24相似、投影与视图
《三视图》投影与视图PPT课件 (共24张PPT)
为了能完整确切地表达物体的形状和大小，必须 从多方面观察物体。
从正面看
从左边看
从 上 面 看
概 念
从上面看 从正面看到的图形叫做主视图; 从左面看到的图形叫做左视图; 从左面看 从正面看
三 视 图
从上面看到的图形叫做俯视图.
主视图 左视图 俯视图
(a)
(b)
(c)
你会了吗
2、由四个大小相同的小立方体搭成的几何体的
左视图如图所示，则这个几何体的搭
法不能是（
D
）
B''
A
B
C
D
挑战提高
六棱柱
1.一个直六棱柱的主视图和俯视图如图所示，请 补画它的左视图。
主视图 左视图
俯视图Βιβλιοθήκη ( 第1题 )挑战提高
2. 用4个完全相同的小立方块搭成一个主视图和 俯视图都是如图所示图形的几何体，则不同的 搭法有（ B ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
俯视图
主视图
任选两个视图 进行观察， 其中有没有 相等的线段
画三视图必须 遵循的法则：
a
h b h
左视图
a
b h
长对正 高平齐 宽相等
a b a h
俯视图
b
一个长方体的立体图如图3-18所示,请画 它的三视图.
主视方向 图3-18
已知一个直三棱柱的底面是等腰直角三角形,如图. 请画出它的三视图.
本节课给我们的启示：
从不同方向观察同一物体时，可能看 到不同的图形，从不同角度分析同一件事 或同一个人，结果可能也不一样。作为我 们同学，要学会全面地评价每一个同学， 我们今后看物、看人、看事都应从多角度、 多方向分析，这样，我们就会发现许多美 好的、闪光的东西，从而感受到我们生活 是多么的美好！
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结投影与视图是工程图学中的重要内容，是工程师进行设计与制造的基础。
下面是投影与视图的知识点总结。
一、投影的定义与种类1. 投影是将三维实体在二维画面上的投影。
2. 投影分为平行投影和透视投影两种。
平行投影是物体在无穷远处时的投影，保持物体形状和大小不变，适用于工程制图中的多视图投影。
透视投影是通过模拟人眼的透视原理，使物体在近处大远处小，用于绘制逼真的效果图。
二、主视图与副视图1. 主视图是从物体六个主要方向观察并绘制的视图。
2. 副视图是从物体其它非主要方向观察并绘制的视图。
3. 任何物体至少需要主视图和一个副视图来完整表示。
三、视图的投影规律1. 视图的投影规律是指根据物体的几何特性，确定其视图的位置、大小及间隔等规律。
2. 正投影规律：物体的投影与视图同侧，上投下，前投后，左投右。
3. 在主视图、俯视图和立体图中，物体的主要特征线分别为前、上、左三个面上的轮廓线。
四、视图的基本要求1. 视图的大小适中，方便观察和绘制。
2. 视图之间的间距要均匀，以突出主要的特征和轮廓线。
3. 视图应尽量减少折角，直线尽量不折断。
五、视图的选择原则1. 选择平易近人的主视图。
2. 主视图要选主要面直接对称的视图。
3. 选择于构造、加工、检验方便的视图。
4. 尽量选择存在完整轮廓线的视图。
六、常见视图1. 正投主视图：从正前方观察物体并绘制的视图。
2. 俯视图：从物体的上方直接向下观察并绘制的视图。
3. 阜视图：从物体的左前方斜向观察并绘制的视图。
4. 左视图：从物体的左侧观察并绘制的视图。
5. 右视图：从物体的右侧观察并绘制的视图。
七、主视图与副视图的绘制方法1. 主视图绘制方法：a. 确定主视图的位置，主视图应水平或竖直地绘制在图纸上。
b. 根据主视图的投影规律，绘制主视图的轮廓线。
c. 绘制主视图上的特征线、尺寸和字体。
2. 副视图绘制方法：a. 根据几何原理，确定副视图的位置和大小。
投影与视图的知识点
投影与视图知识点知识结构框图1．投影一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。
投影分为平行投影和中心投影.由一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影，如位似图。
平面为投影面，各射线为投影线，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线。
中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多、但直观性强、看起来与人的视觉效果一致、最像原来的物体、所以在绘画时、经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图。
平行线在经过中心投影后有可能变成了相交的直线如果一个平面图形所在的平面与投射面平行、那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的、由平行光线形成的投影（太阳光等）称为平行投影，它是投射线相互平行的投影。
平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。
当投影线倾斜于投影面时，称斜投影；当投影线垂直于投影面时，称正投影。
光由一点向外散射形成的投影是中心投影，一束平行光线照射下形成的投影是平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别属于哪种投影。
从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
平行投影和中心投影有什么不同平行投影；发出来的光线是平行的（如太阳光），对应点的连线是平行的中心投影：是从一点发出来的光（如灯泡的光）对应点的连线或延长线相交于一点工程图样一般都是采用正投影根据投影方法我们可以看到，当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一个矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。
当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。
由此我们可得出：平行于投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。
中考数学专题复习课件--- 第二十六讲相似、投影与视图
【解析】选D.俯视图仍然是一个圆，只不过中间多了一条轮 廓线，此轮廓线可以看到，因此为实线.
4.(2009·南宁中考)三角尺在灯泡 O的照射下在墙上形成影子(如图所 示).现测得OA=20 cm,OA′=50 cm， 这个三角尺的周长与它在墙上形成 的影子的周长的比是_____. 【解析】由中心投影的性质知：三角尺与其影子形成的三角
1.(2010·台州中考)下列立体图形中，侧面展开图是扇形的
是( )
【解析】选B.长方体、圆柱的侧面展开图是矩形；选项D的侧 面展开图是六边形.
2.(2010·义乌中考)如图所示的几何体的主视图是(
)
【解析】选B. 主视图的下面一层有4块小正方形，上面有一
块小正方形在左数第二块的位置.
3.(2010·江西中考)沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物 体如图所示，它的俯视图( )
∴∠DFA=∠AEC,∴△ADF∽△CAE.
(2)由(1)知：△ADF∽△CAE，∴ AD CA .
AF CE
∵AD=8,DC=6,∠ADC=90°,∴ AC 82 62 10.
又F是AC的中点，∴ AF AC 5.
1 2
∴ 8 10 , CE 25 ,
5 CE 4
【例3】(2010·兰州中考)如图，上体育课，甲、乙两名同学 分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已 知甲、乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的 影长是_____米.
【思路点拨】 【自主解答】由题意可知△ABC∽△AED,所以 DE AD ，
CB AC
即 1.5 AC 1 ,解得AC=6.
1.8 AC
答案：6
8.(2009·安顺中考)如图，箭头表示投
北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第五章投影与视图知识点归纳及例题【学习目标】1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；2.通过实例了解中心投影与平行投影；3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.【知识点梳理】知识点一、投影1.投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2. 中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.知识点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.3.平行投影1.平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.知识点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.知识点诠释：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.知识点二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.知识点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.知识点三、视图1.三视图（1）视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.（2）三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.知识点诠释：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.知识点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.知识点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图与计算1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．2.（2015·盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．【思路点拨】（1）连结AC，过D点作DG∥AC交BC于G点，则GE为所求；（2）先证明Rt∥ABC∥∥RtDGE，然后利用相似比计算DE的长．【答案与解析】解：（1）影子EG如图所示；（2）∥DG∥AC，∥∥G=∥C，∥Rt∥ABC∥∥RtDGE，∥=，即=，解得DE=，∥旗杆的高度为m．【总结升华】本题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．举一反三：【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度．（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影．（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB 的高．【答案】解：（1）如图所示：（2）如图，因为DE，AB都垂直于地面，且光线DF∥AC，所以Rt△DEF∽Rt△ABC，所以DE EF AB BC=，即1.720.866AB=，所以AB=12（m）．答：旗杆AB的高为12m．类型二、三视图3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形中带一条竖线．如图：【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断．举一反三：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．【答案】（1）如图：（2）如图：（3）如图：（4）如图：4．（2015·惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．【思路点拨】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型三、三视图的有关计算5．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【思路点拨】首先要根据立体图形的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面积.【答案与解析】解：长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某物体的三视图如图：（1）此物体是什么体；（2）求此物体的全面积．【答案】解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．（2）根据圆柱的全面积公式可得，20π×40+2×π×102=1000π．。
《投影和视图》课件
人性化设计
未来的投影和视图技术将更加注重人性化设计，以满足不同用户的需求和习惯，提高产品的易用性和舒适性。
感谢观看
THANKS
混合现实（MR）
全息投影技术能够将三维图像在空中呈现，无需任何介质，为演出、展览等领域带来全新的视觉体验。
全息投影
跨界应用
投影和视图技术的应用领域将越来越广泛，不仅局限于娱乐、教育等领域，还将拓展到医疗、工业、建筑等领域。
融合创新
未来投影和视图技术将更加注重与其他技术的融合创新，如人工智能、物联网等，创造出更加智能化、个性化的产品和服务。
总结词
视图是指从某一特定角度观察三维物体，并将物体投影到二维平面上形成的图像。视图主要用于工程制图、建筑设计等领域，用于表达物体的形状、尺寸和结构等信息。
要点一
要点二
详细描述
视图是工程制图和建筑设计等领域中常用的表现形式，它是从某一特定角度观察三维物体，并将物体投影到二维平面上形成的图像。通过视图，可以清晰地表达物体的形状、尺寸和结构等信息，方便人们进行设计和分析。在工程制图中，常用的视图包括正视图、侧视图、俯视图等；在建筑设计中，常用的视图还包括透视图、轴测图等。
定义
透视投影能够表现出物体的立体感、空间感和远近感，给人更加真实的感觉。
特点
在绘画、摄影等领域广泛应用，用于表现物体的立体感和空间感。
应用
三视图的形成和原理
平行投影
当物体相对于投影面平行移动时，物体的投影形状不会改变。这种投影方式用于绘制三视图。
三视图之间的关系
主视图、俯视图和左视图之间存在一定的对应关系。俯视图和主视图的高度一致，左视图和主视图的高度一致。俯视图和左视图的宽度视图的发展趋势和未来展望
随着显示技术的不断进步，投影仪的分辨率越来越高，能够呈现出更加清晰、逼真的画面。
九年级数学中考知识点归纳复习 第24讲 平移、对称、旋转与位似 视图和投影
在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
视图与投影
二、知识清单梳理
知识点一：三视图内容
关键点拨
1.三视图
主视图：从正面看到的图形.
俯视图：从上面看到的图形.
左视图：从左面看到的图形.
例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .
4.图形的中心对称
（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．
（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
2.三视图的对应关系
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图
正方体：正方体的三视图都是正方形.
圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
第七单元图形与变换
第24讲平移、对称、旋转与位似视图和投影
一、知识清单梳理
知ห้องสมุดไป่ตู้点一：图形变换
关键点拨与对应举例
1.图形的轴对称
（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
第四章图形的相似位似、投影、视图
位似、投影、视图教学目标1、掌握位似的概念及比例、坐标的计算；2、熟悉投影及比例的计算；3、掌握三视图。
重难点分析重点：1、位似与比例计算；2、位似与坐标计算；3、投影与比例计算；4、视图的读取。
难点：1、位似、投影中的相似与计算。
知识点梳理1、相似的进一步学习（1）证明三角形相似；（2）相似性质的应用。
'2、如果两个相似多边形每组对应顶点A、A'的连线都经过同一个点O，且有OA=kAO⋅（0≠k），那么这两个相似多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
3、画位似图形的步骤：（1）确定位似中心（可以在图形外部、内部、某一边上、某一顶点）；（2）连接图形各顶点与位似中心的连线（延长线）；（3）按相似比取点；（4）顺次连接个点，所得图形就是所求图形。
4、位似图形的坐标变化规律5、中心投影与平行投影6、物体的视图：主视图、左视图、俯视图知识点1：相似的进一步认识△中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.【例1】已知：如图，在ABC（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.【随堂练习】△中，D是AB上一点， E是AC上一点，1、已知: 如图，在ABC且∠ADE =∠ACB.（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若DE: CB=3:5 ，AE=4, 求AB的长.2、已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；的值．（2）若AB=4，求AE DE3、如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.影子三角尺灯泡O AA'知识点2：位似图形的识别与画法【例1】如图，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，下面的说法中：①ABC ∆与DEF ∆是位似图形； ②ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：2；③ABC ∆与DEF ∆的周长之比为2：1； ④ABC ∆与DEF ∆的面积之比为4：1．正确的是【 】 A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【例2】如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的94，则 AB ：DE= ．【随堂练习】 1、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是【 】 A ．5：2 B ．2：5 C ．4：25 D ．25：42、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画．．．．出．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1．3、如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD=OD ′，则A ′B ′:AB 为【 】A.2:3B.3:2C.1:2D.2:14、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点)0,2(-A ，)2,1(-B ，请以为位似中心，将OAB ∆放大，使放大后的B A O ''∆与的对应线段比为1:2【例3】如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）．（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ；（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为 ，点B 的对应点D 的坐标为 ．【例4】如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A 、B 的对应点分别为A ′，B ′，A ′，B ′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为【 】 A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（2m ，2n ） D ．（m ，2n）【例5】如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为31，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为【 】 A ．（3，2） B ．（3，1） C ．（2，2） D ．（4，2）【随堂练习】1、如图，在直角坐标系中，△OAB 和△OCD 是位似图形，O 为位似中心，若A 点的坐标为（1，1），B 点的坐标为（2，1），C 点的坐标为（3，3），那么点D 的坐标是 ．2、如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD ．若B （1，0），则点C 的坐标为______________.3、如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形， P 是位似中心，若点B 的坐标为（2，4），点E 的坐标为（﹣1，2），则点P 的坐标为【例6】图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是【 】 A ．点M B ．点N C ．点O D ．点P【随堂练习】1、如图，ABO ∆与O B A '''∆是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．2、如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ．【例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．【例8】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；（2）点B′的坐标为（，）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（）【随堂练习】1、已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）B（3，﹣2）C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．2、将图中的四边形作下列运动，画出相应的图形，并写出各个顶点的坐标；（1）关于y轴对称的四边形A′B′C′D′；（2）以坐标原点O为位似中心，放大到原来的2倍的四边形A″B″C″D″．知识点3：中心投影与平行投影【例1】下图是我国北方某地一棵树在一天不同时刻拍下的五张图片，说出这五张图片所对应时间的先后顺序.【例2】如图，晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长在地面上的变化情况是【】A、逐渐变短B、先变短后变长C、先变长后变短D、逐渐变长【随堂练习】1、如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在【】A.△ACEB.△BFDC.四边形BCEDD.△ABD2、把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是【】A． B． C． D．3、夜晚当你靠近一盏路灯时，你发现自己的影子是【】A．变短 B．变长 C．由短变长 D．由长变短【例3】小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长＝_____。
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
投影与视图是工程制图中非常重要的概念，它们在工程设计和制造过程中起着
至关重要的作用。
在本文中，我将对投影与视图的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些概念。
首先，我们来谈谈投影的概念。
投影是指将三维物体投射到二维平面上的过程，通过这个过程，我们可以得到物体在不同方向上的投影图。
在工程制图中，投影是非常常见的操作，它可以帮助工程师更好地理解和表达物体的形状和结构。
在进行投影时，需要注意选择合适的投影方向和视角，以确保得到准确的投影图。
接下来，我们来讨论视图的概念。
视图是指从不同方向观察物体时所得到的图像，它可以帮助我们全面地了解物体的外形和结构。
在工程制图中，通常会绘制物体的多个视图，包括正视图、侧视图、俯视图等，以全面地展现物体的各个方面。
通过这些视图，工程师可以更好地进行设计和制造工作。
除了投影和视图的概念外，我们还需要了解它们在工程制图中的应用。
首先，
投影和视图可以帮助工程师准确地表达和传达设计意图，使得制造过程更加精确和高效。
其次，通过合理地选择投影方向和视角，可以得到清晰、准确的投影图和视图，为工程设计和制造提供可靠的依据。
最后，投影和视图也是工程师进行设计分析和沟通交流的重要工具，它们可以帮助工程师更好地理解和解决问题。
综上所述，投影与视图是工程制图中非常重要的概念，它们在工程设计和制造
中起着至关重要的作用。
通过对投影与视图的理解和应用，工程师可以更好地进行设计和制造工作，提高工作效率和质量。
希望本文的总结能够帮助读者更好地掌握这些知识点，为工程实践提供帮助。
2014中考数学复习课件24尺规作图视图投影-第一轮复习第七单元图形与变换
① AD 是∠ BAC 的平分线；②∠ ADC＝ 60° ； ③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△ DAC∶ S△ ABC＝1∶3. A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
【点拨】由作图方法可知 ①正确； ∵∠ B＝ 30° ， ∠ C＝ 90° ， ∴∠ BAC＝ 60° .∵ AD 是 ∠ BAC 的平分 线，∴∠ CAD＝ ∠ BAD＝ 30° ，∴∠ ADC＝ 60° ，∴②正 确； ∵∠ BAD＝ ∠ B＝ 30° ， ∴ AD＝ BD， ∴点 D 在 AB 的中垂线上， ∴③正确； ∵∠ DAC＝ 30° ， ∴ AD＝ BD＝ 2CD，∴ BC＝ 3CD，∴ S△ DAC∶ S△ ABC ＝ 1∶ 3， ∴④正确．故选 D. 【答案】 D
考点三
命题、定理、证明 )
例 3 (2013· 聊城 )下列命题中的真命题是( A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
【点拨】三个角相等，不能说明这三个角是直角， ∴不一定是矩形，∴ A 是假命题；对角线互相垂直且相 等但并没有说明互相平分， ∴这个四边形不一定是正方 形，∴B 是假命题；C 是真命题；正五边形是轴对称图 形但不是中心对称图形，∴ D 是假命题．故选 C. 【答案】 C
五种基本作图
五种基本作图
五种基本作图
3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆 (即三角形的外 接圆)； (2)作三角形的外接圆、内切圆； 5． 有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是 中考中常见的类型．
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结投影与视图主要涉及到平行投影、透视投影、三维图形的多视图投影，各种视图对应的关系等。
在本文中，我们将对这些概念进行详细的讨论，并深入探讨它们在工程学和设计领域中的应用。
一、平行投影平行投影是投影中最基本的一种类型。
它是通过平行光线将三维对象投影到二维平面上的过程。
在平行投影中，光线是平行的，因此投影到平面上的图形保持了原始对象的大小和形状。
在工程图纸中，平行投影通常用于绘制多视图投影和透视投影。
在建筑设计中，平行投影也经常用于绘制建筑平面图和立面图等。
平行投影对于工程设计师和建筑师来说是非常重要的，因为它能够准确地表达三维对象的形状和尺寸，在设计和制造过程中起到至关重要的作用。
二、透视投影透视投影是一种通过透视原理将三维对象投影到二维平面上的过程。
在透视投影中，光线不再是平行的，而是会汇聚到一个点上，因此投影到平面上的图形会呈现出远近关系和透视效果。
透视投影常常用于绘制逼真的图像，如绘画、摄影和电影等。
在工程设计中，透视投影往往用于展示设计概念和效果图，以便更好地向客户展示设计方案和效果。
在建筑设计中，透视投影也经常用于绘制逼真的建筑效果图和室内设计图。
透视投影对于产品设计师、室内设计师和广告设计师来说是非常重要的，因为它能够更好地展示设计概念和效果，让客户更好地理解和接受设计方案。
三、多视图投影多视图投影是一种通过多个视图来描述三维对象的投影方法。
在多视图投影中，三维对象通常被投影到正面视图、顶视图和侧视图等不同的平面上，从而得到多个视图来描述对象的形状和尺寸。
多视图投影是工程图纸中常用的一种投影方法，它能够全面准确地表达对象的各个方面，从而为设计和制造提供必要的信息。
在多视图投影中，正面视图、底视图和侧视图等不同的视图之间有一定的关系，设计师需要根据这些关系来确定各个视图的尺寸和位置。
多视图投影对于工程师和设计师来说是非常重要的，因为它能够为设计和制造提供必要的信息，帮助他们更好地理解并表达对象的形状和尺寸。
第24讲 相似、投影与视图
第24讲 相似、投影与视图【考点总汇】 一、相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角 ，对应边的比 。
性质2：相似三角形周长的比等于 。
性质3：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 。
性质4：相似三角形的面积的比等于相似比的 。
微拨炉：二、相似三角形的判定判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原 相似（相似三角形的预备定理）。
判定2：三边 的两个三角形相似。
判定3：两边 且 的两个三角形相似。
判定4：两角 的两个三角形相似。
判定5：一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
微拨炉：三、投影和视图的有关概念 1.⎩⎨⎧。
发出的光线形成的投影中心投影：由形成的投影。
平行投影：由投影________________2.⎪⎩⎪⎨⎧观察物体的视图。
的左视图：在侧面内得到观察物体的视图。
到的俯视图：在水平面内得观察物体的视图。
主视图：在正面内得到视图________________________微拨炉：【范例】在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于B A ,），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这条直线为过点P 的△ABC 的相似线。
如图，36=∠A ，AC AB =，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有 条。
得分要领：1.正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解答本题的关键。
2.解答本题应注意分类讨论思想的应用。
3.寻找相似的条件时，要注意公共边，公共角，对顶角等隐含条件。
【考题回放】1.在△ABC 和△111C B A 中，下列四个命题：（1）若11111,,A A C A AC B A AB ∠=∠==，则△ABC ≌△111C B A 。
（2）若11111,,B B C A AC B A AB ∠=∠==，则△ABC ≌△111C B A 。
九年级数学 投影与视图
投影与视图一、中心投影1.定义：从一个点发出的光线形成的投影称为中心投影。
2.性质：（1）图形中的两个三角形相似；（2）物体上的点，影子上的对应点及光源在一条直线上。
3.特点：（1）等高物体垂直地面放置：①离点光源越近，影子越短；②离点光源越远，影子越长。
（2）等长物体平行地面放置：①离点光源越近，影子越长；②离点光源越远，影子越短4.作图方法：（1）物体上的点和影子上的对应点的连线交于同一点，这点即为光源；（2）过光源和物体的顶端作一条直线与投影面的交点与物体底端的线段就是影长。
二、平行投影1.定义：平行光线形成的投影称为平行投影。
当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影2.一天中影子移动方向：正西到正北到正东三、视图1.三视图包括：主视图、左视图、俯视图。
注：在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线；用尺子准确量出长度画图.2.三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。
注意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。
在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。
一．中心投影定义1.中心投影的光线是( )A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的2.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（）A.越长B.越短C.一样长D.随时间变化而变化3.下列投影中，是中心投影的是（）4.同一灯光下两个物体的影子可以是（）A．同一方向B．不同方向C．相反方向D．以上都有可能5.下列结论正确的有( )①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的；②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．A．个B．个C．个D．个6.某舞台的上方共挂有a，b，c，d四个照明灯，当只有一个照明灯亮时，一棵道具树和小玲在照明灯光下的影子如图所示，则亮的照明灯是（）A．a灯B．b灯C．c灯D．d灯7.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）A. 越来越小 B ．越来越大 C ．大小不变 D ．不能确定二．中心投影相关求长度1. 身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子________（填“长”或“短”）2. 如图，小芸用灯泡O 照射一个矩形相框ABCD ，在墙上形成影子''''D C B A ．现测得 OA=20cm ，cm OA 50' ，相框ABCD 的面积为 80cm 2，则影子''''D C B A 的面积为_______．3. 小明在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他走到P 处时，发现身后影子顶部正好触到路灯A 底部，当他再向前步行12米到达Q 时，发现影子的顶点正好接触到路灯B 的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6m ，且AP=BQ=x 米.(1) 求两个路灯之间的距离；(2) 小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．4. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．三．中心投影相关作图1.路灯下站着小赵、小芳、小刚三人，小芳和小刚的影长如图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．2.学习投影之后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，如图，在同一时间，身高为1.6m的小刚（AB）的影子BC长3m，而小雯（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．(1) 请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G．(2) 求路灯灯泡的垂直高度GH．(3) 如果小刚沿线段BH向小雯（点H）走去，当小明走到BH中点'B处时，求其影子''CB的长．3.如图，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他在某一灯光下的影子为DA，继续按此速度行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上，测得此时影长MF为1.2米；然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H,他在同一灯光下的影子恰好是HB，图中线段CD,EF,GH表示小明的身高.（1）请在图中画出小明的影子MF；（2）若A,B两地相距12米，则小明原来的速度为.四．灯光下影子变化情况1.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）.A. 逐渐变短B. 逐渐变长C. 先变短后变长D. 先变长后变短2.小红和小花在路灯下的影子一样长，则她们的身高关系是（）A．小红比小花高B．小红比小花矮C．小红和小花一样高D．不确定3.小强的身高和小明的身高一样，那么在同一路灯下（）A．小明的影子比小强的影子长B．小明的影子比小强的影子短C．小明的影子和小强的影子一样长D．无法判断谁的影子长4.如图所示，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（）A．B． C．D．5.我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他与路灯C 的距离y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化．下列函数中y 与x 之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ）A. y=x B ．y=x+3 C ．x y 3 D ．y=(x-3)2+3 6.如图，路灯（P 点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？五．平行投影定义及性质1.下列光线所形成是平行投影的是（ ）A ．太阳光线B ．台灯的光线C ．手电筒的光线D ．路灯的光线2.如图的Rt △ABC 绕直角边旋转一周，所得几何体的正投影是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．圆3.（五育月考）在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（ ）4.太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）A ．与窗户全等的矩形B ．平行四边形C ．比窗户略小的矩形D ．比窗户略大的矩形5.圆形的物体在太阳光的投影下是（ ）A ．圆形B ．椭圆形C ．线段D ．以上都有可能6.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（）A.B．C．D．7.把一个正六棱柱如右图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（）六．阳光下影子变化情况1.在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上午九点到十一点的影子长的变化规律为（）A．逐渐变长B．逐渐变短C．影子长度不变D．影子长短变化无规律2.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③3.小华在上午8时，上午9时，上午10时，上午12时四次到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（）A．上午8时B．上午9时C．上午10时D．上午12时4.(12月志达月考）6．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（）A.①②③④B.④①③②C.④②③①D.④③②①5.如图：公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD．数学老师杨柳上午上学时发现高1米的木棒的影子为2米，此时路灯B在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．（1）在图中画出杨老师的位置，并画出光线，标明（太阳光、灯光）．（2）杨老师身高为1.5米，他离里程碑E恰5米，求路灯高．6.如图（1）中间是一盏路灯，周围有一圈栏杆，图（2）（3）表示的是这些栏杆的影子，但没有画完，请你把图（2）（3）补充完整.七．与平行投影有关作图与计算1.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长．2. 某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，（1）你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；（2）若AB=6米，CB=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．3.（17-18期末）花园的护栏由木杆组成，小明以其中三根等高的木杆为观测对象，研究它们影子的规律。
第15讲 相似、投影与视图(易错点梳理+微练习)(解析版)
第15讲相似、投影与视图易错点梳理易错点梳理易错点01混淆相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS 这4种。
易错点02混淆位似和相似位似是一种特殊的相似，位似图形一定相似（或全等），但相似图形不一定位似易错点03错误认为相似三角形的面积比等于相似比错误认为相似三角形的面积比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
易错点04混淆平行投影与正投影的概念由平行的光线所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影，正投影属于平行投影的一种。
易错点05颠倒了视图的观察方向一个物体在3个相互垂直的投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视。
图.例题分析考向01相似三角形的性质例题1：（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 分别在AB 、BC 的延长线上，且BP CQ =，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ DP ⊥；②2OA OE OP =⋅；③AOD S =△S 四边形OECF ，其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB AD BC CD DAB ABC ===∠=∠=︒，∵BP CQ =，∴BP AB CQ BC +=+，即AP BQ =，在△DAP 与ABQ △中，ADABDAP ABQ AP BQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ，∴P Q ∠=∠，∵90Q QAB ∠+∠=︒，∴90P QAB ∠+∠=︒，∴90AOP ︒=∠，∴AQ DP ⊥，则结论①正确；∵90DOA AOP ∠=∠=︒，90ADO P ADO DAO ∠+∠=∠+∠=︒，∴DAO P ∠=∠，∴△DAO ∽△APO ，∴OAODOP OA =，∴2OA OD OP =⋅，∵AE AB >，AB AD =，∴AE AD >，∴OD OE ≠，∴2OA OE OP ≠⋅；则结论②错误；在CQF △与△BPE 中，FCQ EBP Q P CQ BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CQF ≌△BPE ，∴CF BE =，∴CD CF BC BE -=-，即DF CE =，在△ADF 与△DCE 中，90AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△DCE，∴△△=ADF DCE S S ，∴ADF DFO DCE DOF S S S S -=-△△△△，即AOD OECF S S = 四边形，则结论③正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C ．例题2：（2021·河南·平顶山市第九中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②DEF ABG ∽△△；③32ABG FGH S S =△△；④AG +DF ＝FG ．其中正确的是（）（把所有正确结论的序号都选上）A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①③④【答案】D 【解析】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF ＋∠FBG ＝12∠CBF ＋12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF 8==，∴DF ＝AD −AF ＝10−8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8−x ，HF ＝BF −BH ＝10−6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH 2＋HF 2＝GF 2，∴x 2＋42＝（8−x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD ＋∠AFB ＝90°，而∠AFB ＋∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴AB AF DF DE =，∴8463DE AF DF AB ===，而623AB AG ==，∴AB DE AG DF≠，∴△DEF 与△ABG 不相似；所以②错误．∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6，∴S △ABG ＝32S △FGH ．所以③正确．∴正确的结论有：①③④，故选：D ．考向02相似三角形的判定例题3：如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为△ABC中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有C，且满足两边成比例夹角相等，故选：C．例题4：（2021·上海浦东新·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠EBM=∠DCA=45︒，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF与∠CBG不一定相等，∴△ABF与△CBG不一定相似，故选项C符合题意；∠=︒∠+∠∠=︒=∠+∠45=,45,FBG DBE DBM DBC DBM CBG∴∠=∠DBE CBG,∠=∠=︒EDB GCB45,∴△BDE∽△BCG，故D不符合题意；故选：C．考向03投影与视图例题5：（2021·广东深圳·九年级期末）如图所示的几何体，从左面看的图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：从左面看，是一列三个小正方形．故选A．例题6：（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D微练习一、单选题1．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，直线123l l l ∥∥，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若:2:3AB BC =，9EF =，则DE 的长是（）A ．4B ．7C ．6D ．12【答案】C 【解析】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB ：BC =DE ：EF ，∵AB ：BC =2：3，EF =9，∴2：3=DE ：EF ，∴DE =6．故选：C ．2．（2021·河南封丘·九年级期中）下列图形一定相似的是（）A ．两个平行四边形B ．两个矩形C ．两个正方形D ．两个等腰三角形【答案】C 【解析】解：A 、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；B 、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；C 、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选C ．3．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC 与△AFG 摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE ，那么图中一定相似的三角形是（）A ．△ABC 与△ADEB ．△ABD 与△AEC C ．△ABE 与△ACD D ．△AEC 与△ADC【答案】C 【解析】A.△ABC 是直角三角形，△ADE 不是直角三角形，故不能判断△ABC 与△ADE 相似；B.只有C B ∠=∠，不能判断B 选项中△ABD 与△AEC 相似；D.只有C C ∠=∠，不能判断D 选项中△AEC 与△ADC 相似；C.,ABC AFG △△是等腰直角三角形，则45,90ABE ACB DAE BAC ∠=∠=∠=︒∠=︒设BAD ∠=α，则45ADC BAD B α∠=∠+∠=︒+，90DAC BAC BAD α∠=∠-∠=︒-，9045EAC DAE BAD α∴∠=︒-∠-∠=︒-，∴AEB C EAC ∠=∠+∠454590αα=︒+︒-=︒-，DAC AEB ∴∠=∠45C B ∠=∠=︒ ∴ABE DCA △△∽,故选C ．4．（2021·福建周宁·九年级期中）如图，点P 是△ABC 的边AC 上一点，连结BP ，以下条件中，不能判定△ABP ∽△ACB 的是（）A ．AB AP ＝AC AB B ．BC BP ＝AC AB C ．∠ABP ＝∠CD ．∠APB ＝∠ABC【答案】B【解析】解：A 、∵∠A =∠A ，AB AP ＝AC AB ∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；B 、根据BC BP ＝AC AB 和∠A =∠A 不能判断△ABP ∽△ACB ，故本选项符合题意；C 、∵∠A =∠A ，∠ABP =∠C ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A =∠A ，∠APB =∠ABC ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；故选：B ．5．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，▱OABC 的顶点O （0，0），A （1，2），点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ，将△ODA 绕点O 顺时针旋转得到△OD 'A '，当点D 的对应点D '落在OA 上时，D 'A '的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为（）A ．B ．C ．1,0)+D ．1,0)+【答案】B 【解析】解：延长A ′D ′交y 轴于点E ，延长D ′A ′，由题意D ′A ′的延长线经过点C ，如图，∵A （1，2），∴AD =1，OD =2，∴OA ==由题意：△OA ′D ′≌△OAD ，∴A ′D ′=AD =1，OA ′=OA OD ′=OD =2，∠A ′D ′O =∠ADO =90°，∠A ′OD ′=∠DOD ′．则OD ′⊥A ′E ，OA 平分∠A ′OE ，∴△A ′OE 为等腰三角形．∴OE =OA ED ′=A ′D ′=1．∵EO ⊥OC ，OD ′⊥EC ，∴△OED ′∽△CEO ．∴ED EO OD OC''=．∴12=．∴OC∴C （0）．故选：B ．6．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°．AB ＝BC ．点D 是线段AB 上的一点，连接CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下四个结论：①AG AB ＝AF FC ；②若点D 是AB 的中点，则AF＝3AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；④若DB AD ＝12，则9=ABC BDF S S △△，其中正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】解：依题意可得BC ∥AG ，∴△AFG ∽△CFB ，∴AG AF BC CF=，又AB ＝BC ，∴AG AF AB CF =．故结论①正确；如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG 与△BCD 中，3490AB BC BAG CBD ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△ABG ≌△BCD （ASA ），∴AG ＝BD ，又∵BD ＝AD ，∴AG ＝AD ；∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ；∴AG ＝AD ＝12AB ＝12BC ；∵△AFG ∽△BFC ，∴AG BC ＝AF FC，∴FC ＝2AF ，∴AF ＝13AC ＝3AB ．故结论②正确；当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，∵∠ABC ＝90°，∴CD 是B 、C 、F 、D 四点所在圆的直径，∵BG ⊥CD ，∴，∴DF ＝DB ，故③正确；∵AG AF AB CF =，AG ＝BD ，12BD AD =，∴13BD AB =，∴AF CF ＝13，∴AF ＝14AC ，∴S △ABF ＝14S △ABC ；∴S △BDF ＝13S △ABF ，∴S △BDF ＝112S △ABC ，即S △ABC ＝12S △BDF ．故结论④错误．故选：C ．7．如图所示，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米【答案】B 【解析】解：如图所示，GC ⊥BC ，AB ⊥BC ，∵=王华的身高路灯的高度王华的影长路灯的影长，当王华在CG 处时，Rt △DCG ∽Rt △DBA ，即DC GC DB AB =，当王华在EH 处时，Rt △FEH ∽Rt △FBA ，即EF EH CG BF AB AB==，∴CD EF BD BF =，∵CG ＝EH ＝1.5米，CD ＝1米，CE ＝3米，EF ＝2米，设AB ＝x ，BC ＝y ，∴1215y y =++，解得y ＝3，则1.514x =，解得，x ＝6米．即路灯A 的高度AB ＝6米．故选：B ．8．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m 时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm ，当测试距离为3m 时，最大的“”字高度为（）A ．4.36B ．29.08C ．43.62D ．121.17【答案】C 【解析】根据题意，得CAB FAD ∠=∠，且90ABC ADF ∠=∠=︒∴ABC ADF△∽△∴BC DF AB AD=∴72.7343.62mm 5BC AD DF AB ⨯⨯===故选：C ．9．（2021·山东·济南市济阳区实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA ′ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为（）A ．4：9B ．2：5C ．2：3D ．5：5【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ：OA∴DA ：D ′A ′=OA ：OA∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为：2：2=2：5，故选：B．10．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，∴正确的有③④，共2个，故选：B．11．（2021·江苏淮安·中考真题）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：A．12．（2021·福建·中考真题）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，故选：A ．二、填空题13．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）在△ABC 中，点D 在边AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 中点，延长AE 交BC 于点F ，则BF ：FC 的值是___．【答案】1:3【解析】如图，过点D 作//DG AF 交BC 于点G ，AD FG DC GC ∴=12=即2GC FG=E 是BD 的中点，//DG AF1BE BF ED FG∴==即BF FG=:BF FC ∴=1:3故答案为：1:314．阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______（填“背向太阳”或“面向太阳”），小宁比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一样高”）．【答案】面向太阳矮【解析】∵小勇的影子正好落到后面一个同学身上，∴他们的队列方向是面向太阳，∵小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，∴小勇的影子比小宁的影子长，∴小宁比小勇矮．故答案为：面向太阳，矮15．如图，在△ABC 中，O 是BC 的中点，以点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△DEF．若点A 的对应点D 是△ABC 的重心，则△ABC 与△DEF 的位似比为______．【答案】3:1【解析】∵点D 是△ABC 的重心，O 是BC 的中点∴2AD OD=∵O 是BC 的中点，以点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△DEF∴ODF OAC△∽△∴31AC OA OD AD DF OD OD +===故答案为：3:1．16．（2021·辽宁千山·九年级期中）如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得BCD △，点E 、F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，若AE CF =，则下列结论：①四边形ABDC 为菱形；②△ABE ≌△CBF；③△BEF 为等边三角形；④CFB CGE ∠=∠；⑤若3CE =，1CF =，则154BG =．正确的有（填序号）________．【答案】①②③④【解析】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB =AC =BD =CD ，即四边形ABDC 为菱形，故①正确；∵在△ABE 和△CBF 中，60AB CB BAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≅△CBF (SAS)，故②正确；∵△ABE ≅△CBF ，∴BE =BF ，∠ABE =∠CBF ，∵∠ABC =∠ABE +∠EBC =60°，∴∠CBF +∠EBC =60°，即∠EBF =60°，∴△BEF 为等边三角形，故③正确；∵∠CFB =∠CFG +∠BFG ，∠CGE =∠CFG +∠FCG ，又∵∠FCG =60°，∠BFG =60°，∴∠CFB =∠CGE ，故④正确；∵AE =CF =1，∴BC =AC =AE +CE =4，∵∠CFB =∠CGE ，∠ECG =∠BC F=60°，∴△CFB ∼△CGE ，∴CG CE CF BC =，即314CG =∴CG =34，∴BG =BC −CG =4−34=134，故⑤错误．综上，①②③④正确．故答案为①②③④．三、解答题17．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a 、b 、c ，且345a b c ==．（1）求23a b c +的值；（2）如线段a 、b 、c 满足3a ﹣4b +5c ＝54，求a ﹣2b +c 的值．【答案】（1）1115；（2）0【解析】解：（1）由345a b c ==设3,4,5a k b k c k ===∴23241111=3351515a b k k k c k k ++⨯==⨯（2）把3,4,5a k b k c k ===代入3a ﹣4b +5c ＝54得33445554k k k ⨯-⨯+⨯=整理得，1854k =∴3k =∴9,12,15a b c ===∴2=9212150ab c +-⨯+=﹣18．（2021·河南原阳·九年级期中）如图，在△ABC 中，DF ∥AC ，DE ∥BC ．（1）求证：BF CE FC EA=；（2）若AE ＝4，EC ＝2，BC ＝10，求BF 和CF 长．【答案】（1）见解析；（2）103BF =，203CF =【解析】（1）证明：∵DF ∥AC ，∴BF BD FC AD=，∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，∴BF CE FC AE=；（2）解：设BF x =，∵10BC =，∴10CF x =-，∵BF CE FC AE =，且AE ＝4，EC ＝2，∴2104x x =-，解得：103x =，∴103BF =，∴10201033CF =-=．19．（2021·广东南海·九年级期中）如图，已知O 是坐标原点，AB 两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将△OAB 放大2倍；（2）分别写出A ，B 两点的对应点A ′，B ′的坐标．【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【解析】解：(1)如图，△OB ꞌA ꞌ为所作；(2)∵236,2(1)2,224,212,-⨯=--⨯-=-⨯=--⨯=-∴A ，B 两点的对应点A ′，B ′的坐标为A ′（-6,2），B ′（-4，-2）.20．（2021·山东长清·九年级期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB 所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示．（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．（2）如果小明的身高AB ＝1.6m ，他的影子长AC ＝1.4m ，且他到路灯的距离AD ＝2.1m ，求灯泡的高．【答案】（1）见解析；（2）4m【解析】（1）解：如图，点O 为灯泡所在的位置，线段FH 为小亮在灯光下形成的影子；（2）解：由已知可得，OD BA∥∴ABC DOC△∽△∴AB DO ＝CA CD，∴1.6DO ＝ 1.41.4 2.1+，∴OD ＝4m ．∴灯泡的高为4m ．21．（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在锐角△OAB 中，点M ，N 分别在边OB ，OA 上，连接MN ，OG AB ⊥于点G ，OH MN ⊥于点H ，NOH GOB ∠=∠．（1）求证：OHN OGB V :V ；（2）若3OM =，7OA =，求MN AB的值．【答案】（1）见解析；（2）37【解析】（1）证明：∵90OHN OGB ∠=∠=︒，NOH GOB ∠=∠，∴OHN OGB V :V ．（2）解：由（1）得OHN OGB V :V ，∴ONH B ∠=∠，又∵AOB MON ∠=∠，∴OMN OAB △△:．∴37MN OM AB OA ==．22．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图①，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC ＝5，点E 在边BC 上，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为OE ．（1）点G 的坐标为；点E 的坐标为；（2）如图②，若OG 上有一动点P （不与O ，G 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OG 方向向点G 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PH ⊥OG 交OE 于点H ，连接HG ，求出△PHG 的面积s 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，求当t 为何值时，以点P 、H 、G 为顶点的三角形与△OEG 相似？【答案】（1）（3，4），（53，5）；（2）()2150566S t t t =-+<<；（3）52或92【解析】解：（1）由翻折的性质可知，OC ＝OG ＝5，CE ＝EG ，∵N (3，0)，NM //OC ，∴∠ONG ＝90°，∴GN 22OG ON -2253-4．∴G (3，4)，∵MN //OC ，CM //ON ，∴四边形OCMN 是平行四边形，∵∠CON ＝90°，∴四边形OCMN 是矩形，∴CM ＝ON ＝3，设EC ＝EG ＝x ，在Rt △EMG 中，则有x 2＝12+(3﹣x )2，解得x ＝53，∴E (53，5)，故答案为：(3，4)，(53，5)；（2）∵∠OPH ＝∠OGE ＝90°，∠POH ＝∠GOE ，∴△OPH ∽△OGE ，∴OP OG ＝PH EG，∴553t PH =，∴PH ＝3t ，∴S ＝12•PG •PH ＝12×(5﹣t )×3t ＝﹣16t 2+56t （0＜t ＜5）；（3）∵∠GPH ＝∠EGO ＝90°，∴当PH EG ＝PG OP时，△GPH ∽△OGE ，∴1353t ＝55t -，解得t ＝52．当PH OG ＝PG EG时，△GPH ∽△EGO ，∴135t ＝553t -，解得t ＝92，综上所述，满足条件的t 的值为52或92．。
(北师大版数学九上)第五章 投影与视图讲义
第五章投影与视图第4讲投影与视图一.知识梳理(一)投影【一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面】1.中心投影(1)定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.【在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化】(2)中心投影具有以下特点：①中心投影的投影线交于一点；②一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影；③平面为投影面，各射线为投影线；④空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了可以相交的直线；⑤中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致；⑥如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.名师点金：中心投影的三个特点：(1)等高物体垂直地面放置：①离点光源越近，影子越短；②离点光源越远，影子越长.(2)等长物体平行地面放置：①离点光源越近，影子越长；②离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度.(3)点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上.2.平行投影(1)定义：在一束平行光线(如阳光)照射下形成的投影叫做平行投影。
【在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化】(2)分类平行投影法又分为斜投影法和正投影法。
①斜投影法：投射线倾斜于(＜90°)投影面，所得投影称为斜投影，如图所示.②正投影法：投射线垂直于投影面，所得投影称为正投影，如图所示.(3)性质①不垂直于投影面的直线或线段的正投影仍是直线或线段；②垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；倾斜于投影面的线段，其正投影仍为线段，但比实际长度要短.③垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或线段的一部分.(4)特点①平行直线的投影仍是平行或重合直线.②平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等.③与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形.④在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.名师点金：平行投影的特征及画法：(1)特征：①平行投影中，形成影子的光线是平行的，平行物体在地面上形成的影子平行或在同一直线上；②同一时刻，太阳光下，物高与影长成正比例；(2)画法：连接物体顶端与影子顶端得到形成影子的光线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影子.补充：在北半球，太阳一天中的朝向变化：东→东南→南→西南→西；在北半球，影子一天中的朝向变化和长短变化：朝向变化：西→西北→北→东北→东；长短变化：长→较长→短→较长→长.(二)三视图【能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图(主视图，俯视图，左视图三个基本视图)为三视图】•主视图—从正面看到的图左视图—从左面看到的图俯视图—从上面看到的图•画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.•虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.二．实战演练考点一中心投影与平行投影（一）中心投影例1：(1)小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为（）A.从路灯下走开，离路灯越来越远B.走到路灯下，离路灯越来越近C.人与路灯的距离与影子长短无关D.路灯的灯光越来越亮(2)如图，一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直木板上的影子会逐渐______.例2：某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒的影子是玻璃反光形成的），请确定图中路灯灯泡所在的位置.例3：如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．求路灯A的高度AB.典例分析（二）平行投影例1：如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为______．例2：已知两个电线杆在太阳光下形成两条不同的线段，那么这两条线段可能______，也可能______．例3：春分这一天，小彬上午9:00出去，测量了自己的影长，出去一段时间后回来时，发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小明出去的时间大约为______小时．例4：某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2米（如图），求旗杆的高度．例5：如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），有一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE为45°，则旗杆的高度约为多少米？（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）例6：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为____m.考点二视图例1：(1)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（）(2)如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则下列选项图是图2的俯视图是（）例2：画出如图所示几何体的三视图.例3：根据如图所示的三种视图，画出相应的几何体.例4：如图,给出的是一个由若干相同的小正体搭成的立体图形的主视图和左视图，则图中最少有___个小正方体，最多有___个小正方体.1.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长2.某一同学在上午上学路上和下午放学路上都看不到自己的影子，则该同学的家在学校的（） A.东边 B.南边 C.西边 D.北边3.正方形纸片在阳光下的投影不可能是下列那些？①正方形②矩形③菱形④梯形⑤线段⑥平行四边形4.下列图中是在太阳光下形成的影子的是（）5.如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（）课后作业6.由若干个小正方体构成的几何体的主视图和左视图都是如图所示，则该几何体最多有_____个小正方体，最少有_____个小正方体．7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A．11.5米 B．11.75米C．11.8米D．12.25米8.画出如图所示几何体的三视图.9.根据如图所示的三种视图，你能想象出相应几何体的形状吗？(画出几何体的草图)10.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）11.“未爱广场”旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，求旗杆AB的高度？1.在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（）A．两竿都垂直于地面 B．两竿平行斜插在地上C．两根竿子不平行D．一根竿倒在地上2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长3.(1)如图，是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）(2)如图，正四棱锥的俯视图是选项中的（）直击中考4.一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，，该几何体的侧面积是____cm².5.画出下列几何体的三视图6.已知某立体图形的三视图如下，请你画出这个立体图形.7.一天晚上，李明和张龙利用灯光下影子的长来测量一路灯D高度，如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子是线段AB，并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m.求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）。
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
投影的定义：用光线照射物体，在某个平面（如地面、墙壁等）上得到的影子称为物体的投影。
照射光线称为投影线，而投影所在的平面称为投影面。
投影的类型：
平行投影：当光线是一组互相平行的射线时，例如太阳光或探照灯光，由此形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影称为中心投影。
正投影：当投影线垂直于投影面时产生的投影称为正投影。
物体的正投影的形状、大小与其相对于投影面的位置有关。
视图的概念：视图是一个虚拟的表，它基于一个或多个表的查询结果提供逻辑展现。
用户可以通过视图按照需要从数据库中获取部分数据，而不是直接访问底层的物理表。
视图不存储任何实际数据，可以看作是数据库表的一个抽象或逻辑上的表。
三视图：在投影与视图中，三视图是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
这三个视图分别是：
俯视图：能反映物体的前面形状，是从物体的上面向下面投射所得的视图。
左视图：能反映物体的上面形状，是从物体的左面向右面投射所得的视图。
这些知识点在工程图、几何学模型、摄影技术、建筑设计、机械制图和地图制作等领域都有广泛的应用。
通过学习和理解这些概念，可以更好地应用它们于实际场景中。
第五章 投影与视图 复习课课件 北师大版九年级上册数学(19张PPT)
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激趣导入
在这个信息技术发达的时代，多媒体教室已成为必不可少 的教学工具，而构成多媒体教室最主要的设备就是投影仪.多媒 体液晶投影仪是整个多媒体演示教室中最重要的也是最昂贵的 设备，它连接着计算机系统、所有视频输出系统及数字视频展 示台，把视频、数字信号输出显现在大屏幕上.
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3.由两个物体及其投影确定光源的方法:过每一物体的顶端 与其投影的顶端作直线，若这两条直线 平行 ，则光源是太 阳光源(平行光线)；若这两条直线 相交 ，则光源是点光源， 交点 即为点光源所在的位置.
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4.视图 (1)视图的概念:从正面看到的视图叫 主 视图，反映了 物体的 长 和 高 ；从上面看到的视图叫 俯 视图，反 映了物体的 长 和 宽 ；从左边看到的视图叫 左 视图， 反映了物体的 高 和 宽 . (2)画视图应注意的问题:主视图与俯视图要 长 对正， 主视图与左视图要 高 平齐，左视图与俯视图要 宽 相等.
合作探究
中心投影 2.圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后， 在地面上形成了阴影(如图).已知桌面的直径1.2米，桌面距离地 面1米.若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为( B ) A.0.36π平方米 B.0.81π平方米 C.究
方法归纳交流 在灯光下，离点光源近的物体它的影子短， 离点光源远的物体它的影子长，当白炽灯向上移时，阴影会逐 渐变小；常用图形相似构建比例关系求解相关问题.
核心梳理 1.平行投影. (1)平行投影的概念:物体在光线照射下，会在地面或墙壁 上留下它的影子，这就是 投影 ；太阳光线可看作平行的， 像这样的光线照射到物体上，所形成的投影即为 平行 投影.
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(2)平行投影的性质:在太阳光下，不同物体在同一时刻， 物体、太阳光与其影子组成的三角形是 相似 的，即物体的 物高与影长成 正 比例，物体与影子上的对应点的连线互相 平行 ；在不同时刻，同一物体的影长的方向和大小均 在改 变 ，一天中物体在阳光下的影子的变化方向是西→ 西北 → 北 → 东北 →东，其长度是上午越来越 短 ，正午 最短，下午越来越 长 .
空间几何体的投影与相似
空间几何体的投影与相似空间几何体的投影是指将三维物体在二维平面上的映射，而相似则是指形状相似但大小不同的几何体。
本文将探讨空间几何体的投影与相似之间的关系。
一、点的投影与相似在空间几何体中，投影是指某个点在二维平面上的映射位置。
当空间几何体发生形变时，点的投影位置也会发生变化。
而相似则表示形状相似但大小不同的几何体，点的相似性保持不变。
二、线段的投影与相似线段在空间几何体的投影是指线段的两个端点分别在二维平面上的映射位置所形成的线段。
当空间几何体发生形变时，线段的投影长度也会发生变化，但线段的相似性则是指形状相似但大小不同的几何体，线段的相似比例保持不变。
三、平面图形的投影与相似平面图形在空间几何体的投影是指图形在二维平面上的映射。
投影时，图形的形状和大小可能发生变化。
而相似则表示形状相似但大小不同的几何体，平面图形的相似性保持不变。
四、立体几何体的投影与相似立体几何体在空间中的投影是指几何体在二维平面上的映射。
投影时，立体几何体的形状、大小和位置都可能发生变化。
而相似则表示形状相似但大小不同的几何体，立体几何体的相似性保持不变。
在实际应用中，投影常常被用于设计、建筑、工程等领域。
通过将三维物体的投影映射到二维平面上，可以更容易地进行设计和计算。
相似性在实际应用中也十分重要。
在建筑、制造等领域，常常需要根据已有模型的相似性来设计新的物体。
总结而言，空间几何体的投影是指将三维物体映射到二维平面上的过程，而相似性则是指形状相似但大小不同的几何体。
投影和相似在几何学中具有重要的应用价值，它们能够帮助我们更好地理解和应用空间几何体的性质和特点。
（以上内容为示例，具体内容可根据实际情况进行调整）。
难点详解京改版九年级数学下册第二十四章 投影、视图与展开图专项攻克练习题(含详解)
九年级数学下册第二十四章投影、视图与展开图专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“您”相对的字是（）A．牛B．年C．愉D．快2、如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A．传B．因C．承D．基3、某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“展”字所在面相对面上的汉字是（）A．长B．春C．新D．区4、如图是一个正方体的平面展开图，若正方体相对面上的代数式的和都等于-1，则x的值是（）A．-1 B．1C．-2 D．25、如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．6、如图是由6个同样大小的正方体摆成，将标有“1”的这个正方体去掉，所得几何体（）A．俯视图不变，左视图不变B．主视图改变，左视图改变C．俯视图改变，主视图改变D．主视图不变，左视图改变7、如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．8、如图所示的礼品盒的主视图是（）A．B．C．D．9、下图中是正方体展开图的是（）A．B．C．D．10、图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论：（1）若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；（2）用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；（3）用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中∠ABC＝45°；（4）如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则a＋b＝19其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，下图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体最多用m个小立方体搭成，最少用n小立方体搭成，则m+n＝_____．2、某种品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：mm），那么这种牛奶包装盒的体积是______3mm（包装材料厚度不计）3、一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为___．4、下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列为 _____．5、在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有____个．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、根据要求完成下列题目．（1）图中有_____块小正方体．（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）．（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要____个小正方体，最多要____个小正方体．2、如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．（1）填空：=a _____，b =_____，c =_____；（2）先化简，再求值：()2222253234a b a b abc a b abc ⎡⎤---+⎣⎦．3、下面是由一些棱长为a 厘米的正方体小木块搭建成的几何体的主视图、左视图和俯视图．（1）该几何体是由 块小木块组成的；（2）求出该几何体的体积；（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．4、用小正方体搭成一个几何体，使得从正面看、从上面看该几何体得到的图形如图所示．问：（1）这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？（2）它最少需要多少个小正方体？请分别画出这两种情况下从左面看该几何体得到的图形．5、如图，是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体，请分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图；-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“您”的对面是“年”，故选：B．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．2、D【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形，“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．3、C【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，与“发”字所在面相对的面上的汉字是“长”，与“展”字所在面相对的面上的汉字是“新”，与“春”字所在面相对的面上的汉字是“区”．故选C．【点睛】本题考查了正方体的展开图中相对两个面上的文字，注意正方体的平面展开图中相对的两个面一定相隔一个小正方形．对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．4、B【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对的面上的数字或代数式的和为1，列出方程求解即可．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．“2”与“-3”是相对面，“1”与“-2”是相对面，“-1”与“1-x”是相对面，∵相对的面上的数字或代数式的和为1，∴-1+1-x=1，x ，解得1故选B．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，一元一次方程．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5、B【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．6、A【分析】根据几何体的三视图判断即可；【详解】根据已知图形，去掉标有“1”的这个正方体，主视图改变，俯视图和左视图不变；故选A．【点睛】本题主要考查了几何体三视图的应用，准确分析判断是解题的关键．7、C【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．【详解】解：观察可知，从物体的左边看是一个竖长横短的长方形，由于右边有一条横向棱被遮挡看不见，画为虚线，如图所示的几何体的左视图是：．故选C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．8、B【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：从礼品盒的正面看，可得图形：故选：B．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．9、D【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：A、B、C中的图形折叠时有一个面重合，故不能折叠成正方体，D中的图形能折叠成正方体；故选D．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．10、B【分析】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断（1）；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断（2）（3）；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可．为【详解】解：（1）若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以至少要剪开12﹣5＝7条棱．（2）用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；正确，因为用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．（3）用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中∠ABC＝45°；错误，因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABC＝60°．（4）如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则a+b＝19．错误，应该是a＝6，b＝11，a+b＝17．故选：B．【点睛】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键．二、填空题1、17【分析】从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和个数，进而可得答案．【详解】解：如图，m＝2+2+2+2+2＝10，n＝2+2+1+1+1＝7，∴m+n＝10+7＝17，故答案为：17．【点睛】此题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．2、224000【分析】从展开图可得包装盒为长方体，先求出底面积，再乘以高计算即可．【详解】解：包装盒的底面积为40×70=2800mm2，包装盒的高为80mm，这种牛奶包装盒的体积是2800×80=2240003mm．故答案为224000．【点睛】本题考查图形的展开图，从平面图形到立体图形的思维，根据主体体积公式解题是关键．3、7【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．【详解】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，由主视图第三层最少有1个正方体，那么最少有4＋2＋1＝7个立方体．故答案是：7．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．4、③④①②【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．【详解】解：西为③，西北为④，东北为①，东为②，∴将它们按时间先后顺序排列为③④①②，故答案是：③④①②．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律，解题的关键是掌握在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．5、12【分析】从俯视图中可以看出最底层碟子的个数及形状，从主视图可以看出碟子的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】解：由三视图可得三摞碟子数从左往右分别为5，4，3，则这个桌子上共有5+4+3=12个碟子．故答案为：12．【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．三、解答题1、（1）6；（2）见解析；（3）5,7【分析】（1）根据图形知图形的层数及各层的块数，相加即得；（2）根据三视图的画法解答；（3）最少时只能将竖列的两个的最上一个去掉，最多时在两个的最上加一个．【详解】解：由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，∴图中共有1+2+3=6块小正方体，故答案为：6；（2）如图：（3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个，故答案为：5,7．【点睛】此题考查画小正方体构成的立体图形的三视图，数小正方体的个数，正确掌握立体图形的三视图的画法是解题的关键．2、（1）1；-3；2；（2）22abc ，24-【分析】（1）先根据长方体的平面展开图确定a 、b 、c 所对的面的数字，再根据相对的两个面上的数互为相反数，确定a 、b 、c 的值；（2）化简代数式后代入求值．【详解】解：（1）由长方体纸盒的平面展开图知，a 与-1、b 与3、c 与-2是相对的两个面上的数字或字母，因为相对的两个面上的数互为相反数，所以1a =，3b =-，2c =．故答案为：1；-3；2；（2）原式()2222253624a b a b abc a b abc =--++2222253624a b a b abc a b abc =-+--22abc =，∴原式()2213224=⨯⨯-⨯=-．【点睛】本题考查了长方体的平面展开图、相反数及代数式的化简求值．解决本题的关键是根据平面展开图确定a 、b 、c 的值．3、（1）10；（2）10a 3 cm 3；（3）40a 2 cm 2．【分析】（1）根据三视图的定义解决问题即可；（2）求出10个小正方体的体积和即可；（3）还原出立体图形，进而求出各个面的面积进行加总求和．【详解】解答：解：（1）几何体的小正方形的个数如俯视图所示，2＝1+3+1+1+2＝10．故答案为：10．（2）V＝10a3（cm3）∴该几何体的体积为10a3cm3．（3）S＝2（6a2+6a2+6a2）+2（a2+a2）＝40a2（cm2）．∴该几何体的表面积40a2cm2．【点睛】本题主要是考查了立体图形的三视图以及体积、表面积的求解，通过三视图还原得到原立体图形，需要一定的空间想象能力，另外表面积的求解，不要漏掉一些面．4、（1）不止一种，最多14个；（2）最小10个，画图见解析【分析】（1）由第2层的正方体的个数不同，可得这样的几何体不止一种，再在俯视图的基础上确定每层正方体的数量最多时的正方体的数量，从而可得答案；（2）在俯视图的基础上确定每层正方体的数量最小时的正方体的数量，从而可得答案.【详解】解：（1）这样的几何体不止一种，正方体最多时的俯视图为：其中正方形中的数字表示正方体的数量，所以最多需要6+6+2=14个；（2）最少需要4+4+2=10个，正方体个数最多时的左视图为：正方体个数最小时俯视图为：此时左视图为：或正方体个数最小时俯视图为：此时左视图为：或正方体个数最小时俯视图为：此时的左视图为：或正方体个数最小时俯视图为：此时的左视图为：或正方体个数最小时俯视图为：此时的左视图为：或正方体个数最小时俯视图为：此时的左视图为：【点睛】本题考查的是三视图，掌握三视图的定义，清晰的分类讨论是画图的关键.5、见解析【分析】根据三视图的含义，分别画出从正面，从左面，从上面看到的平面图形即可.【详解】解：如图，主视图，左视图，俯视图如下：【点睛】本题考查的是画简单组合体的三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．。
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2.(2015·天水中考)如图是一位同学设计的用手电筒 来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面
镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的
顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米, PD=12米,那么该古城墙的高度CD是________米.
【解析】由题意可得:∠APE=∠CPE,
【解析】(1)∵AB=AC=1,BC=
5 1 ， 2
5 1 5 1 3 5 AD ，DC 1 ． 2 2 2 5 1 2 5 3 5 3 5 3 5 AD 2 ，ACCD 1 ． 4 2 2 2
∴AD2=AC·CD.
(2)∵AD=BC,AD2=AC·CD, ∴BC2=AC·CD,即 BC CD．
(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这 对等角的两边对应成比例.
(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.
(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明
夹直角的两条直角边对应成比例.
(5)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角 相等,或找底和腰对应成比例.
【题组过关】 1.(2015·海南中考)如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,
答案:3
考点四
视图
【考情分析】 三视图问题一直是中考必考问题,一般题目难度中 等偏下,但考查的角度从多个方面进行命题,题型相对 比较单一,以选择题为主.
命题角度1:已知几何体,判定其三视图
【典例4】(2016·扬州中考)下列选项中,不是如图所示
几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是( )
【思路点拨】分别画出该几何体的主视图、左视图和
考点二
相似三角形的性质
【典例2】(2015·崇左中考)一块材料的形状是锐角三 角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零 件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在 AB,AC上.
(1)求证:△AEF∽△ABC.
(2)求这个正方形零件的边长.
(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大 面积是多少?
2
∴△ADE∽△ABC, ∴△ADE的面积∶△ABC的面积= ( 1 ) 2 =1∶4,
2
∴△ADE的面积∶四边形BCED的面积=1∶3.
3.(2016·安徽中考)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,
∠B=∠DAC,则线段AC的长为
A.4 C.6 B.4 2 D.4 3
(
)
【解析】选B.∵AD是中线,BC=8,∴CD=4;∵∠B=∠DAC,
EF AK x 80 KD ， ， BC AD 120 80 ∴KD=80- 2 x, 3 2 即矩形的宽EG=80- x. 3
设矩形EGHF的面积为y,则
y=EF·EG= - 2 x2+80x,0<x<120.
3 3 当x=- 80 =80× =60时,y最大 4 4 3
【自主解答】(1)∵四边形EGHF为正方形,
∴EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC.
(2)设正方形EGHF的边长为xmm.
∵△AEF∽△ABC,AD,AK分别为△ABC和△AEF的高,
EF AK x 80 x ，即 ， BC AD 120 80
∴x=48,
即正方形的边长为48mm.
(3)设EF=x,
∴∠APB=∠CPD,
∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABP=∠CDP=90°,
AB CD ， ∴△ABP∽△CDP,∴ BP DP
∵AB=2米,BP=3米,PD=12米,∴ 2 CD ，
3 12
CD=8米.
答案:8
3.(2016·北京中考)如图,小军、小珠之间的距离为 2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,
第二十四讲
相似、投影与视图
一、相似三角形的性质 相等 对应边的比_____. 相等 性质1:相似三角形的对应角_____,
相似比 性质2:相似三角形周长的比等于_______.
性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应 相似比 角平分线的比等于_______.
平方 性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的_____.
作出判断.
【自主解答】选C.选项A中,∠C为公共角,都有78°角,
故相似.选项B中,∠B为公共角且有78°角,故相似.选 项C中,∠B为公共角,但夹∠B的两边不一定成比例,故
不一定相似.选项D中,∠A是公共角,且∠A的两边对应
成比例,故相似.
【名师点津】判定三角形相似的“五个基本思路”
(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.
∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA,∴ AC CD ，
CB AC
∴AC2=CD·CB=4×8=32,∴AC=4
. 2
4.(2016·福州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=
5 1 ,在AC边上截取AD=BC,连接BD. 2
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系. (2)求∠ABD的度数.
解即可.
【题组过关】 1.(2015·新疆中考)如图,某小区内有一条笔直的小路, 路的正中间有一路灯,晚上小华由A处走到B处,她在灯 光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系,用图 象刻画出来,大致图象是 ( )
【解析】选C.根据投影的特点可知,越靠近光源,影长
越短,越远离光源,影长越长.
解得CD=7,即电线杆的高为7米.
【名师点津】投影与相似三角形的应用技巧
(1)利用投影线及两个物体对应的线段构造相似三角形 .
(2)根据相似三角形的对应边成比例,求出物体的高度 或影长.
(3)利用竹竿测量高度的问题中,竹竿和被测量物都是
垂直于地面的,因此存在平行关系(但是这个平行关系
是隐藏条件,并不在题目中直接出现),有平行则多数情 况下即可得到相似关系,然后利用相似三角形的性质求
此时y=60×(80 2 60)
3
=60×40
=2400(mm2). 即长方形EGHF的最大面积为2400mm2.
【名师点津】相似三角形性质的三个应用
(1)利用相似三角形对应角相等计算角的度数.
(2)利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未 知线段的关系,建立方程求出未知线段的长或解决与比
考点三
平行投影与中心投影
【典例3】(2015·兰州中考)如图,在一面与地面垂直
的围墙的同一侧有一根高10米的旗杆AB和一个高度未 知的电线杆CD,它们都与地面垂直.为了测得电线杆的
高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在
太阳光的照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2
米,落在地面上的影子BF的长为10米;而电线杆落在围
分别相等 的两个三角形相似. 判定4:两角_________
三、投影和视图的有关概念 平行光线 形成的投影. 平行投影：由_________
1.投影
同一点(点光源) 发出的光线 中心投影：由_______________ 形成的投影.
由前向后 观察物体 主视图：在正面内得到的_________ 的视图. 由上向下 观察物 俯视图：在水平面内得到的_________ 2.视图
体的视图.
由左向右 观察物体 左视图：在侧面内得到的_________ 的视图.
考点一
相似三角形的判定
【典例1】如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将
△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三 角形不相似的是 ( )
【思路点拨】分析剪下的三角形的边或角,对比原来的
三角形,是否有两个角相等或两边成比例且夹角相等,
☉O,A是 BDC 的中点,AE⊥AC于A,与☉O及CB的延长线
交于点F,E,且 BF AD ． (1)求证:△ADC∽△EBA.
(2)如果AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠CDA=∠ABE.
AD ， ∵ BF ∴∠DCA=∠BAE.
射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有
( A.0对 B.1对 )
C.2对
D.3对
【解析】选D.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC, ∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CBP,
∴△EDC∽△CBP,
故有3对相似三角形.
2.(2016·凉山州中考)如图,已知四边形ABCD内接于
俯视图,然后排除.
【自主解答】选A.几何体的主视图为选项D,俯视图为 选项B,左视图为选项C.故选A.
【母题变式】(改变问法)该几何体的主视图为(
)
提示:选D.
命题角度2:根据视图求几何图形的表面积或体积
【典例5】(2015·呼和浩特中考)如图是某几何体的三 视图,根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( )
二、相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的
三角形 相似(相似三 延长线)相交,所构成的三角形与原_______ 角形的预备定理).
成比例 的两个三角形相似. 判定2:三边_______
成比例 且_________ 夹角相等 的两个三角形相似. 判定3:两边_______
∴△ADC∽△EBA.
(2)∵A是 BDC 的中点,
AC ， ∴ AB
∴AB=AC=8, ∵△ADC∽△EBA,
∴∠CAD=∠AEC, DC AC ，
AB AE
5 8 64 即 ， AE ， 8 AE 5 8 AC 64 5 tanCAD tanAEC ． AE 5 8
AC BC
又∵∠C=∠C,
∴△CBA∽△BCD. ∴ AB BD 1，∠DBC=∠A.