G(三章1讲)算符表示

(2)
ˆ (c c ) c F ˆ ˆ 所以： F 1 1 2 2 1 1 c2 F 2
得证：
例
例
（
）
证明：力学量算符是厄密算符
力学量A的期望值为
A

ˆ d *A
取上式的复共轭
* ˆ * * * ˆ ） ˆ ） A* （ *） （ A ） d＝ （A d＝（A d
ˆ ) (A ˆ , ) (, A
因此，我们只需要研究 (1) 线性算符的运算特点、 (2) 厄密算符的性质 (3) 厄密算符的本征值 等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质
五、线性算符的运算
1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
ˆ, p ˆ) ˆ f (r A
Lrp ˆ p ˆ i r ˆ ˆ r L
如： p2 T H T U (r ) 2 2 2 2 ˆ p 2 ˆ T H ˆ) ˆ 2 U (r 2 2 2
三、算符的定义 算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，应找到各种力学量的算符
二、与经典物理学量有对应的量子力学量算符
ˆ r r ˆ p i (i j k ) i x y x
经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以 依据如下对应法则定义对应量子力学量的算符
A f (r , p)
ˆ c F ˆ c f c f f (c c ) c1F 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
(1)
根据态叠加原理, c1ψ1+c2ψ2也是本征方程的解，有：
ˆ (c c ) f (c c ) F 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ (r ) * (r ) E (r ) * (r ) H ˆ (r ) * (r ) (r ) E * (r ) H ˆ (r ) 1E * (r ) H
ˆ (r )dr E * ( r ) H
ˆ (r ) E * (r ) H
ˆ ) (A ˆ , ) 用内积表示：(, A
证明：力学量算符是线性算符
设ψ1，ψ2是力学量算符F的本征方程
的两个解，有：
ˆ f F 1 1 ˆ c f c1F 1 1 1 ˆ f F ˆ f F 2 2 ˆ c f c2 F 2 2 2
ˆ A
四、力学量算符是线性厄密算符（ Hermitian） 1. 线性算符的定义 满足如下运算法则的算符，称为线性算符
ˆ (c c ) c ˆ ） ˆ） A （ A c （ A 1 1 2 2 1 1 2 2
2. 厄密算符的定义 满足如下关系式的算符，称为厄密算符
* ˆ ˆ Ψ A dτ= (AΨ) dτ *
1. 两厄米算符之和仍为厄米算符 2. 当且仅当两厄米算符 A 和B 对易时，它们之积 AB 才为 厄米算符。 3. 无论两厄米算符是否对易，算符 1 AB B A 及 2 都是厄米算符。
1 AB B A 2i



4. 任意算符总可以分解成： A A i A ， 厄米算符

ˆ x ( x )dx p x ( x ) p
力学量算符与期望值的关系：
x

(x )x (x )dx
*
ˆ (r )dr r * (r )r
ˆ (r )dr p (r ) p
px
ˆ x ( x)dx ( x) p

ˆ E H
因为可观测力学量的期望值应为实数，即
AA
*

* ˆ d＝ （A ˆ ） *A d
得证：
例
例
前面我们已证明: 所有力学量算符都是线性厄密算符,即:
ˆ (c c ) c ˆ ） ˆ） A （ A c （ A 1 1 2 2 1 1 2 2
* ˆ ˆ Ψ A d τ = (A Ψ ) d τ *
x x | (x , t ) |2 dx
2

*(x , t )x (x , t )dx
px 的期望值：
同样，若已知波函数 c( px , t ) ，可求粒子动量
*
px px | c( px , t ) | dpx c ( px , t )pxc( px , t )dpx
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第三章：量子力学中的力学量
第一讲：线性厄密算符
回 顾
（1）微观体系具有波粒二象性； （2）其量子状态用波函数完全描述； （3）波函数数的模方与找到粒子的概率成比例; （4）波函数遵守态叠加原理，任一波函数都可以表示成 “基本”函数集中各基函数的线性叠加； （5）测量会对体系产生不可逆转的影响（波函数坍塌） （6）求定态问题实际是能量本征值问题；
那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量、角动量等， 是否也可以？
答案：对，可以，如果我们能知道相应量的算符是什么的话
一、算符的引入:平均值问题 经典系统与量子系统的根本区别：经典系统的力学量有 确定性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具 有确定性，服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同， 但多次测量的统计平均值有确定性。 例：若已知波函数 ( x, t ) ，按照波函统计解释，利用统计 方法，可求得粒子坐标x 的期望值（统计平均值）：




( x )e
px x
i px x d ( x)(i dx )e c( px )dxdpx
d 1 ( x)(i )[ dx 2 d ( x)(i ) ( x)dx dx

i
e
px x
c( px )dpx ] dx
d ˆ x i 定义算符：p dx
问题：如何在知道波函数 ( x, t ) 的情况下求 px 的期望值？
px



px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
1 2


i
( x )e
i
px x
dx px c( px )dpx px c( px )dxdpx
1 2 1 2



且 A 和 A

都是
例பைடு நூலகம்
例
证
作业１
证 ２. 证明力学量算符是线性厄密算符
2. 算符的积
ˆ ˆ BA ˆˆ 0 算符的积不一定满足交换律: AB
x p x p x x i
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ 如果： ，称两算符对易，否则不对易 [A,B]=[B,A]=0
六、厄密算符的性质 （不证明）
对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值为：
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A * (r )A
如果波函数没有归一化，则
* ˆ (r )dr ( r )A
定义标积（内积），简化书写
ˆ ˆ) A ( ,A A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
（7）波函数随时间的演化用薛定谔方程进行描述……
（8）分析薛定谔方程可以发现：
1）薛定谔方程是一个微分方程，描述体系的状态随时间 的变化规律 2）薛定谔方程内含各种守恒定律 3）用不同的算符作用于波函数，可以得到不同的物理
量……
比如：哈密顿算符H作用于本征态函数，可以得到体系的 能量。
ˆ H E