第4章 冲量和动量

2011-3-21
质心与重心重合
第四章 冲量和动量
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例 已知一半圆环半径为 R，质量为M 质量为M 求 它的质心位置 解 建坐标系如图 取 dl
y
dθ
dm = λ dl
dm
θ
dl = R θ d
M dm= Rθ d πR
O
x
x=R θ y =R θ cos sin
xc = 0
M sin d ydm ∫0 R θπ RR θ 2R ∫ = = yc = M M π
4
2、分量式： 分量式：
∫ ∫ ∫
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fdt = m 2x −m 1x v v x F dt = m 2y −m 1y v v y Fdt = m 2z −m 1z v v z
t2
冲量的任何分量等于 在它自己方向上的动 量分量的增量
v v v 平均冲力： 3、平均冲力： F = m 2 −m 1 dt υ υ ∫t F 在力的整个作用时间内， 在力的整个作用时间内 ， 平均力的冲量等于变力的冲量 F
v v ∆ mv1 ∆mv2
v ∆ v2 m
150
v ∆ v m1 300
y
A
x
B
v ∆mv2
150
F =79.6 N
θ = 29
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0
v F∆ t
300
θ
v ∆mv1
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第四章 冲量和动量
§4-2 质点系动量定理
以两质点系为例推证
r f12
r F 1
r r r d(mv1) = (F + f12)dt 1 1 r r r d(mv2) = (F + f21)dt 2 2
送量 K = 20 kg s 。求矿砂作用在传送带上的平均力。 求矿砂作用在传送带上的平均力。 研究对象： ∆ t 内落在A上的矿砂 研究对象： 内落在A 解
∆m = K ∆t
∆m和B相互作用
v v v F∆ =∆ v2 −∆ v t m m1 v v v ∴ F = k(v2 −v ) 1
作矢量图： 作矢量图：
r r r r d mv1) +d mv2)质点系动量定理 ( 1 ( —— =F1dt + Fdt ——质点系动量定理 2 2
第四章 冲量和动量
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§4-3 质点系动量守恒定律
质点动量守恒定律： 质点动量守恒定律： v F =0 外 质点系动量守恒定律： 质点系动量守恒定律： r ∑Fi外 =0
v m1 υ v
α
I = 22 +42 = 20 kgm s 4 tanα = = 2 2
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例 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后， 一篮球质量0.58kg， 2.0m高度下落 到达地面后， 高度下落， 以同样速率反弹，接触时间仅0.019s. 以同样速率反弹，接触时间仅0.019s. 求 对地平均冲力? 对地平均冲力? 解 篮球到达地面的速率 F F(max)
∫
t2
t1
v v v F = m 2 −m 1 dt υ υ
——质点动量定理的积分形式 ——质点动量定理的积分形式
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v t v 等式左侧： 等式左侧： I = ∫ F ——力的冲量 dt ——力的冲量 t
2 1
描述△t时间内力的持续作用的总效果，是过程量。 描述△ 时间内力的持续作用的总效果，是过程量。 v v v 等式右侧： P υ υ ——动量的增量 等式右侧： ∆ = m 2 −m 1 ——动量的增量 在△t时间内，作用在质点上的合外力冲量等于同一段 时间内， 时间内质点动量的增量. 时间内质点动量的增量.
υ 1
t1
v
υ2
t2
v
考虑一微时段dt 由牛二律： 考虑一微时段dt，由牛二律： dt， v 改写形式： 改写形式： F = d(mv) ——质点动量定理的微分形式 dt υ ——质点动量定理的微分形式 质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量 在△t＝t2 －t1 内：
v d(mv) υ F= dt
二、关于动量定理的几点说明
1、适用范围： 惯性系v 适用范围： t v v 在△t＝t2 －t1 内： F = m 2 −m 1 dt υ υ ∫t 低速宏观和高速微观粒子均适用
2 1
vv v ——质点动量定理的积分形式 Fυ——质点动量定理的积分形式 1 υ 必须相对同一参照系 2
2011-3-21 第四章 冲量和动量
第四章
冲量和动量
牛顿定律是力的瞬时作用规律。 牛顿定律是力的瞬时作用规律。 但在有些问题中， 碰撞、 但在有些问题中， 如：碰撞、 散射 … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间或空间的积累效应 ——力对时间或空间的积累效应。 力对时间或空间的积累效应。 力在空间上的积累效应： 力在空间上的积累效应： 功 力在时间上的积累效应： 力在时间上的积累效应： 平动 转动
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例 设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。 设炮车放在光滑地面上，炮车M 炮弹m 起始时静止。 v 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度u 当炮弹以 v' 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度u 研究对象：炮车＋ 解 研究对象：炮车＋炮弹 系统仅在x 系统仅在x方向上满足动量守恒 设炮弹对地速度 v地x
i i
z
o
r c
c
x
zc = ∑mi zi / M
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i
第四章 冲量和动量
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质量连续分布的物体： 质量连续分布的物体：
xc = ∫ xdm M yc = ∫ ydm M
m
r r r = ∫rdm/ ∫dm c
m
zc = ∫ zdm M
说明 1）
v r与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变 c与坐标选取有关，
2）质量均匀分布的物体，质心在几何中心 质量均匀分布的物体 均匀分布的物体， 质量中心不一定有质量 中心不一定有质量） （质量中心不一定有质量） 3）质心与重心不是同一概念 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 质心——由质量分布确定的一个点 质心——由质量分布确定的一个点 不太大物体
r r d ∑ ivi ) = ∑ idt ( m F
i i
m 1
m 2
r F 2
r f21
r r ∑mivi −∑mivi0 =∑∫
i i i
t t0
r Fdt i
（质点系动量定理） 质点系动量定理）
r r 某段时间内，质点系动量的增量， 某段时间内 ， 质点系动量的增量 ， 等于作用在质点系 f12 + f21 = 0 一对内力 所有外力在同一时间内的冲量的矢量和 在同一时间内的冲量的矢量和. 上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和.
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改变能量
冲量 冲量矩
动量的改变 角动量的改变
1
第四章 冲量和动量
第四章
冲量和动量
§4-1 质点动量定理 §4-2 质点系动量定理 §4-3 质点系动量守恒定律 * §4-4 质心运动定理
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第四章 冲量和动量
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§4-1 质点动量定理
一、动量定理
设一质点在外力持续作用下运动 v v 动量： m 1 →m 2 动量： υ υ
π
几何对称性
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三、质心运动定理
r dr v r r m i ∑ ivi ∑P m v dr ∑ i dt i c 质心速度： = = 质心速度： vc = = dt M M M r r P = M c —— 质点系的总动量 v ∑i v r r dvc = 1 dP i ac = 质心的加速度: 质心的加速度: M ∑dt dt r r r dP dvc r i F =∑ = M a = M c —— 质心运动定理 外 dt dt
x1
x1'
l
dvcx acx = =0 dt
m 1 +M 2 x x xc = m+M
i
v v 常矢量 P＝ v m
v v P＝ mvi 常矢量 ∑i
讨论
υ 0
1、动量守恒的条件：合外力为零 动量守恒的条件： 指在整个运动过程中，合外力时时刻刻都为零） （指在整个运动过程中，合外力时时刻刻都为零） v v
υ 0
o
v h m g
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vh m g
l
c v υ
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m 1
r v 1
•
r v2
m 2
m 1 −m 2 = 0 v v
1 1 mm 2 2 mv1 + mv2 −G 1 2 =0 1 2 2 2 r
解得
O
x
2G v1 = m 2 (m +m )r 1 2
2G v2 = m 1 (m +m )r 1 2
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2G 2G 相对速率 v12 =v1 +v2 = m +m 2 1 (m +m )r (m +m )r 1 2 1 2
v = 2gh = 2×9.8×2 = 6.3m /s
对地平均冲力
F
t O 0.019s
7
2m 2×0.58×6.3 v F= = =3.8×102 N ∆ t 0.019
相当于 40kg 重物所受重力! 重物所受重力!
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