(课堂设计)-高中数学 2.2 等差数列学案 新人教a版必修5

2.2 等差数列

自主学习

知识梳理

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．

2．等差中项

如果A ＝a ＋b 2

，那么A 叫做a 与b 的____________． 3．等差数列的单调性

等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列．

4．等差数列的通项公式

a n ＝________________，当d ＝0时，a n ＝________，a n 是关于n 的________函数；当d ≠0时，a n ＝____________，a n 是关于n 的________函数，点(n ，a n )分布在一条以______为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点．

5．等差数列的性质

(1)若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则____________．

(2)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n }也是________，公差为________．

(3)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n －1＋a 2n }也是____________，公差为________．

自主探究

如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？

对点讲练

知识点一 等差数列的通项公式

例1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.

总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式a n＝a m＋(n－m)d求解．

变式训练1 在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．

知识点二等差数列的性质

例2已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．

总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．

变式训练2 成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．

知识点三等差数列的判断

例3已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－

4

a n－1

(n≥2)，令b n＝

1

a n－2

.

(1)求证：数列{b n}是等差数列；

(2)求数列{a n}的通项公式．

总结判断一个数列{a n}是否是等差数列，关键是看a n＋1－a n是否是一个与n无关的常数．

变式训练3 若

1

b＋c

，

1

c＋a

，

1

a＋b

是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．

1．证明数列{a n}为等差数列的方法

(1)定义法：a n＋1－a n＝d (d为常数，n≥1)⇔{a n}为等差数列或a n－a n－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{a n}为等差数列．

(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}是等差数列．

(3)通项法：a n＝pn＋q(p、q∈R)⇔{a n}是等差数列，只要说明a n为n的一次函数，就可下结论说{a n}是等差数列．

2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：

a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.

课时作业

一、选择题

1．在等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )

A．24 B．22 C．20 D．－8

2．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23

，则a n 为( ) A ．14n ＋3 B ．16n －4 C ．15n －39 D ．15n ＋8

3．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )

A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)

B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)

C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)

D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)

4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )

A ．45

B ．75

C ．180

D ．300

5．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )

6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2

的值为______． 7．已知⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14

的等差数列，则|m －n |＝______.

三、解答题

9．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．

10．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….

(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？请说明理由．

(2)若a m 、a t (m 、t ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a m ＋3a t 是数列{a n }中的项吗？并说明你

的理由．