20191819第1章13 中国古代数学中的算法案例语文.doc
1.3中国古代数学中的算法案例
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多
项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
秦九韶（1208年－1261年） 南宋官员、数学家，与李冶、杨 辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 主要成就:1247年完成了数学名 著《数学九章》，其中的大衍求 一术、三斜求积术和秦九韶算法 是具有世界意义的重要贡献。秦 九韶算法就是中国古代数学的一 枝奇葩。直到今天，这种算法仍 是多项式求值比较先进的算法 。
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0.
我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式
的值,即
v0=an v1=anx+an-1,
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
石家庄市第十九中学 岳儒芳
[问题1]
例1、已知多项式 f(x)x5x4x3x2x ,1 求 f (的5)值
算法1： 因为 f(x)x5x4x3x2x 110次乘法运算，5次加法运算.
所以 f(5)5554535251
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk 的计算要用 到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an, vK=vK-1x+an-k (k=1,2,……,n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用
高中数学教案：中国古代数学中的算法案例
高中数学教案：中国古代数学中的算法案例一、教学目标1. 了解中国古代数学中的算法案例，体会数学与实际生活的紧密联系。
2. 学习中国古代数学中的算法原理，提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 感受我国古代数学文化的博大精深，增强民族自豪感。
二、教学内容1. 中国古代数学简介：了解中国古代数学的发展历程，认识中国古代数学的特点和贡献。
2. 算法案例一：数字华容道（1）了解数字华容道的背景和规则。
（2）学习数字华容道的解法，掌握基本的操作技巧。
（3）运用算法原理，解决数字华容道问题。
3. 算法案例二：盈亏问题（1）了解盈亏问题的背景和意义。
（2）学习盈亏问题的解法，掌握基本的运算技巧。
（3）运用算法原理，解决盈亏问题。
4. 算法案例三：鸡兔同笼问题（1）了解鸡兔同笼问题的背景和特点。
（2）学习鸡兔同笼问题的解法，掌握基本的推理方法。
（3）运用算法原理，解决鸡兔同笼问题。
5. 算法案例四：方程求解（1）了解中国古代方程求解的方法。
（2）学习利用列举法、试错法等解决简单方程的方法。
（3）运用算法原理，解决方程求解问题。
三、教学方法1. 讲授法：讲解中国古代数学的发展历程、算法原理和案例解法。
2. 实践操作法：让学生亲自动手操作，体会算法原理。
3. 讨论法：分组讨论，分享解题心得，提高解决问题的能力。
四、教学评价1. 课后作业：布置相关算法案例的练习题，巩固所学知识。
2. 小组讨论：评价学生在讨论中的表现，提高团队合作能力。
五、教学资源1. 教材：高中数学教材《算法与程序设计》。
2. 辅助材料：中国古代数学相关论文、书籍。
3. 网络资源：查询相关中国古代数学算法案例的资料，以便进行拓展学习。
4. 教具：电脑、投影仪、白板等。
六、教学内容6. 算法案例五：棋盘覆盖问题(1) 了解棋盘覆盖问题的背景和规则。
(2) 学习棋盘覆盖问题的解法，掌握基本的操作技巧。
(3) 运用算法原理，解决棋盘覆盖问题。
7. 算法案例六：最大公约数与最小公倍数(1) 了解最大公约数和最小公倍数的概念及应用。
高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修3
2．用更相减损之术求得 68 和 86 的最大公约数是( )
A．2
B．4
C．6
D．16
解析：选 A.由更相减损之术得，86－68＝18，68－18＝50，50
－18＝32，32－18＝14，18－14＝4，14－4＝10，10－4＝6，
6－4＝2，4－2＝2，故 68 和 86 的最大公约数是 2.
秦九韶算法的步骤
当 x＝5 时，求多项式 f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 的值． 解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 ＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7， v0＝2， v1＝2×5－5＝5， v2＝5×5－4＝21， v3＝21×5＋3＝108， v4＝108×5－6＝534， v5＝534×5＋7＝2 677. 所以 f(5)＝2 677.
复习课件
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第一章 算法初步
1．3 中国古代数学中的算法案例
第一章 算法初步
1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法． 2. 掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤．
v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397. 所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
再求 49 与 133 的最大公约数： 133－49＝84， 84－49＝35， 49－35＝14， 35－14＝21， 21－14＝7， 14－7＝7. 所以 147，343，133 的最大公约数是 7. 所以每瓶最多装 7 g.
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1.3 中国古代数学中的算法案例秦九韶算法
中国数学名家－秦九韶
秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。
,有记载则说秦九韶自称鲁郡(现山东滋阳、曲阜一带)人，幼年时随父亲在四川巴州居住。
青少年时饱受战乱，成年后离开四川，在湖北、安徽、江苏、浙江、广东等地做官，任过县尉、通判、州守等职，死于梅州(今广东梅县)。
秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：
（1）“大衍求一术”。
即为一次同余式组解法。
西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。
他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。
(2)线性方程组解法。
他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。
他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。
(3)高次方程数值解法。
他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。
他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。
西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。
(4)“三斜求积”。
他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。
这与西方的海伦公式是等价的。
- 1 -。
中国古代数学中的算法案例
1.3中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率1 500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃．这就是历史上有名的“韩信点兵”，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理”，是一个典型的算法案例．1．用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术”．有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数．对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数．例1用“等值算法”求84与294的最大公约数．分析根据等值算法算理计算如下：294－84＝210；210－84＝126；126－84＝42；84－42＝42；42－42＝0.解(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)．故84与294的最大公约数是42.2．割圆术所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法．割圆术的步骤：第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2n－S n)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n＋(S2n－S n)，这样又得到一列递增数：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－S m)．第四，圆面积S满足不等式S2m<S<S2m＋(S2m－S m)．估计S的近似值，即圆周率的近似值．3．秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，把求f(x)＝a n x n ＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．例2 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04，当x ＝0.3时f (x )的值． 分析 本题中有些项不存在，如x 4，x 2要补上，x 4写为0×x 4，x 2写为0×x 2.解 将f (x )写为：f (x )＝((((x ＋0)x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值．v 0＝1；v 1＝1×0.3＋0＝0.3；v 2＝v 1×0.3＋0.11＝0.2；v 3＝v 2×0.3＋0＝0.06；v 4＝v 3×0.3－0.15＝－0.132；v 5＝v 4×0.3－0.04＝－0.079 6.所以，当x ＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.点评 当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作0×x n .1．秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例1 f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，求f (－2)的值．错解 f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2v 1＝3×(－2)2＋2＝14v 2＝14×(－2)＋4＝－24v 3＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50. 错解辨析 错解中v 1中含有x 的二次式，不符合“秦九韶算法”.正解 f (x )＝3x 4＋0·x 3＋2x 2＋4x ＋2＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋4)x ＋2v 0＝3v 1＝3×(－2)＋0＝－6v 2＝－6×(－2)＋2＝14v 3＝14×(－2)＋4＝－24v 4＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50.2．利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用0·x n 补齐例2 用秦九韶算法，求当x ＝2时，f (x )＝x 5－5x 4＋x 3－1的函数值．错解 利用秦九韶算法递推公式，有v 0＝1；v 1＝1×2－5＝－3；v 2＝(－3)×2＋1＝－5；v 3＝(－5)×2－1＝－11.所以f (2)＝－11.正解利用公式有v0＝1；v1＝1×2－5＝－3；v2＝(－3)×2＋1＝－5；v3＝(－5)×2＋0＝－10；v4＝(－10)×2＋0＝－20；v5＝(－20)×2－1＝－41.所以f(2)＝－41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术)与辗转相除法(即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处．更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数．辗转相除法的具体算法是：用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数．例如：我们用上述两种方法来求68与48的最大公约数．等值算法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,28)→(20,8)→(12,8)→(4,8)→(4,4)．所以4是68与48的最大公约数．辗转相除法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,8)→(4,8)．所以4是68与48的最大公约数．通过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做到余数等于零即可．如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些．例1现有长度为240 cm和560 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析剪裁的长度应能被240和560同时整除，本题即为求240和560的最大公约数．解(560,240)→(320,240)→(80,240)→(80,160)→(80,80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料．例2有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数．(147,343)→(147,196)→(147,49)→(98,49)→(49,49)∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.1．(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A2．(烟台模拟)三个数390,455,546的最大公约数是()A．65 B．91 C．26 D．13答案 D。
中国古代数学中的算法案例
中国古代数学中的算法案例教学目标：（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
教学重点与难点：重点：了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题教学方法：通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑 结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程：１．求两个正整数最大公约数的算法学生通常会用素因数分解法求两个正整数的最大公约数：求420和884的最大公约数2224202357882237=⨯⨯⨯=⨯⨯最大公约数为237⨯⨯例１：求７８和３６的最大公约数（阅读课本）（１） 利用辗转相除法理论依据： nb a r r nb a -=→+=，得b a ,与r b ,有相同的公约数（２） 更相减损之术理论依据：由r b a r b a +=→=-，得b a ,与r b ,有相同的公约数算法：1S输入两个正数)(,b a b a >； 2S如果b a ≠，则执行3S ，否则转到5S ； 3S将b a -的值赋予r ； 4S若r b >，则把b 赋予a ，把r 赋予b ，否则把r 赋予a ，重新执行2S ； 5S 输出最大公约数b程序:a=input(“a=”);b=input(“b=”);while a<>bif a>=ba=a-b;elseb=b-aendendprint(%io(2),a,b)练习1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。
（1）225，135 （2）98，280练习2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。
引申(1) 如何求三个数的最大公约数?例:求18,24和72的最大公约数析:先求两个数的最大公约数,所求出的最大公约数在和第三个数求最大公约数.引申(1) 如何求两个数的最小公倍数?并写出程序.析:最小公倍数=两数之积除以最大公约数.程序如下: a=input(“a=”);b=input(“b=”);T=a*b;while a<>bif a>=ba=a-b;elseb=b-aendendT=T/aprint(%io(2),T,b)2．割圆术阅读课本P 35----P 36，步骤：第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积6S ；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m ）为止，得到一列递增的数m S S S S 224126,, ，第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积)(22n n S S -与相应的面积n S 相加，得)(22n n n S S S -+，这样又得到一列递增数：)(61212S S S -+，)(122424S S S -+，)(244848S S S -+，…，)(22m m m S S S -+。
1.3中国古代数学中的算法案例
1.3中国古代数学中的算法案例1.求两个正整数最大公约数的算法——辗转相除法与更相减损术教学目标（a）知识与技能1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
教学重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
学法与教学用具学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器教学设想（一）创设情景，揭示课题1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
1.3中国古代数学中的算法案例
1.3中国古代数学中的算法案例（二）
秦九韶算法 设计求多项式f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－ 6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序。 一般的解决方案
x=5; f=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7;
f
上述算法一共做了解15次乘法运算，5 次加法运算. 优点是简单，易懂;
开始
算理： 记为a；
a=b×t＋c； 若c≠0,记a=b, b=c,返 回第2步进行循环； 若c=0，输出b.
输入a,b
先找到a,b中较大的， c = a Mod b
c=a mod b b=c a=b c≠0 N 输出b 结束 Y
更相减损术 例如，求78和36的最大公约数： 以两数中较大的数减去较小的数，即78 －36＝42；以差数42和较小的数36构成新 的一对数； 对这一对数再用大数减去小数，即42 －36＝6，再以差数6和较小的数36构成新 的一对数；
对这一对数再用大数减去小数，即36－ 6＝30，再构成新的一对数；
继续这一过程,直到产生一对相等的数， 这个数就是最大公约数. 操作如下： (78，36) → (42，36) → (6，36) → (6，30) → (6，24) → (6，18) → (6，12) → (6，6). 理论依据： 由a－b=r → a=b+r，得(a, b)与(b, r)有相 同的公约数.
1.3中国古代数学中的算法案例（一）
过程与方法
改变解决问题的思路，要将抽象的思想思 维转变为具体的思维方法，提高逻辑思维 能力。
情感、态度与价值观
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，培 养学生的探索精神，同时体会中国古代数学对世界 数学发展的贡献，增强爱国主义精神。
古代数学中的算法案例
古代数学中的算法案例古代数学是人类发展历史中的重要组成部分，古代数学家们在没有现代计算设备的情况下，通过发展各种算法来解决实际问题。
以下是几个古代数学中的算法案例。
一、埃及乘法算法埃及乘法算法起源于古埃及时期，被用于解决大数字的乘法问题。
这个算法的基本思想是将一个数字分解为2的幂的和，然后将每个分解项相乘，最后将乘积相加得到结果。
例如，计算15乘以23，首先将15分解为2的幂的和，即15=1+2+4+8，然后将23与每个分解项相乘，得到23、46、92和184、最后将这些乘积相加，得到345，即15乘以23的结果。
二、中国割补算法中国割补算法是中国古代数学中的一种乘法算法，用于计算两个数的乘积。
这个算法的核心思想是通过不断削减和补充相乘数的位数，最终得到乘积。
以计算13乘以21为例，首先将13和21写成两列：```1321--23```然后将第一列的数字逐次除以2，直到最后为0，同时将第二列的数字逐次乘以2、每次除以2时，如果结果为奇数，则将第二列当前行的数字加到最后的乘积上，如果结果为偶数，则不加。
最后将所有加上的数字相加，得到乘积。
在这个例子中，结果为273三、印度乘法算法印度乘法算法是古印度数学中的一种乘法算法，用于计算两个数的乘积。
这个算法的基本思想是将一个数字分解为2的幂的和，然后将每个分解项与另一个数字相乘，最后将乘积相加得到结果。
以计算23乘以16为例，首先将23表示为2的幂的和，即23=1+2+4+16、然后将每个分解项与16相乘，得到16、32、64和256、最后将这些乘积相加，得到368，即23乘以16的结果。
四、巴比伦平方根算法巴比伦平方根算法是古巴比伦数学中的一种算法，用于求一个数字的平方根。
这个算法的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进平方根的近似值。
例如，求解数字10的平方根。
首先假设一个初始近似值，例如2、然后通过将这个近似值与10除以这个近似值的平均值相加，得到新的近似值。
中国古代数学中的算法案例(1)
练习： 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个 数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约 数的最大公约数即为所求。
例：如何算出8251和6105的最大公约数？
思考：你能把更相减损法编成一个算法吗？
5 25 35 （ 1） 5 7 7 （ 2） 49 63 7 9
所以，25和35的最大公 约数为5
所以，49和63的最大公 约数为7
思考：如何算出8251和6105的最大公约数？
除了用这种方法外还有没有其它方法？
(一)更相减损之术
1、背景介绍： 《九章算术》中的更相减损之术：
可半者半之，不可半者，副置 分母、子之数，以少减多，更相减 损，求其等也，以等数约之。
(二)辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两 个数，用较大的数除以较小的数。若余数 不为零，则将余数和较小的数构成新的一 对数，继续上面的除法，直到大数被小数 除尽，则这时较小的数就是原来两个数的 最大公约数。
2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例） 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商 和余数 8251=6105×1+2146 说明： 8251和6105的公约数就是6105和2146的 公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出 6105和2146的公约数就可以了。
§7
中国古代数学中的 算法案例
学习目标：
1. 知道几个中国古代数学中的算法案例； 2. 通过问题的解决，领悟转化与划归的
数学思想方法；
3. 了解中国古代数学的成就，培养民族
古代数学中算法案例
☆割圆术过程分析：
我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律.如图03-07-03，设圆的半径是 ，边长为 ，边心距为 ，根据勾股定理，
.正 边形的面积为正 边形的面积再加上 个等腰三角形 的面积的和. 即
.①
正 边形的边长为 .
因此 是 和 的最大公约数.
（2）算法：
S1输入两个正整数 ；
S2如果 ，则执行S3，否则转到S4；
S3将 的余数赋给 ，把 赋给 ，把 赋给 ，重新执行S2；
S5输出最大公约数 .
（3）程序如下：
a input（“a=”）；
b input（“b=”）；
r=1；
while r 0
r modulo（a，b）；
对于典型题目要记住解法
从图向语言过渡不简单，可以放慢些速度
可以让学生参与进来，提高兴趣
板书设计
中国古代算法举例
1.形式2.例题3.练习
解：先改写多项式，再由内向处计算.
.
而 ，所以有：
， ， ，
， ，
.
故 .
3.课堂练习：
1．在秦九韶的算法中用到的一种方法是（）
A．消元B．递推C．回代D．迭代
解：选B．
2．用圆内接正多边形逼近圆，得到的圆周率总是比 的实际值要（ ）
A．大于等于B．小于等于C．等于D．小于
解：选D．
3．两数 和 的最大公约数为（ ）
A． B． C． D．
解：选B．
用辗转相除法
也可以用等值算法.
4．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率，其算法特点（）
A．运算速率快
中国古代数学中的算法案例
中国古代数学中的算法案例____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小的数构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆的面积的算法是计算圆周率的一种方法．3.秦九韶算法:把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝…＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这样通过一次式的反复运算，逐步得出高次多项式的值的方法称作秦九韶算法。
观察上述秦九韶算法中的n 个一次式可见，只要令⎩⎨⎧+==--k n k kn a x v v a v 10其中n k ,,2,1 =就得到了一个递推关系。
这个递推关系是一个反复执行的步骤，可用循环语句来实现。
2019高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例练习 新人教B版必修3
1.3 中国古代数学中的算法案例课时过关·能力提升1下列方法中能求两个正整数的最大公约数的是()A.割圆术B.更相减损之术C.秦九韶算法D.以上均可2用更相减损之术求得95与19的最大公约数为()A.5B.12C.19D.295与19的最大公约数为19.3284和1 024的最小公倍数是()A.1 024B.142C.72 704D.5681 024÷284=3(余172),284÷172=1(余112),172÷112=1(余60),112÷60=1(余52),60÷52=1(余8),52÷8=6(余4),8÷4=2(余0),则1 024与284的最大公约数是4,故它们的最小公倍数704.4用秦九韶算法求多项式f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2在x=-3时的值的过程中,所做的加法次数为a,乘法次数为b,则a,b的值为()A.a=4,b=4B.a=5,b=5C.a=5,b=4D.a=6,b=5f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2=((((6x+1)x+4)x+5)x+3)x+2.因此,需做5次乘法,5次加法.5用秦九韶算法求多项式f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6在x=-1.3时,令v0=a6;v1=v0x+a5;…;v6=v5x+a0时,v3的值为()A.-9.820 5B.14.25C.-22.445D.30.978 5f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6=(((((x-5.2)x+6)x-3.66)x+1.8)x+0.35)x+2,于是v0=a6=1,v1=1×(-1.3)-5.2=-6.5,v2=-6.5×(-1.3)+6=14.45,v3=14.45×(-1.3)-3.66=-22.445.6用程序框图表示“割圆术”,将用到()A.顺序结构B.条件分支结构C.顺序结构和循环结构D.三种基本逻辑结构.7用更相减损之术求36和135的最大公约数,第一步应为..-36=998秦九韶算法中有n个一次式,若令v0=a n,我们可以得n-k循环9已知一个5次多项式f(x)=x5+0.5x4-4x2+5x-9,用秦九韶算法求当x=x0时多项式的值,可把多项式写成:.,x3项不存在,可把该项看作0·x3.(x)=((((x+0.5)x)x-4)x+5)x-910求三个数168,54,264的最大公约数.168与54的最大公约数.(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,1 8)→(6,12)→ (6,6),故168和54的最大公约数为6.采用辗转相除法求6与264的最大公约数.因为264=44×6+0,所以6为264与6的最大公约数,故三个数的最大公约数是6.11用秦九韶算法求当x=2时,f(x),把多项式改写为如下形式:f(x)x=2时的值.v0故当x=2时,f(x)=-11.★12有甲、乙、丙三种溶液,分别为4 200 mL,3 220 mL和2 520 mL,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶子装入液体的体积相同.问:要使三种溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少,则小瓶的容积应为多少毫升?,就是求这三种溶液体积的最大公约数.先求4 200与3 220的最大公约数;∵4 200=3 220×1+980,3 220=980×3+280,980=280×3+140,280=140×2,∴4 200与3 220的最大公约数为140.再求140与2 520的最大公约数;∵2 520=140×18,∴140与2 520的最大公约数为140.综上知,4 200,3 220和2 520的最大公约数为140.∴小瓶的容积应为140 mL.。
18-19 第1章 1.3 中国古代数学中的算法案例
18-19 第1章 1.3 中国古代数学中的算法案例(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．(√)(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．(√)2．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是() A．准确值B．近似值C．循环小数D．有理数[答案] B3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11D[f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.]4．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．14[(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.][合作探究·攻重难]求最大公约数用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数．[思路探究]按等值算法的步骤执行即可．[解]操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.[规律方法]用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数.[跟踪训练]用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数．[解]操作如下：(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.秦九韶算法的应用[探究问题]1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x ＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算v i，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：由v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.母题探究：(变结论)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值时，共做了几次乘法？几次加法？[解]根据秦九韶算法，把多项式改写为：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，由此可知共做了7次乘法，6次加法．[规律方法]1．应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题．(1)要正确将多项式的形式进行改写．(2)计算应由内向外依次计算．(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．2．利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法次数与多项式未知数的最高指数相同，在多项式有常数项的情况下，加法运算的次数与乘法的次数相同．1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5,4B．5,5C．4,4D．4,5D[n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]2．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是() A．2 B．3 C．4 D．5C[∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减法．] 3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为()A．－57 B．220 C．－845 D．3 392B[v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4＝220.]4．用更相减损之术求36,24的最大公约数是________．12[36－24＝12,24－12＝12，因此36,24的最大公约数是12.]5．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)→(8,36)→(8,28)→(8,20)→(8,12)→(8,4)→(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.。
【教育资料】18-19 第1章 1.3 中国古代数学中的算法案例学习专用
1.3 中国古代数学中的算法案例学习目标：1.了解割圆术中无限逼近的数学思想．(重点)2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程．(重点)3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．(重点)4.利用秦九韶算法计算多项式的值．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]一、更相减损之术(等值算法)1．更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．2．用“等值算法”求最大公约数的程序：二、割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值．三、秦九韶算法1．把一元n 次多项式P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写为P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0.令v k ＝(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k ，则递推公式为：⎩⎨⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n . 2．计算P (x 0)的方法： 先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．[基础自测]1．思考辨析(1)用更相减损术可以求两个正整数的最大公约数．(√)(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．(√)(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．(√)2．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是() A．准确值B．近似值C．循环小数D．有理数[答案] B3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11D[f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.]4．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．14[(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.][合作探究·攻重难]求最大公约数用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数．[思路探究]按等值算法的步骤执行即可．[解]操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.[跟踪训练]用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数．[解]操作如下：(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.秦九韶算法的应用[探究问题]1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x ＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算v i，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：由v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5,4B．5,5C．4,4D．4,5D[n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]2．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是() A．2 B．3 C．4 D．5C[∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减法．] 3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为()A．－57 B．220 C．－845 D．3 392B[v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4＝220.] 4．用更相减损之术求36,24的最大公约数是________．12[36－24＝12,24－12＝12，因此36,24的最大公约数是12.]5．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)→(8,36)→(8,28)→(8,20)→(8,12)→(8,4)→(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.。
中国古代数学中的算法案例
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中国古代数学中的算法案例
最大公约数
定义
如果有一个自然数a能被自然数b整除， 则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自 然数公有的约数，叫做这几个自然数的 公约数。公约数中最大的一个公约数， 称为这几个自然数的最大公约数。
求得最大公约数的方法
• 辗转相除法 （欧几里得算法）
• 更相减损术 （出自《九章算术》）
更相减损术
简介
更相减损术是出自 《九章算术》的一 种求最大公约数的 算法，它原本是为 约分而设计的。 但它适用于任何需 要求最大公约数的 场合。
如何使用
求98与63的最大公约数。 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并
辗转相减：
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14
边形的面积加上n个等腰三
角形的面积，即
S2n
Sn
n
1 2
xn
(1 hn )
(n 6)
于是由 S6 6
3 4
求得S12=3；
S24≈3.105828；……
按照这样的思路， 刘徽把圆内接正多 边形的面积一直算 到了正3072边形， 并由此而求得了圆 周率 为3.14和 3.1416 这两个近似数值。 这个结果是当时世 界上圆周率计算的 最精确的数据。
辗转相除法
辗转相除法
辗转相除法最早出现 在欧几里得的几何原本 中（大约公元前300 年），所以它是现在仍 在使用的算法中最早出 现的。
欧几里得
如何使用
以求288和123的最大公约数为例，操作如下：
S1：288÷123=2……42 S2：123÷42=2……39 S3：42÷39=1……3 S4：39÷3=13
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1.3 中国古代数学中的算法案例
学习目标：1.了解割圆术中无限逼近的数学思想．(重点)2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程．(重点)3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．(重点)4.利用秦九韶算法计算多项式的值．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
一、更相减损之术(等值算法)
1．更相减损之术(等值算法)：
用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．
2．用“等值算法”求最大公约数的程序：
二、割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值．
三、秦九韶算法
1．把一元n 次多项式P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写为 P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0
＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0
＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0
＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0.
令v k ＝(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k ，
则递推公式为：⎩⎨⎧
v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，
其中k ＝1,2，…，n . 2．计算P (x 0)的方法： 先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)用更相减损术可以求两个正整数的最大公约数．(√)
(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．(√)
(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．(√)
2．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是() A．准确值B．近似值
C．循环小数D．有理数
[答案] B
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()
A．x3－(3x＋2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
D[f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11
＝((x－3)x＋2)x－11.]
4．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．
14[(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.]
[合作探究·攻重难]
求最大公约数
用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数．
[思路探究]按等值算法的步骤执行即可．
[解]操作如下：
(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.
[跟踪训练]
用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数．
[解]操作如下：
(98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.
秦九韶算法的应用
[探究问题]
1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？
[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．
2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x ＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？
[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．
3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0
＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0
＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算v i，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：
由v0＝7；
v1＝7×3＋6＝27；
v2＝27×3＋5＝86；
v3＝86×3＋4＝262；
v4＝262×3＋3＝789；
v5＝789×3＋2＝2 369；
v6＝2 369×3＋1＝7 108；
v7＝7 108×3＝21 324，
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
1．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()
A．5,4B．5,5C．4,4D．4,5
D[n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]
2．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是() A．2 B．3 C．4 D．5
C[∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减法．] 3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为()
A．－57 B．220 C．－845 D．3 392
B[v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4＝220.] 4．用更相减损之术求36,24的最大公约数是________．
12[36－24＝12,24－12＝12，
因此36,24的最大公约数是12.]
5．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)
→(8,36)→(8,28)
→(8,20)→(8,12)
→(8,4)→(4,4)，
所以80与36的最大公约数为4.。