平行与垂直的综合应用
关于平行与垂直的故事
关于平行与垂直的故事摘要：一、引言：平行与垂直的基本概念二、生活中的平行与垂直现象三、数学中的平行与垂直关系四、平行与垂直的应用领域五、总结：学习平行与垂直的意义正文：一、引言：平行与垂直的基本概念在我们的日常生活中，平行与垂直这两个概念无处不在。
平行是指两条直线在平面内不相交且永远保持同一方向，而垂直则表示两条直线在相交成90度的情况下，形成的关系。
它们在几何学、物理学、建筑学等领域有着广泛的应用。
二、生活中的平行与垂直现象在日常生活中，我们可以发现许多平行与垂直的现象。
例如，电车轨道是平行的，保证了电车在行驶过程中不会相撞；楼梯的扶手和地面形成垂直角度，为我们提供了稳定的支撑。
此外，道路的红绿灯也有着垂直和平行的关系，红灯和绿灯的切换，保证了交通的有序进行。
三、数学中的平行与垂直关系在数学领域，平行与垂直关系同样具有重要意义。
平行线间的距离公式、垂直直线间的乘积为0性质等，都是几何学中的基本知识。
同时，数学家们还研究了各种关于平行与垂直的定理，如同位角相等定理、内外角和定理等，这些定理为我们解决实际问题提供了理论依据。
四、平行与垂直的应用领域平行与垂直不仅在日常生活中和数学领域具有重要意义，还在许多其他领域发挥着作用。
例如，在建筑领域，建筑师需要掌握平行与垂直的关系，以确保建筑物的稳定性和美观性；在计算机图形学中，平行与垂直的概念有助于绘制出更加逼真的三维图像；在物理学中，平行与垂直关系有助于研究电磁场、引力场等现象。
五、总结：学习平行与垂直的意义学习平行与垂直对于我们认识世界、解决实际问题具有重要意义。
掌握平行与垂直的概念和应用，不仅有助于提高我们的数学素养，还能让我们更好地应对生活中的各种挑战。
平行与垂直在生活中的应用
平行与垂直在生活中的应用
平行和垂直是几何学中的概念，在日常生活中也有很多应用。
以下是一些例子：
平行应用：
1. 道路和轨道铁路：当我们驾驶汽车或乘坐轨道交通时，需要遵守交通规则，按照标线行驶或沿着轨道行驶，这些都是平行的。
2. 建筑设计：建筑物中的墙壁、地板、天花板等都需要平行设计，以确保建筑结构的稳定性和协调性。
3. 老师批改试卷：老师在批改学生的试卷时，需要根据填空、选择题等将答案平行排列，以便于比较、评分和分析。
4. 茶叶、书籍等的包装：在包装茶叶、书籍等产品时，需要将两个平行的边缘相接，以确保包装的完整性和美观度。
垂直应用：
1. 建筑物的竖直地基：建筑物需要有稳定的地基来支撑，这就需要考虑地基的垂直度，以确保建筑物的稳定性。
2. 摄影和绘画：拍照或绘画时需要考虑图像中的垂直线条，以确保作品不会出现倾斜或变形。
3. 几何图形：几何图形中的垂线、垂心等都是垂直的概念，这些概念是解决几何问题的重要工具。
4. 电视和电脑屏幕：电视和电脑屏幕需要垂直放置，以确保图像清晰度和观看的舒适度。
高一数学(人教B版)-空间中的平行和垂直的综合应用(一)
同类练习1：直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90, AB BC BB1, M为 A1B1 的中点，N是 A1C 与 AC1 的交点. (2) 求证：MN 平面ABC1
先证：B1C 平面ABC1
证明：
（1) 连接 B1C，因为M，N分别为 A1B1 , A1C 的中点
(1) PA∥平面BDE
先证：OE∥AP
【典型例题】
例2：如图所示，O是正方形ABCD的中 心，PO 底面ABCD， E是PC的中点， 求证：
(2) 平面PAC 平面BDE
先证：BD 平面ACP
证明： （1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点
又 E是PC的中点, OE是 ACP 的中位线， OE∥AP ,又 OE 平面BDE ，PA 平面BDE PA∥平面BDE
MN 平面PCD
(3) 若
求证：
同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所
在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点
MN∥平面PAD
(1)面求面证平行： 线面平行
平行四边形 中位线
线线平行 线线平行
线面平行 线面平行
证明： （1）取CD的中点R，连接MR，NR 因为R，N分别是CD，PC的中点 所以 NR∥PD ，又可证 MR∥AD 因为NR与MR相交 可证 平面MNR∥平面PAD
思路三：通过构造面面平行，生成线线平行关系
（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ， 点F是PD的中点，
QF∥CP.
点Q是CD的中点，
点E是AB的中点， AE＝12 AB ，
CQ＝
1 2
CD,
在平行四边形ABCD中，
AB∥ CD, AB=CD, CQ∥AE,CQ=AE ,
空间几何的平行与垂直关系
空间几何的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是两个非常重要的概念。
它们描述了不同几何体之间的关系和性质。
平行表示两条或多条线、直线或平面在空间中永远不会相交，而垂直则表示两条线、直线或平面之间存在90度的角度关系。
本文将探讨空间几何中平行与垂直的关系以及它们在实际应用中的重要性。
一、平行与垂直的定义及性质1. 平行的定义：在几何学中，当两条直线或平面上的所有点在空间中的投影重合时，它们被认为是平行的。
平行线具有以下基本性质：a. 任意一点与直线上一点之间只有一条直线与该直线平行；b. 平行线之间的距离始终保持相等。
2. 垂直的定义：在几何学中，当两条直线或平面之间的夹角为90度时，它们被称为垂直的。
垂直线具有以下基本性质：a. 两条垂直线的斜率乘积为-1；b. 平面中的垂直直线与平面上的垂直线相交时，它们互为垂直；c. 四面体中的两条相交直线，若平行于共面两直线中的一条，则其余两条也互相平行。
二、平行与垂直关系的应用平行与垂直的关系在空间几何中有广泛的应用。
下面将介绍几个重要的应用领域：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行和垂直关系被广泛应用于墙壁、天花板、地板等构造中。
确保这些构造的平行性和垂直性能够有效地提高建筑物的结构稳定性和美观度。
2. 工程测量：在工程测量中，平行和垂直关系被用于确定建筑物的地基、墙壁和建筑物的相对位置。
通过测量平行和垂直线的长度和夹角，工程师能够准确地定位和设置建筑物的各个部分。
3. 交通规划：在交通规划中，平行和垂直关系用于设计道路、轨道和桥梁。
合理的平行和垂直设计能够确保交通流畅、安全和高效。
4. 电子学与通信：在电子学和通信领域中，平行和垂直关系被用于设计电路板、天线和光纤等。
保持电线、导线的平行性和垂直性能够减少信号干扰和能量损耗，提高电子设备和通信系统的性能。
5. 图形绘制：在图形绘制和设计中，平行和垂直关系用于绘制几何图形和建模。
通过掌握平行和垂直关系的几何性质，能够更加准确地绘制出各种图形和几何体。
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。
一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行：1. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
这是因为两条直线的斜率相等，意味着它们的倾斜角度相同，在空间中永远不会相交。
2. 直线的方向向量平行：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否平行。
3. 直线的截距比相等：如果两条直线的截距比相等，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的截距比，并判断它们是否相等。
平行的性质：1. 平行具有传递性：如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，那么直线l1与直线l3平行。
2. 平行具有对称性：如果直线l1与直线l2平行，那么直线l2与直线l1平行。
平行的应用：1. 平行线在平面图形中的应用：平行线在平面图形中有着重要的应用，如矩形、平行四边形等。
在这些图形中，平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。
2. 平行线在建筑设计中的应用：建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直：1. 直线斜率之积为-1：如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之积为-1，意味着它们相互垂直。
2. 直线的方向向量垂直：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否垂直。
3. 直线的斜率之和为0：如果两条直线的斜率之和为0，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之和为0，意味着它们相互垂直。
垂直和平行线的作用及应用
垂直和平行线的作用及应用垂直和平行线是初中及以下数学必须要学习的知识点，但是在小学阶段，我们也可以采取一些简单易懂的教学案例，帮助学生们更好的理解垂直和平行线的作用及应用。
一、横平竖直的认识儿童刚开始接触横平竖直的概念时，通常会有一些困难，其中一个原因是他们不太能理解“横”、“平”、“竖”这些词。
因此，我们可以引导学生先进行简单的认知，先让学生认识横、竖两个方向，再通过实践探索，学习平行和垂直的概念。
1.让学生用手指或者追寻视线的方式观察周围的物体，同时引导学生分别说出这个物体的位置是横着的还是竖着的，例如：墙是竖着的，地板是横着的。
2.引入一些日常生活中的场景，例如：书本、电视、门等，让学生感受物体的位置和方向，通过这些场景的学习，帮助学生理解横平竖直更加具体。
3.给学生讲解横平竖直的概念，用简单的语言表述东西南北四个方向的划分，指出地图上标注的指南针，使学生能更好的感受到不同方向的区别。
二、认知垂直和平行线1.让学生手持直尺将其放在桌面上或者地面上，调整一定的角度，让学生观察直尺与地面的角度，再将直尺转动到垂直于地面的方向，让学生理解垂直与平行的概念。
2.通过画图练习，让学生在将两条线段画成垂直或者平行的过程中感受到体会，同时学生也能够通过画图将直观的知觉转化为抽象的概念和符号。
三、软件工具的运用对于垂直和平行线的教学，我们可以使用一些数学软件来辅助教学。
一个典型的例子是通过线性方程式软件来帮助学生练习垂直和平行线概念的掌握和应用。
在软件中，我们可以用一些基本的图形，例如直角三角形，并利用该图形上的线段的坐标和斜率来帮助学生练习如何确定垂直和平行于两个给定的线性链的直线。
通过实践演练，同学们在软件中模拟出来的图形让他们有机会发现直线之间的关系，深入理解垂直和平行线相互的关系，同时练习如何在坐标系上确定图形之间的相对位置。
四、日常问题的体会我们可以引入一些有趣的实例让学生研究垂直和平行之间的关系，例如：公园里的树是垂直的，而笔桶展示柜上的笔是平行的。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用一、引言向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何等多个领域中都有广泛的应用。
其中，平行和垂直是向量之间关系的两种基本形式。
本文将介绍向量的平行与垂直的概念、性质以及其在几何和物理中的应用。
二、向量的平行向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
具体来说，如果两个向量的点表示相同或相反，那么这两个向量就是平行的。
向量的平行具有以下性质：1. 平行向量的数量乘积：如果向量a平行于向量b，则对于任意实数k，ka也与b平行。
2. 平行向量的加法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a+c与b+d也平行。
3. 平行向量的减法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a-c与b-d也平行。
在几何中，向量的平行可以用于判断线段的平行性、角的平行性等。
例如，在判断一个四边形的对角线是否平行时，可以通过向量方法将对角线表示为向量，并比较其平行性。
三、向量的垂直向量的垂直是指两个向量相互垂直，即它们的内积为零。
对于向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，如果a * b = 0，则a与b垂直。
向量的垂直具有以下性质：1. 垂直向量的数量乘积：如果向量a垂直于向量b，则对于任意实数k，ka也与b垂直。
2. 垂直向量的加法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a+c与b+d也垂直。
3. 垂直向量的减法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a-c与b-d也垂直。
在几何中，向量的垂直可用于判断直线的垂直性、直角三角形等。
例如，在证明两条直线垂直时，可以通过向量方法将斜率为k1和k2的两直线转化为向量形式，然后判断它们的垂直性。
四、向量的应用向量的平行与垂直在几何和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体应用实例：1. 二维平面上的向量运算在二维平面上，向量的平行与垂直可用于解决平面几何问题。
例如，通过判断两线段的向量是否平行或垂直，可以判断它们是否相交、是否平行四边形等。
平行与垂直综合问题
平行与垂直综合问题xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•引言•平行的基本性质•垂直的定义与判定方法•平行与垂直的综合应用•平行的辅助线添加方法•垂直的辅助线添加方法•练习题和解析01引言1课程背景23平行与垂直综合问题在计算机视觉、物理、数学等领域的应用广泛。
平行与垂直综合问题在解决现实世界中的优化问题时具有重要意义。
针对平行与垂直综合问题的研究具有重要的理论和应用价值。
平行四边形定理平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
定义和定理介绍垂直的定义两条直线相交成直角，则两条直线互相垂直。
平行与垂直的性质平行线与垂直线的交点为直角点；垂直线段的长度等于平行线段长度的乘积；两个平行平面同时垂直于第三个平面，则它们相互平行。
课程目标和意义掌握平行与垂直的基本概念、性质和定理；掌握平行与垂直问题的求解方法和技术；学习平行与垂直在计算机视觉、物理、数学等领域的应用；学习如何利用平行与垂直解决现实世界中的优化问题。
02平行的基本性质两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平行的定义平行公理，三角形内角和定理，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平行的判定平行的定义和判定平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质对边平行，对边相等，对角线互相平分。
平行四边形的基本性质等腰梯形的定义两底平行且相等的梯形是等腰梯形。
等腰梯形的性质上底和下底平行，两腰相等，对角线互相平分。
等腰梯形的基本性质03垂直的定义与判定方法两条直线或线段相交成直角，则称它们互相垂直(perpendicular)，记作$a \perp b$，或$\angle 1 \perp \angle 2$。
垂直定义在平面几何中，垂直通常用符号"$ \perp $"表示，其中一条直线或线段为$a$，另一条直线或线段为$b$。
符号表示垂直的定义及符号表示定义法根据垂直的定义，通过判断两条直线或线段是否相交成直角来判定垂直关系。
高一 平行与垂直的综合应用知识点+例题+练习 含答案
1.证明方法(1)证明平行关系的方法：①证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.②证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.③证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：①证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.②证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.③证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB 和∠A ′O ′B ′中OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′且方向相同⇒∠AOB＝∠A ′O ′B ′易忽略“方向相同” 线面平行的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄α，b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α易丢掉“a ⊄α”或“b⊂α” 线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b易忽略“α∩β＝b ”直线和平面垂直的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a ，l ⊥b a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O⇒l ⊥α易忽略“a ∩b ＝O ”两个平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝c a ⊂α，a ⊥c ⇒a ⊥β易忽略“a ⊂α”面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，b ∥αa ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝O ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”面面平行的判定定理的推论 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oc ⊂β，d ⊂βc ∩d ＝O ′a ∥c ，b ∥d ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”或“c ∩d ＝O ′”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( × )(2)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.(×)(3)若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)(4)α，β，γ为三个不同平面，α∥β，β∥γ⇒α∥γ.(√)(5)若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.(×)1.(教材改编)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD 与平面FGA的位置关系为________.答案平行3.如图所示，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是________.①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′—FED的体积有最大值；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.答案④解析由题意知，DE⊥平面A′FG，又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，且它们的交线是AF ，过A ′作A ′H ⊥AF ，则A ′H ⊥平面ABC ，所以A ′在平面ABC 上的射影一定在线段AF 上，且平面A ′GF ⊥平面BCED ，故①②均正确；三棱锥A ′—EFD 的体积可以表示为V ＝13S △EFD ·A ′H ，当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，A ′H 最大，故三棱锥A ′—EFD 的体积有最大值，故③正确；连结CD ，EH ，当CD ∥EH 时，BD ⊥EH ，又知EH 是A ′E 在平面ABC 内的射影，所以BD ⊥A ′E ，因此异面直线A ′E 与BD 可能垂直，故④错误.4.已知点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为________. 答案 4 5解析 取BC 的中点D ，连结AD ，PD .∵AD ⊥BC ，P A ⊥BC ，且AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，∴BC ⊥PD ， ∴在Rt △P AD 中，PD ＝82＋42＝4 5.5.(教材改编)如图，在三棱锥V —ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，则平面VBA 与平面VBC 的位置关系为_____________________________________________________.答案 垂直解析 ∵∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，VA ⊥AC ，VA ⊥AB ， 由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥AB VA ⊥AC ⇒VA ⊥平面ABC ， ∴VA ⊥BC ，由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥BC AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面VAB ∴BC ⊥AB ，又BC ⊂平面VBC ， ∴平面VBC ⊥平面VBA.题型一 线、面平行垂直关系的判定例1 (1)如图所示，在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是AB 的中点，则AC 1与平面CDB 1的关系为________.①AC 1∥平面CDB 1； ②AC 1在平面CDB 1中； ③AC 1与平面CDB 1相交； ④无法判断关系.(2)已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥β，n ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n .其中正确的命题是________. 答案 (1)① (2)②③解析 (1)连结BC 1，BC 1与CB 1交于E 点，(如图)连结DE ，则DE ∥AC 1，又DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(2)对于①，n 可能在α内；对于④，m 与n 可能异面.易知②，③是真命题. 思维升华 对线面平行、垂直关系的判定：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，从而SG⊥平面EFG.(2)已知三个平面α，β，γ.若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直线c⊂β，c∥b.①判断c与α的位置关系，并说明理由；②判断c与a的位置关系，并说明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α与β没有公共点.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D. 证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OE∥DC，OE＝12DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四边形D1FEO为平行四边形，∴EF∥D1O.又∵EF ⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四边形AEB1G是平行四边形，∴B1E∥AG.同理GF ∥AD .又∵GF ＝AD ， ∴四边形ADFG 是平行四边形，∴AG ∥DF ，∴B 1E ∥DF ，∴DF ∥平面EB 1D 1. 又∵BD ∩DF ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 命题点3 直线与平面垂直的证明例4 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 相交于点O ，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，点G 为BC 的中点.(1)求证：OG ∥平面EFCD ； (2)求证：AC ⊥平面ODE .证明 (1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD ， 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴OG ∥平面EFCD .(2)∵BF ＝CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC . ∵平面BCF ⊥平面ABCD ， 平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ， FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ， 所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1. 命题点5 平行、垂直的综合证明例6 如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ∩DE ＝D ，从而AC ⊥平面BDE .(2)如图，延长EF ，DA 交于点G .因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13.因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13，所以AM ∥GB .又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF .思维升华 (1)空间线面的位置关系的判定方法①证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.②证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法①证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.②证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1⊂平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF ∥平面AB 1C .∵D ，F 分别为边A 1B 1，AA 1的中点，∴DF ∥AB 1. ∵DF ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴DF ∥平面AB 1C .∵EF ∩DF ＝F ，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面AB 1C .∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C .题型三 平行与垂直的应用例7 (2015·安徽)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1. 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连结BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝ANNC＝13.思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面P AC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF；(3)求三棱锥B—AFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面P AC平行.证明如下：在△PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面P AC，而PC⊂平面P AC，∴EF∥平面P AC.(2)证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面P AD.又AF⊂平面P AD，∴AF⊥CD.∵P A＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF.即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解 作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B —AEF ＝V F —AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312.∴三棱锥B —AFE 的体积为312.6.立体几何平行、垂直的证明问题典例 (14分)(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积. 规范解答(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB .[1分] 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，[2分] 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.[3分](2)证明 取AB 的中点G ，连结EG ，FG .[4分]因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .[6分]因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG .[8分]又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .[10分](3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.[12分]所以三棱锥E －ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.[14分]证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. 第二步：证明线线平行.第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行. 第四步：反思回顾.检测关键点及答题规范. 证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面.第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行； 第三步：证明所作平面与所证平面平行. 第四步：转化为线面平行. 第五步：反思回顾，检查答题规范. 证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线. 第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线.第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面.第四步：转化为面面垂直.第五步：反思回顾，检查答题规范.温馨提醒(1)证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线.(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.[方法与技巧]1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意.口诀：线不在多，重在相交.4.面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线.注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么.A组专项基础训练(时间：45分钟)1.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α.其中真命题的序号是________.答案①③④解析①由α∥β，l⊂α知，l与β无公共点，故l∥β.②当m⊂α，n⊂α，m与n相交，m∥β，n∥β时，α∥β.③由l∥α知，α内存在l′，使得l′∥l.因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α内存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号)答案③④解析对于①，平面α与β可能相交，故①错；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则直线m 与n可能平行，可能相交，也可能异面，故②错；对于③，由面面垂直的判定可知③正确；对于④，由面面垂直的性质可知m⊥n，故④正确.因此真命题的序号为③④.3.在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是________时，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中点解析 当M 是PC 中点时，连结AC ，BD 交于O ，由题意知，O 是AC 的中点，连结MO ，则MO ∥P A .∵P A ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面ABCD . 4.如图，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.答案m n解析 设AE ＝a ，EB ＝b ，由题意知，EF ∥AC ， 得EF ＝bm a ＋b ，同理EH ＝ana ＋b.因为EF ＝EH ，所以bm a ＋b ＝an a ＋b，所以a b ＝mn .5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可. 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得AC AF ＝A 1F A 1D ，即2a x ＝3a －x a ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .6.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，P A ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM .求证：(1)OM ∥平面P AD ； (2)OM ⊥平面PCD .证明 (1)连结AC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点.在△P AC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥P A . 因为OM ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以OM ∥平面P AD .(2)连结PO .因为O 是BD 的中点，PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，从而PO ⊥CD . 因为CD ⊥PC ，PC ∩PO ＝P ， PC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以CD ⊥平面P AC .因为OM ⊂平面P AC ，所以CD ⊥OM .因为P A⊥PC，OM∥P A，所以OM⊥PC.因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥面ABB1A1.因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)证明：B1F∥平面A1BE；(3)若正方体棱长为1，求四面体A1—B1BE的体积.(1)证明如图，连结AB1.因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B ⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)证明如图，连结EF，DC1，OE，B1F.由已知条件得EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形，所以B1F∥OE.因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，(3)解 VA 1—B 1BE ＝VE —A 1B 1B ＝13S △A 1B 1B ·B 1C 1＝16. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)9.在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，给出下面三个结论： ①BC ∥平面PDF ；②DF ⊥平面P AE ；③平面PDF ⊥平面ABC .其中不成立．．．的结论是________.(填写所有不成立的结论的序号) 答案 ③解析如图，由题知BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∵四面体P —ABC 为正四面体，∴BC ⊥P A ，AE ⊥BC ，BC ⊥平面P AE ，∴DF ⊥平面P AE ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴①和②成立.设此正四面体的棱长为1，则P A ＝1，AM ＝34，PM 2＝PD 2－DM 2＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫142＝1116，∴P A 2≠AM 2＋PM 2，故③不成立.10.如图，过四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面ACC1A1.(1)解在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于E，F两点，则EF为所作的锯线.在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D，B1B＝D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.又EF∥B1D1，所以EF∥BD，故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线，故EF为所作锯线.如图所示.(2)证明由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱的底面为菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面A1C1CA.11.如图，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝P A＝2，CD＝22，E，F分别是AB，PD 的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PECF的体积.(1)证明设G为PC的中点，连结FG，EG.∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，∴FG 綊12CD ，AE 綊12CD ，∴FG 綊AE ， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF ∥GE . ∵GE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PCE .(2)证明 ∵P A ＝AD ＝2，∴AF ⊥PD .又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∵AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD .∵GE ⊂平面PEC ，∴平面PCE ⊥平面PCD .(3)解 由(2)知GE ⊥平面PCD ， 所以EG 为四面体PEFC 的高，又EG ＝AF ＝2，CD ＝22，S △PCF ＝12PF ·CD ＝2， 所以四面体PEFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.。
平行与垂直在生活中的应用
平行与垂直在生活中的应用
平行和垂直是几何学中的基本概念，但它们在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
无论是建筑、交通、家居还是日常生活中的方便，平行和垂直都扮演着重要的角色。
建筑中的平行和垂直
建筑中的平行和垂直是非常重要的概念。
建筑师必须确保建筑物的墙壁、地板和天花板都是平行和垂直的。
这不仅可以确保建筑物的稳定性和安全性，还可以使建筑物看起来更加美观。
例如，在建造一座高楼大厦时，建筑师必须确保每个楼层的地板都是平行的，这样才能确保建筑物的稳定性和安全性。
交通中的平行和垂直
在交通中，平行和垂直也是非常重要的概念。
例如，在道路上，车道必须是平行的，这样才能确保车辆行驶的安全性和流畅性。
此外，交通信号灯也必须垂直放置，这样才能确保驾驶员能够清楚地看到信号灯的状态。
家居中的平行和垂直
在家居中，平行和垂直也有着广泛的应用。
例如，在装修房屋时，墙壁和地板必须是平行的，这样才能确保房屋的美观和舒适性。
此外，在安装家具时，必须确保家具与墙壁垂直，这样才能确保家具
的稳定性和安全性。
日常生活中的平行和垂直
在日常生活中，平行和垂直也有着广泛的应用。
例如，在写字时，我们必须确保笔和纸是垂直的，这样才能确保我们写出的字体清晰可见。
此外，在摆放书本时，我们必须确保书本是平行的，这样才能确保书本的整齐和美观。
平行和垂直在我们的日常生活中有着广泛的应用。
无论是建筑、交通、家居还是日常生活中的方便，平行和垂直都扮演着重要的角色。
我们应该认真学习和理解这些概念，以便更好地应用它们。
平行与垂直在生活中的应用
平行与垂直在生活中的应用一、平行在生活中的应用平行是指两个或多个线段或直线在同一平面内且方向相同或相似的情况。
在生活中，我们常常会遇到平行的应用场景。
1. 道路与铁轨：道路上的车道通常是平行的，这样可以保证车辆在同一方向上行驶，避免交通事故的发生。
类似地，铁路上的铁轨也是平行的，确保火车在规定的路线上安全行驶。
2. 建筑物与家具：建筑物的墙壁、地板、天花板等通常都是平行的，这样可以使建筑物更加稳固。
而家具中的柜子、桌子、椅子等也常常是平行的，使得家居空间更加整齐有序。
3. 农田与田地：农田中的田地通常是平行的，这样可以更好地利用灌溉水源，提高农作物的产量。
农民在田地中进行耕种时，也会按照平行的方向进行操作，提高工作效率。
4. 国际时间线：国际时间线是地球上的一个虚拟线，连接着东半球的时间和西半球的时间。
该时间线是东西方向的平行线，根据该线的东西方向的不同，可以确定不同地区的时间。
二、垂直在生活中的应用垂直是指两个或多个线段或直线与地平线相交的情况。
在生活中，我们也常常会遇到垂直的应用场景。
1. 建筑物的墙壁：建筑物的墙壁通常是垂直的，这样可以使建筑物更加稳固，并且便于进行室内装修和家具布置。
2. 窗户和门：在建筑物的墙壁上通常会开设窗户和门，这些窗户和门与地面垂直，方便人们出入建筑物，并且能够保证室内通风和采光。
3. 树木的生长：树木的树干通常是垂直向上生长的，这样可以保证树木在生长过程中能够获得充足的阳光，并且树干的垂直性也有助于树木的稳定。
4. 垂直交通工具：例如电梯和升降机，它们的运行轨道通常是垂直的，以便于人们在建筑物内部的不同楼层之间垂直移动。
5. 水平仪和测量工具：水平仪是一种用于测量水平方向的工具，它通过测量气泡的位置来判断物体是否处于水平状态。
类似地，测量工具如水平尺、垂直尺等也是用于测量物体的水平或垂直方向的工具。
总结平行与垂直在生活中有着广泛的应用。
平行的应用场景包括道路与铁轨、建筑物与家具、农田与田地、国际时间线等。
平行与垂直在生活中的应用
平行与垂直在生活中的应用一、平行的应用平行是指两条或多条线在同一平面上，且不相交，永远保持相同的距离。
平行在生活中有许多应用，下面将从交通、建筑以及社交等方面进行阐述。
1. 交通方面在道路交通中，平行线的应用非常广泛。
例如，在城市的主干道上，道路一般会设置多个车道，这些车道之间保持平行排列，使得车辆能够按照一定的规则行驶，避免交通堵塞。
此外，在高速公路上，车道之间的标线也是平行排列的，这样可以帮助驾驶员保持车辆的稳定行驶，避免发生事故。
2. 建筑方面平行线在建筑设计中起着重要作用。
在设计建筑物时，建筑师常常使用平行线来保证建筑物的稳定和美观。
例如，在设计房屋的窗户时，窗户的布局通常是平行排列的，这样可以使得室内采光均匀，增加室内的舒适度。
此外，建筑物的墙壁、天花板等构件也常常使用平行线来进行布置，以保证整体的稳定性。
3. 社交方面平行线在社交中也有一定的应用。
例如，在团队合作中，每个成员都有自己的工作职责和专长，大家需要在各自的领域上保持平行工作，互相协作，以达到团队的整体目标。
此外，在人际交往中，平行线也有助于建立良好的关系。
双方保持平等、公正的态度，避免垂直的上下级关系，能够更好地沟通和互相理解。
二、垂直的应用垂直是指两条线或平面相交成直角的关系，垂直在生活中同样有许多应用，下面将从日常生活、测量以及科学实验等方面进行阐述。
1. 日常生活垂直在日常生活中的应用非常常见。
例如，在我们使用的家具中，许多家具的构造都使用了垂直的原理。
例如，书架上的书本通常是垂直放置的，这样可以节省空间，使得书本更加整齐。
此外，在我们摆放桌子和椅子时，也需要保证它们的垂直性，以便我们能够舒适地使用。
2. 测量在测量领域，垂直被广泛应用。
例如，在建筑工地上，测量人员会使用垂直仪来测量建筑物的垂直度，以确保建筑物的稳定性。
此外，在制图和地理测量中，垂直线也是非常重要的。
例如，地图上的经线和纬线就是垂直和水平相交的线，它们帮助我们确定地理位置和方向。
平行与垂直在生活中的应用
平行与垂直在生活中的应用一、引言平行和垂直是几何中常见的概念，也存在着广泛的应用。
在生活中，我们常常会遇到平行和垂直的现象和情况，它们对于我们的日常生活和工作都有着重要的影响。
本文将探讨平行和垂直在不同领域的具体应用，包括建筑、交通、电子设备等方面。
二、平行在生活中的应用1. 建筑领域在建筑领域，平行的概念被广泛应用于建筑设计和施工过程中。
例如，在设计建筑物的时候，建筑师需要考虑平行线条的运用，以增强建筑的美感和稳定性。
而在建筑施工过程中，平行线条也被用于布置地板、墙壁等建筑材料，使其达到平整和整齐的效果。
2. 交通领域交通领域是平行概念的另一个重要应用领域。
例如，在道路设计中，我们常常可以看到平行的车道线，这些车道线起到了引导车辆行驶的作用，保证了交通的有序和安全。
此外，在停车场的设计中，也需要合理地布置停车位，使其平行排列，以提高车辆进出的效率。
3. 家具布置家具布置中的平行应用也是常见的。
例如，我们通常会选择两张平行的椅子放在一起，以便于交流和对话。
另外，在布置书架时，我们也常常会选择平行排列的书架板，使其整齐有序。
三、垂直在生活中的应用1. 建筑领域在建筑领域，垂直概念的应用同样非常重要。
例如，在建筑物的结构设计中，垂直的支撑柱起到了稳定建筑物的作用。
此外，垂直线条也被用于设计楼梯，使其符合人体工程学，方便人们上下楼。
2. 电子设备在电子设备中，垂直概念的应用也非常广泛。
例如，在电脑显示器中，垂直的扫描线让我们能够看到清晰的图像。
此外，在电视机的显示屏上，垂直的扫描线条也起到了同样的作用。
3. 农业领域垂直概念在农业领域也有着重要的应用。
例如，在农田的灌溉系统中，灌溉管道通常是垂直埋设的，以保证水能够均匀地流向各个农田。
另外，农业中的垂直种植技术也被广泛应用，使得植物能够更好地吸收阳光和水分。
四、结语平行和垂直作为几何中的基本概念，在生活中有着广泛的应用。
无论是建筑、交通、电子设备还是农业领域，我们都能够看到平行和垂直的身影。
平行与垂直综合问题 课件
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面CAE，
∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其 中CE，所以 AF∥平面 BCE. (2)解析：易得 DE⊥AF，AF⊥CD， 所以 AF⊥平面 CDE，又 AF∥MB 故 BM⊥平面 CDE， 所以 VABCDE＝VB－ACD＋VB－CDE ＝ 33＋23× 23×2＝ 3.
►跟踪训练 2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC， BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.
►跟踪训练
1．如右下图所示，在棱长均为2的斜三棱柱ABCDEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE， 连接AO，求证：AO⊥平面FEBC. 证明：∵BCFE是菱形，∴BF⊥EC， 又∵BF⊥AE，且AE∩EC＝E， ∴BF⊥平面AEC，而AO⊂平面SEC， ∴BF⊥AO， ∵AE＝AB，AB＝AC，∴AE＝AC. ∴AO⊥EC，且BF∩CE＝O， ∴AO⊥平面BCFE.
分析：由题目可获取以下主要信息： (1)EC⊥平面ABC，正三角形ABC； (2)BD∥CE且CE＝CA＝2BD. 解答本题可先由线∥线，线⊥面的性质，再由M是EA 的中点得线⊥线，线⊥面，进而证得面⊥面． 证明：(1)如右图所示，取EC的中点F，连接DF， ∵EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴EC⊥BC，易知DF∥BC， ∴DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC，EC＝2BD， FD＝BC＝AB， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA. (2)取CA的中点N，连接MN、BN， 则MN∥EC，且MN＝EC. ∵EC∥BD，∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内． ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN， ∴BN⊥平面ECA. ∵BN在平面MNBD内， ∴平面MNBD⊥平面ECA， 即平面BDM⊥平面ECA.
平行与垂直说课稿
平行与垂直说课稿引言概述：平行与垂直说课是教育教学中常用的两种说课方式，它们在教师教学设计与教学实施中起到重要的指导作用。
本文将从五个方面详细阐述平行与垂直说课的特点和应用。
一、平行说课的特点和应用1.1 平行说课的定义和目的平行说课是指同一学科或者同一教学内容的教师在同一时间段内进行的教学设计和教学实施的交流与展示。
它的目的是促进教师间的经验交流，提高教学质量。
1.2 平行说课的优势平行说课可以让教师们分享各自的教学设计和教学实施经验，互相借鉴和学习。
通过观摩其他教师的课堂教学，教师可以拓宽自己的教学思路，提高自己的教学能力。
1.3 平行说课的应用场景平行说课适合于教师培训、教研活动和教学展示等场合。
在教师培训中，平行说课可以匡助新教师快速了解教学内容和教学方法；在教研活动中，平行说课可以促进教师间的交流与合作；在教学展示中，平行说课可以展示教师们的教学成果和经验。
二、垂直说课的特点和应用2.1 垂直说课的定义和目的垂直说课是指不同学科或者不同教学内容的教师在不同时间段内进行的教学设计和教学实施的交流与展示。
它的目的是促进不同学科教师的交流与合作，提高跨学科教学的质量。
2.2 垂直说课的优势垂直说课可以让教师们了解不同学科的教学设计和教学实施方法，拓宽自己的教学视野。
通过与其他学科教师的交流，教师可以获得新的教学思路和策略，提高自己的教学水平。
2.3 垂直说课的应用场景垂直说课适合于学科交流会、跨学科教学研讨和教学团队建设等场合。
在学科交流会中，教师可以分享自己的教学设计和教学经验，借鉴其他学科的教学方法；在跨学科教学研讨中，教师可以与其他学科教师合作，设计跨学科教学方案；在教学团队建设中，垂直说课可以促进不同学科教师的交流与合作，提高整个团队的教学水平。
三、平行与垂直说课的比较3.1 相同点平行说课和垂直说课都是教师间交流与展示教学设计和教学实施的方式，都可以促进教师的专业成长和教学水平的提高。
平行与垂直原理的应用
平行与垂直原理的应用1. 概述平行与垂直原理是几何学中常用的原理，可以应用于各种实际问题中。
在工程、建筑、物理学等领域中，平行与垂直原理被广泛应用于设计、计算和解决问题的过程中。
2. 平行原理的应用平行原理是指通过平行线之间的相交关系，来推导出其他线段或角度的关系。
以下是一些平行原理的应用：•判断线段平行：如果在两条直线上，存在两条平行线分别与它们相交且交点相同，则可以判断两条直线上的线段是平行的。
•判断角度大小：如果两条平行线被一条截线分成两组对应角，则可以得知这两组对应角大小相等。
3. 平行原理的实际应用举例平行原理在实际应用中有许多实际的例子。
以下是一些常见的应用场景：3.1. 建筑设计在建筑设计中，平行原理可以用来确定墙体的水平和垂直方向。
通过测量和判断墙壁上的平行直线，可以确保建筑物的结构稳定性和准确性。
3.2. 道路规划在道路规划中，平行原理可以用于确定道路的平行关系和路口的位置。
通过测量和计算道路上的水平线，可以确保道路的平滑和安全通行。
3.3. 电路设计在电路设计中，平行原理可以用于确定电路中的平行电阻和电容的关系。
通过布置平行电阻和电容，可以提高电路的效率和稳定性。
4. 垂直原理的应用垂直原理是指垂直线之间的关系，可以用来推导出其他线段或角度的关系。
以下是一些垂直原理的应用：•判断线段垂直：如果两条线段相交且相交处的角度为90度，则可以判断这两条线段是垂直的。
•判断角平分线：如果一条角的两边与另一条角的两边相交且相交处的角度为90度，则可以得知这两条线段是一个角的平分线。
5. 垂直原理的实际应用举例垂直原理在实际应用中也有许多实际的例子。
以下是一些常见的应用场景：5.1. 建筑设计在建筑设计中，垂直原理可以用来确定墙壁与地面的垂直关系。
通过测量和判断墙壁与地面之间的垂直线，可以确保建筑物的结构稳定和水平平衡。
5.2. 地理测量在地理测量中，垂直原理可以用于确定地图上的高度和深度。
平行与垂直学习方法
平行与垂直学习方法随着技术和商业环境的迅速变化，研究方法也在不断地改进和创新。
在教育领域中，我们经常听到平行研究和垂直研究这两个术语。
这两种方法在不同的情境下具有不同的优势和使用价值。
平行研究方法平行研究方法是一种将多个领域的知识和技能并行研究的方式。
它的关键思想是在研究的同时涉及不同的学科或领域。
平行研究的一个典型例子是大学教育，学生在大学里同时研究多个学科，如数学、历史、文学等。
这种方法可以使学生获得广泛的知识和技能，帮助他们更好地适应多样化的工作环境。
平行研究方法的优势在于拓宽了研究者的视野，使他们能够看到不同学科之间的联系和相互作用。
这种综合性的研究方式能够培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。
然而，由于研究的广度较大，平行研究可能缺乏深度和专业性。
垂直研究方法与平行研究相反，垂直研究注重于一个领域的专业深入。
它的目标是通过系统地研究和训练来获得对某个特定主题或技能的专业知识。
垂直研究方法在许多行业和职业中广泛应用，例如医学、法律和工程。
垂直研究方法的优势在于提供了深度和专业知识，使研究者在特定领域中成为专家。
这种方法有助于培养学生的专业能力和技术技能。
然而，垂直研究可能会限制了学生的广泛知识和应用能力。
平行与垂直研究方法的结合应用在实际研究过程中，平行与垂直研究方法并非对立的选择，而是可以相互结合和补充的。
例如，在研究法律领域时，可以通过平行研究获得相关的经济学知识，帮助理解和应用法律规则。
同时，垂直研究法律专业知识能够使学生成为合格的法律专业人士。
平行与垂直研究方法的灵活运用，有助于培养学生的综合能力和专业能力。
学生可以通过平行研究扩展知识广度，通过垂直研究提升专业能力。
这种多元化的研究方式能够更好地满足现代社会对人才的需求。
结论平行和垂直研究方法各具特色，适用于不同的研究场景和需求。
学生和教育者可以根据具体情况选择合适的研究方法，并结合运用多种研究策略，以提高研究效果。
平行与垂直研究方法的综合应用将有助于培养学生的综合素质和专业能力，以应对快速变化的社会和职业环境的挑战。
平行与垂直实践作业
平行与垂直实践作业平行与垂直是几何学中的两个重要概念，它们在实践中有着广泛的应用。
本文将从平行和垂直的概念、特点以及实践应用等方面进行探讨。
一、平行的概念与特点平行是指在同一平面上的两条直线或线段，它们永远不会相交。
平行线的特点有以下几点：1. 直线间的距离相等：平行线的任意两条线之间的距离都是相等的，这是平行线的一个重要特点。
2. 角度关系：平行线之间的角度关系也具有一定规律。
例如，两条平行线与一条横截线相交时，对应角相等、内错角互补等。
3. 垂直线的概念：平行线的概念与垂直线的概念是相对的。
两条平行线之间的夹角是零度，它们与垂直线之间的夹角是90度。
二、平行的实践应用平行的概念在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子：1. 建筑工程中的平行线应用：在建筑设计与施工过程中，平行线的应用非常重要。
例如，在设计一栋建筑物时，需要保证墙体之间的平行关系，从而确保建筑物的整体结构稳定。
2. 道路与铁轨的平行关系：道路和铁轨的设计也需要考虑平行关系。
道路的设计应保证车道之间的平行，以确保车辆行驶的安全。
而铁轨之间的平行关系则能够保证火车正常行驶。
3. 制图与测量中的平行关系：在制图和测量工作中，平行线的应用也非常广泛。
例如，在绘制平面图时，需要保证各个线段之间的平行关系，以达到准确的表达。
三、垂直的概念与特点垂直是指两条直线或线段之间的夹角为90度，它们相互交叉于一点。
垂直线的特点有以下几点：1. 夹角关系：两条垂直线之间的夹角为90度。
这是垂直线的最重要特点。
2. 垂直线与水平线的关系：垂直线与水平线是两个相对的概念。
水平线与垂直线之间的夹角为90度。
3. 垂直线的应用：垂直线的应用非常广泛，例如，在建筑设计中，需要保证墙体与地面的垂直关系，以确保建筑物的稳定性。
四、垂直的实践应用垂直的概念在实际生活中也有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子：1. 垂直墙面设计：在室内设计中，垂直墙面的设计能够给人们带来一种垂直上升的感觉，从而使空间显得更加宽敞。
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平行与垂直的综合应用
[基础要点]
指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿
题型一、平行关系的综合应用
例1、如图示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点E 、F 分别是棱上11,CC BB 的点，点M 是线段AC 上的动点，EC=2FB=2
（1）当点M 在何位置时，MB ∥平面AFE
（2）若MB ∥平面AFE ，判断MB 与EF 的位置关系，说明理由，并求MB 与EF 所成角的余弦值。
变式:如图示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？
题型二、垂直关系的综合应用
例2、如图示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠ （1）求证：1C C BD ⊥
A
B
C
1
A 1
B 1
C E
F N M
B
H
C A
D
G
F
E
D
（2）当
1
CD
CC 的值为多少时，能使1
AC ⊥平面1C BD ?请给出证明
变式：平面α内有一个半圆，直径为AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影 （1）求证：NH ⊥SB
（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？ （3）这个图形中有多少个直角三角形？ （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？
题型三、空间角的问题
例3、如图示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中
，
11,1A B B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点，平面1
AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值
变式：如图示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SB
⊥面ABCD ，SB=AB ,设Q 为SD 的中点，M 为AB 的中点，
（1）求证：MQ ∥平面SBC
（2）求证：平面SDM ⊥平面SCD （3）求锐二面角S －M －C 的大小
题型四、探索性、开放型问题
例4、已知正方体中1111ABCD A BC D -，E 为棱1CC 上的动点， （1）求证：1A E ⊥BD
(2) 当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面
EBD （3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45
？如果存在，
C1
A1D
B
C
B1
G
F
A
E
D1
A C
D
S
Q
A
试确定E 在棱1CC 上的位置；如果不存在，请说明理由。
变式:已知△ABC 中，90,1BCD BC CD ∠=== ,AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=
,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
(01)AE AF
AC AD
λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ?
[自测训练]
1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ ） A 、//αβ
B 、α不一定平行于β
C 、α不平行于β
D 、以上结论都不正确
2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=
,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直，基中真命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所
成的角分别为4π和6
π
，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为
,A B ''，则:AB A B ''=（ ）
A 、2:1
B 、3:1
C 、3:2
D 、4:3
5、已知平面,αβ和直线,l m ，使//αβ的一个充分条件是（ ） A 、//,//,//l m l m αβ B 、,//,//l m l m αβ⊥ C 、//,,l m l m αβ⊥⊥
D 、,//,l m l m αβ⊥⊥
6、正三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ） A 、１：３
B
、1:(3
C
、1):3
D
、1):3
B`
A`
B
A
α
β
7、如图示，正四面体ABCD 的棱长为１，平面α过棱AB ，且CD ∥α，
则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积为
8、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==
,
12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是
9、在正棱锥S －ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，AM ⊥MN ，若SA =，则此正三棱锥的外接球表面积为
10、P A 垂直于矩形ABCD 所在平面，M 、E 、N 分别是AB 、CD 和PC 的中点，
（１）求证：MN ∥平面P AD （２）若二面角P －DC －A 为
4
π
，求证: 平面MND ⊥平面PDC
11、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ，求证：AE ⊥SB ,AG ⊥SD
12、四棱锥P －ABCD 底面为一直角梯形，AB ⊥AD ,CD ⊥AD ，CD=2AB ,P A ⊥面ABCD ，E 为PC 中点， （１）求证：平面PDC ⊥平面P AD （２）求证：BE ∥平面P AD
（３）假定P A=AD=CD ,求二面角E －BC －C 的平面角的正切值
B C
D 1
B 1
C A
B
C S
M
N D
C
B
A
P
E
D
C
B
A
S
G
E
F
C
B
A
D
P
E
M N。