最新人教版高中数学选修2-2第二章《直接证明与间接证明》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、综合法和分析法1.综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:要点提示①综合法是“由因导果”.即由已知条件出发,推导出所要证明的等式或不等式成立,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.②综合法的格式——从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒”.2.分析法一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:要点提示①分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.②分析法格式——与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等).这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证…,只需…”或“⇐”.知识拓展有时解题,需一边分析,一边综合,称之为分析综合法,或称两头凑法.两头凑法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.辨析比较综合法与分析法的区别与联系分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,实际上要寻求它的充分条件;综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“求知”,逐步推理,实际上是寻求它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证出来,人们往往选择比较简单的一种.事实上,在解决问题时,我们经常把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.二、反证法反证法一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法.深化升华用反证法证明命题“若p则q”时,可能会出现以下三种情况:①导出非p为真,即与原命题的条件矛盾;②导出q 为真,即与假设“非q 为真”矛盾;③导出一个恒假命题.知识拓展 用反证法证明问题的步骤①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.③从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.知识拓展 适宜用反证法证明的数学命题①结论本身是以否定形式出现的命题.②关于唯一性,存在性的命题.③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题.④结论的反面比原结论更具体,更容易研究的命题.问题·探究问题1 综合法与分析法各有怎样的特点?思路:明确综合法与分析法的定义是关键.它们都是用来证明数学命题的基本方法,二者虽有区别,但证题的过程中又是密不可分的.探究:综合法是由原因推出结果的思维方式.分析法是由结果追溯到这一结果的原因的思维方式.问题2 桌面上有3枚正面(有面额的那面)朝上的硬币,每次用双手同时翻转2枚硬币,那么无论怎样翻转,都不能使硬币全部反面朝上,你能解释这种现象吗?思路:本题若从正面入手考虑,很难找到解决问题的切入点.此时我们不妨利用间接法(反证法)来说明这个问题.探究:假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上,由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要翻转(3×奇数)次,即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数,即偶数次,这个矛盾说明假设错误,所以原结论成立.问题3 用反证法证明问题的本质是什么？在证明的过程中要注意什么?如何反设？思路:反证法的本质是:由证明p ⇒q 转向证明q ⌝⇒r ⇒……⇒t,t 与假设或与某个真命题矛盾,q ⌝为假,推出q 为真的方法.以上由定义可以得出,围绕定义不难得出这几个问题的答案?探究:从逻辑角度看,命题“若p 则q”的否定是“若p 则q ⌝”.由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p 则q ⌝”为假,因此可知“若p 则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:(1)等于——不等于;(2)大于——小于等于;(3)小于——大于等于;(4)结论对所有的x 成立——存在某个x 使结论不成立;(5)至少有一个——一个也没有;(6)至多一个——至少两个;(7)至少n 个——至多n-1个;(8)至多n 个——至少n+1个;(9)p 或q ——p ⌝且q ⌝;(10)p 且q ——p ⌝或q ⌝.典题·热题例1（2005全国高考卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足A 2sin 1=tanB,则有( ) A.sin2A-cosB=0 B.sin2A+cosB=0C.sin2A-sinB=0D.sin2A+sinB=0思路解析:由已知得BB A A A A cos sin cos sin 21cos sin =∙-, ∴AA A cos sin 21sin 22-=tanB.∴A A 2sin 2cos -=tanB. ∴-cot2A=tanB.∴tan(2A+2π)=tanB. ∴2A+2π-π=B. ∴2A-B=2π.∴2A-2π=B.∴sin(2A-2π)=sinB.∴cos2A-sinB=0. ∴cos(2A-2π)=sin2A.∴sin2A=cosB. ∴sin2A-cosB=0.答案:A例2（2005全国高考卷Ⅲ）若a=55ln ,33ln ,22ln ==c b ,则( ) A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c思路解析:a-b=6163ln 22ln 333ln 22ln =-=-(ln8-ln9)<0,所以a<b. 同理,可得c<a,因而c<a<b.答案:C例3设a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)abb a 111++≥8; (2)(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225. 思路分析:要证的不等式是在已知条件下成立的,从不等式的结构及与已知的关系考虑,可用综合法证之.证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab1≥4. ∴a 1+b 1+ab 1=(a+b)(a 1+b 1)+ab 1≥ab ·2ab1+4=8. ∴a 1+b 1+ab1≥8. (2)∵2b a +≤222b a +,则222)2(2b a b a +≥+.∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥2(211b b a a +++)2=2252)121(2)111(22≥+≥++ab b a . ∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225 深化升华 利用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式.但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要把握住不等号方向始终如一的正确性.例4已知x>0,y>0,求证:31332122)()(y x y x +>+.思路分析:本题若直接运用综合法,则不易发现与已知不等式的关系,因而可试用分析法. 证明:要证明31332122)()(y x y x +>+只需证(x 2+y 2)3>(x 3+y 3)2,即证x 6+3x 4y 2+3x 2y 4+y 6>x 6+2x 3y 3+y 6,即证3x 4y 2+3x 2y 4>2x 3y 3.∵x>0,y>0,∴x 2y 2>0,即证3x 2+3y 2>2xy.∵3x 2+3y 2>x 2+y 2≥2xy,∴3x 2+3y 2>2xy 成立. 故31332122)()(y x y x +>+深化升华 该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式,从而找到使它成立的条件.当然,该例也可以用分析综合法证明.例5若tan(α+β)=2tanα,求证:3sinβ=sin(2α+β).思路分析:本题存在三角函数的角的形式的联系:β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,这是本题的切入点.证明:∵tan(α+β)=2tanα,∴ααβαβαcos sin 2)cos()sin(=++. 2sinαcos(α+β)=cosαsin(α+β).又3sinβ=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β),sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β).∴3sinβ=sin(2α+β).深化升华 综合法证题是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”,它的逐步推理,是在寻找它的必要条件.例6如图2-2-2所示,AB 为⊙O 的直径,⊙O 在平面γ内,SA ⊥平面γ,∠SBA=30°,动点P 在圆O 上移动(不重合于A,B 两点),以N 和M 表示点A 在SP,SB 上的射影,∠BAP=α,求证:图2-2-2(1)△SPB 是直角三角形;(2)AN ⊥平面SPB.思路分析:熟练掌握空间垂直的判定定理是成功解题的关键.证明:(1)∵SA ⊥平面APB,P 为圆周上的一点,∴AP ⊥PB.又∵AP 为SP 在平面γ上的射影,∴SP ⊥PB.∴△SPB 是直角三角形.(2)∵PB ⊥SA,PB ⊥SP,SA∩SP=S,∴PB ⊥平面SAP.又AN ⊂平面SAP,∴PB ⊥AN.又∵SP ⊥AN,PB∩SP=P,∴AN ⊥平面SPB.深化升华 在高中数学的证明题中,立体几何占有很大的一部分.其中以综合法为主,主要是培养大家的逻辑推理能力.拓展延伸如图2-2-3所示,四棱锥P —ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,且PB=4PM,PB 与平面ABC 成30°角.图2-2-3(1)求证:CM ∥平面PAD;(2)求证:面PAB ⊥面PAD.证明:(1)以C 为原点,以CD 、CB 、CP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. ∠PBC=30°,|PC|=2,|BC|=32,|AB|=4,不难得出D(1,0,0),B(0,32,0),P(0,0,2),M(0,23,23). 设43=⇒+=x DA y DP x CM ,y=41. ∴,,共面. ∵CM ⊄平面PAD,∴CM ∥平面PAD.(2)作BE ⊥PA 于E,∵|PB|=|AB|=4,∴E 为PA 中点.∴E(2,3,1),则BE =(2,3-,1).∴DA BE ∙=0.∴BE ⊥DA.又BE ⊥PA,∴BE ⊥面PAD.∴面PAB ⊥面PAD.深化升华 在空间中证平行、垂直时,可建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算来证明问题,这是空间向量的一个重要应用.例7设n ∈N ,求证:1+12313121222+≥+++n n n . 思路分析:把结论分解为两部分进行考查.证明:设x n =1+12313121222+≥+++n n n, 则有Δx n =x n+1-x n =2)1(1+n >0,Δy n =y n+1-y n =1)1(432-+n >0. 可知,数列{x n }与{y n }都是单调递增数列.再运用综合法,先寻求两个数列的联系.x 1=y 1=1,1)1(432-+n <2)1(44+n =2)1(1+n ,把这种关系概括为Δx n ≥Δy n . x n+1=x 1+Δx 1+Δx 2+…+Δx n ;y n+1=x 2+Δy 1+Δy 2+…+Δy n .显然,x n+1≥y n+1,即1+12313121222+≥+++n n n . 深化升华 上述思考过程的前半部分运用了分析法,后半部分运用了综合法.例8(2005江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3,…,其中A 、B 为常数.(1)求A 与B 的值;(2)证明数列{a n }为等差数列;(3)证明不等式n m m a a a -5>1对任何正整数m 、n 都成立.(1)解:由已知得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18.由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B 知,⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482,28,2123,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得A=-20,B=-8.(2)证法一:由(1)得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,①∴(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28,②②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20,③∴(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20,④④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0.∵a n+1=S n+1-S n ,∴(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0.又∵5n+2≠0,∴a n+3-2a n+2+a n+1=0,即a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1.又a 3-a 2=a 2-a 1=5,∴数列{a n }为等差数列.证法二:由已知,S 1=a 1=1,又(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8且5n-8≠0,∴数列{S n }是唯一确定的,因而数列{a n }是唯一确定的.设b n =5n-4,则数列{b n }是等差数列,前n 项和T n =2)35(-n n , 于是(5n-8)T n+1-(5n+2)T n =(5n-8)2)35()25(2)25)(1(---++n n n n n =-20n-8. 由唯一性得b n =a n ,即数列{a n }是等差数列.(3)证明:由(2)可知a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m m a a a -5>1,只要证5a mn >1+a m ·a n +n m a a ∙2,因为a mn =5mn-4,a m ·a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+n m a a ∙2,即只要证20m+20n-37>n m a a ∙2. 因为n m a a ∙2≤a m +a n =5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.深化升华 本小题主要考查等差数列的有关知识,不等式的证明方法,考查思维能力,运算能力.例9数列{a n }的前n 项和S n =2a n -3n(n ∈N *).(1)求{a n }的通项公式;(2)数列{a n }中是否存在三项,它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.思路分析:存在性探索题可运用反证法的思想,先假设存在,若推出矛盾,即假设存在不成立;若推出符合存在性的条件,则存在性成立.解:(1)a 1=S 1=2a 1-3,则a 1=3.由⇒⎩⎨⎧-=+-=++n a S n a S n nn n 32)1(3211a n =S n+1-S n =2a n+1-2a n -3⇒a n+1+3=2(a n +3), ∴{a n +3}为等比数列,首项为a 1+3=6,公比为2.∴a n +3=6·2n-1,即a n =3·2n -3.(2)假设数列{a n }中存在三项a r ,a s ,a t (r<s<t),它们可以构成等差数列,且a r <a s <a t .∴只能是a r +a t =2a s ,即3(2r-1)+3(2t-1)=6(2s-1).∴2r +2t =2s+1.∴1+2t-r =2s+1-r .(*)∵r<s<t,r,s,t 均为正整数,∴(*)式左边为奇数,右边为偶数,不可能成立.∴数列{a n }中不存在可以构成等差数列的三项.误区警示 在解答(2)时,易错取三项a n-1,a n ,a n+1.事实上,适合条件的三项并不一定是连续的.例10若下列三个方程:x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求a 的取值范围.思路分析:上述三个方程中至少有一个方程有实根的情况较多,考虑起来比较复杂;如果考虑其反面,即“三个方程都无实根”,则就简单多了,这样求得a 的集合为A,那么命题所要求的a 的范围即为 A.解:三个方程都无实根⇔230231121230)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221-⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆a a a a a a a a a a 或<a<-1. 设A={a|23-<a<-1},则A={a|a≤23-或a≥-1}. 故所求的实数a 的取值范围是{a|a≤23-或a≥-1}. 方法归纳 考虑问题的反面,求出a 的范围,从而求出原命题要求的a 的范围,是“正难则反”的解题策略的运用.这种解题策略在数学中随处可见,大家应注意掌握.。