，，，，可以改写为，79797979797979797979×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n(3)所求的通项公式可转化为数列1,0,-1,0,1,…的通项公式,联想三角函数“五点法”作图的基本值,则得7sin2n n a π=.12.解析设12,a a a b ==,由此可推得.345678,,,,,,a b a a a a b a a b a a a b =-=-=-=-==由此可知 6k r r a a += .(,k r Z ∈,0k >,0≤6r <)而1234560a a a a a a +++++= .∴1214921214881489149014911492()a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++()()2a b b a a b a =++-+-=- .∴21985b a -= (1)又1219851219861985()0()a a a a a a a a b b a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-=--=- . ∴1492b a -= (2) 由(1)与(2)解得999a =-, 493b = .∴122001121998199920002001()a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++()2986a b b a b =++-== .13.解析:由132342n n a a n --==，，，，…，得11231122a a a --==+; 121313(1)3121224a a a a --+--===-; 131413(1)3141228a a a a -----===+, 即可猜想得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.14.解析:aa a a a -+=-+=313313001；2a ==,a a a a 1313223-=-+=； 133)1(31)1(3313334++-=--+-=-+=a a aa a a a =5a 31331344+-=-+a a a a ； a a a a a a a a =+--++-=-+=313313133313556∴ 17a a = 28a a = 39a a = …于是对于任意正整数k 有 r r k a a =+6 (r=0,1,2,3,4,5,) 2000=6×334+4∴20004a a ==.。

2018高考数学考点突破数列：数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法【考点梳理】1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2).【考点突破】考点一、由数列的前几项归纳数列的通项公式【例1】写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1,7，－13,19，…； (4)3,33,333,3 333，….解析] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6.故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1).【类题通法】1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整，可代入验证归纳的正确性．【对点训练】1. (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________.答案] (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析] (1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可． (2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1. 考点二、由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .解析] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式. ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.【类题通法】由S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式．【对点训练】2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n C ．2n －1 D ．2n －2答案] A解析] 由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A .考点三、由递推公式求数列的通项公式【例3】根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解析] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2. (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a na n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝()122n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝()122n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1. 【类题通法】1.已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；已知a 1(a 1≠0)，且a n a n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .2．已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列．【对点训练】已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.。

2018-2019学年高考数学(理)大一轮复习人教版第六章数列第1节数列的概念及简单表示法

第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n （n ＋1），…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A.135B.142C.148D.154解析 n ＝6时，16×（6＋1）＝142为数列中的第6项.答案 B3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15B.16C.49D.64解析当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳a n＝5n－4.答案5n－45.(2017·福州八中质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N*)，则a2 018＝________.解析∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0.答案0考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1，7，－13，19，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5 555，….解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为a n＝2n（2n－1）（2n＋1）.(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n－5).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练1】 (1)(2018·长沙模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)(2018·青岛模拟)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1 C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意. (2)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6， a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.答案 (1)C (2)C考点二由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(必修5P45T2改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋23n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4712，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14n 2＋23n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（n －1）2＋23（n －1）＋3＝12n ＋512，经检验a 1＝4712不满足上式所以这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2(2)(－2)n －1规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形. 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 解析 (1)由题意，得a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2＝n （3n ＋1）2.即a n ＝32n 2＋n2.(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1 ＝2n ＋1，又a 1也满足上式. 所以a n ＝2n ＋1.(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)32n 2＋n 2 (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3规律方法 1.形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.3.形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 【训练3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .(2)由a n ＋1＝2na n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).答案 (1)4－1n (2)2n （n －1）2(3)2n ＋1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D2.(2018·湘潭一中、长沙一中联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132B.116C.14D.12解析由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2017·黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7B.6C.5D.4解析依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题6.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥27.(2018·云南11校联合调研改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，则a 5＝________.解析依题意得a n ＋1－a n ＝2n ＋1，a 5＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 答案 258.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞) 三、解答题9.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .10.已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1·a n ＝2n ，求a n .解因为a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，a 2＝23，故a n ＋2a n＝2，所以数列{a n }的奇数项构成以3为首项，以2为公比的等比数列；偶数项构成以23为首项，以2为公比的等比数列.当n 为偶数时，a n ＝a 2·2n 2－1＝23·2n 2－1，即a n ＝13·2n 2；当n 为奇数时，a n ＝3·2n －12.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3·2n －12，n 为奇数，13·2n 2，n 为偶数(n ≥1，n ∈N *). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.310 B.19 C.119 D.1060解析令f (x )＝x ＋90x (x >0)，得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.答案 C12.(2017·湘中名校联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________. 解析由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ①，(n －1)·2n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1②，①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，a n －kn＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎨⎧a 5≥0，a 6≤0，即⎩⎨⎧5（2－k ）＋2≥0，6（2－k ）＋2≤0，解得73≤k ≤125. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).。

2018年高考数学二轮复习专题02 数列考点速记文

专题02数列一、数列1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类按项数分类无穷数列项数无限 3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二、等差数列1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *).(2)等差数列的前n 项和公式 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+（其中*N n ∈，1a 为首项，d 为公差，n a 为第n 项） 3.等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，*N q ∈)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则*2,,,(,N )k k m k m a a a k m ++⋅⋅⋅∈是公差为md 的等差数列.(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.4.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).5.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.三、等比数列1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n＝q (*N n ∈，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1qn －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q. 3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，*N n ∈)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；当q ＝1时，数列{a n }是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为mq .(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为n q .四、求数列的前n 项和的方法1.公式法①等差数列的前n 项和公式 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列的前n 项和公式(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q. 2.分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.3.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4.倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.5.错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.6.并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第六章6.1 数列的概念与简单表示法含解析

1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1__>__a n其中n∈N＊递减数列a n＋1__<__a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3。

数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．【知识拓展】1．若数列{a n｝的前n项和为S n,通项公式为a n，则a n＝错误!2．在数列{a n｝中，若a n最大，则错误!若a n最小，则错误!3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）所有数列的第n项都能使用公式表达．( ×）（2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√)（3）1,1，1,1，…，不能构成一个数列．（×)（4）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ×) (5）如果数列｛a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n。

（√)1．把1,3,6,10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示）．则第7个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30答案B解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。

2．已知数列错误!，错误!，错误!，…，错误!，…，下列各数中是此数列中的项的是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案B3．(教材改编)在数列｛a n｝中，a1＝1，a n＝1＋错误!(n≥2)，则a5等于( )A.错误!B.错误!C。

2018届高考数学一轮复习数列的概念与简单表示课件人教A版

序号 n 之间的关 (4)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与________ an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列系可以用一个式子________
的通项公式．
2．数列的分类
有限无限
＞
＜
(1)[教材习题改编]已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0，给出下列各式： 1－－1n ①an＝； 2 1＋－1n ②an＝； 2 nπ ③an＝sin2 2 ；
q 3 2p＋2＝2，解析：由已知得 4p＋q＝3， 4 2 2 9 ＋，故 a8＝ . n 4
1 p＝，解得 4 q＝2，
1 则 an＝ n 4
n (2)已知非零数列{an}的递推公式为 an＝ · an－1(n＞1)，且 n－1
4 a1＝1，则 a4＝__________.
(5) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数 1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
5 030 项． ①b2 012 是数列{an}中的第________
考点 2
由递推公式求通项公式
反映数列相邻两项或几项间的关系的式子，我们称它为数列的递推公式，常见等差、等比数列的递推关系为：an－an－1＝d， an ＝q. an－1 由递推公式到数列的通项公式常采用的方法有：①累加法； ②累乘法；③构造法(即对于非等差、等比数列) ，通过构造法使之转化为等比、等差数列的形式．
(2)已知数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列的第
7 __________ 项．

数列的概念与简单表示法-高考数学复习

第六章数列
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[解析] (1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an ＝(－1)n(6n－5).
(2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列 9,99,999，…
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5．(选修 2P9T5 改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝nn＋＋12，则 a5＋ 1
a6＝___2_4___.
[解析] a5＋a6＝S6－S4＝66＋＋12－44＋＋12＝78－56＝214.
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2n .
(5)将原数列改写为32，55，170，197，…，对于分子 3,5,7,9，…，是序
号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，…，
联想到数列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，
故可得原数列的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
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由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an. (1)－1,7，－13,19，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)5,55,555,5 555，…； (4)1,0，13，0，15，0，17，0，…； (5)32，1，170，197，….

数列的概念和应用

数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。

2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。

3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。

4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。

5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。

6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。

(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。

(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。

(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。

4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。

(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。

(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。

(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。

2018年高考理科数学第一轮复习教案29 数列的概念与简单表示法

第一节数列的概念与简单表示法数列的概念及表示方法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识点一数列的概念1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)．2．数列的分类易误提醒1．由前n 项写通项、数列的通项并不唯一．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[自测练习]1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N ＋)C．a n＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．a n＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)解析：观察数列{a n}各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{a n}中的项B．只是数列{a n}中的第2项C．只是数列{a n}中的第6项D．是数列{a n}中的第2项或第6项解析：令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．答案：D知识点二数列与函数关系及递推公式1．数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．必记结论a n与S n的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[自测练习]3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2考点一由数列的前几项求数列的通项公式|1．下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….答案：C2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n×1n (n ＋1).(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1，1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.用观察法求数列的通项公式的两个技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．(2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n |已知下面数列{an }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . [解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式|递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有： 1．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n .3．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . 4．形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n .探究一形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n .1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)．解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .探究二形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n . 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2.探究三形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n . 3．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.探究四形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n .4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列． ∴1a n＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．1．形如a n ＝a n －1＋f (n )(n ≥2，n ∈N *)时，用累加法求解． 2．形如a na n －1＝f (n )(a n －1≠0，n ≥2，n ∈N *)时，用累乘法求解．3．形如a n ＝a n －1＋m (n ≥2，n ∈N *)时，构造等差数列求解；形如a n ＝xa n －1＋y (n ≥2，n ∈N *)时，构造等比数列求解．16.函数思想在数列中的应用【典例】已知数列{a n }． (1)若a n ＝n 2－5n ＋4. ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．[思路点拨] (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．[解] (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. ②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，∴对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. [方法点评]1．本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．[跟踪练习] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解：法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎪⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *， ∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.A 组考点能力演练1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( )A ．143B ．156C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以a n ＋1＋1－a n ＋1＝1，又a 1＝0，则a n ＋1＝n ，a n ＝n 2－1，则a 13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.32解析：本题由数列递推关系式，推得数列{a n }是周期变化的，找出规律，再求a 20.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知：数列{a n }是周期变化的，且三个一循环，所以可得a 20＝a 2＝－3，故选B.答案：B3．在数列{a n }中，a 3＝8，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2(n 为奇数)，2a n (n 为偶数)，则a 5等于( )A ．12B ．14C ．20D ．22解析：本题考查数列的基本性质．代入得a 4＝a 3＋2＝10，a 5＝2a 4＝20.答案：C4．在数列{a n }中，有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．200B ．300C ．298D ．299解析：由题意，知a n＋a n＋1＋a n＋2＝a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，则a n＝a n＋，所以数列{a n}是周期为3的周期数列，则a1＝a4＝a7＝…＝a97＝a100 3＝2，a2＝a5＝…＝a98＝4，a3＝a6＝a9＝…＝a99＝3，所以数列的前100项和为(a1＋a2＋a3)×33＋a100＝299，故选D.答案：D5．已知在数列{a n}中，a1＝2，a2＝7，若a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 016的值为()A．8 B．6C．4 D．2解析：因为a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4；因为a2a3＝7×4＝28，所以a4＝8；因为a3a4＝4×8＝32，所以a5＝2；因为a4a5＝8×2＝16，所以a6＝6；因为a5a6＝2×6＝12，所以a7＝2；因为a6a7＝6×2＝12，所以a8＝2；依次计算得a9＝4，a10＝8，a11＝2，a12＝6，所以从第3项起，数列{a n}成周期数列，周期为6，因为2 016＝2＋335×6＋4，所以a2 016＝6.答案：B6．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝0，若对任意的正整数n，m(n>m)，有a2n－a2m＝a n－m a n＋m，则a2 015＝________.解析：令n＝2，m＝1，则a22－a21＝a1a3，得a3＝－1；令n＝3，m＝2，则a23－a22＝a1a5，得a5＝1；令n＝5，m＝2，则a25－a22＝a3a7，得a7＝－1，所以猜想当n为奇数时，{a n}为1，－1,1，－1，…，所以a2 015＝－1.答案：－17．若数列{(n－a)2}是递增数列，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，对任意的n ∈N *.(n ＋1－a )2>(n －a )2恒成立，即2a <2n ＋1恒成立，所以2a <(2n ＋1)min ＝3，则a <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，328．(2016·蚌埠检查)已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n 2， a n 为偶数，3a n ＋1， a n 为奇数，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________.解析：由题意知a 1＝1，a 2＝3×1＋1＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，…，所以{a n }的周期为3，因为2 014＝3×671＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(1＋4＋2)×671＋1＝4 698.答案：4 6989．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n >b n .若在数列{c n }中，c 8>c n (n ∈N *，n ≠8)，求实数p 的取值范围．解：由题意得，c 8是数列{c n}中的最大项，所以⎩⎪⎨⎪⎧－7＋p >22，－9＋p ≤24，－8＋p >4，23>－9＋p ，解得12<p <17.10．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a2<6，∴－10<a <－8. 故a 的取值范围为(－10，－8)．B 组高考题型专练1．(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B. 答案：B2．(2011·高考四川卷)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，3×4n －2(n ≥2)， ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. 答案：A3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.答案：124．(2012·高考上海卷)已知f (x )＝11＋x .各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析：∵a n ＋2＝11＋a n，a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋12＝23，a 7＝11＋23＝35，a 9＝11＋35＝58，a 11＝11＋58＝813，又a 2 010＝a 2 012，即a 2 010＝11＋a 2 010⇒a 22 010＋a 2 010－1＝0，∴a 2 010＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 010＝－5－12舍去. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴1＋a 2 008＝25－1＝5＋12，即a 2 008＝5－12，依次类推可得a 2006＝a 2 004＝…＝a 20＝5－12，故a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326.答案：135＋3265．(2015·高考江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 答案：2011。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题6.1_数列的概念与简单表示法(讲)(有解析)

专题6.1 数列的概念与简单表示法【考纲解读】题组一常识题1．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是__________________．2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________．【解析】由题意可知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝85.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．【解析】由数列{a n }的通项公式，得a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋3]－(2n ＋3)＝2>0，所以{a n }是递增数列．题组二常错题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，则该数列的第5项是________．【解析】由数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，得a 5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{a n }的第5项是23. 5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项．【解析】∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11，∴a 5＝14，a 6＝17，a 7＝20＝25，即25是该数列的第7项．6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为______________．【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.显然当n ＝1时，不满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，该实数a 的取值范围是________．【解析】∵数列{a n }是递增数列，且a n ＝f (n )，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.题组三常考题8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．9．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________．【解析】由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.10．设数列{a n }满足a 1＝0，且a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为____________.【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（n ＋2）2＝n 2＋n －22(n ≥2)．因为a 1＝0满足上式，所以a n ＝n 2＋n －22.【知识清单】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a . 对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 考点2由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a 1. 数列的前n 项和：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+ 2．数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩考点3由递推公式推导通项公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (2)n ≥ (或前几项)间的关系可用一个公式1()n n a f a -=来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．考点4 数列的性质的应用数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式【题组全面展示】【1-1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________．【答案】32【1-2】已知函数()f x 满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则(12)f 的值为_______．【答案】91【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,,(12)(11)13f f f f f f f f ∴-=-=-=-=，()()[][][]1314121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912f f f f f f f f ⨯∴=+-+-++-=++++=+++++==．【1-3】已知数列的前几项为112-⨯,123⨯,134-⨯,145⨯,…，则数列的一个通项公式为 . 【答案】()()111nn a n n =-+.【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式()()111nn a n n =-+.【1-4】已知数列的前几项为9,99,999,9 999，…，则数列的一个通项公式为 .【答案】101nn a =-【解析】这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式101nn a =-.【1-5】按数列的排列规律猜想数列23，45-，67，89-，…的第10项是_______．【答案】－2021综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．【方法规律技巧】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【新题变式探究】【变式一】将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即20145a -=_______．【答案】10102013⨯【变式二】已知数列{a n }中，*,n a N ∈对于任意*1,,n n n N a a +∈≤若对于任意正整数k ，在数列中恰有k 个k 出现，则2014a = ．【答案】63【解析】由题意数列{}n a 就是如图数阵.确定2014a 的值，就是确定数列{}n a 第2014个数在数阵中第几行.因为(1)63(631)62(621)12,2016,1953,222n n n ++++++===所以2014a 在数阵中第63行，所以201463.a = 12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，从而得数列的通项公式.试题二是一个根据数列的规律找通项公式，可根据数列的变化规律，找出2014a 在数阵中的位置，从而可求出2014a 的值.考点2由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a 【题组全面展示】【2-1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝_______．【答案】16【解析】当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16.【2-2】数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数)，则n a =_______. 【答案】11()11n n r a r r -=-- 【解析】由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r ra a n n ，∵0r ≠， ∴{}n a 是公比为1-r r的等比数列．又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11n n r a r r -=--．【2-3】已知数列{}n a 的前n 项和为S n ＝3n－1，则它的通项公式为a n ＝________. 【答案】2·3n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2·3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也满足a n ＝2·3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1.【2-4】已知数列{}n a 的前n 项和2*21()n S n n n N =++∈，则n a =_______.【答案】n a =4,121,2n n n =⎧⎨+≥⎩【解析】1n =时，114a S ==，2n ≥时，221(21)[(1)2(1)1]21n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+，将1n =代入得134a =≠，所以n a =4,121,2n n n =⎧⎨+≥⎩. 【2-5】数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a . 【答案】综合点评：这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示．【方法规律技巧】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； (3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 【新题变式探究】【变式一】数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式n a =________.【答案】3n【解析】a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n. 【变式二】已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式n a =________．【答案】()()231322n n n a n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【综合点评】这两个题都是n a 与n S 的关系求通项n a 型，利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式：数列{a n }的前n 项和n S 与通项n a 的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，通过纽带：=n a 1n n S S -- (2)n ≥，根据题目求解特点，消掉一个n a 或n S 然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉n S ，可以利用已知递推式，把n 换成(1n +)得到新递推式，两式相减即可．若要消掉n a ，只需把a n ＝S n －S n －1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式=n a 1n n S S --成立的条件2n ≥. 考点3由递推公式推导通项公式【题组全面展示】【3-1】已知数列{}n a 满足111,2(2)n n a a a n n -==⨯≥，则4a =_______．【答案】192【解析】∵12n n a a n -=⨯，∴12n n a n a -=，∴214a a =，326a a =，438aa =，又因为11a =，所以，41468192a =⨯⨯⨯=【3-2】已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】125n n n a -=+【3-3】已知数列{}n a 满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *∈)，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】n a =21n-.【解析】构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=122n -⋅ n a =21n-.【3-4】在数列{}n a 中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】222n n n a -+= (n N *∈).【解析】∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+=且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+= (n N *∈). 【3-5】已知数列{}n a 满足,1,13111=+=--a a a a n n n 则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】132n a n =-综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法．【方法规律技巧】1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2. 由递推公式推导通项公式（1）对于11()nn a a a a f n -=⎧⎨=+⎩型，求n a ，迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1()(2)n n a a f n n --=≥，给递推式1()(2)n n a a f n n --=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-的方法.（2）对于11()n n a aa f n a -=⎧⎨=⎩型，求n a ，迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1()(2)n n a g n n a -=≥，给递推式1()(2)n n ag n n a -=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用321121nn n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯的方法. （3）对于11n n a aa pa q+=⎧⎨=+⎩(1,0)q b ≠≠型，求n a ，一般可以利用待定系数法构造等比数列{}n a λ+，其公比为.p 注意数列{}n a λ+的首项为1a λ+，不是1.a 对新数列的首项要弄准确. (4)形如11n n n a a ka b--=+的递推数列可以用倒数法求通项．【新题变式探究】【变式一】已知数列{}n a 满足11a =,()11n n na n a -=+(*2,n n N ≥∈),则2161n a n ++取得最小值的n 的值为_____. 【答案】7【变式二】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________. 【答案】12014xx+【解析】111()1111x x f x x x x +-===-+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x∴-≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =，当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+，即1111()()n n f x f x +-= ∴数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列 11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+，()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n x f x x nx∴=≥+，2014()12014xf x x ∴=+.【综合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式，第一题与不等式结合，第二题与函数结合，第一题首先由叠乘法求出通项公式，然后代入有基本不等式可得，第二题由函数的性质找出递推关系，从而找出()(0)1n xf x x nx=≥+，即可得出)(2014x f 的表达式. 考点4 数列的性质的应用【题组全面展示】【4-1】已知()225n a n n n N +=-+∈，则数列{}n a 的最大项是_______．【答案】1213a a 或【解析】n a 是关于n 的二次函数. 【4-2】设函数6(3)3,7(),7x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且数列{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为_______．【答案】(2,3)【4-3】在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，(319)2n n a n =-⋅，则当n S 最小时，n 的值为_______．【答案】6【解析】令0n a ≤，得6n ≤，故当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，故当6n =时，n S 最小.【4-4】若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为_______．【答案】7【4-5】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=….若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】915,44⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：由条件213(2)n n S S n n -+=≥得21)1(3+=++n S S n n ，两式相减得361+=++n a a n n ，故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a ，由2=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=，从而a n a n 2662-+=；3=n 得2721321=++++a a a a a ，a a 233+=，从而a n a n 23612+-=+，由条件得⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-+-<-+-<a n a n a n a n a a 26)1(6236236266212，解之得41549<<a . 综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用.【方法规律技巧】1.数列中项的最值的求法数列中n a 或n S 的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列n a 或n S 的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是n 只能取正整数．数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩. 前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2．在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．【新题变式探究】【变式一】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，不等式216n n m S S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5【变式二】定义在R 上的函数)(x f y =满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)5(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20131(f ．【答案】132【综合点评】这些题都是数列函数特征的应用，第一题利用函数恒成立问题，转化为求最小值；第二个题利用数列的增减性，采用赋值法，来确定函数值.【易错试题常警惕】易错典例：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．易错分析：忽略考虑1n =时情况.正确解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，6n －5，n ≥2.温馨提醒：a n 与S n 关系不清致误：在数列问题中，数列的通项a n 与其前n 项和S n 之间存在下列关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n ＝1和n ≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．。

2018版高考数学一轮总复习第5章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理2017052202151

解得 a1＝1.由 an＋1＝Sn＋1
1 1 －Sn＝2Sn＋1，得 Sn＋1＝3Sn＋1，所以 Sn＋1＋2＝3( Sn＋2 )， 1 3 1 所以Sn＋2是以2为首项， 3 为公比的等比数列，所以 Sn＋2 n 3 －1 3 n－1 ＝2×3 ，即 Sn＝ 2 ，所以 S5＝121.
第5章数列
第1讲数列的概念与简单表示法
板块一知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 概念数列数列的项按照数列中的数列的有关概念含义
一定顺序排列的一列数
每一个数
数列的通项数列{an}的第 n 项 an
通项公式
数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列的通项公式数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列的前 n 项和
可知，数列的通项公式为 an＝ 3n－1＝ 2 5，可得 n＝ 7.
fn＋1 3 ．已知 f(1)＝ 3 ， f(n ＋ 1)＝ (n ∈ N*) ．则 f(4)＝ 2 5 4 ________.
解析 3 5 由 f(1)＝ 3，得 f(2)＝2， f(3)＝， f(4)＝ . 2 4
1 4． [ 课本改编] 在数列{an}中， a1＝2， an＋1＝ an＋， nn＋1 1 3－ n 则数列 an＝________. 1 1 1 解析由题意，得 an＋ 1－ an＝＝－， nn＋ 1 n n＋ 1
解析
) C ．8 D．10
B ．6
a4＝S4－S3＝20－12＝8.
2．[ 课本改编 ] 已知数列 2， 5，2 2，…，则 2 该数列的 ( ) B．第 6 项 C ．第 7 项 D ．第 8 项 A．第 5 项

2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题6.1 数列的概念与简单表示法(测)

专题6.1 数列的概念与简单表示法一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝_______【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时， a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_______ 【解析】令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.3．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于_______【解析】在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝_______ 【解析】由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C. 5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝_______6．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于_______ 【解析】∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________．【解析】∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n －1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.8．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．【解析】令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该数列的第10项．9．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1，b 1＝－p ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数p 的取值范围为________．10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.【解析】∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 二、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1， a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整理得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，故a n＝n.12．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有a n＋1>a n，求实数k的取值范围．。

2018版高考数学(理)一轮复习题库：第六章第1讲数列的概念与简单表示法含解析

第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列｛a n}：1,－错误!，错误!，－错误!，…的一个通项公式是（) A．a n＝(－1)n＋1错误!（n∈N＋）B．a n＝（－1）n－1错误!(n∈N＋）C．a n＝（－1)n＋1错误!（n∈N＋)D．a n＝（－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋）解析观察数列{a n}各项，可写成:错误!，－错误!，错误!，－错误!，故选D。

答案D2．把1,3,6，10，15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( ）．A．27 B．28 C．29 D．30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案B3．已知数列｛a n}的前n项和为S n,且S n＝2a n－1（n∈N＊)，则a5＝（)．A．－16 B．16 C．31 D．32解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，又S n－1＝2a n－1－1(n≥2），∴S n－S n－1＝a n＝2(a n－a n－1）．∴错误!＝2.∴a n＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.答案B4．将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14，20，…为梯形数,根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝（）．A．2 020×2 012 B．2 020×2 013C．1 010×2 012 D．1 010×2 013解析结合图形可知,该数列的第n项a n＝2＋3＋4＋…＋（n＋2）．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D。

答案D5．在数列{a n｝中，a n＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )．A．103 B。