平行与垂直的综合应用

平行与垂直的综合应用

[基础要点]

指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿

题型一、平行关系的综合应用

例1、如图示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点E 、F 分别是棱上11,CC BB 的点，点M 是线段AC 上的动点，EC=2FB=2

（1）当点M 在何位置时，MB ∥平面AFE

（2）若MB ∥平面AFE ，判断MB 与EF 的位置关系，说明理由，并求MB 与EF 所成角的余弦值。

变式:如图示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？

题型二、垂直关系的综合应用

例2、如图示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠ （1）求证：1C C BD ⊥

A

B

C

1

A 1

B 1

C E

F N M

B

H

C A

D

G

F

E

D

（2）当

1

CD

CC 的值为多少时，能使1

AC ⊥平面1C BD ?请给出证明

变式：平面α内有一个半圆，直径为AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影 （1）求证：NH ⊥SB

（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？ （3）这个图形中有多少个直角三角形？ （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？

题型三、空间角的问题

例3、如图示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中

，

11,1A B B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点，平面1

AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值

变式：如图示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SB

⊥面ABCD ，SB=AB ,设Q 为SD 的中点，M 为AB 的中点，

（1）求证：MQ ∥平面SBC

（2）求证：平面SDM ⊥平面SCD （3）求锐二面角S －M －C 的大小

题型四、探索性、开放型问题

例4、已知正方体中1111ABCD A BC D -，E 为棱1CC 上的动点， （1）求证：1A E ⊥BD

(2) 当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面

EBD （3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45

？如果存在，

C1

A1D

B

C

B1

G

F

A

E

D1

A C

D

S

Q

A

试确定E 在棱1CC 上的位置；如果不存在，请说明理由。

变式:已知△ABC 中，90,1BCD BC CD ∠=== ,AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=

,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

(01)AE AF

AC AD

λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ?

[自测训练]

1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ ） A 、//αβ

B 、α不一定平行于β

C 、α不平行于β

D 、以上结论都不正确

2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=

,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直，基中真命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所

成的角分别为4π和6

π

，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为

,A B ''，则:AB A B ''=（ ）

A 、2:1

B 、3:1

C 、3:2

D 、4:3

5、已知平面,αβ和直线,l m ，使//αβ的一个充分条件是（ ） A 、//,//,//l m l m αβ B 、,//,//l m l m αβ⊥ C 、//,,l m l m αβ⊥⊥

D 、,//,l m l m αβ⊥⊥

6、正三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ） A 、１：３

B

、1:(3

C

、1):3

D

、1):3

B`

A`

B

A

α

β

7、如图示，正四面体ABCD 的棱长为１，平面α过棱AB ，且CD ∥α，

则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积为

8、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==

,

12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是

9、在正棱锥S －ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，AM ⊥MN ，若SA =，则此正三棱锥的外接球表面积为

10、P A 垂直于矩形ABCD 所在平面，M 、E 、N 分别是AB 、CD 和PC 的中点，

（１）求证：MN ∥平面P AD （２）若二面角P －DC －A 为

4

π

，求证: 平面MND ⊥平面PDC

11、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ，求证：AE ⊥SB ,AG ⊥SD

12、四棱锥P －ABCD 底面为一直角梯形，AB ⊥AD ,CD ⊥AD ，CD=2AB ,P A ⊥面ABCD ，E 为PC 中点， （１）求证：平面PDC ⊥平面P AD （２）求证：BE ∥平面P AD

（３）假定P A=AD=CD ,求二面角E －BC －C 的平面角的正切值

B C

D 1

B 1

C A

B

C S

M

N D

C

B

A

P

E

D

C

B

A

S

G

E

F

C

B

A

D

P

E

M N