拉格朗日松弛法在机组组合中的应用

１ 机组组合问题的提出
机组组合问题，是在电力系统中根据负荷预测 各发电机组的成本，决策各机组在未来调度周期内 各个时段的开停机计划，在满足系统负荷需求和各 类约束条件下，实现总成本最小。电力系统的负荷 是变动的，白天以及晚上刚开始的时候负荷是比较 高的，而在凌晨时负荷是处于低谷的；工作日的负荷 就要比周末的负荷要高。电力是不能被大规模存储 的，发电量和用电量要处于平衡的状态，因此不同时 间段内要进行不同的机组组合以满足这种平衡的 需要。
将得到的增广函数变换形式：
∑ ∑ Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔｉ，λｔ，μｔ） ＝
Ｔ ｔ＝１
Ｎ ｉ＝１［Ｆｉ（ｐｔ ｉ）ｕｔ ｉ ＋
∑ ∑ Ｃｓｉ（Ｘｉ（ｔ））ｕｔ ｉ（１－ｕｔ ｉ－１）］－
Ｔ ｔ＝１
Ｎ ｉ＝１（λｔｕｔ ｉｐｔ ｉ ＋
∑ μｔｕｔｉｐｉ）＋
Ｔ （λｔＤｔ＋μｔＤｔ＋ＳＲｔ） （７）
ｔ＝１
在 λ和 μ定下来后，上式第三项 ∑Ｔ ｔ＝１（λｔＤｔ＋
∑ Ｔ ｔ＝１［Ｆｉ（ｐｔ ｉ）ｕｔ ｉ＋
Ｃｓｉ（Ｘｉ（ｔ））ｕｔ ｉ（１－ｕｔ ｉ－１）－（λｔｕｔ ｉｐｔ ｉ＋μｔｕｔ ｉｐｉ）］
（９）
可以分别进行求解，而不用管其他机组。这样
Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔｉ，λｔ，μｔ）的最小值就可以得到求解，亦即：
∑ ｍｉｎ（Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔｉ，λｔ，μｔ）） ＝
Ｎ ｉ＝１
ｉ＝１ ｉ ｉ
－
∑ Ｄｔ）＋μｔ（ Ｎ ｉ＝１ｕｔ ｉｐｉ－Ｄｔ－ＳＲｔ）］
（５）
令 ｑ（λ，μ）＝ｍｉｎ［Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔ ｉ，λｔ，μｔ）］，
其对偶问题为：
{ ｑ （λ，μ）＝ｍａｘ｛ｑ（λ，μ｝ λｔ，μｔ
（６）
ｇｉ（ｐｔｉ，ｕｔ ｉ）≤０（机组自身约束的抽象表达）
对偶问题是一个极大极小问题，意义是对于不
２ 机组组合问题的数学描述
２．１ 机组组合的目标函数
∑ ∑ Ｆ ＝
Ｔ ｔ＝１
Ｎｉ＝１［Ｆｉ（ｐｔ ｉ）ｕｔ ｉ ＋
Ｃｓｉ（Ｘｉ（ｔ））ｕｔｉ（１－ｕｔ ｉ－１）］
（１）
其中：Ｆ为总的发电成本；Ｎ为参与组合的机组数；Ｔ
为研究周期所划分的段数；ｐｔ ｉ为机组 ｉ在 ｔ时段的输
出功率；Ｘｉ（ｔ）为机组 ｉ的开机或停机时间，若 Ｘｉ（ｔ）
推导如下［１］：
在目标函数中针对系统耦合约束（负荷平衡约
束和备用约束）分别引入拉格朗日乘子 λ和 μ，得到
增广函数：
∑ ∑ Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔｉ，λ）ｕｔ ｉ ＋
∑ ∑ Ｃｓｉ（Ｘｉ（ｔ））ｕｔ ｉ（１－ｕｔ ｉ－１）］－
Ｔ ［λｔ（
ｔ＝１
ｕｐ Ｎ ｔ ｔ
开启足够的机组以满足系统最大的负荷，会造 成相当大的浪费，在某些时刻关掉一些机组，会节省 很大费用，从经济性上考虑，机组组合是非常有必要 的。另一方面，机组有最小出力限制，在负荷低谷的 时候，这么多机组同时运行，可能不能满足负荷平衡 的要求。因此，恰当的机组组合对电力系统的安全 经济运行是非常重要的。
∑ ｍｉｎ｛ Ｔｔ＝１［Ｆｉ（ｐｔｉ）ｕｔｉ＋Ｃｓｉ（Ｘｉ（ｔ））
ｕｔｉ（１－ｕｔｉ－１）－（λｔμｔｉｐｔｉ＋μｔｕｔｉｐｉ）］｝ （１０） 约束为机组各自的约束。这样可以很方便的通
过动态规划法求解每个机组，进而得到 Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔｉ，λｔ， μｔ）的最小值。
在应用动态规划法对每个机组进行求解时，当
拉格朗日松弛法在机组组合中的应用是通过求
收稿日期：２０１８－０９－１１ 作者简介：杨 立（１９８９），男，山西阳泉人，助理工程师，学士学位，从事的工作及研究方向：机电。
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山 西 电 子 技 术 ２０１８年
解对偶问题来得到原问题的解的，它通过一种松弛
技术，避免了 因 耦 合 带 来 的 “组 合 爆 炸 ”问 题，具 体
同的 λ和 μ，增广函数有不同的最小值，这些最小值
中最大者为最优解。如果原问题符合凸规划条件，
则满足强对偶定理，即对偶问题的最优解就是原问
题的最优解。但机组组合问题的决策量为 ０－１变
量，是离散、非凸的，不满足对偶定理，因此对偶问题
的最优 解 同 原 问 题 最 优 解 之 间 必 然 存 在 对 偶 间 隙［２］。
山西电子技术 ２０１８年第 ５期
应用实践
文章编号：１６７４４５７８（２０１８）０５００４１０４
拉格朗日松弛法在机组组合中的应用
杨 立
（山西大众电子信息产业集团有限公司，山西 太原 ０３００２４） 摘 要：机组组合问题是电力系统中的一个主要问题。本文主要对传统算法中的拉格朗日松 弛法在机组组合中的应用进行了研究及复现的工作，可为日后的学习研究做基础。 关键词：机组组合；发电成本；拉格朗日松弛法 中图分类号：ＴＭ７３ 文献标识码：Ａ
＞０，机组 ｉ到 ｔ时段前连续累计开机时间；若果 Ｘｉ （ｔ）＜０，机组 ｉ到时段 ｔ前连续累计停机时间。
２．２ 机组组合的约束条件
功率平衡约束：
∑ ｕｐ Ｎ ｔ ｔ ｉ＝１ ｉ ｉ
＝Ｄｔ
（２）
机组启停次数约束：
∑ （ｕ Ｔ－１ ｔ＝１
ｔ－１ ｉ
－ｕｔｉ）２ ≤
Ｕｉ
（３）
最小运行时间约束：
１≤Ｘｉ（ｔ）≤Ｘｕｉｐ，ｕｔｉ＝１
（４）
其他约束：如水火协调、必须运行机组、燃料限
制、环境约束、电网安全。
其中：Ｄｔ为系统 ｔ时段负荷需求；Ｕｉ为机组 ｉ限
制的启停次数；ｐｉ、ｐｉ分别为机组 ｉ的最大、最小输出 功率；Ｘｕｉｐ、Ｘｄｉｏｗｎ 分 别 为 机 组 ｉ的 最 小 开 机、停 机 时 间。
３ 机组组合问题的求解
从数学角度看以上目标函数以及约束，机组组 合问题具有高维数、非凸、离散、非线性的特点，在数 学上为 ＮＰ－Ｈａｒｄ问题。现阶段应用于电力系统机 组组合问题的算法大致分为两类：一类是传统算法； 另一类是基于人工智能的算法。本文主要对传统算 法中的拉格朗日松弛法在机组组合中的应用进行 研究。 ３．１ 拉格朗日松弛法基本思路
μｔＤｔ＋ＳＲｔ）就是个定值，计算过程中可以不考虑，这
样就得到了新的拉格朗日函数：
∑ ∑ Ｌ（ｐｔｉ，ｕｔｉ，λｔ，μｔ） ＝
Ｎ ｉ＝１
Ｔ ｔ＝１［Ｆｉ（ｐｔ ｉ）ｕｔ ｉ ＋
Ｃｓｉ（Ｘｉ（ｔ））ｕｔ ｉ（１－ｕｔ ｉ－１）－（λｔｕｔ ｉｐｔ ｉ＋μｔｕｔ ｉｐｉ）］
（８）
这样就能实现机组之间的解耦，也就是说