2017年高考数学文黄金易错点：专题02-不等式与线性规划含答案

2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题2 不等式与线性规划第5练

第5练如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.体验高考1.(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A.3B.4C.18D.40 答案 C解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0，3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案 D解析设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).3.(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12 答案 C解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0，0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.4.(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322 D. 5答案 B解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，解得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得B (2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.5.(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________. 答案 32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝⎛⎭⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1 (2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.5 答案 C解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值. 变式训练1 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝|4x －4y ＋3|的取值范围是( )A.[53，15)B.[53，15]C.[53，5) D.(5，15) 答案 A解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z ＝|4x －4y ＋3|＝|4x －4y ＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x ，y )到直线4x －4y ＋3＝0的距离的42倍，结合图象易知点A (2，－1)，B (13，23)到直线4x －4y ＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z 分别取得最大值15与最小值53，故z ∈[53，15)，故选A.题型二解决参数问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1] D.[－1，1)答案 C解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1，1].点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论. 变式训练2 (2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A.3B.2C.－2D.－3 答案 B解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1).由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 题型三简单线性规划的综合应用例3 (1)(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |等于( )A.2 2B.4C.3 2D.6(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 答案 (1)C (2)216 000解析 (1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示.因为l 与直线x ＋y ＝0平行.所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0.解得Q (2，－2). 所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.(2)设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3 设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1，1)，n ＝(2，1)，点O 是坐标原点，若向量OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是( ) A.[－32，23]B.[－6，2]C.[－1，72]D.[－4，23]答案 B解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由题意，可得(x ，y )＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ.令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z3.当直线y ＝23x ＋z 3过点A (－1，0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3，0)时，z 取得最小值，且z min ＝－6.故选B.高考题型精练1.(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.1 答案 A解析约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1，1)时，截距最大，此时z 最大为－1，故选A.2.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A. 3.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( ) A.55 B.23 C.22D.1 答案 A解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图.因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.4.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5 B.29 C.37 D.49 答案 C解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 5.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A.(0，4) B.(0，4] C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)答案 B解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点A (1，1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ∈(0，4]，故选B.6.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( ) A.(－6，－2) B.(－3，2) C.(－103，－2)D.(－103，－3)答案 C解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解. 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＞0，f (1)＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0，⇒－103＜k ＜－2，故选C.7.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示.将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2， z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.8.设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 C解析当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.9.(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤45，13解析已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10.4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元. 答案 22解析设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0，4)，B (0，8)，C (103，43).当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值.所以z min ＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元. 11.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条不同的直线.12.(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________. 答案3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部. f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y | ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。

精品高考数学易错集专题02不等式与线性规划文

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性规划文
1. 【2016高考新课标1卷】若,则
（A ）（B ）（C ）（D ）
【答案】C
2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数的
最小值为（
（A ）（B ）6
（C ）10 （D ）【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，直线过点B
时取最小值6，选
3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足则的最大值是（）
（A ）4 （B ）9 （C ）10
（D ）
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为
顶点的三角形区域,表示点（x,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点
处取到,经验证最大值为,故选
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得
的垂足称为点P
在直线l 上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB│=（ A ．2 B ．4 C ．3
D
【答案】C
5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（）
A.0
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所
求最大值为4，故选。

高考一轮复习不等式与线性规划(含答案)

教师一对一个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容不等式与简单线性规划复习个性化学习问题解决掌握基本不等式的常用变形；会利用基本不等式求最值；求目标函数的最优解问题教学重点、难点及考点分析1.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题；2.利用图解法求得线性规划问题的最优解。

教学过程不等式与简单线性规划一、不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇒a＋c>b＋c ⇒可乘性⎭⎬⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎬⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎬⎫a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)（1）使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．（2）作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．例1已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()．A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b例2若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4例3若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．教学过程训练1已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．求f(－2)的取值范围．小结：一般在求有两个未知数范围的时候,要注意不能单独求出一个未知数的范围,否则会引起所求范围扩大或缩小，而是要通过已知不等式相加减,直接算出所求不等式范围.通常可使用待定系数法.二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c＞0(a＞0){x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠x1} Rax2＋bx＋c＜0(a＞0){x|x1＜x＜x2}∅∅若a＜0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：（1）在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；（2）二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况；（3）解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；（4）一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．例1解下列不等式：（1）0＜x2－x－2≤4；（2）x2－4ax－5a2＞0 (a≠0)；总结：解形如20＞ax bx c++且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：（1）讨论a与0的大小；（2）讨论∆与0的大小；（3）讨论两根的大小．2．一元二次不等式恒成立问题（1）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．（2）一元二次不等式恒成立的条件：①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＞0且b 2－4ac ＜0． ②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＜0且b 2－4ac ＜0．例1若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．3．整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n解法：①将不等式化为a 0(x －x 1)(x －x 2)…(x －x m )＞0(＜0)形式，并将各因式x 的系数化“＋”； ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点；④若不等式（x 的系数化“＋”后）是“＞0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“＜0”，则找“线”在x 轴下方的区间．（自右向左正负相间）例题不等式223680x x x --+>的解集．+—++—xx 1x 2x 3x n-2x n-1x n+4．分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f ＞0(或)()(x g x f ＜0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式；（2）转化为整式不等式（组）00000f x g x f x f x f x g x g x g x g x ⇔⇔()()≥()()＞()()＞；≥()()()≠ìïïíïïî．例1求不等式21xx -≥1的解集．5．含绝对值不等式的解法基本形式：①型如：|x |＜a (a ＞0)的不等式的解集为：{}|＜＜x a x a -； ②型如：|x |＞a (a ＞0)的不等式的解集为：{|＜x x a -，或}＞x a ；变型：||(0)＜＞ax b c c +型的不等式的解集可以由{}|＜＜x c ax b c -+解得．其中－c ＜ax +b ＜c 等价于不等式组＜＞ax b cax b c+⎧⎨+-⎩，在解－c ＜ax +b ＜c 时注意a 的符号；||(0)＞＞ax b c c +型的不等式的解法可以由{|x ax b c +>，或}ax b c +<-来解．③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解； ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题．例题求解不等式：|2||3|10≤x x -++．三、线性规划问题1．二元一次不等式所表示的平面区域的判断取点定域法由于直线0Ax By C ++＝的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同．所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域．即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点． 2．二元一次不等式组所表示的平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．3．利用线性规划求目标函数z Ax By +＝（A B ，为常数）的最值法一：角点法如果目标函数z Ax By +＝（x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值．法二：画——移——定——求第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By +＝，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解()，x y ；第四步，将最优解()，x y 代入目标函数z Ax By +＝即可求出最大值或最小值．第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B -+＝，zB为直线的纵截距． ①若0＞B ，则使目标函数z Ax By +＝所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0＜B ，则使目标函数z Ax By +＝所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值．4．常见的目标函数的类型： ①“截距”型：z Ax By +＝； ②“斜率”型：y z x ＝或y b z x a--＝； ③“距离”型：22z x y +＝或22z x y +＝，22()()z x a y b -+-＝或22()()z x a y b -+-＝．在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化．例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________．例2设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件4335251≤≤≥x y x y x ìï--ïïï+íïïïïî，求z 的最大值和最小值．例3已知x 、y 满足204250≥≥0≤x y x y x y ìï-+ïïï+-íïïï--ïî，求：（1）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；（2）z ＝y ＋1x ＋1的取值范围．例4若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件3230≤0≤≥x y x y x mìï+-ïïï--íïïïïî，则实数m 的最大值为．例5实数x y ，满足不等式组20206318≥≥≤x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，且(0)z ax y a +>＝取最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是．例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．甲乙原料限额A (吨) 3 2 12B (吨) 128三、基本不等式1．重要不等式：如果R b a ∈,，那么222+≥a b ab （当且仅当a b =时取等号）．2．基本不等式：如果，a b 是正数，那么2+≥a bab （当且仅当a b =时取等号）．基本不等式的几个重要变形：①22≤a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②2221()22≥≥a b a b ab ++．要点诠释：222+≥a b ab 和2+≥a bab 两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求，a b 都是实数，而后者要求，a b 都是正数．（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”．（3）222+≥a b ab 可以变形为：222+≤a b ab ；2+≥a bab 可以变形为：22+≤()a b ab ．（4）在数学中，我们称2ba +为，ab 的算术平均数，称ab 为，a b 的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（5）如果把2ba +看作是正数，ab 的等差中项，ab 看作是正数，a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 3．用基本不等式2+≤a bab 求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件（一正二定三取等）： ①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．例2若0＜x ,求9()4f x x x=+的最大值．变式训练已知3＞a ，求证：473≥a a +-．例5已知000＞，＞，＞a b c ，且1a b c ++=．（1）若a b c ==则111111()()()a b c---的值为．（2）求证：111111()()()a b c---8≥．本章整合课后作业可附页班主任收回审批签字教学主任课前审批签字（或盖章）简单线性规划练习1．(2016·贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－535．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－17．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元9．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－1213．若实数x ，y 满足|xy |＝1，则x 2＋4y 2的最小值为________．14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥12x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．例1已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 答案：A解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ．将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2．∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a ．∴b ＝1＋a 2＞a ．∴c ≥b ＞a ．例2若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确，故选C ．例3若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7． ∴α＋3β的取值范围为[1，7]．训练1已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5，10]．例1解下列不等式：（1）0＜x 2－x －2≤4；（2）x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)；解：（1）原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.．借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3．（2）由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0．由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a ．综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a ．例1若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 答案：C解析：①m ＝－1时，不等式为2x －6＜0，即x ＜3，不合题意． ②m ≠－1时，10Δ0＜＜m ìï+ïíïïî解得m ＜－1311．例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．解：（1）由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10•100⎝⎛⎭⎫1＋850x ．因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0．所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．（2）由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10260，化简得8x 2－30x ＋13≤0．解得12≤x ≤134．所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2．例题不等式223680x x x --+>的解集．解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->，由方程：(2)(1)(4)0x x x +--＝解得123214x x x -＝，＝，＝，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图，由图可看出不等式223680＞x x x --+的解集为：{}|214＜＜，或＞x x x -．例1求不等式21xx -≥1的解集．解：移项通分得11x x +-≥0⇔(1)(1)010≥≠x x x +-⎧⎨-⎩，解得11≤＜x -，∴不等式的解集为[－1，1)．例题求解不等式：|2||3|10≤x x -++ 解：零点分类讨论法：分别令20x -＝和30x +＝，-+-+-214x-2x解得：3x -＝和2x ＝，在数轴上，－3和2就把数轴分成了三部分，如右上图； ①当3≤x -时，（去绝对值符号）原不等式化为：(2)(3)103≤≤x x x ---+⎧⎨-⎩⇒1123≥≤x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩⇒1132≤≤x --； ②当32＜≤x -时，（去绝对值符号）原不等式化为：32(2)(3)10＜≤≤x x x -⎧⎨--++⎩⇒32＜≤x x -⎧⎨∈⎩R ⇒32＜≤x -； ③当2x >时，（去绝对值符号）原不等式化为：2(2)(3)10＞≤x x x ⎧⎨-++⎩⇒292＞≤x x ⎧⎪⎨⎪⎩⇒922＜≤x ；由①②③得原不等式的解集为：119|22≤≤x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－12)∪(1，＋∞)解析：(2a ＋1)(3a －3)＞0，∴a ＜－12或a ＞1．例2设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件4335251≤≤≥x y x y x ìï--ïïï+íïïïïî，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0得A 点坐标为(5，2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1，1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3．例3已知x 、y 满足204250≥≥0≤x y x y x y ìï-+ïïï+-íïïï--ïî，求：（1）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；（2）z ＝y ＋1x ＋1的取值范围．解：作出可行域，如图．并求出点A 、B 的坐标分别为(1，3)、(3，1)．（1）z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线MN ，垂足为N ，则：z min ＝|MN |2＝(|0－5＋2|2)2＝92．（2）z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，可知，k AQ 最大，k QB 最小．而k QA＝3＋11＋1＝2，k QB ＝1＋13＋1＝12．∴z 的取值范围为[12，2]．例4若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件3230≤0≤≥x y x y x mìï+-ïïï--íïïïïî，则实数m的最大值为．答案：1解析：由约束条件作出其可行域，如图．由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， ∴P (1，2)，此时x ＝m ＝1．例5实数x y ，满足不等式组20206318≥≥≤x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，且(0)z a x y a +>＝取最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是．答案：1解析：如图所示，要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax +y =0，并平移过点C 24()33，（可行域最左侧的点）的边界重合即可，注意到a ＞0，只能与AC 重合，所以a ＝1．例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128解：设该企业每天生产x吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为R 万元，则由题意有R ＝3x ＋4y ，同时满足32122800≤≤≥，≥x y x y x y ìï+ïïï+íïïïïî，由此可得可行区域如图中阴影部分所示．由y ＝－34x ＋14R 可得，当过点(2，3)时，利润可取得最大值，R max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．例2若0＜x ,求9()4f x x x=+的最大值．解：因为0＜x ，所以0＞x -，由基本不等式得：999442423612f x x x x x x x()＝()＝()()≥()()＝＝--+-+--?，当且仅当94x x -=-即32x =-时取等号，故当32x =-时，9()4f x x x=+取得最大值12-．变式训练已知3＞a ，求证：473≥a a +-．证明：444332332437333a a a a a a ＝()≥()＝＝++-+?++---，当且仅当433a a ＝--即5a ＝时，等号成立．例5已知000＞，＞，＞a b c ，且1a b c ++=．（1）若a b c ==则111111()()()a b c---的值为．（2）求证：111111()()()a b c---8≥．解：（1）由题意可得13a b c ===带入计算可得1111118a b c()()()＝---．（2）证明：由题意和基本不等式可得20≥＞a b ab +，20≥＞a c ac +，20≥＞b c bc +；∵1a b c ＝++ ∴111111111a b c a b c a b ca b c a b c()()()＝()()()++++++------ 2228b c a c a b bc ac aba b c a b c＝()()()≥＝+++．∴1111118()()()≥a b c ---．练习答案2016届高考数学二轮复习限时训练3 不等式、线性规划文1．(2016·贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A 、B 不符合不等式乘法性质，缺少“>0”，而C 中，显然c 2>0.符合性质．2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]解析：选C.作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.5．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B.作出满足条件的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x ＋y 经过点(2，a )时取得最大值5，即2×2＋a ＝5，解得a ＝1，故选B.7．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元解析：选C.设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值．由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号，故选C.9．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13D ．－12解析：选C.画出图形，数形结合得出答案．如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)．13．若实数x ，y 满足|xy |＝1，则x 2＋4y 2的最小值为________．解析：x 2＋4y 2≥24x 2y 2＝4|xy |＝4. 答案：414．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：215．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥12x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．解析：如图，画出可行域，易得A (2,4)，B (1,6)，∴它们与原点连线的斜率分别为k 1＝2，k 2＝6，又y x ＝y －0x －0，∴k 1≤yx≤k 2，即2≤yx≤6.答案：[2,6]。

线性规划-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标3专版)含解析

母题五线性规划【母题原题1】【2017新课标3，文5】设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y=-的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【考点】线性规划【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.【母题原题2】【2016新课标3，文13】若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最小值为_________.【答案】10-【考点】简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1）作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2）作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线）；（3）求出最终结果．【命题意图】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，同时也考察了数形结合的思想。

【命题规律】1、线性规划是高考中的热点之一；2、考查内容涉及最优解、最值等;3、通常用数形结合的思想方法解题；4、考查形式多为选择题或填空题；5、考查难度多为容易题或中档题；【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下两步:第一步：作出不等组表示的可行域先后作出∆即为不等式组表示的可行-+y=yx三条直线，AOBx=3=,0,062域；第二步:确定表示的几何意义目标函数y=可化xz-成zy-=在y轴上的截距的相反数,xy-x=，所以表示的是直线z即直线z x y -=在y 轴上的截距最大时，取得最小值,在y 轴上的截距最小时，取得最大值;第三步：平移直线z x y -=，确定最优解，求得最值通过平移直线z x y -=，得知在A 点时，取得最小值，在B 点时，取得最大值，代入数值即可求得的范围【方法总结】1。

线性规划(第02期)-2017年高考数学(文)备考之百强校小题精练系列含解析

2017届高考数学（文）小题精练专题05 线性规划1。

若变量,x y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则3z x y=-的最小值为（）A．-7 B．—1 C．1 D．2【答案】A考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求":(1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）;（2)找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克;每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ）A．1800元 B．2400元C．2800元D．3100元【答案】C【解析】试题分析：设生产甲x，乙y，依题意有212212,x yx yx y N+≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩，目标函数300400z x y=+，作出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()4,4B取得最大值为2800。

考点:线性规划。

【思路点晴】本题主要考查线性规划来解实际应用问题。

考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

线性目标函数z Ax By C =++（,A B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+,这样线性目标函数可看成斜率为AB-,且随z变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解。

2017年高考语文黄金易错点：专题02-字形(专题)(Word版,含解析)

1.下列各句中，没有错别字的一项是（）A.辩论双方唇枪舌箭，针锋相对，相持不下，后来正方二辩出其不意地抛出三个有力论据，令反方措手不及，只好甘拜下风。

B.这位专家关于城镇化建设要防止落入“五大陷井”的说法得到了与会人员的认同，不少人对他的真知灼见竖起了大拇指。

C.在“中国情结”绘画大奖赛中，作品《瑞雪兆丰年》创造性地融入了民族文化元素，让人产生强烈的共鸣，最终拔得头筹。

D.每次登陆电子邮箱、微博或使用银行卡、会员卡时都须输入密码，而不同的密码容易混淆，这给人们平添了许多烦恼。

【答案】C.【解析】A.唇枪舌箭（剑） B.陷井（阱） D.登陆（录）2.下列各句中，没有错别字的一句是A．五台山位于山西东北部，是我国著名的佛教胜地，上山有许多寺院，善男信女络绎不绝。

B．钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国故有领土，这在历史和法理上都是清楚的。

C．作为一位大山深处的乡村教师，他不单给孩子们上课、辅导，还细心照料他们的生活。

D．对峙的双方情绪激动，箭拔弩张，幸亏民警及时赶到，才避免了—起暴力事件的发生。

本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！【答案】C3．下列词语中，没有错别字的一组是A．扮靓商贾关怀倍至余音绕梁B．辐员魁梧天花乱坠彪炳千秋C．联袂眈误沧海一粟插科打诨D．寒暄遴选克勤克俭针锋相对【答案】D4.下列词语中没有．．错别字的一组是A.膏梁青涩雍容华贵豆寇年华B.缴纳戍边平心而论得鱼忘筌C.桀骜羁旅摩肩接踵励精图治D.袅娜覆盖开城布公呕心沥血【答案】B【解析】A、膏粱；C、摩肩接踵；D、开诚布公。

5.下列词语中，没有错别字的一项是A.平添算账声名鹊起厉行节约B.砥砺麦杆徇私舞弊好高骛远C.硫璃称颂关怀备至有恃无恐D.飞碟疏浚出尔反尔突如奇来【答案】A.【解析】B.杆—秆C.硫—琉D.奇—其6．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．彷徨愁怨寂寥静默凄婉惆伥B．顾盼精捍步履稳健风神潇洒C．睿智禀赋崇高品质趋善避恶D．辩难商榷典藉满架旁稽博采【答案】C。

不等式与线性规划含答案

xy是寻找取得最大值时的条件． z100(2)1
1 900②答案(1)①v76 000F＝l＝6.05时，解读(1)①当 2v121v＋18＋76 00076 00076 0001 900.＝≤＝＝ 12118＋22121＋v18＋18·v＋2 vv/时．秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆当且仅当v＝11 M/v76 00076 00076 00076 000＝≤＝2 000.l＝5时，F＝＝②当 2100v18＋100＋20＋18v100＋v18＋·＋2v18 vv当且仅当v＝10 M/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比①中的最大车流量增加100辆/时．
不等式与线性规划在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的考情解读(1) 解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直多与集合、函数等知识交汇命题，接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)以填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法22的根，最0)≠＋c＝0(c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程axa＋bx先化为一般形式ax＋＋bx轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．后根据相应二次函数图象与x简单分式不等式的解法(2)xf；)g(x)>0(<0)①变形?>0(<0)?f(x gxxf0.
x－1 (1)不等式≤0的解集为________． 1x＋222＋1≤0，q：?x∈R，mxx＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的∈：(2)已知p?xR，00取值范围是______________________________________________________________．
ab≥(a>0，b≥>0)． 22a＋b3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划

02不等式与线性规划-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点含解析

专题02 不等式与线性规划2017年高考数学(理）备考学易黄金易错点 1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则（ ) (A ）c c ab < (B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ,直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B 。

3.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是（）（A ）4 （B)9 （C ）10（D)12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A （0,-3），B (0,2），C (3，—1）为顶点的三角形区域,22xy +表示点（x ，y )到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =，故选C 。

4。

【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ )A ．22 B ．4 C ．32 D ．6【答案】C5。

【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ )A.0B.3 C 。

4 D 。

5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时,取最大值,而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C 。

2017高考数学备考复习易错题八：不等式与线性规划

2017高考数学备考复习易错题八：不等式与线性规划一、单选题(共9题；共18分)1．（2分）对任意的实数x ，不等式mx 2−mx −1<0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(−4，0]B ．(−4，0)C ．[−4，0]D ．[−4，0)2．（2分）若a >b >0，则（）A ．a 2c >b 2c(c ∈R)B ．b a >1C ．lg(a −b)>0D ．(12)a <(12)b3．（2分）如果直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx+my ﹣4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x+y=0对称，则不等式组：{kx −y +1≥0kx −my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是（）A ．14B ．12C ．1D ．24．（2分）若变量x ，y 满足 {x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0 ，则x 2+y 2的最大值是（）A ．4B ．9C ．10D ．125．（2分）设变量x ，y 满足约束条件 {x −y +2≥0,2x +3y −6≥0,3x +2y −9≤0. 则目标函数 z =2x +5y 的最小值为( )A ．−4B ．6C ．10D ．176．（2分）在平面直角坐标系中，若P （x ，y ）满足{x −4y +4≤02x +y −10≤05x −2y +2≥0，则x+2y 的最大值是（）A ．2B ．8C ．14D ．167．（2分）若实数x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y ≥0x −y −2≤0，则z=2x ﹣y 的最大值为（）A ．4B ．5C ．2D ．18．（2分）设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z=x+y （）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值9．（2分）若a ＞0，b ＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A ．1ab >12B ．1a +1b≤1C ．√ab ≥2D ．1a 2+b2≤18二、填空题(共7题；共7分)10．（1分）若a 、b 、c 、d 均为正实数，且 a>b ，那么四个数 b aa b 、 b+c a+c 、 a+d b+d , 由小到大的顺序是11．（1分）设a ＞0，b ＞0，若关于x ，y 的方程组 {ax +y =1x +by =1 无解，则a+b 的取值范围为．12．（1分）设x ，y 满足约束条件 {2x −y +1≥0x −2y −1≤0x ≤1 ，则z=2x+3y ﹣5的最小值为．13．（1分）若x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0 ，则z=x ﹣2y 的最小值为．14．（1分）已知实数x ，y 满足 {x −2y +4≥02x +y −2≥03x −y −3≤0 ，则x 2+y 2的取值范围是 .15．（1分）若x ，y 满足不等式 {x +y ≤1x +1≥0x −y ≤1 ，则z=2x+y 的最小值为．16．（1分）若x ，y 满足约束条件 {x −1≥0x −y ≤0x +y −4≤0．则 yx 的最大值为．三、综合题(共4题；共40分)17．（10分）一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（1）（5分）设x ，y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x ，y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）（5分）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？18．（10分）在一般情况下，城市主干道上的车流速度 v （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数。

线性规划专题含答案

t t ．
则 t t
的最小值为
．
45. 设实数，满足 t
t则
的取值范围是
．
46. 记不等式组取值范围是
t 所表示的平面区域为，若直线 t
与
有公共点，则
的
第 3页（共 33 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件
47. 已知变量，满足约束条件 t
൅
48. 若实数，满足条件
t t 的解集记作，实数，满足如下两个条件：① ．则实数的取值范围为．表示的平面区域，直线． t t t t则 t t 的最小值是 h ．
t
，
；
为不等式
与区域
有公共点，
93. 若，满足约束条件
则 h 的取值范围是
94. 已知实数，满足
则
的最大值是
．
95. 设，满足不等式组数的取值范围为的最大值为．．
． t 满足 t t则，则的取值范围为．
57. 若实数 t 满足 58. 已知，满足约束条件
൅
t ，点 t t t t 且 t
的最小值为
t
．
59. 已知点值为
t
的坐标满足条件． t
t t
t则那么点 t 的最小值为
的最大值
．
到直线
的距离的最小
60. 已知，满足
t
t则
．
第 4页（共 33 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件
其中设所以所以 31. t
t ，
为区域内一个动点，则使它与点
t ，
t ，为原点．
表示点
到原点

【山东省】2017年高考数学(理科)-不等式与线性规划-专题练习-答案

＝A－2＋A－＋4 tan A－2
2)＋tan －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当
故tan A tan B tan C 的最小值为8.] 二、线性规划问题
5．C[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，
2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2
＝10.故选C.] 6．B[根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程
．作出线段，如图所示
1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 9．216 000[设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则
⎩⎪⎨⎪⎧
1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5
x ＋3y ≤600，x ≥0
，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
.
目标函数z ＝2 100x ＋900y .
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0).
⎩
⎪⎨＋x ，x ．故选D.] log 2ab ＋
b －＋12b －3
2y ≤0，
－－
－－
＝6z ＝x ＋1y ＋2的最小值为6．B[由题意作出其平面区域如图，
．作出不等式组对应的平面区域如图，
22
8．B[作出可行域，如图所示的阴影部分.。

2017届高三数学-不等式与线性规划-专题练习-答案

不等式与线性规划解析一、选择题1．解析：由a⊥b可得a·b=0，即1×2+(-2)×m=0，解得m=1．所以|b|==。

故选D．2．解析：由已知可得a·b=1×2cos 60°=1．所以b·(b-a)=b2-a·b=22-1=3．故选B．3．解析：根据程序框图，知当i=4时，输出S，因为第一次循环得到：S=S0-2，i=2；第二次循环得到：S=S0-2-4，i=3；第三次循环得到：S=S0-2-4-8，i=4；所以S0-2-4-8=-4．解得S0=10.故选D．4．解析：将这列数分布为：1，2，3，3，2，1；2，3，4，4，3，2；3，4，5，5，4，3；4，5，6，6，5，4；…，发现如果每6个数成一组，每组的第一个数(或最后一个数)依次为1，2，3，4，…，每组的数都是先按1递增两次，再相等一次，最后按1递减两次；因为2016=336×6，所以第2016个数是336．故选B．5．解析：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=45，m=90，n=45；第三次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件。

故输出的m值为45．故选C．6．解析：由题设得3+4=-5，9+24·+16=25，所以·=0，∠AOB=90°，所以S△OAB=|OA||OB|=，同理S△OAC=，S△OBC=，所以S△ABC=S△OBC+S△AOC+S△ABO=。

故选C．7．解析：由已知归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上的两个数字的和，故A(15，2)=++++…+=+2（-）=，故选C．8．解析：第一次循环：n=2，x=2t，a=1；n=2<4，第二次循环：n=4，x=4t，a=3；第三次循环：n=6，x=8t，a=3；n=6>4，终止循环，输出38t。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识方法篇专题2 不等式与线性规划第5练含答案精品

第5练如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.体验高考1.(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A.3B.4C.18D.40 答案 C解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0，3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案 D解析设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).3.(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12 答案 C解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0，0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.4.(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322 D. 5答案 B解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，解得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得B (2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.5.(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________. 答案 32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝⎛⎭⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1 (2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.5 答案 C解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值. 变式训练1 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝|4x －4y ＋3|的取值范围是( )A.[53，15)B.[53，15]C.[53，5) D.(5，15) 答案 A解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z ＝|4x －4y ＋3|＝|4x －4y ＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x ，y )到直线4x －4y ＋3＝0的距离的42倍，结合图象易知点A (2，－1)，B (13，23)到直线4x －4y ＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z 分别取得最大值15与最小值53，故z ∈[53，15)，故选A.题型二解决参数问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1] D.[－1，1)答案 C解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1，1].点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论. 变式训练2 (2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A.3B.2C.－2D.－3 答案 B解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1).由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 题型三简单线性规划的综合应用例3 (1)(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |等于( )A.2 2B.4C.3 2D.6(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 答案 (1)C (2)216 000解析 (1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示.因为l 与直线x ＋y ＝0平行.所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0.解得Q (2，－2). 所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.(2)设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3 设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1，1)，n ＝(2，1)，点O 是坐标原点，若向量OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是( ) A.[－32，23]B.[－6，2]C.[－1，72]D.[－4，23]答案 B解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由题意，可得(x ，y )＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ.令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z3.当直线y ＝23x ＋z 3过点A (－1，0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3，0)时，z 取得最小值，且z min ＝－6.故选B.高考题型精练1.(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.1 答案 A解析约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1，1)时，截距最大，此时z 最大为－1，故选A.2.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A. 3.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( ) A.55 B.23 C.22D.1 答案 A解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图.因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.4.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5 B.29 C.37 D.49 答案 C解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 5.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A.(0，4) B.(0，4] C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)答案 B解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点A (1，1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ∈(0，4]，故选B.6.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( ) A.(－6，－2) B.(－3，2) C.(－103，－2)D.(－103，－3)答案 C解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解. 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＞0，f (1)＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0，⇒－103＜k ＜－2，故选C.7.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示.将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2， z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.8.设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 C解析当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.9.(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤45，13解析已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10.4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元. 答案 22解析设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0，4)，B (0，8)，C (103，43).当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值.所以z min ＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元. 11.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条不同的直线.12.(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________. 答案3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部. f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y | ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。

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专题02 不等式与线性规划2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c>><<，,则( )（A）c ca b<（B）c cab ba<（C）log logb aa cb c<（D）log loga bc c<【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件20,2360,3290.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y=+的最小值为（）（A）4-（B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C，直线z25x y=+过点B时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足2,239,0,x yx yxì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y+的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22x y+表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,故选C.4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（） A ．B ．4C ．D ．6【答案】C5.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.6.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( ) （A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y =+经过点A 时，z 取得最大值.由22020x y x y +-=⎧⎨-=⎩8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为、y 件,利润之和为元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得,平行直线,当直线经过点M 时, 取得最大值. 解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.9.【2016高考江苏卷】已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是▲.【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为易错起源1、不等式的解法例1、(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg2}B ．{x |－1<x <－lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}答案 (1)9 (2)D【变式探究】(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.(2)不等式22x x－＜4的解集为________．答案 (1)52(2)(－1,2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.【名师点睛】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【锦囊妙计，战胜自我】 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f x g x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f x g x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．易错起源2、基本不等式的应用例2、(1)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m ＋4n 的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．8(2)设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n ＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1答案 (1)C (2)C解析 (1)因为向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，a ⊥b ，所以m ＋2(n －1)＝0，即m ＋2n ＝2.所以2m ＋4n ≥22m ·4n ＝22m ＋2n＝222＝4 (当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4n ，m ＋2n ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0.5时，等号成立)，所以2m ＋4n 的最小值为4，故选C.【变式探究】(1)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________．(2)若圆(x －2)2＋(y －2)2＝9上存在两点关于直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋9b 的最小值为__________．答案 (1)23(2)16解析 (1)∵正数a ，b 满足a ＋b ＝1， ∴a a ＋1＋bb ＋1＝a b ＋1＋b a ＋1a ＋1b ＋1＝2ab ＋a ＋bab ＋a ＋b ＋1＝2ab ＋1ab ＋2＝2ab ＋2－3ab ＋2＝2－3ab ＋2≤2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a a ＋1＋b b ＋1的最大值为23.(2)圆(x －2)2＋(y －2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线ax ＋by －2＝0必经过圆心(2,2)，即a ＋b ＝1.所以1a ＋9b ＝(1a ＋9b )(a ＋b )＝10＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9a b ＝16(当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立)，所以1a ＋9b 的最小值为16.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【锦囊妙计，战胜自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．易错起源3、简单的线性规划问题例3、(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值与最小值之和为( ) A ．－2 B ．14 C ．－6D ．2(2)若变量x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，y ≥x －2，y ≥－12x ＋52，且目标函数z ＝－kx ＋y 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－12，1 解析 (1)根据x ，y 的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫－185，－165，B (6,0)，C (0,4)．由z ＝x ＋2y 可知，当直线y ＝－12x ＋z 2过点A 时，z 取最小值，即z min ＝－185＋2×⎝⎛⎭⎫－165＝－10；当直线y ＝－12x ＋z2过点C 时，z 取最大值，即z max ＝0＋2×4＝8，∴z min ＋z max ＝－2.故选A.(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC 及其内部，其中A (3,1)，B (4,2)，C (1,2)．将目标函数变形得y ＝kx ＋z ，当z 取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y ＝kx ＋z 绕定点A 旋转进行分析，知－12<k <1，故所求实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.【变式探究】 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是( )A ．0,2]B ．0,8]C ．2,8]D ．2,10](2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．－1，＋∞)C ．－1,1]D ．－1,1)答案 (1)B (2)C解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数z ＝4x ＋y 经过点B (2,0)时z 取得最大值，最大值为4×2＋0＝8；当目标函数z ＝4x ＋y 经过点O (0,0)时z 取得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z ＝4x ＋y 的取值范围是0,8]，故选B.(2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为－1,1]．【名师点睛】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【锦囊妙计，战胜自我】解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．1．已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>abD ．a 2＋b 2>2ab答案 D解析只有当a >b >0时A 成立；只有当a ，b 同号时B 成立；只有当a >0时C 成立；因为a ≠b ，所以D 恒成立，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132 B ．6 C ．11 D ．10答案 C解析令z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2，由线性约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，则z max ＝11.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1，则yx的最大值为( ) A ．3 B ．6 C.95 D ．1答案 B解析目标函数yx 可以变形为k ＝y －0x －0，即其可表示为满足题中约束条件的可行域内的点(x ，y )和原点(0,0)连线的斜率，作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知：当直线经过点C (1,6)时，斜率最大，即y x 有最大值为y x ＝6－01－0＝6，故选B.5．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤16，22 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤213，1答案 D6．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab ) ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪3，＋∞)解析当x >0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由(13)x ≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪3，＋∞)．8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案 1609．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8xy ≥22y x ·8xy＝8，所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.10．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋2y 2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x＝2y 时取等号．11．设点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2，点Q (a ，b ) (a ≤0，b ≥0)满足OP →·OQ →≤1恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是________．答案 12解析 ∵OP →·OQ →≤1， ∴ax ＋by ≤1， ∵点P (x ，y )满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2的区域，如图阴影部分所示，OP →·OQ →≤1，即ax ＋by ≤1，且点Q (a ，b )满足OP →·OQ →≤1恒成立，只需点P (x ，y )在可行域内的交点处：A (－1,0)，B (0,2)，ax ＋by ≤1成立即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤1，2b ≤1，a ≤0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，b ≤12，a ≤0，b ≥0，它表示一个长为1宽为12的矩形，其面积为12，故答案为12.12．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3)． ①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 13．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值． (精确到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax＋b 在20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 0≤x <20，13200－x 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x 0≤x <20，13x 200－x 20≤x ≤200，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13x ＋200－x 2]2＝100003，当且仅当x＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。

2017年高考数学(深化复习+命题热点提分)专题03 不等式与线性规划理

专题03 不等式与线性规划1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b aB.b －ac ＞0 C.b 2c <a 2cD.a －cac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －cac<0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立．答案：C2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A3．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[4，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案：D4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )5．设a ，b ∈R，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．2 6解析：2a＋2b≥22a ＋b＝223＝42，当且仅当2a ＝2b，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B.答案：B6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1)，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D7．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D8．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B10．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥x4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[2,10] D ．[3,11]解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋y ＋x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．答案：D12．已知函数f (x )＝4x－14x ＋1，若x 1>0，x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)的最小值为( )A ．14B ．45C ．2D ．4解析：由题意得f (x )＝4x－14x ＋1＝1－24x ＋1，由f (x 1)＋f (x 2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1，化简得412x x＋－3＝41x＋42x ≥2×212x x ＋，解得2x 1＋x 2≥3，所以f (x 1＋x 2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B.答案：B13．已知a ，b 都是正实数，且2a ＋b ＝1，则1a ＋2b的最小值是________．解析：1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋4a b ＋ba≥4＋24a b ×b a ＝8，当且仅当4a b ＝b a ，即a ＝14，b ＝12时，“＝”成立，故1a ＋2b的最小值是8.答案：814．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1，n ∈N *时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1，n ∈N *时，[x ]＝n ，所以所求解集是[2,8)．答案：[2,8)15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．答案：(－∞，4)16．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则可行域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.答案：431.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.12答案 A2.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号). 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋（x ＋2y ）x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2. 答案 B3.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x的图象上，那么实数a 的取值范围为( )A.[e ，4)B.[e ，＋∞)C.[1，3)D.[2，＋∞)解析如图：点(1，e)满足ax －y ≥0，即a ≥e.答案 B4.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于________.解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52.答案－525.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6或t ≤－18(舍)，即x＋3y≥6.答案 66.已知函数f(x)＝2xx2＋6.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.7.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标.8.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2.(1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围. (1)证明求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).当x ＜x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，由x －x 1＜0，x －x 2＜0得a ＞0.(2)解在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67，B (2，2)，C (4，2).z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫167，8.9．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1＜0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析：当a 2－4＝0时，a ＝±2，当a ＝－2时，解集为R ；当a ＝2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜14，不符合题意；当a 2－4≠0时，要使解集为R ，必须解得－2＜a ＜65.综上所述，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |－2≤a ＜65. 10．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得2x 2－|x －1|≤0.当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解．当x ＜1时，2x 2＋x －1≤0，解得－1≤x ≤12.因此原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 11．若当a ∈[1，3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0恒成立，求实数x 的取值范围．解析：设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，则当a ∈[1，3]时f (a )＞0恒成立．得x ＞2或x ＜－1.∴实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．12．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1，记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 解析：当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43.故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得－14≤x ≤34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，故x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14. 13．若对一切x ＞2均有不等式x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．14．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ 上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．(1)设总造价是S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，S 最小？并求出最小值．。

2017年高考数学—线性规划(选择+填空+答案)

2017年高考数学—线性规划（选择+填空+答案）1.（17全国1文7）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．32.（17全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．93.（17全国3文5）设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A ．[-3，0]B ．[-3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]4.（17北京理（4））若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）95.（17山东理（4））已知,x y 满足3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z =x +2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）66.（17山东文（3））已知x,y 满足约束条件250,30,2,x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值是A.-3B.-1C.1D.37.（17天津理（2））设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1 （C ）32（D ）38.（17浙江4）若,x y满足约束条件3020xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6，+∞）D．[4,+∞）9.（17全国1理14）设,x y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为 .10.（17全国3理13）若,x y满足约束条件0,20,x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则34z x y=-的最小值为________．参考答案：1. D2. A 3．B 4.D 5.C 6.D 7. D 8．D 9．-5 10．1-。

2017版高考数学江苏(文)考前三个月配套文档专题2 不等式与线性规划第3练含答案

第3练“三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望］“二次函数、二次方程、二次不等式"是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具．如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等．“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体．如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力．体验高考1．（2015·陕西改编)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是________．①－1是f（x)的零点；②1是f（x)的极值点；③3是f（x）的极值;④点(2,8)在曲线y＝f(x)上．答案①解析①正确等价于a－b＋c＝0，(ⅰ）②正确等价于b＝－2a,（ⅱ）③正确等价于错误!＝3，(ⅲ)④正确等价于4a＋2b＋c＝8。

（ⅳ)下面分情况验证，若①错，由（ⅱ）、（ⅲ)、（ⅳ)组成的方程组的解为错误!符合题意;若②错，由（ⅰ)、（ⅲ)、(ⅳ)组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解;若③错,由(ⅰ)、（ⅱ)、（ⅳ)组成方程组，经验证a无整数解；若④错，由（ⅰ）、(ⅱ)、(ⅲ)组成的方程组a的解为－错误!也不是整数．2．(2015·天津改编）已知函数f（x）＝错误!函数g(x）＝b－f(2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x)－g(x）恰有4个零点，则b的取值范围是________．答案错误!解析记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x）与h（x)的图象如图，直线AB:y＝x－4,当直线l∥AB且与f（x)的图象相切时，由错误!解得b′＝－错误!，－错误!－（－4)＝错误!,所以曲线h(x)向上平移错误!个单位后，所得图象与f（x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当错误!＜b＜2时，f（x）与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x）－g(x）恰有4个零点．3．（2016·江苏）函数y＝错误!的定义域是________．答案[－3,1]解析要使原函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0。

高考数学四海八荒易错集专题02不等式与线性计划理

专题02 不等式与线性计划1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c>><<，,则( )（A）c ca b<（B）c cab ba<（C）log logb aa cb c<（D）log loga bc c<【答案】C2.【2016高考天津理数】设变量x ，y知足约束条件20,2360,3290.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y=+的最小值为（）（A）4-（B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C，直线z25x y=+过点B时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x，y知足2,239,0,x yx yx则22x y的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为极点的三角形区域,22x y+表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在极点处取到,经验证最大值为210OC=,故选C.4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影组成的线段记为AB，则│AB│=（）A．22 B．4 C．32 D．6【答案】C5.【2016年高考北京理数】若x，y知足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为（）【答案】C【解析】作出如图可行域，则当yxz+=2通过点P时，取最大值，而)2,1(P，∴所求最大值为4，故选C.6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y知足22(1)(1)2x y-+-≤，q：实数x，y知足1,1,1,y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q的( )（A）必要不充分条件（B）充分没必要要条件（C）充要条件（D）既不充分也没必要要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC∆在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若,x y知足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y=+的最大值为_____________.【答案】32xyOP8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料,乙材料,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B别离为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩①目标函数2100900z x y=+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+通过点M 时,z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.9.【2016高考江苏卷】已知实数,x y 知足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为24()55=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]5易错起源一、不等式的解法例一、(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg2}B ．{x |－1<x <－lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2} 答案 (1)9 (2)D【变式探讨】(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)不等式22x x－＜4的解集为________．答案 (1)52(2)(－1,2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.【名师点睛】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【锦囊妙计，战胜自我】 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后按照相应二次函数图象与x 轴的位置关系，肯定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．易错起源二、大体不等式的应用例二、(1)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m＋4n的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．8(2)设实数m ，n 知足m >0，n <0，且1m ＋1n＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1答案 (1)C (2)C解析 (1)因为向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，a ⊥b ，所以m ＋2(n －1)＝0，即m ＋2n ＝2.所以2m ＋4n ≥22m ·4n ＝22m ＋2n ＝222＝4(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m＝4n，m ＋2n ＝2，即错误!时，等号成立)，所以2m ＋4n的最小值为4，故选C.【变式探讨】(1)若正数a ，b 知足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________． (2)若圆(x －2)2＋(y －2)2＝9上存在两点关于直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋9b的最小值为__________．答案 (1)23(2)16解析 (1)∵正数a ，b 知足a ＋b ＝1，∴a a ＋1＋bb ＋1＝a b ＋1＋b a ＋1a ＋1b ＋1＝2ab ＋a ＋bab ＋a ＋b ＋1＝2ab ＋1ab ＋2＝2ab ＋2－3ab ＋2＝2－3ab ＋2≤2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴aa ＋1＋b b ＋1的最大值为23. (2)圆(x －2)2＋(y －2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线ax ＋by －2＝0必通过圆心(2,2)，即a ＋b ＝1. 所以1a ＋9b ＝(1a ＋9b )(a ＋b )＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16(当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立)，所以1a ＋9b的最小值为16.【名师点睛】在利用大体不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技能，使其知足大体不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，不然会出现错误．【锦囊妙计，战胜自我】利用大体不等式求最大值、最小值，其大体法则是：(1)若是x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)若是x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．易错起源3、简单的线性计划问题例3、(1)已知实数x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值与最小值之和为( ) A ．－2 B ．14 C ．－6 D ．2(2)若变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，y ≥x －2，y ≥－12x ＋52，且目标函数z ＝－kx ＋y当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析 (1)按照x ，y 的约束条件画出可行域，如图阴影部份所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－185，－165，B (6,0)，C (0,4)．由z ＝x ＋2y 可知，当直线y ＝－12x ＋z 2过点A 时，z 取最小值，即z min ＝－185＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－165＝－10；当直线y ＝－12x ＋z2过点C 时，z 取最大值，即z max ＝0＋2×4＝8，∴z min ＋z max ＝－2.故选A.(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC 及其内部，其中A (3,1)，B (4,2)，C (1,2)．将目标函数变形得y ＝kx ＋z ，当z 取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当通过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y ＝kx ＋z 绕定点A 旋转进行分析，知－12<k <1，故所求实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.【变式探讨】 (1)已知实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,8]C ．[2,8]D ．[2,10](2)已知变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[－1,1)答案 (1)B (2)C(2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部份所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部份在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1]．【名师点睛】(1)线性计划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是肯定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【锦囊妙计，战胜自我】解决线性计划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的极点(或边界上的点)，但要注意作图必然要准确，整点问题要验证解决．1．已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．ln a >ln b <1bC ．a 2>ab D ．a 2＋b 2>2ab答案 D解析只有当a >b >0时A 成立；只有当a ，b 同号时B 成立；只有当a >0时C 成立；因为a ≠b ，所以D 恒成立，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A3．若x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )B ．6C ．11D ．10答案 C解析令z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2，由线性约束条件作出可行域如图中阴影部份所示，则z max ＝11.4．设变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1，则yx的最大值为( )A ．3B ．6 D ．1答案 B解析目标函数y x 可以变形为k ＝y －0x －0，即其可表示为知足题中约束条件的可行域内的点(x ，y )和原点(0,0)连线的斜率，作出可行域，如图中阴影部份所示．由图可知：当直线通过点C (1,6)时，斜率最大，即y x 有最大值为y x ＝6－01－0＝6，故选B.5．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )答案 D6．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析当x >0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由(13)x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案 1609．已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由大体不等式可得2y x ＋8x y≥22y x ·8xy＝8，所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.10．概念运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋2y 2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．11．设点P (x ，y )知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2，点Q (a ，b ) (a ≤0，b ≥0)知足OP →·OQ →≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是________．答案 12解析 ∵OP →·OQ →≤1， ∴ax ＋by ≤1， ∵点P (x ，y )知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2的区域，如图阴影部份所示，OP →·OQ →≤1，即ax ＋by ≤1，且点Q (a ，b )知足OP →·OQ →≤1恒成立，只需点P (x ，y )在可行域内的交点处：A (－1,0)，B (0,2)，ax ＋by ≤1成当即可， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤1，2b ≤1，a ≤0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，b ≤12，a ≤0，b ≥0，它表示一个长为1宽为12的矩形，其面积为12，故答案为12.12．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3)．①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根别离为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 13．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价钱是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精准到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 0≤x <20，13200－x 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x 0≤x <20，13x 200－x 20≤x ≤200，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋200－x 2]2＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。